Lập phương trình đường thẳng qua M 2;1 và tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 4.. Viết phương trình chính tắc của elip.[r]
Trang 1Trường THPT Phan Châu Trinh
ĐÀ NẴNG
Đề số 13
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG NĂM 2010
Môn thi: TOÁN – Khối D
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
I PHẦN CHUNG (7 điểm)
Câu I (2 điểm): Cho hàm số 3
1
x y x
-= + 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm I ( - 1;1 ) và cắt đồ thị (C) tại hai điểm M, N sao cho I là trung điểm của đoạn MN
Câu II (2 điểm):
1) Giải phương trình: cos 3 x + sin 2 x = 3 sin 3 ( x + cos 2 x )
2) Giải hệ phương trình: ( x y ) xy
x y
2 2
9
í
= ïî
Câu III (1 điểm): Tìm các giá trị của tham số m để phương trình: ( m - 2 1 ) ( + x2+ = 1 ) x2- m có nghiệm
Câu IV (1 điểm): Cho lăng trụ tam giác đều ABC A B C ' ' ' có cạnh đáy là a và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A’BC)
bằng
2
a
Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A B C ' ' '
Câu V (1 điểm): Chứng minh a b c ( ab bc ca ) a b c
a b b c c a
2
II PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm)
1 Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a (2 điểm):
1) Giải bất phương trình: 1 log + 2 x + log2( x + 2 ) > log 2( 6 - x )
2) Tính: ò ln x dx2
Câu VII.a (1 điểm): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ (Oxy) Lập phương trình đường thẳng qua M ( ) 2;1 và tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 4
2 Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b (2 điểm):
1) Giải hệ phương trình :
1
2x 3y
+
ì + = + ï
í
= ïî 2) Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) cos 2 1
cos 2 1
x
f x
x
-=
+
Câu VII.b (1 điểm): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ (Oxy) , cho điểm 1
3;
2
è ø Viết phương trình chính tắc của elip
đi qua điểm M và nhận F1( - 3;0 ) làm tiêu điểm
============================
Trang 2Hướng dẫn:
I PHẦN CHUNG
Câu I: 2) Gọi d là đường thẳng qua I và cĩ hệ số gĩc k Þ PT d y k x : = ( + + 1 1 )
Ta cĩ: d cắt ( C) tại 2 điểm phân biệt M, N 3
1
x
x
+ cĩ 2 nghiệm phân biệt khác - 1
Hay: f x ( ) = kx2+ 2 kx k + + = 4 0 cĩ 2 nghiệm phân biệt khác - 1
( )
0
1 4 0
k
f
ì ¹ ï
Û D = - í > Û <
ï - = ¹ ỵ
Mặt khác: xM + xN = - = 2 2 xI Û I là trung điểm MN với " < k 0
Kết luận: PT đường thẳng cần tìm là y kx k = + + 1 với k < 0
Câu II: 1) PT Û cos 3 x - 3 sin 3 x = 3 cos 2 x + sin 2 x 1 cos 3 3 sin 3 3 cos 2 1 sin 2
cos 3 cos 2
Û ç + ÷ = ç - ÷
2 6 2
10 5
é = - + ê
ê
ê = - + êë
k x
2) Ta cĩ : x y2 2= Û 9 xy = ± 3
· Khi: xy = 3, ta cĩ: x3- y3= 4 và x3 ( ) - y3 = - 27
Suy ra: x3; ( ) - y3 là các nghiệm của phương trình: X2- 4 X - 27 0 = Û X = ± 2 31
Vậy nghiệm của Hệ PT là x = 32 + 31, y = -3 2 - 31 hoặc x =32 - 31, y = -32 + 31
· Khi: xy = - 3, ta cĩ: x3- y3 = - 4 và x3 ( ) - y3 = 27
Suy ra: x3; ( ) - y3 là nghiệm của phương trình: X2+ 4 X + 27 0 = ( PTVN )
Câu III: Đặt t = x2+ 1 Điều kiện: t ³ 1 PT trở thành: ( m - 2 )( t + = - - 1 ) t2 m 1 Û 1 ( 1 )
2
+
t
( )2
2 2
4 3 2
+ +
= +
t
f t ¢ = Û ê = - ( ) 0 é = - ë t 1 ( 3 ( loại ) ) Dựa vào BBT, ta kết luận 4
3
m ³
Câu IV: Gọi M là trung điểm BC, hạ AH vuơng gĩc với A¢M Ta cĩ: ( ' )
'
^ ì
ỵ
2
a
AH ^ A M Þ AH ^ A BC Þ AH =
' 4 '
a AA
Kết luận:
3 ' ' '
3 2 16
ABC A B C
a
Câu V: Ta cĩ:
2 2
a b = - a b ³ - ab =
Tương tự:
2
b
b c ³
2
c
c a ³
2
II PHẦN TỰ CHỌN
1 Theo chương trình chuẩn
Trang 3Câu VI.a: 1) Điều kiện: 0 < < x 6
log 2 x 4 x log 6 x
2 x 4 x 6 x x 16 x 36 0
Û + > - Û + - > Û x < - 18 hay 2 x <
So sánh với điều kiện Kết luận: Nghiệm của BPT là 2 < < x 6
x
Câu VII.a: Gọi A a ( ) ( ) ;0 , B 0; b là giao điểm của d với Ox, Oy, suy ra: d : x y 1
a b + = Theo giả thiết, ta có:
2 1
1 8
ì + = ï
í
ï = î
a b ab
Û b a ab
ab
2 8
ì + =
· Khi ab = 8 thì 2 b a + = 8 Nên: b = 2; a = Þ 4 d x1: + 2 y - = 4 0
· Khi ab = - 8 thì 2 b a + = - 8 Ta có: b2+ 4 b - = Û = - ± 4 0 b 2 2 2
+ Với b = - + 2 2 2 Þ d2: 1 ( - 2 x ) ( + 2 1 + 2 ) y - = 4 0
+ Với b = - - 2 2 2 Þ d3: 1 ( + 2 x ) ( + 2 1 - 2 ) y + = 4 0
2 Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b: 1)
1
(1)
ì + = +
ï
í
=
ïî x y
(*)
1
= é + = + Û - + - = Û ê = - ë y x
· Khi: y x = thì (*) Û y x x x
1
2 3 +
ì = í
=
2 3 2 3
log 3 log 3
= ì ï
í = ï î
x
· Khi: y = - 1 x thì (*) Û y x x x
2
1
2 3
ì =
6 6
log 9
1 log 9
= ì
í = -î
x y
2) Ta có: f x ( ) = - tan2x 1 12
cos
=
-x Þ F x ( ) = - x tan x C +
Câu VII.b: PTCT elip (E) có dạng:
2 2
2 2 1( 0)
a b
a + b = > >
Ta có:
2 2
2 2
3 1 4
3 1
ì
ï
í
2
2 4 1
ìï = í
=
ïî Vậy (E):
2 2
1
4 1
=====================