Các dạng bài tập lượng giác

Dang 11 : Phương trình LG phải thực hiện các phép biến đổi phức tạp Giải phương trình Chuyên đề phương trinh lượng giác... Chuyên đề phương trinh lượng giác.[r]

THPT_TL

Cỏc dạng bài tập lượng giỏc

a/kiến thức cần nhớ và phân loại bài toán

dạng 1 Phương trình bậc nhất và bậc hai , bậc cao với 1 hàm số lượng giác

Đặt HSLG theo t với sinx , cosx có điều kiện 1 t 

Giải phương trình ……….theo t

Nhận t thoả mãn điều kiện giải Pt lượng giác cơ bản

Giải phương trình:

1/ 2cos2x- 4cosx=1 2/ 4sin3x+3 sin2x=8sinx

sinx 0



3/ 4cosx.cos2x +1=0 4/ 1-5sinx+2cosx=0

cosx 0



 5/ Cho 3sin3x-3cos2x+4sinx-cos2x+2=0 (1) và cos2x+3cosx(sin2x-8sinx)=0 (2)

Tìm n0 của (1) đồng thời là n0 của (2) ( nghiệm chung sinx= )1

3

6/ sin3x+2cos2x-2=0 7/ a/ tanx+ 3 -2 = 0 b / +tanx=7

4

cos x

c* /sin6x+cos4x=cos2x

8/sin(2 5 )-3cos( )=1+2sinx 9/

2

2

x 

10/ cos2x+5sinx+2=0 11/ tanx+cotx=4 12/ sin 22 4cos 24 1 0

2sin cos

13/ sinx 1 cosx0 14/ cos2x+3cosx+2=0

15/ 16/ 2cosx- =1

4sin 2 6sin 9 3cos 2

0 cos

x

dạng 2 : Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx : asinx+bcosx=c

Cách 1: asinx+bcosx=c

Đặt cosx= ; sinx=

a

b

a b

2 2sin( )

Cách : 2 a sinx bcosx c

a

a

Cách 3: Đặt tan ta có

2

x



2

     

Đăc biệt :

1 sin 3 cos 2sin( ) 2cos( )

x x x  x

2 sin cos 2 sin( ) 2 cos( )



3 sin 3 cos 2sin( ) 2cos( )

x x x   x

Điều kiện Pt có nghiệm : a2 b2 c2

1/ 2sin15x+ 3cos5x+sin5x=k với k=0 và k=4 với k=0 2/ a : 3 sin cos 1 b:

cos

x

c: 3 sin cos 3 1

3 sin cos 1

  

THPT_TL 3/ cos 7x 3 sin 7x 2  0 *tìm nghiệm (2 ;6 )

5 7

4/( cos2x- 3sin2x)- 3sinx-cosx+4=0 5/ 1 cos 2 cos 2 cos 3 2(3 3 sin )

x

6/ cos 22sin cos

3





Dạng 3 Phương trình đẳng cấp đối với sin x và cosx

Giải phương trình

1/a/ 3sin2x- 3sinxcosx+2cos2x cosx=2 b/ 4 sin2x+3 3sinxcosx-2cos2x=4

c/3 sin2x+5 cos2x-2cos2x-4sin2x=0 d/ 2 sin2x+6sinxcosx+2(1+ 3)cos2x-5- 3=0

2/ sinx- 4sin3x+cosx=0 2 cách +/ (tanx -1)(3tan2x+2tanx+1)=0

+ sin3x- sinx+ cosx- sinx=0 (cosx- sinx)(2sinxcosx+2sin2x+1)=0

4

3/ tanx sin2x-2sin2x=3(cos2x+sinxcosx)

