ðịnh nghĩa 2.2 Nếu X là một không gian tuyến tính ñịnh chuẩn trên K thì không gian LX,K tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục xác ñịnh trên X ñược gọi là không gian liên hợp hay ñối n[r]
Trang 1Môn: LÍ THUYẾT HÀM BIẾN THỰC
Giảng viên: PSG.TS Khuất Văn Ninh
BÀI KIỂM TRA A2
Học viên: Nguyễn Văn Xá
Lớp: cao học Toán Giải tích – K15ð2
Trường: ðHSP Hà Nội 2
NỘI DUNG
1 KHÔNG GIAN L(X,Y)
2 DẠNG TỔNG QUÁT CỦA PHIẾM HÀM TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC
3 HÀM SỐ TUYỆT ðỐI LIÊN TỤC
Trang 2
1 KHÔNG GIAN L(X,Y)
Cho hai không gian tuyến tính ñịnh chuẩn X,Y trên cùng một trường số K
ðịnh nghĩa 1.1
Ánh xạ A : X→Y ñược gọi là tuyến tính (khi ñó ta cũng nói A là toán tử tuyến tính từ X tới Y) nếu A( xα + β = αy) Ax+ βAy, x, y∀ ∈ ∀α β∈X, , K
ðịnh nghĩa 1.2
Ánh xạ A : X→Y ñược gọi là liên tục tại x0∈X nếu với mọi dãy phần tử n
(x )⊂X mà xn −x0 →0 khi n→ ∞ luôn luôn kéo theo Axn −Ax0 →0 khi
n→ ∞
ðịnh nghĩa 1.3
Ánh xạ A : X→Y ñược gọi là liên tục trên X nếu nó liện tục tại mọi x0∈X
ðịnh nghĩa 1.4
Ánh xạ A : X→Y ñược gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng số C > 0 sao cho
Ax ≤C x , x∀ ∈X
ðịnh lí 1.5
Cho toán tử tuyến tính A : X→Y Khi ñó các mệnh ñề sau là tương ñương
1) A liên tục trên X
2) A liên tục tại x0∈X
3) A liên tục tại ñiểm gốc 0∈X
4) A bị chặn
Chứng minh
1)⇒2)ngay tức khắc
2)⇒3). Giả sử xn →0 trong X Thế thì xn +x0 →x 0 Mà A tuyến tính và liên tục tại x nên 0 Axn +Ax0 =A(xn +x )0 →Ax0 hay Axn →A0=0 trong Y Vậy
A liên tục tại ñiểm gốc 0∈X
3)⇒4). Vì A tuyến tính và liên tục tại 0∈X nên với ε =1 tồn tại δ >0 sao cho
Ax−A0 = Ax < ε =1 với mọi x∈X, x− =0 x < δ Với tuỳ ý x '∈X \ 0{ } ta
2 x '
δ
= thì x '' X, x ''
2
δ
∈ = < δ nên theo tính chất trên ta có Ax '' <1⇒
2
Ax ' 1 Ax ' x '
2 x '
δ < ⇒ <
δ Và bất ñẳng thức này cũng ñúng cả với x '=0 nên
Ax ' < x ' , x '∀ ∈X,
δ tức là A bị chặn
4)⇒1) Hiển nhiên, vì Axn −Ax = A(xn −x) ≤C xn −x
Trang 3Nhận xét 1.6
Nếu A : X→Y là toán tử tuyến tính bị chặn thì tập Ax
| x X, x 0 x
trên và do ñó tồn tại Ax
sup | x X, x 0
x
hữu hạn Ta gọi giá trị ñó là chuẩn
của A, kí hiệu là A Như vậy A sup Ax | x X, x 0
x
thoả mãn bất ñẳng thức ở ñịnh nghĩa 1.4 Mặt khác do A tuyến tính nên dễ thấy
x X, x 1 x X, x 1
= = và Ax ≤ A x , x∀ ∈ ∀ ∈X, A L(X, Y)
ðịnh lí 1.7
Cho A : X→Y, B : X→Y là hai toán tử tuyến tính bị chặn, λ ∈K, thì ( A) : Xλ →Y, (A+B) : X→Y cũng là các toán tử tuyến tính bị chặn và
ðịnh lí 1.8
Giả sử X, Y, Z là các không gian tuyến tính ñịnh chuẩn trên K và A : X→Y,
B : Y→Z là các toán tử tuyến tính bị chặn thì BA : X→Z cũng là toán tử tuyến tính bị chặn, ñồng thời ta có BA ≤ B A
ðịnh ngghĩa 1.9
