Chuyên đề Toán luyện thi đại học

Phân tích hướng giải Bài toán trên là bài toán " viết phương trình đường thẳng đi qua ba điểm cố định của một hàm số ".. Mình chỉ nêu một cách tiếp cận khác của mình khi giải bài toán n

5102 5 Do đó, giá trị nhỏ nhất của  là 2 5, xảy ra khi và chỉ khi m 2 

Có thể xứ lí gọn hơn như sau:

Nhận thấy AB 2 5, do đó theo bất đẳng thức tam giác ta có: AMBM AB2 5

Giả sử đường thẳng cần tìm có dạng: y3ax b Khi đó hệ phương trình sau có nghiệm với mọi

Thay (3) vào (1) ta được: ( a1)33( a1)3 (a m a1)b có nghiệm với mọi

m Phương trình bậc nhất A m B0 có nghiệm với mọi m khi AB0 Suy ra a 0 và b 2

Thay (4) vào (1) Suy ra a 0 và b  2

Câu a Để tìm điểm cố định, ta coi phương trình đã cho có ẩn là m còn x y, là tham số Điểm ( , )

A x y là điểm cố định nếu phương trình ẩn m kia nghiệm đúng với mọi m

Với phương trình am b 0, thì nghiệm đúng với mọi m khi ab0 Áp dụng vào bài này ta viết phương trình thành

Phương trình này có nghiệm với

mọi m khi và chỉ khi

3 2 2

Câu b Cực trị của hàm số liên quan đến dấu của đạo hàm cấp một, với hàm số bậc ba nó có hai cực trị tương đương đạo hàm cấp một có hai nghiệm phân biệt Ta có

Với giá trị nào của m thì hàm số có cực đại và cực tiểu đồng thời hoành độ các điểm cực đại và

cực tiểu x x thỏa mãn điều kiện 1, 2 x12x2 1

Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến trên [2,  )

ta hai trường hợp của x x 1, 2.

Câu c Hàm số đồng biến trên [2,  khi đạo hàm cấp một không âm, khác hằng trên đó Ta viết )lại y m x( 22x3) 2 x6 Khi đó y  sẽ tương đương với 0

g x trên [2,  không vượt quá m )

Ta lập bảng biến thiên hàm g để tìm ra kết quả 

Phân tích hướng giải câu b Khi nói đến cực đại và cực tiểu ta cần chú ý nó liên quan đến đạo hàm cấp một, nghiệm và dấu của của y' Đặc biệt bài toán lại đòi hỏi tính đối xứng của hai điểm qua một đường thẳng cho trước nên ta cần biết tính chất hình học của nó bao gồm hai ý: đường thẳng

đi qua hai điểm phải vuông góc với đường thẳng cho trước và trung điểm của hai điểm đó phải thuộc đường thẳng cho trước

Lời giải Ta có tập xác định: D   Lại có: y 3x26ax Từ đó:

y  có hai nghiệm phân biệt, triệt tiêu và đổi dấu qua hai nghiệm đó Điều đó tương thích với

điều kiện lúc này là a 0

Gọi tọa độ hai cực điểm đó là 3

Với a>0 cố định, hãy khảo sát sự biến của hàm số

Xác định a để các điểm cực đại và cực tiểu của hàm số là đối xứng với nhau qua đường thẳng

yx

Xác định a để đường thẳng yx cắt đồ thị tại ba điểm phân biệt A B C sao cho , , ABBC

2 3

AB BC  b a  c b  b a  c b ba c ba b c Nhưng, theo định lý Viette cho phương trình bậc ba thì a b  c 3 t Thế cho nên bt Thay bt vào phương trình (1) ta tìm được 0, 1 , 1

t t t  Giờ, ta kiểm tra lại xem với t nào thì

phương trình (1) có đủ ba nghiệm phân biệt là xong Việc này mời các bạn tiếp tục nhé! 

Gọi M x y vì ( ;0 0) M thuộc đường thẳng y   nên 2 M x ( ; 2)0 và (0) là tiếp tuyến có dạng

Tìm điểm M trên đường thẳng y   mà từ đó có thể kẻ đến đồ thị hàm số 2 yx33x2 2

ba tiếp tuyến, trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc nhau

( không thỏa điều kiện )

P/S : không biết tính toán có đúng không ?