4/ 3cos4x-4sin2xcos2x+sin4x=0 5/ 4cos3x+2sin3x-3sinx=0

6/ 2 cos3x= sin3x 7/ cos3x- sin3x= cosx+ sinx

8/ sinx sin2x+ sin3x=6 cos3x 9/sin3(x- /4)= 2sinx

Dang 4 Phương trình vế trái đối xứng đối với sinx và cosx

* a(sin x+cosx)+bsinxcosx=c đặt t= sin x+cosx t  2

 at + b 2 1=c bt2+2at-2c-b=0

2

* a(sin x- cosx)+bsinxcosx=c đặt t= sin x- cosx t  2

at + b =c bt2 -2at+2c-b=0

2

t





Giải phương trình

1/ a/1+tanx=2sinx + 1 b/ sin x+cosx= -

cos x

1

tan x

1

cot x

2/ sin3x+cos3x=2sinxcosx+sin x+cosx 3/ 1- sin3x+cos3x= sin2x

4/ 2sinx+cotx=2 sin2x+1 5/ 2sin2x(sin x+cosx)=2

6/ (1+sin x)(1+cosx)=2 7/ 2(sin x+cosx)=tanx+cotx

8/1+sin3 2x+cos32x= sin 4x 9/3 * a* 3(cotx-cosx)-5(tanx-sin x)=2

2

9/b*: cos4x+sin4x-2(1-sin2xcos2x) sinxcosx-(sinx+cosx)=0

10/ sinxcosx 4sin 2x1 11/ cosx+ 1 +sinx+ =

cos x

1

sin x

10 3

12/ sinxcosx+sinxcosx =1

dang 5 Giải phương trình bằng phương pháp hạ bậc

Công thức hạ bậc 2 Công thức hạ bậc 3

Đẳng cấp bậc 2: asin2x+bsinx.cosx+c cos2x=0

Cách 1: Thử với cosx=0 Với cosx 0 Chia 2 vế cho cos 2x ta được:

atan2x+btanx +c=d(tan2x+1)

Cách2: áp dụng công thức hạ bậc

Đẳng cấp bậc 3: asin3x+b.cos3x+c(sinx+ cosx)=0 hoặc

asin3x+b.cos3x+csin2xcosx+dsinxcos2x=0

Xét cos3x=0 và cosx 0 Chia 2 vế cho cos 2x ta được Pt bậc 3 đối với tanx

THPT_TL cos2x= 1 cos 2 ; sin2x=

2

x

2

x



cos3x= 3cos cos 3 ; sin3x=

4

4

Giải phương trình

1/ sin2 x+sin23x=cos22x+cos24x 2/ cos2x+cos22x+cos23x+cos24x=3/2

3/sin2x+ sin23x-3 cos22x=0

4/ cos3x+ sin7x=2sin2( 5 )-2cos2

x



2

x

5/ sin24x+ sin23x= cos22x+ cos2x vớix(0; )

6/sin24x-cos26x=sin(10,510x) với (0; ) 7/ cos4x-5sin4x=1

2



8/4sin3x-1=3- 3cos3x 9/ sin22x+ sin24x= sin26x

10/ sin2x= cos22x+ cos23x 11/ (sin22x+cos42x-1): sin cosx x=0

12/ 4sin3xcos3x+4cos3x sin3x+3 3 cos4x=3 13/ 2cos22x+ cos2x=4 sin22xcos2x

;

24 2 8 2

k k

x    

14/ cos4xsinx- sin22x=4sin2( )-7/2 với <3

x



15/ 2 cos32x-4cos3xcos3x+cos6x-4sin3xsin3x=0

16/ sin3xcos3x +cos3xsin3x=sin34x 17/ * 8cos3(x+ )=cos3x

3



18/cos10x+2cos24x+6cos3xcosx=cosx+8cosxcos23x

19/ sin 5 =1

5sin

x

x

20 / cos7x+ sin22x= cos22x- cosx 21/ sin2x+ sin22x+ sin23x=3/2

22/ 3cos4x-2 cos23x=1

Dang 6 : Phương trình LG giải bằng các hằng đẳng thức

* a3b3=(a b)(a 2ab+b2) * a8+ b8=( a4+ b4)2-2 a4b4

* a4- b4=( a2+ b2) ( a2- b2) * a6b6=( a2b2)( a4a 2b2+b4)