Ta ñịnh nghĩa L(X,Y) là tập hợp tất cả các toán tử tuyến tính liên tục (và do ñó bị chặn) từ X vào Y
ðịnh lí 1.10
L(X,Y) là một không gian tuyến tính ñịnh chuẩn trên trường K, với chuẩn ñược xác
ñịnh như ở nhận xét 1.6
Chứng minh
Trong L(X, Y)có thể ñịnh nghĩa các phép toán cộng và nhân với vô hướng như sau:
Ta gọi tổng của hai toán tử A, B là toán tử A+B sao cho (A+B)x=Ax+Bx, x∀ ∈X Và tích của toán tử A với số λ ∈ K là toán tử Aλ sao cho( A)xλ = λ.Ax, x∀ ∈X Rõ ràng các toán tử A+B và Aλ cũng tuyến tính và liên tục, tức là thuộc L(X,Y), và với các phép toán tuyến tính như trên, L(X, Y) trở thành một không gian vectơ trên K Hơn nữa, trong L(X, Y) ta ñã ñịnh nghĩa chuẩn của mỗi toán tử A ∈ L(X, Y) bởi
{ }
x X\ 0 x X, x 1 x X, x 1
Ax
x
Chuẩn ấy thỏa mãn ñầy ñủ các tiên ñề về chuẩn, cụ thể là:
1) Hiển nhiên A ≥ ∀ ∈0, A L(X, Y) Nếu A =0 thì do
Ax ≤ A x , x∀ ∈ ∀ ∈X, A L(X, Y), ta có Ax= 0 với mọi x, tức A = 0 (toán tử không) Ngược lại nếu A = 0 thì dĩ nhiên A =0
Trang 4Lí thuyết Hàm biến thực 4
2) α = αA A , A∀ ∈L(X, Y),∀α∈K, do ñịnh lí 1.7
3) A+B ≤ A + B , A, B∀ ∈L(X, Y), do ñịnh lí 1.7
Như vậy L(X, Y) là một không gian ñịnh chuẩn
Lưu ý 1.11
Cũng như mọi không gian ñịnh chuẩn, trong L(X, Y) ta có thể nói ñến sự hội tụ: một dãy toán tử (A ), An n∈L X, Y ,( ) ñược gọi là hội tụ tới toán tử A∈L X, Y( ) trong L(X,Y) khi n→ ∞ nếu An −A →0 khi n→ ∞ Sự hội tụ này còn ñược gọi là sự
hội tụ theo chuẩn, ñể phân biệt với sự hội tụ từng ñiểm ñược ñịnh nghĩa như sau:
một dãy toán tử (A ), An n∈L X, Y ,( ) ñược gọi là hội tụ từng ñiểm ñến A∈L X, Y( )
trong L(X,Y) nếu ∀ ∈ x X ta có A xn → Ax (nghĩa là A xn −Ax →0) khi n→ ∞
Rõ ràng sự hội tụ theo chuẩn kéo theo sự hội tụ từng ñiểm vì
A x−Ax ≤ A −A x Nhưng ñiều ngược lại không ñúng
ðịnh lí 1.12
Nếu X là không gian tuyến tính ñịnh chuẩn, Y là không gian Banach, trên K, thì không gian L(X,Y) cũng là không gian Banach trên K
Chứng minh
Giả sử (A )n ⊂ L(X, Y) là cơ bản, ta có A x n − A x m = (A n − A m)x ≤ A n − A m x ,
cho nên với x ∈ X cho trước, A xn −A xm →0 n, m( → ∞) Vậy dãy (A x)n là cơ bản trong Y, mà theo giả thiết Y là không gian ñầy ñủ, nên tồn tại giới hạn
n
n
lim A x Ax Y
n
A : X Y, x X Ax lim A x,
→∞
tuyến tính Vả lại với ε > 0 cho trước, ta có thể chọn N ñủ lớn ñể An −Am ≤ ε với mọi n, m ≥ N Khi ấy dựa theo A x n − A x m = (A n − A m)x ≤ A n − A m x , ta có
A x−A x ≤ ε x , và cho m→ ∞ ta ñược A xn −Ax ≤ ε x , n∀ ≥N, chứng tỏ rằng
n
A − ∈A L X, Y và An−A ≤ ε ∀ ≥, n N, thành thử A=An−(An −A) (∈L X, Y)
và bất ñẳng thức vừa rồi chứng tỏ An −A →0 khi n→ ∞ Vậy dãy (A )n có giới hạn là A∈L X, Y( ) trong L(X,Y) Chứng tỏ L(X,Y) là không gian Banach trên K