Bài giải chắc là đã ổn, tuy nhiên khi lập luận cần trao đổi 1 chút

Để từ M kẻ được 3 tiếp tuyến của đồ thì (C) thì hệ ( mà bạn trình bày ) phải có 3 nghiệm phân biệt đồng thời phải có 3 giá trị k khác nhau

Khi ấy, phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 2 đồng thời có 2 giá trị k khác nhau và khác 0

Để minh chứng dễ mắc sai lầm trong lập luận của bạn , ta có thể thưởng thức bài toán sau :

Cho hàm số 4 2

yx  x  , có đồ thị là  C Tìm trên đường thẳng y= 2 những điểm mà qua đó

ta kẻ được 4 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị  C

Chứng minh rằng đồ thị hàm số   3   2  

y m x  m x  m xm luôn đi qua 3 điểm

cố định và viết phương trình đường thẳng đi qua 3 điểm cố định đó

Phân tích hướng giải

Bài toán trên là bài toán " viết phương trình đường thẳng đi qua ba điểm cố định của một hàm số " Vậy trước tiên ta cần nhớ lại cách đi tìm điểm cố định của một hàm số Đặt một bài toán tổng quát như sau :

"Chứng minh rằng đồ thị hàm số y f x m( , ) đi qua ba điểm cố định thẳng hàng "

Với bài toán tổng quát này ta đi thực hiện các bước của bài toán :

Xét điểm ( ; )T x y là điểm cố định mà đồ thị đi qua m

Khi đó phương trình : ( , )f x m  có nghiệm đúng 0 m

Phân tích theo nhóm bậc của m rồi cho các hệ số bằng 0 (thực ra bước này ta thường gặp phương trình bậc nhất hoặc bâc hai theo m )

Để chứng minh tính thẳng hàng ta có hai cách để giải :

- Cách 1 ( tường minh) Phương trình cho ta ba nghiệm "thực " đẹp lúc đó ta sử dụng tính thẳng hàng của ba điểm

- Cách 2 (bí ẩn ) Phương trình không được ba nghiệm " thực " đẹp thì ta thường dùng phương pháp mà mình hay gọi nôm na là " tính liên tục liên quan đến nghiệm " rồi sau đó dùng kĩ thuật

"tách cái củ cho ra mới " ta sẽ được đường thẳng thỏa yêu cầu bài toán

Vậy phương trình g x  có ba nghiệm phân biệt : ( ) 0  2 x10x2  1 x3 5

Nên đồ thị hàm số đã cho đi qua ba điểm cố định :T T T 1; 2; 3

Mà ta có : y3(x33x2 6x1) 12 x 2 12x 2

Từ đây ta thấy rằng tọa độ ba điểm T T T nghiệm đúng phương trình 1; 2; 3 y12x nên ba điểm 2

cố định đó thẳng hàng và đường thẳng qua chúng là y12x  2

Phân tích hướng giải bạn Nguyentuan đã trình bày nên mình xin phép không nói lại nữa Mình

chỉ nêu một cách tiếp cận khác của mình khi giải bài toán này như sau:

Gọi T x y là điểm cố định mà đồ thị hàm số đã cho đi qua ( ; ) m Khi đó ta có phương trình :

y  x  x Phương trình y  có hai nghiệm : 0 x  1 3 và x  1 3

Do đó ta có: y(1 3) (1y  3)0 vậy hàm số đang xét cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.Nên

đồ thị hàm số đã cho đi qua ba điểm cố định :T T T 1; 2; 3

Mà ta có : y3(x33x2 6x1) 12 x 2 12x 2

Từ đây ta thấy rằng tọa độ ba điểm T T T nghiệm đúng phương trình 1; 2; 3 y12x nên ba điểm 2

cố định đó thẳng hàng và đường thẳng qua chúng là y12x  2

Cần tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu

Xác định tọa độ hai cực trị ,A B và điểm C để áp dụng công thức diện tích tam giác

Khi đó, hàm số có hai cực trị là A(1m, 2 2 m3), (1B m, 22m3) Hai điểm ,A B tạo với điểm

C thành tam giác có diện tích bằng 1 khi và chỉ khi AB d C AB · ( , ) 2 Từ đó giải ra m Đến đây bạn đọc triển khai nốt nhé :D

Bổ xung đáp án: m1;m  1

Bài 8:

Tìm m để đồ thị (C m) :yx33x23(m21)x3m21 có hai điểm cực trị ,A B cùng với

điểm (2,1)C tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1

Bài 9:

Cho hàm số yx33x2mx 4 m có đồ thị ( ).C Đường thẳng y  cắt ( )3 x C tại điểm

A Tìm m để tiếp tuyến tại A của ( )C cắt lại ( ) C tại điểm B khác A thỏa mãn tam giác AIB vuông, với I(1, 2)

Đây là một bài hay và đẹp, kết quả thu được 14.

