Trên nửa đường thẳng Ox vuông góc với mặt phẳng chứa hình vuông, ta lấy điểm S sao cho góc.. a Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng BC và SD.[r]
Trang 1Sở GD & ĐT Hải Dương
Trường THPT Phúc Thành
-o0o
-Đề chính thức
Đề khảo sát học sinh lớp 11 môn toán
(Thời gian làm bài : 150 phút )
CAÂU I ( 3 điểm )
Giải các phương trình và bất phương trình sau:
1) x 4x2 2 3x 4x2
2) x24x 3 2x23x 1 x 1
4
CAÂU II ( 3 điểm )
1) Tính giới hạn :
3
2 0
lim
x
I
x
2) Cho m bụng hồng trắng và n bụng hồng nhung khỏc nhau Tớnh xỏc suất để lấy được 5 bụng hồng trong đú cú ớt nhất 3 bụng hồng nhung ? Biết m, n là nghiệm của hệ sau:
3
1
9 19
720
m
n
P
3) Tam giác ABC có các góc thoả mãn:
A B C cos
Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều
CAÂU III ( 3 điểm )
Cho hỡnh vuoõng ABCD caùnh a Goùi O laứ giao ủieồm hai ủửụứng cheựo Treõn nửỷa ủửụứng thaỳng Ox vuoõng goực vụựi maởt phaỳng chửựa hỡnh vuoõng, ta laỏy ủieồm S sao cho goực
SCB
a) Tớnh khoaỷng caựch giửừa 2 ủửụứng thaỳng BC vaứ SD ( theo a)
b) Goùi laứ maởt phaỳng chửựa BC vaứ vuoõng goực vụựi maởt phaỳng (SAD) Tớnh dieọn tớch thieỏt dieọn taùo bụỷi vaứ hỡnh choựp S.ABCD ( theo a)
CAÂU IV ( 1 điểm )
Cho tứ diện OABC với OA = a, OB = b, OC = c và OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau Gọi , , lần lượt là góc của OA, OB, OC với mặt phẳng (ABC)
a) Tính diện tích tam giác ABC theo a, b, c
b) Tìm giá trị lớn nhất của:
Q = sin sin sin sin sin sin
.Hết
Trang 2Đáp án và biểu điểm toán 11
1) Điều kiện x [ 2; 2] - 1 đ
Đặt t = x 4 x2
=> t2 4 2x 4 x2 => 2 2 4
4
2
t
x x
Khi đó phương trình có dạng:
t = 2 + 3( 2 4)
2
4 3
t t
Với t = 2 ta có x 4 x2 = 2 4 x2 2 x => x = 0 ; x = 2
4
3
( Đối chiếu với ĐK )
9 12 10 0
3
x
0.25
0.25 0.25
0.25
2
x x
x
x x
Nhận xét x = 1 là 1 nghiệm của bpt
2
3 x 1 2 x 1 x 3 x 1 x 1 2 x
4 2 2 (3 ).(1 ) 1 2
3 (3 ).(1 ) 0
x x
2
Nếu x 3 chia cả hai vế của BPT cho x 1 ta có:
x x x x x x
Vô lý do vế trái không âm còn vế phải âm
2
0.25 0.25
0.25
0.25
Câu
I
3
đ
3) Pt đã cho tương đương với: (sinx + 1).( 2sin2x -1 ) = 0
2
5 2
12
k Z
0.5 0.25
0.25 1) Có
Trang 3
3
0
2
0
(1 3 ) (1 ) 1 3 (1 )
lim
lim
x
x
I
I
3 0
1 2 1 (1 3 ) (1 ) 1 3 (1 )
lim
x
x I
1
Vậy I = -1
2
0.25
0.25
0.25
0.25
2) Xét hệ
3 1
9 19
(1)
720(2)
m
n
P
Từ (2): (n 1 )! 720 6 ! n 1 6 n 7 (3)
Thay n = 7 vào (1)
! 10! 9 19 !
2!( 2)! 2!8! 2 2 ( 1)!
0 99 20
19 9 90
2
19 2
9 45 2
) 1 (
2
2
m m
m m
m
m m
m
vỡ
11
9
m m m 10
Vậy m = 10, n = 7 Vậy ta cú 10 bụng hồng trắng và 7 bụng hồng nhung,
để lấy được ớt nhất 3 bụng hồng nhung trong 5 bụng hồng ta cú cỏc TH
sau:
TH1: 3 bụng hồng nhung, 2 bụng hồng trắng cú:
2 1575cỏch
10
3
7 C
C
TH2: 4 bụng hồng nhung, 1 bụng hồng trắng cú:
1 350cỏch
10
4
7 C
C
TH3: 5 bụng hồng nhung cú:
5 21 cỏch
7
C
cú 1575 + 350 + 21 = 1946 cỏch
Số cỏch lấy 5 bụng hồng thường
% 45 , 31 6188 1946
6188
5 17
P C
0.25
0.25
0.25 0.25
Câu
II
3
điểm
3) Bổ đề : a, b > 0 ta có: 1 1 4 dấu “ = ” khi a = b
a b a b
0.25
Trang 4áp dụng ta có: ( Do gt)
sin sin sin sin sin cos cos
sin sin cos
2
Hay
C
sin sin cos
2
A
sin sin cos
2
B
C A
A B C cos
A B C
Tam giác ABC đều => điều phải chứng minh
0.25
0.25
0.25
Câu
III
3
điểm
a) Khoaỷng caựch giửừa BC vaứ SD 1.25 ( đ )
Ta coự SO laứ truùc hỡnh vuoõng ABCD vaứ SCB 60 0
SA = SB = SC = SD = CB = a
Vaứ BC// (SAD) neõn d(BC, SD) = d(I,(SAD))
Vụựi I laứ trung ủieồm CB Goùi H laứ trung ủieồm AD, ta coự:BC (SHI)
Veừ IJ SH ta coự IJ (SAD)
d(BC, SD) = IJ
Tam giaực SIH coự
2
3 3 2
a a
IJ SH
a
3
a
b) ( ) Caột hỡnh choựp theo thieỏt dieọn laứ
hỡnh thang BCFE Do hỡnh choựp ủeàu
neõn BCFE laứ hỡnh thang caõn:
( Hình vẽ : 0.5 đ )
(EF+BC).IJ
S BCF
3
2
a SJ
3
a EF
6
2
2 6
a
a a
a S
BCEF
0.25 0.25 0.25 0.25
0.25 0.5 0.25
0.25
0.25
Trang 5Câu
IV
1
điểm
N
M
H
C
B
A
O
Gọi H là hình chiếu của O xuống mp(ABC) Dễ chứng minh H là trực tâm của tam giác ABC
OM OB OC b c
bc OM
2 2 2 2 2 2
b c a c a b
AM OA OM AM
b c
*
2AM BC 2 a b b c c a
OH OM OA OA OB OC
Từ (1) và (2) => sin2 sin2 sin2 1
Lại có 1 sin 2 sin2 sin2 sin sin sin sin sin sin
Từ đó giá trị lớn nhất của Q = 1 Khi và chỉ khi a = b = c
( Không tính điểm vẽ hình )
0.25
0.25
0.25
0.25
Chú ý: Nếu thí sinh làm theo cách khác đúng, vẫn cho điểm tối đa!