Lưu ý 1.13
Trong trường hợp X = Y, không gian L(X, X) gồm các toán tử tuyến tính liên tục
trong X Khi ấy ta có thể ñịnh nghĩa phép nhân hai toán tử như sau: tích của hai toán tử A, B trong X là toán tử AB trong X sao cho ABx=A Bx , x( ) ∀ ∈X Rõ ràng
AB cũng là toán tử tuyến tính Vả lại vì ABx = A Bx( ) ≤ A Bx ≤ A B x nên
AB cũng bị chặn (tức là liên tục) và AB ≤ A B Như vậy trong không gian
L(X, X) có xác ñịnh phép cộng và phép nhân hai phần tử Dễ kiểm tra lại rằng phép cộng và phép nhân này thỏa mãn các tiên ñề của một vành Nghĩa là L(X, X) là: 1) Một vành;
2) Một không gian ñịnh chuẩn;
Trang 53) Thỏa mãn ñiều kiện AB ≤ A B ;
4) Có phần tử ñơn vị là toán tử ñồng nhất I với I =1
Người ta nói L(X, X) là một vành ñịnh chuẩn Trong vành L(X, X), ñương nhiên có thể nói ñến các lũy thừa của một toán tử: 0 n n 1 ( )
A =I, A =A −A n=1, 2, , và hiển nhiên An ≤ A n, n∀ ∈ℕ* Vành ñịnh chuẩn L(X,X) còn ñược kí hiệu là L(X)
ðịnh lí 1.14
Cho không gian Banach X và không gian tuyến tính ñịnh chuẩn Y trên K Giả sử dãy ( )An ⊂L(X, Y) có tính chất với mỗi x∈X ñều tồn tại giới hạn
n n
Ax lim A x
→∞
n
→∞
≤
ðịnh lí 1.15
Cho toàn ánh tuyến tính A : X→Y, hai mệnh ñề sau tương ñương:
1) A có toán tử ngược A−1 bị chặn
2) Tồn tại m > 0 sao cho Ax ≥m x , x∀ ∈X
Trang 62 DẠNG TỔNG QUÁT CỦA PHIỂM HÀM TUYẾN TÍNH
2.1 Không gian liên hợp
ðịnh nghĩa 2.1
Nếu X là không gian tuyến tính ñịnh chuẩn trên K thì toán tử tuyến tính A : X→K
ñược gọi là phiến hàm tuyến tính xác ñịnh trên X
ðịnh nghĩa 2.2
Nếu X là một không gian tuyến tính ñịnh chuẩn trên K thì không gian L(X,K) tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục xác ñịnh trên X ñược gọi là không gian liên hợp (hay ñối ngẫu) của X và ñược kí hiệu là X*
ðịnh lí 2.3
Với X là không gian tuyến tính ñịnh chuẩn thì X* là không gian Banach (sự hội tụ xét ñến ở ñây là sự hội tụ theo chuẩn)
ðịnh lí 2.4
Nếu X là không gian Banach thì X* là không gian ñầy ñủ ñối với sự hội tụ từng
ñiểm
ðịnh lí 2.5
Với mọi phần tử x của không gian tuyến tính ñịnh chuẩn X ta luôn có
f X*, f 1
x sup f (x)
=
ðịnh lí 2.6
Nếu không gian liên hợp X* là khả li thì không gian tuyến tính ñịnh chuẩn X cũng khả li
2.2 Dạng tổng quát của phiến hàm tuyến tính liên tục trên không gian Hilbert ðịnh lí 2.7 (F Riesz)
Với mỗi véctơ a cố ñịnh thuộc không gian Hilbert (H, , hệ thức ) f (x)= a, x xác ñịnh một phiếm hàm tuyến tính liên tục f : H→K và f = a Ngược lại, với bất kì phiếm hàm tuyến tính liên tục f∈H * luôn tồn tại duy nhất a∈H, a = f sao chof (x)= a, x , x∀ ∈H
Chứng minh
Rõ dàng f (x)= a, x là một phiếm hàm tuyến tính trên H và do