9

m  Mời các bạn trao đổi!

Ta tính ra được tọa độ của 3 , 9 3 27 2 1 3

Bài 11 :

Tìm giá trị của m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số 3 2

yx  x  tiếp xúc đường tròn ( C ) có PT:

(x m ) (ym1)  5

Đến đây dễ dàng giải ra m Bạn đọc triển khai tiếp nhé

Trước tiên ta tìm m để hàm số có hai cực trị.Ta có:

Để hàm số có hai cực trị thì y  phải có hai nghiệm phân biệt, hay 0 m  2 1 m3

Ta có ODAB là hình bình hành nên trung điểm của AB cũng chính là trung điểm của OD.Từ đó ta

Lúc này ta kiểm tra được ngay phương trình thứ hai của hệ thỏa mãn, kết hợp với điều kiện m 3

ta đi đến kết luận giá trị m 4 là giá trị cần tìm!

Ở trên ta không đi giải trực tiếp hệ mà tiến hành làm như lời giải vì việc biến đổi là mất khá nhiều thời gian, hơn thế còn dễ gây nhầm lẫn!

Lời giải:

Với những bài thế này, ta nghĩ ngay đến việc nhẩm nghiệm, rồi dùng tiếp định lý Viet để giải,tuy nhiên bài này lại là một trường hợp ngoại lệ, ta không thể tìm được một nghiệm "đẹp" nào cả,vậy

là ta từ bỏ hướng này!Các bạn hãy cứ bình tĩnh,ta thấy rằng nghiệm của phương trình y  cũng 0

có thể biểu diễn qua m , như thế bài toán giải sẽ vẫn đơn giản đúng không?Ý tưởng này lại càng

được củng cố thêm khi ta thấy ở hàm số y có mặt đủ cả m và m 2

Suy nghĩ như vậy ta giải quyết bài toán như sau:

Ta đưa phương trình bậc ba đối với x về phương trình bậc hai đối với m Thật vậy:

Với k là hsg của đường thẳng tiếp tuyến

Ta có tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng: x10y30 có hsg 0 1 1

Thay vào ta được a2M(2; 29)

Từ đó dễ dàng viết được phương trình tiếp tuyến là: y10x 9

Ta có lời giải như sau:

Để tiếp tuyến cắt đồ thì thêm nữa khác tiếp điểm thì: 2x0  6 x0 x0  2

Tới đó ta kết luận được rồi

Phân tích bài toán và hướng giải

Ở bài toán này về điểm cực đại và cực tiểu thì quá rõ ràng nên mình không nhắc thêm nữa mà mình chú trọng đến yêu cầu vị trí của hai cực điểm so với đường tròn đã cho

Nhắc lại Nếu ta cho đường tròn ( )C có tâm I a b và bán kính R thì ta có ( ; )

M nằm trong đường tròn khi và chỉ khi IM R

y f x x  x  C Hãy xác định tất cả các giá trị của a để điểm cực đại

và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số ( )C nằm về 2 phía khác nhau của đường tròn: (phía trong và

phía ngoài):(C0) :x2y22ax4ay5a2 1 0

M nằm ngoài đường tròn khi và chỉ khi IM R

M nằm trên đường tròn khi và chỉ khi IM R

Bây giờ ta đem ứng dụng kiến thức vào bài toán

Ta gọi tọa độ hai cực điểm là A(0; 2) , (2; 2)B 

Mặt khác đối với đường tròn ( )C ta có sự biến đổi sau:(x a )2(y2 )a 2  1

Từ đó ta có tọa độ tâm I a( ; 2 )a và R  lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn ( )1 C

*)Nếu m 0: Lúc này ta có y 5x29 Kiểm tra trực tiếp, ta thấy hàm này đạt cực đại tại x 0

và tọa độ của điểm cực đại là (0, 9) không thỏa mãn yêu cầu của đề bài Vậy m 0 loại

