Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

a Lập phương trình tham số, chính tắc, tổng quát của các cạnh của  ABC.. b Lập phương trình các đường trung trực của các cạnh  ABC.[r]

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

 Vấn đề 1: CÁC CÔNG THỨC VỀ TỌA ĐỘ:

* Điểm M(x; y)  OM = x + y

i



j



* Cho ABC biết :  A x A; y A , B x B; y B , C x C; y C

1) ABx Bx A; y By A

( B A) B A

AB x x  y y

3) I là trung điểm của đoạn AB, ta có: ;

4) Điểm M được gọi là chia đoạn AB theo tỉ số k  MA k MB    1 .

1

M

M

x k x x

k

y k y y

k





(k 1)

5) G là trọng tâm của tam giác ABC, ta có: ;

6) A, B, C thẳng hàng  AB cùng phương với

AC



7) Tứ giác ABCD là hình bình hành   AB DC

8) Tính chất đường phân giác:

Gọi AD, AE lần lượt là đường phân giác trong và ngoài của góc A (D BC; E BC), ta có:  

;

AC

DC  



AC

EC 





9) Diện tích ABC: S =  1

2

abc

R

(Với a, b, c là ba cạnh, là đường cao thuộc cạnh a, h a 1( ) , R

2

p a b c 

và r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp ABC)

* Cho 2 vectơ : a( ;a a1 2), , ta có:

1 2

( ; )

b  b b

10) a  b a1b a1; 2b2

11) m a. m a m a ; 1 2

1 2

a  a a

13) Tích vô hướng : a b     a b c os(a; ) b  a b1 1 a b2 2

14) Góc giữa hai vectơ :   1 1 2 2

2 2 2 2

1 2 1 2

cos ;

a b a b

a b





  15) a  b a b   0 a b1 1a b2 2 0

16) a  b a1 b a1; 2 b2

17) a b , cùng phương   với

a k b  1 2

1 2

a a

b  b b b1 2 0

* BÀI TẬP:

Bài 1: Cho lục giác đều ABCDEF Hãy biểu diễn    AC A; D; AF; EF theo các vectơ

u AB v A     Bài 2: Cho ba điểm A(0;2), B(1;1), C(1;-2),

1 Tìm tọa độ đỉnh D của hình bình hành:

a) ABCD b) ACBD c) CABD

2 Tìm tọa độ các điểm C’, A’, B’ lần lượt chia các đoạn thẳng AB, BC, CA theo tỉ số -1; ; -21

2 Chứng minh A’, B’, C’ thẳng hàng

3 Tìm điểm E đối xứng với A qua C

4 Tìm điểm M sao cho: 2MA  3MB BC

Bài 3: Cho ba điểm A(-3;0), B(3;0), C(2;6)

1 Tìm tọa độ trọng tâm G, trực tâm H, tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

2 C/m G; H; I thẳng hàng

Bài 4: Cho ba điểm A(2;6), B(-3;-4), C(5;0)

1 Tìm độ dài đường phân giác trong và ngoài của góc A

2 Tìm tọa độ tâm I đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Bài 5: Cho ba điểm A(1;2), B(-2;6), C(4;2)

1 Tìm độ dài đường cao AA’ của tam giác ABC

2 Tính diện tích tam giác ABC

3 Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Bài 6: Tìm điểm P Ox sao cho tổng khoảng cách từ đó đến hai điểm A(1;2), B(3;4) nhỏ nhất

 Vấn đề 2: ĐƯỜNG THẲNG:

1) Véctơ chỉ phương của đường thẳng : là a 0, có giá cùng phương với đường thẳng

Véctơ pháp tuyến của đường thẳng: là n 0, có giá vuông góc với đường thẳng

2) Phương trình tham số, chính tắc của đường thẳng :

* Cho đường thẳng ( ) đi qua điểm M 0( ; )x y0 0 , có véctơ chỉ phương a ( ; )a a1 2

- Phương trình tham số của đường thẳng ( ):  0 1 (t R)

0 2

x x ta

y y ta

 



  

- Phương trình chính tắc của đường thẳng ( ):  0 0 với a + b 0

x x y y

3) Phương trình tổng quát của đường thẳng :

* Đường thẳng ( ) đi qua điểm M 0( ; )x y0 0 và có véctơ pháp tuyến n( ; )A B

=> Phương trình tổng quát của đường thẳng ( ): A(x - x ) + B(y - y ) = 0 0 0

Hoặc : Ax + By + D = 0, trong đó D = -Ax - By0 0

4) Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(x ;y ), B(x ;y ): A A B B A A

5) Phương trình đường thẳng đi qua điểm M0( ; )x y0 0 , có hệ số góc k: y - y = k(x - x )0 0

Chú ý: - Đường thẳng ( ) có véctơ chỉ phương  a ( ; )a a1 2 => véctơ pháp tuyến

2 1

( ; )

n  a a

- Đường thẳng ( ) có véctơ chỉ phương  a ( ; )a a1 2 => hệ số góc k = 2

1

a a

- Đường thẳng ( ) tạo với chiều dương trục hoành góc => hệ số góc k = tan  

- Đường thẳng ( ) có phương trình: y = ax + b => hệ số góc k = a

- Nếu đường thẳng ( ) có hsg k và đường thẳng ( ’) có hsg k’ , ta có: 

( ) // ( ’)  k = k’  ( ) cắt ( ’)  k k’   ( ) ( ’)  k k’= - 1  

6) Khoảng cách từ điểm M’(x’;y’) tới đường thẳng ( ): Ax + By + C = 0 là:

d(M’; ) = 

2 2

Ax' + By' + C

A B

7) * Góc giữa hai đường thẳng:( ): Ax + By + C = 0 và ( ’): A’x + B’y + C’ = 0 là: 

(Công thức cosin)

cos ; '

' '

A A B B



  

* Góc giữa hai đường thẳng:( ): y = k x + b và ( ’): y = k x + b’ là: 1  2

tan 2 1 (Công thức tan)

1 2

( ; ')

1

k k



  



* BÀI TẬP:

Bài 1: Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm ba cạnh AB, BC, CA của ABC Biết M(3;-2), N(-1;1)  P(5;2)

a) Lập phương trình tham số, chính tắc, tổng quát của các cạnh của ABC.

b) Lập phương trình các đường trung trực của các cạnh ABC.

Bài 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua giao điểm của hai đường thẳng 4x + 7y – 2 = 0 và 8x +

y – 13 = 0, đồng thời song song với đường thẳng x – 2y = 0

Bài 2: Cho ABC có đỉnh A(2;2) và phương trình các đường cao kẻ từ B, C lần lượt là:

9x – 3y – 4 = 0 ; x + y – 2 = 0

a) Lập phương trình các cạnh của ABC.

b) Lập phương trình đường thẳng qua A và vuông góc với AC

Bài 2: Lập phương trình các cạnh của ABC biết đỉnh B(2;5) và hai đường cao có phương trình: 2x + 3y + 7 = 0 ; x – 11y + 3 = 0

Bài 2: Cho ABC có cạnh AB: 5x – 3y + 2 = 0 và các đường cao xuất phát từ A; B lần lượt có  phương trình: 4x – 3y + 1 = 0 và 7x + 2y – 22 = 0

Lập phương trình các cạnh còn lại và đường cao thứ ba