f (x) = a, x ≤ a x , x∀ ∈H, nên f bị chặn, tức là f ∈H * ðể chứng minh phần ngược lại ta xét một phiếm hàn tuyến tính liên tục f ∈H * Tập hợp
( )
M= ∈x H : f x =0 rõ ràng là một không gian con ñóng của H Nếu M⊥ ={ }0 thì dựa vào cách phân tích x = y + z, với y∈M, z∈M⊥ ta thấy rằng z= 0 cho nên
( ) ( )
f x =f y =0 ,∀ ∈x H,, do ñó f biểu diễn ñược dưới dạng f x( )= 0, x , với 0 là
Trang 7véctơ “không” của H Trong trường hợp M⊥ ≠{ }0 , tức là tồn tại x0∈ M , x⊥ 0 ≠ 0, ta
có f x( )0 ≠0, nên véc tơ ( )0
0
0 0
f x
x , x
( ) 0 0
f x
f x
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0
0
f x
f x
( )
0
f x
f x
( )
( )
f x = a, x là duy nhất, vì nếu f x( )= a ', x thì a−a ', x = ∀ ∈0, x H,, do ñó
a−a ', a−a ' =0 nghĩa là a − = a ' 0 ⇒ a ' = a. Cuối cùng do
f (x) = a, x ≤ a x , x∀ ∈H, nên f ≤ a , lại có f (a) = a, a = a 2 ≤ f a nên a ≤ f ,suy ra a = f ðịnh lí chứng minh xong
Nhận xét 2.8
ðịnh lí trên cho phép lập một tương ứng 1 – 1 giữa các phiếm hàm tuyến tính liên
tục f∈H * và các véc tơ a ∈ H Tương ứng 1 – 1 ñó là một phép ñẳng cự cộng tính (và là tuyến tính nếu K = ℝ ) từ H* lên H, cho nên nếu ta ñồng nhất phiếm hàm f với véc tơ a sinh ra nó thì ta có *
H = H, nghĩa là không gian Hilbert trùng với không gian liên hợp của nó Khi ấy ta nói không gian Hilbert H là không gian tự liên hợp
2.3 Dạng tổng quát của phiến hàm tuyến tính liên tục trên ℝ n
Do ℝ là không gian Hilbert trên trường số thực ℝ với tích vô hướng thông n
thường nên ( )n n
*= ,
ℝ ℝ nghĩa là mỗi phiến hàm tuyến tính liên tục trên ℝ ñược n
a , , a ∈ℝ
2.4 Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục trên L p(p≥1)
ðịnh lí 2.9
Cho không gian ñộ ño (E, f,µ ), µ ( )Ε < +∞ Giả sử 1 1
p, q , p 1, q 1, 1
p q
∈ℝ > > + =
và y t( )∈L p(Ε,µ ) Khi ñó công thức sau
( )
E
f x =∫x(t).y(t)dµ, x t( )∈Lp( )Ε µ,
xác ñịnh một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian L p(Ε,µ )và
q
Chứng minh
Áp dụng bất dẳng thức tích phân Holder ta có
Trang 8Lí thuyết Hàm biến thực 8
f x = x t y t dµ ≤ x t y t dµ ≤ x t dµ y t dµ < +∞
Suy ra f xác ñịnh Ta chứng minh f là phiếm hàm tuyến tính
∀x t( ) ( ),y t ∈L p(Ε,µ ) và α,β∈R ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x t y t d x t y t d f x f x
Suy ra f là phiếm hàm tuyến tính Mặt khác áp dụng bất ñẳng thức Holder ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p q ( ) p( )
f x = ∫x t y t dµ ≤∫ x t y t dµ ≤ x y < +∞ ∀, x t ∈L Ε µ,
Từ ñó suy ra phiếm hàm f bị chặn và
q
f ≤ y Do ñó f liên tục Chọn
( ) ( ) q-1 ( )
0
( ) ( )( )
( )
Nghĩa là x0( ) t ∈ L E,p( ) µ thì ( ) ( ) ( ) ( )q
1
0
−
q
f ≥ y Suy ra
q
ðịnh lí 2.10
Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian L p( Ε , µ ),(p > 1) ñều có biểu diễn duy nhất dưới dạng