*)Nếu m 0: Theo giả thiết y có điểm cực trị thuộc Ox nên tồn tại M x( , 0)0 sao cho y x( 0)0,tức là mx0210x0m0 Ngoài ra, do m 0 nên y' là một tam thức bậc hai và như thế, để y có cực trị thì y' phải có 2 nghiệm phân biệt, tức  y 0. Từ đây suy ra 2

3

mx

y  x mx có điểm cực trị nằm trên trục Ox

Tập xác định của hàm số là D   Ta có y mx210xm Xét các trường hợp sau:

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số

2 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( )C tại tiếp điểm M , biết M cùng với hai điểm cực trị của đồ thị ( )C tạo thành một tam giác có diện tích bằng 6

Đề thử sức trước kỳ thi số 2 trên tạp chí THTT

0 4 0 2

x   y  và ta viết được phương trình tiếp tuyến là: y9x34

Với: 2x0y0   2 y0  2x0  thế vào ta được: 2

1

6 6 voi

2'

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C

2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình: 2x33x2 1 2m có ba nghiệm phân

biệt thỏa 1

2

x  

Ta có phương trình qua hai điểm cực đại cực tiểu là

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ( )C

2 Gọi ( )d là đường thẳng đi qua điểm ( 1; 0) I  có hệ số góc là m Tìm m để đường thẳng d

cắt đồ thị hàm số ( )C tại 3 điểm phân biệt , ,I A B sao cho AB 2 2

Đề thi thử Trường THPT Lương Thế Vinh - Hà Nội

Với điều kiện của m thì ta tìm được 2 điểm A và B có tọa độ

Bài toán này gốc gác của nó chính là tính chất tiếp tuyến của hàm số bậc ba đấy

Trước tiên ta có y 3x28x4 Để tồn tại hai tiếp tuyến có cùng hệ số góc là a thì phương trình sau đây phải có hai nghiệm phân biêt :3x28x 4 aMà điều này tương thích với điều kiện

40

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Tìm các giá trị của m để đường thẳng d đi qua điểm m A ( 1 ; 3)

và có hệ số góc là m cắt đồ thị hàm số ( )C tại ba điểm phân biệt cách đều nhau

0 1 2 2 1 1 2 2

x x  x   x  x Kết hợp với điều kiện trên ta suy ra: x13;x2  Không thoả mãn 1TH2: 3 nghiệm sắp xếp theo thứ tự: x x x Từ đó ta có: 1; 0; 2 x1x2 2x0 x1x2   Dễ thấy 2không thỏa mãn

TH3: 3 nghiệm sắp xếp theo thứ tự: x x x , ta có: 0; ;1 2 x0x2 2x1 2x1x2   , kết hợp với 1điều kiện trên ta suy ra: x11;x2  Từ đó suy ra: 3 m  (Thỏa mãn) 1

Bài 23 :

Cho hàm số yx33x2  có đồ thị là ( ).1 C Khảo sát và vẽ đồ thị ( ) C của hàm số Tìm các

giá trị thực của m để đường thẳng nối hai cực trị của hàm số đã cho cắt đường tròn

yx  x  x C Tìm k để tồn tại 2 tiếp tuyến của ( )C phân biệt có cùng

hệ số góc k , đồng thời đường thẳng đi qua hai tiếp điểm đó cắt Ox và Oy lần lượt tại A và B

vàOB2011OA

đó là "dựa vào yếu tố nào để thiết lập điều kiện đó."

Chúng ta đã biết rằng về ý nghĩa hình học của tiếp tuyến thì hệ số góc của tiếp tuyến tại một điểm chính là đạo hàm cấp 1 tại hoành độ của điểm đó Vậy để tồn tại hai điểm phân biệt thuộc đồ thị đã cho mà có cùng hệ số góc thì phương trình sau đây phải có hai nghiệm phân biệt

: f x( )k 3x212x 9 k 0 (1) Để toàn tại hai tiếp tuyến phân biệt có cùng hệ số góc k

thì phương trình (1) phải có hai nghiệm phân biệt :  36 3(9 k)0k  Khi đó với điều 3kiện này ta thấy rằng tọa độ của hai tiếp điểm tạo ra hai tiếp tuyến phân biệt có cùng hệ số góc k

phải thỏa mãn hệ phương trình

Và căn cứ vào hệ đó ta thấy ngay được rằng nếu ta thực hiện phép chia y cho y' và biến đổi theo phương án thế ta sẽ thu được một hệ phương trình sau

có ý tứ khá hay và lạ mắt nhưng lại dựa trên các yếu tố kiến thức cơ bản nhưng phải nắm thật sâu