E
f (x) = ∫ x(t).y(t)d µ, ∀ x t ( ) ∈ Lp( ) Ε µ , Trong ñó
( ) ∈ q( Ε , )
1
+ =
p q ñược xác ñịnh duy nhất bởi phiếm hàm f và
q
Chứng minh
Trước hết ta kiểm tra với p = 2 ,∀x t ,y t( ) ( )∈ Ε µL2( ), ñặt ( ) ( )
E
x, y = ∫ x t y t d µ
Ta chứng minh công thức trên xác ñịnh một tích vô hướng trên L2( Ε , µ )
1) ∀x t( ) ( ) ,y t ∈L2 ta có ( ), = ∫ ( ) ( ) = ∫ ( ) ( ) =( ),
2.∀x t( ) ( ),y t ∈L2 ta có ( , ) ( ( ) ( ) ) ( )
E
x+ y z =∫ x t + y t z t dµ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ,
3.∀x t( ) ( ),y t ∈L2 ∀ ∈α ℝ ta có ( , )=∫ ( ) ( ) = ∫ ( ) ( ) =( ),
Trang 9Do vậy ( ) ( )
E
x, y =∫x t y t dµ xác ñịnh tích vô hướng trên không gian L2 và hơn
E
x = x, x = ∫ x t dµ Vậy L2 là không gian Hilbert
Giả sử f là phiếm hàm tuyến tính bất kì trên không gian L p (p >1)
*) Ta xét 1 < p < 2 Có L2 ⊂L p Có thể xem L2 là không gian con ñóng của L2
Theo ñó xem phiếm hàm f tác dụng trên L2, theo ñịnh lí Riesz tồn tại duy nhất hàm
số y t( )∈L2 sao cho ( ) ( ) ( ) ( ) 2( )
E
f x =∫x t y t d , x tµ ∀ ∈L Ε µ, Giả sử hàm số
( )
y t tương ñương với 0 trên E ðặt
( )
khi khi
>
n
y t
n = 1,2,…
Ta có hàm số y t n( )( n = 1,2,…) ño ñược, bị chặn và y (t)n ≤ y(t) , t∀ ∈Ε nên
( )
x t = y t sign y t , n=1, 2, thì có các hàm số xn ño ñược, bị chặn trên E, do ñó x t n( )∈L p và x t n( )∈L2
x x t d y t d
n
f x =∫x t y t dµ =∫ y t y t dµ ≥∫ y t dµ Mặt
1 p
y t d f y t d
tương ñương với 0 trên E nên y t n( ) cũng không tương ñương với 0 trên E (n =
1,2,…) Ta có ( )
1 q q n E
µ ≤
∫ Chuyển qua giới hạn bất ñẳng thức khi n→ ∞
1 q q
q E
( )=∫ ( ) ( )
E
g x x t y t dµ, ∀x t( )∈L p Theo chứng minh trên hệ thức này xác ñịnh một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên L p và f = y q Hiển nhiên
( ) = ( )
g x f x , ∀ x t ( ) ∈ L2 Vì không gian các hàm liên tục trên E là trù mật khắp nơi trong không gian L2 nên theo ñịnh lí về thác triển liên tục, phiếm hàm tuyến
tính liên tục g là thác triển duy nhất của f từ không gian L2 lên toàn không gian Lp, theo ñịnh lí Hahn - Bannach có
2
g f y
( ) ( )
⇒g x = f x ,∀ x t ( ) ∈ L2 Suy ra ñiều phải chứng minh
Trang 10Lí thuyết Hàm biến thực 10
*) Trường hợp p > 2, ñược chứng minh tương tự Từ 1 1
1
+ =
p q ⇒ 1 < q < 2 ta
chỉ cần ñổi vai trò của p, q
Lưu ý 2.11
Với 1< < ∞p thì ( )Lp * ñẳng cự tuyến tính với L (p và q là cặp số mũ liên hợp) q Nếu ñồng nhất f(x) với y(t) ở ñịnh lí 2.10 thì ta có ( )Lp *=L , và do ñó q L là một p không gian phản xạ khi 1< < ∞p , tức là ( )Lp **=L p ðặc biệt, với p = 2 thì L 2
là không gian Hilbert và ( )L2 *=L2 (tự liên hợp) Khi p = 1, nếu µ là một ñộ ño
σ −hữu hạn thì ( )L *1 =L ∞