đó chính là về mặt ý nghĩa hình học của tiếp tuyến, cách lập đường thẳng qua hai tiếp điểm mà ta chưa có tọa độ Và mình hy vọng rằng đã có thể giúp bạn được phần nào về mặt giải quyết bài toán trên

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m 0

Định m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực đại, cực tiểu cách đều đường thẳng d y:  x 1

Là 2 điểm cực trị của hàm số đã cho.Để 2 điểm cực trị này cách đều đường thẳng x   Ta y 1 0phải có

Đến đây các bạn có thể chia khoảng để giải,kết hợp với viet để tìm ra kết quả

Có thể dùng điều kiện sau : A, B cách đều đường thằng (d) khi

+) AB // (d) hoặc AB trùng (d)

+) trung điểm của AB nằm trên (d)

Khá dễ dàng ta tìm được hia điểm cực trị là: A(0; 2); (2; 2)B 

Khi đó gọi điểm M có tọa độ: ( ;3x0 x 0 2), khi đó ta có:

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m  1

2 Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực đại cực tiểu A B , sao cho diện tích tam giác ,

ABC bằng 7 với C ( 2; 4)

2xym m  Tính 1 0

2 ( ; )

Gọi điểm A a ( ; 2) thuộc đường thằng y   2

Phương trình đường thẳng đi qua ( ; 2)A a là

2.Tìm m để hàm số (1) đạt cực trị tại x x sao cho 1; 2 1 2

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m 0,

2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) có hai cực trị cùng dấu

Bài này rất hay, tác giả Nguyên Thiên chọn số liệu cùng ý đồ tính diện tích tứ giác nhờ 2 đường chéo, đáp số đẹp, câu này mình rất thích

Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho

Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C biết tiếp tuyến có hệ số góc lớn hơn 1 và tạo với đường

Gọi tiếp điểm là: M x y( ;0 0)

Với: k6x026x0 Theo điều kiện ta có: k  1

Với: x 0 2, ta viết được: y12x19

Mình nghĩ là đặt t f x( ) thu được phương trình bậc 3 với ẩn t Số nghiệm của t chính là số

nghiệm của phương trình f x( )x36x29x 3

Điều kiện đủ : Với a  3 thì hàm số có dạng y4x33x

Dễ chứng minh được |y  khi | | 1| 1 x 

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị khi m 2

2 Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x x sao cho biểu thức 1; 2 1 2

Bài 35:

Cho hàm số yx33mx 1 C m

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m 1

2 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số C m có hai điểm cực trị A,B sao cho diện tích tam giác IAB bằng 4 2 , trong đó I 1;1

Đề thi thử đại học 2012 số 13

Kết luận:Vậy m 2 thì sẽ thoả mãn điều kiện bài toán

Ta có đường thẳng d có dạng y mxa đi qua điểm ( 1, 2)I  nên ta có 2ma hay

22

m

m m

Do A,B là nghiệm của phương trình (1) nên ta có

Hệ số góc của đồ thị C tại A,B là : y 3x26xm3(x22x2m2) 6 5  m 6 5m

Vậy tiếp tuyến tại A,B có cùng hệ số góc mà A,B là hai điểm phân biệt cùng thuộc đồ thị nên tiếp tuyến tại A,B song song

Ta có ( 1) 2 4

x

y y   x

Nên phương trình đường thẳng đi qua cực đại cực tiểu là : :y2x 4

Đường tròn ( )C có tâm ( , I m m 1) và bán kính R  5  tiếp xúc với ( )C suy ra

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số trên

2) Với giá trị nào của m thì đường thẳng nối hai cực trị của đồ thị tiếp xúc với đường

tròn   C : x m 2y m 12 5

Đề thi thử đại học lần 2 môn toán-THPT chuyên Lê Đôn

Bài 38:

Cho hàm số yx33x 2

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 Tìm các điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại điểm N thoả mãn

(C m) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi (C m) có CĐ và CT đồng thời CĐ và CT nằm

về hai phía so với Ox Điều này tương đương với hệ sau:

Nhận xét: Đồ thị của (C m) nhận điểm uốn là tâm đối xứng do đó ba điểm A, B, C thỏa ABAC

thì phải có một điểm là điểm uốn thuộc Ox Cụ thể là điểm A

Do đó ta có: 3

Thử lại thấy thỏa điều kiện của m

Vậy với m  1 thì yêu cầu bài toán được giải quyết.^^

Phương trình hoành độ giao điểm là: x33x23mxm0 (1) Giả sử phương trình (1) có 3 nghiệm: x x x , thì phương trình được viết lại dưới dạng: A; B; C

Câu I (2.0 điểm) Cho hàm số y x33x23mxm có đồ thị (C m),mlà tham số

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C khi 0) m 0

Tìm tất cả các giá trị thực của m sao cho đồ thị ( C m) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt , ,

A B C đồng thời hoành độ ba điểm đó là x A,x B,x thỏa điều kiện C

(x A 2) (x B2) (x C 2) 3

Ta lại có:

(x A2) (x B2) (x C2)  3 x Ax Bx C6(x Ax Bx C) 12( x Ax Bx C) 27 0

27 30m 6(9 6 ) 12.3 27m 0 m 3

         Thử lại thấy không thỏa mãn

Vậy không tồn tại giá trị m cần tìm

Đây là một bài toán khá hay Lời giải của nó như sau

Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có hệ số góc 2 nên thỏa điều phải chứng minh

Gọi A x y là điểm cố định của họ đồ thị (( ;0 0) C m)

Thế thì phương trình sau nghiệm đúng với mọi

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số trên,

2 Tìm trên ( )C điểm A sao cho khoảng cách từ A đến B(2; 4) đạt giá trị nhỏ nhất

Ox khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm

Gọi A a a( ; 33a21) và B b b( ; 33b21) là các điểm thoả mãn bài toán

Ta có phương trình tiếp tuyến tại điểm A là

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 Tìm các điểm A,B thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A,B song song với nhau

vàAB 4 2

Ta lập phương trình tương giao và giải ra nghiệm x3,x   (mò bằng máy tính) Cách này 1

giải ra dài và phức tạp hơn cách 1 nhưng tư duy hình học rõ ràng hơn

1 2

21

Cho ( ) :C yx33x23(1m x)  1 3 m Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu và các cực

trị lập với gốc tọa độ một tam giác có diện tích bằng 4

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho

Đường thẳng vuông góc với trục tung tại M cắt đồ thị ( )C tại ba điểm phân biệt N P Q với , ,hoành độ của điểm N là số âm Tìm tung độ điểm M biết rằng MN PQ

Bài 50:

Tìm m để hàm số yx33x2mx có cực đại cực tiểu đồng thời đường thẳng đi qua các 2điểm cực trị cắt hai trục tọa độ Ox, Oy tại A, B sao cho tam giác OAB cân

Bây giờ, gọi M x y là tọa độ của một trong hai điểm cực trị, ta có ( ,0 0)

d y   x  m chính là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

Theo giả thiết, d cắt hai trục tọa độ tại hai điểm A B và tam giác OAB là tam giác cân Ta thấy ,rằng điều này xảy ra khi và chỉ khi d song song với phân giác của góc phần tư thứ nhất hoặc thứ hai, tức d có hệ số góc là 1 hoặc 1 Nói cách khác, ta phải có 2 6 1





Yêu cầu bài toán tương

đương với (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1 và 3, tức là: 0

2

m m

Ta thấy M thuộc cung AB thì tổng khoảng cách S bé nhất

Bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân

Dấu bằng xảy ra khi | 1 2 voi 0 1 2 1

Hướng giải bài này làm như sau:

Điều kiện x  2 Phương trình hoành độ giao điểm là nghiệm phương trình 2 1 2

ý tưởng Các bạn làm tiếp như sau:

Gọi A x( , 21 mx1), ( , 2B x2 mx2) Vì hai điểm này đối xứng nhau qua đường thẳng xy nên điều 0kiện sau thỏa mãn

Bài 3:

Tìm hai giao điểm B,C mà đường thẳng d y:  x 2m cắt đồ thị (H của hàm số ) 2 1

2

x y x

Gọi I là trung điểm AB thì tọa độ I thỏa mãn phương trình xy 0

Vì A, B đối xứng nhau qua xy nên pháp tuyến của đường thẳng AB nhân vô hướng với 0 n  (1;1)bằng 0

Từ đó giải ra m Bạn đọc triển khai nốt nhé

Phân tích

Để giải bài toán này trước hết mình nghỉ chúng ta cần nắm vững ba ý chính về kiến thức sau:

Thứ nhất là điều kiện tiếp xúc của hai đồ thị

Cho hai hàm số y f x( ) có đồ thị là (C và hàm số 1) yg x( ) có đồ thị là (C2).Khi đó đồ thị (C 1)

và (C2) tiếp xúc nhau khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm : ( ) ( )

Hai điểm bất kì A x y( ;1 1) , ( ;B x y2 2) nằm về hai phía của đường thẳng :ax by   thì ta phải có c 0:(ax1by1c ax)( 2by2c) 0

3

(2)( 1)

Để từ A kẻ được hai tiếp tuyến đến đồ thị hàm số đã cho thì phương trình (3) phải có hai nghiệm khác

1 Điều đó tương thích với điều kiện:

Vì theo giả thiết bài toán nên M N nằm về hai phía của trục hoành :, y  nên 0

1

m

m m

x x m

Ngoài hướng làm trên bạn có thể hoàn toàn giải theo cách lớp 11 tốt qua những bước làm sau :

- Gọi M x y( ;0 0) , (x 0 1) là tiếp điểm khi đó phương trình tiếp tuyến tại M có dạng

- Đến đây ta cũng tìm m để tồn tại phương trình ( )a tồn tại hai nghiệm phân biệt khác 1

- Rồi cũng dùng công thức xác định ví trị tương đối của hai điểm với đường thẳng khi chúng khác phía so với đường thẳng như trên bạn đọc cũng sẽ tìm ra được kết quả

- Các bạn tự triển khai cách giải này nhé

Về cách giải bất phương trình như bạn hỏi mình đưa ra hai hướng như sau :

00( )

00

a x b

a x b b

Cách hai: Bạn không giải trực tiếp mà sử dụng " phương pháp khoảng đan dấu qua từng nghiệm trên trục số" ngoài giấp nháp rồi ghi kết quả vào bài toán nhé

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m 3

2 Cho hai điểm ( 3; 4)A  và B(3; 2) Tìm m để trên đồ thị ( C m) có hai điểm P, Q cách đều hai điểm A , B và diện tích tứ giác APBQ bằng 24

Phương trình hoành độ giao điểm của (C m) và ( )d là:

22

Gọi vecto chỉ phương của AB là: u1 ( ; )a b

Ta có vecto chi phương của Ox là: u 2 (1; 0)

Cách 2:

Đứng trước bài toán về tiếp tuyến cho dưới dữ kiện này ta có thể nghỉ đến hai hướng đi như sau

- Hướng 1: Đại số hóa các bước giải bài toán

Trong trường hợp này nếu các bạn giải quyết bài toán thì phải thực hiện các bước làm khá mắc công về tính toán sau:

+ Xét tiếp điểm M x( 0; y0) , (x 0 2) thuộc đồ thị hàm số Khi đó phương trình tiếp tuyến d tại M là

0 2

+ Tiếp theo chúng ta đi giải các hệ gồm :

Vì AdOx tọa độ điểm A là nghiệm của hệ:

0

0 2

tam giác vuông OAB với A B chính là hai giao điểm của đường thẳng đó với các trục , Ox Oy Bây ,giờ ta đem kiến thức đó vào bài toán này

+ Xét điểm M x( 0 ;y0) (x 0 2) là tiếp điểm thuộc ( )C mà tiếp tuyến d tại M cắt hai trục Ox Oy ;lần lượt tại hai điểm A B sao cho ; OA3OB

+ Ta có OAB vuông tại \ O nên tan 1

3

OA A OB

0 2

Phân tích và hướng giải

Bài toán này khá cơ bản nhưng chắc chắn nó cũng sẽ gây lúng túng cho một số bạn ở ý tưởng giải Để tiện vào bài toán tốt hơn mình xin nhắc lại một công thức khá quan trọng trong bài toán này đó chính là đường thẳng d đi qua hai điểm A x( A;y A) ; (B x B;y B) thì hệ số góc của đường thẳng d được xác định bằng

11

I

a d

a

a a



 có đồ thị ( )C Tìm toạ độ điểm M thuộc ( ) C biết rằng tiếp tuyến của ( ) C tại M

vuông góc với đường thẳng đi qua M và điểm I(1,1)

Bài 8:

Cho hàm số 2 1

1

x y x





 có đồ thị là ( ).C Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị ( )C biết khoảng

cách từ điểm I(1; 2) đến tiếp tuyến d bằng 2