2.5 Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính trên l p
Tương tự như 2.4, ta có ( )l p *=l , với p, q là cặp số mũ liên hợp, q 1< < ∞p
2.6 Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục trên C a; b [ ]
ðịnh lý 2.12 (F.Rizt)
Mỗi phiếm hàm tuyến tính liên tục trong không gian C 0;1 có thể biểu diễn dưới [ ]
dạng tích phân Sties theo công thức = − ∫
1
0
) ( ) ( ) ( ) (x R S x t dg t
f trong ñó g (t) có biến phân hữu hạn , g (t) ñược xác ñịnh theo phiếm hàm f Ngược lại giả sử h (t)là hàm số có biến phân hữu hạn, ∀ ∈x C[ ] 0,1 ,ñặt
1
0
( )x x t dh t( ) ( )
ϕ =∫ thì ϕ là phiếm hàm tuyến tính
Chứng minh
Thật vậy:
• ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( 1) ( 2)
1
0
2 1
2
• ϕ(λx) =λϕ(x)
• ( ) ( ) ( ) ( )
1 0 1
0
h V x t dh t x
1
0 h V
≤
Vậy ϕ là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên C[ ]0,1
Ta có thể thấy ngay:
• Cho t0là một ñiểm bất kỳ trong ñoạn [ ]a, b Phiếm hàm f(x)xác ñịnh trên
[ ]a b
C , bởi f(x) = x(t0)là tuyến tính và liên tục
• Tích phân f(x) =∫b x(t)dt cũng là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên C[ ],b
Trang 11• Tích phân Stieljes =∫b
a
t dg t x x
f( ) ( ) ( ) rong ñó g (t)là một hàm số cho trước có biến phân bị chặn trên [ ]a, b , xác ñịnh một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên
[ ]b
C , Thật vậy, ñó rõ ràng là một phiếm hàm tuyến tính Mặt khác theo ñịnh
nghĩa tích phân (2) bằng giới hạn của tổng ∑− [ ]
−
= 1
0
1) ( ) (
) (
n i
i i
i g t g t x
max (t i+1 −t i) → 0 Ở ñây t0 =a<t1 < <t n =b là một cách chia ñoạn [ ]a, b
) ( ) ( max )
( ) ( ) ( max
1
0
t g t x
b t a n
i
i i
b t
−
≤
ñược f ≤V a b(g) x , chứng tỏ rằng f bị chặn (do ñó liên tục) và f ≤V a b (g)
Có thể chứng minh rằng ngược lại mọi phiếm hàm tuyến tính f trên không gian
[ ]b
C , ñều có dạng (2) và hơn nữa có thể chọn g (t) thích hợp ñể f =V a b (g) Như vậy có thể lập một ánh xạ 1-1 từ tập các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên C[ ],b lên tập con V0 của không gian V[ ],b (không gian lập thành của các hàm có biến phân bị chặn trên [ ]a, b ) Ánh xạ ñó vừa bảo toàn các phép tuyến tính, vừa bảo toàn chuẩn
Do ñó có thể ñồng nhất V0 với không gian liên hợp của C[ ],b
Xét φ:C[ ]*0,1 →V[ ]0,1 , C[ ]0,1 ∋ f ֏ φ ( f ) = g (Theo ñịnh lý Ritz)
Ta có φ tuyến tính
• φ(f1+ f2)=φ(f1)+φ(f2)
• φ(λf) =λφ(f)
1
0
g g
φ
Nhưng f = g nên φ(f ) = f ⇒φ là phép nhúng ñẳng cấu tuyến tính, ñẳng cự từ
[ ]*0 , 1
C lên V[ ] 0 , 1 ⇒ ñồng nhất [ ] [ ] 0 , 1
* 1 ,
Vậy không gian liên hợp của không gian C[ ]0,1 là không gian V[ ]0,1 trong ñó sự
ñồng nhất ở ñây sai khác nhau một ñẳng cự tuyến tính Tổng quát hơn ta có
[ ]
(C a; b *) =V a; b [ ]