1/ sin4 +cos4 =1-2sinx 2/ cos3x-sin3x=cos2x-sin2x

2

x

2

x

3/ cos3x+ sin3x= cos2x 4/ vô nghiệm

x

5/cos6x-sin6x=13cos22x 6/sin4x+cos4x=

8

7

7/ cos6x+sin6x=2(cos8x+sin8x) 8/cos3x+sin3x=cosx-sinx

9/ cos6x+sin6x=cos4x 10/ sinx+sin2x+sin3x+sin4x= cosx+cos2x+cos3x+cos4x

11/ cos8x+sin8x= 12/ (sinx+3)sin1 4 -(sinx+3) sin2 +1=0

x

2

x

Dang 7 : Phương trình LG biến đổi về tích bằng 0

1/ cos2x- cos8x+ cos4x=1 2/sinx+2cosx+cos2x-2sinxcosx=0

3/sin2x-cos2x=3sinx+cosx-2 4/sin3 x+2cosx-2+sin2 x=0

5/ 3sinx+2cosx=2+3tanx 6/ 3sin2x+ cos2x+ cosx=0

7/ 2sin2x-cos2x=7sinx+2cosx-4 8/ sin 3 sin 5

x x

9/ 2cos2x-8cosx+7= 1 10/ cos8x+sin8x=2(cos10x+sin10x)+ cos2x

cos x

5 4

THPT_TL 11/ 1+ sinx+ cos3x= cosx+ sin2x+ cos2x

12/ 1+sinx+cosx+sin2x+cos2x=0 13/ sin2 x(tanx+1)=3sinx(cosx-sinx)+3

14/ 2sin3x- 1 =2cos3x+ 15/cos3x+cos2x+2sinx-2=0

sin x

1

cos x

16/cos2x-2cos3x+sinx=0 17/ tanx–sin2x-cos2x+2(2cosx- 1 )=0

cos x

18/sin2x=1+ 2cosx+cos2x 19/1+cot2x=1 cos 22

sin 2

x x



20/ 2tanx+cot2x=2sin2x+ 1 21/cosx(cos4x+2)+ cos2x-cos3x=0

sin 2x

22/ 1+tanx=sinx+cosx 23/ (1-tanx)(1+sin2x)=1+tanx

24/ 2 2 sin( )= 25/ 2tanx+cotx=

4

sin 2x



26/ cotx-tanx=cosx+sinx 27/ 9sinx+6cosx-3sin2x+cos2x=8

Dang 8 : Phương trình LG phải thực hiện công thúc nhân đôi, hạ bậc

cos2x= cos2x- sin2x =2cos2x-1=1-2sin2x

sin2x=2sinxcosx

tan2x= 2 tan2

1 tan

x x



sinx = 2 2 ; cosx= tanx=

1

t t



2 2

1 1

t t



2 1

t t



1/ sin3xcosx= + cos1 3xsinx 2/ cosxcos2xcos4xcos8x=1/16

4

3/tanx+2cot2x=sin2x 4/sin2x(cotx+tan2x)=4cos2x

5/ sin4x=tanx 6/ sin2x+2tanx=3 7/ sin2x+cos2x+tanx=2

8/tanx+2cot2x=sin2x 9/ cotx=tanx+2cot2x

10/a* tan2x+sin2x= cotx b* (1+sinx)3 2= cosx

2

Dang 9 : Phương trình LG phải thực hiện phép biến đổi tổng_tích và tích_tổng

Giải phương trình

1/ sin8x+ cos4x=1+2sin2xcos6x 2/cosx+cos2x+cos3x+cos4x=0

3/sin 3 sin sin 2 cos 2 tìm 4/ sinx+sin2x+sin3x+sin4x=0

1 cos 2

x



5/ sin5x+ sinx+2sin2x=1 6/ 3 cos 2 cot 2 

4sin cos

      

7/ tanx+ tan2x= tan3x 8/ 3cosx+cos2x- cos3x+1=2sinxsin2x

Dang 10 : Phương trình LG phải đặt ẩn phụ góc A hoặc đặt hàm B

Giải phương trình

1/ sin(3 )= sin( ) 2/ sin( )=sin2x sin( )

x



2

3

x



xk  k  k 

3 4

x 



4

x 



4 2

x  k 

3/(cos4x/3 – cos2x): 1 tan x 2 =0 x k 3 4/ cosx-2sin(3 )=3

x

 

4

x k 

5/ cos(2 7 )=sin(4x+3 ) 6/3cot2x+2 sin2x=(2+3 )cosx

2

;

k

x    k  

2 ; 2

x    k   k 

7/2cot2x+ 22 +5tanx+5cotx+4=0 8/ cos2x+ =cosx+

 

1

cos x

1

cos x x k 

1

xk   k  k 

1 sin 2

1 sin 2

x x





1 tan

1 tan

x x



 xk  ; k , tan2

Dang 11 : Phương trình LG phải thực hiện các phép biến đổi phức tạp

Giải phương trình

THPT_TL

1/ 3 4 6 (16 3 8 2) cos   x 4cosx 3 2 2/cos =1 tìm n0 x Z

4

x   k  3 9 2 16 80



3/ 5cosx cos 2x+2sinx=0 4/3cotx- tanx(3-8cos2x)=0

2 6

x   k 

3

x   k 

5/2 sin tan  6/sin3x+cos3x+ sin3xcotx+cos3xtanx=

2cos 2 tan sin

x



3

4

xk 

7/tan2xtan23xtan24x= tan2x-tan23x+tan4x 8/tanx+tan2x=-sin3xcos2x

4

k

x 

2 3

k

x k 

9/sin3x=cosxcos2x(tan2x+tan2x) x k  10/ sinxsinx 1 sin2xcosx 5 1

;sin 2

x k  x 

11/cos2 sin 2 cos 2  -1=tan2



2

tan 4

x  x

 

  

x  x  x  x 

x  k   k  k 

Dang 12 : Phương trình LG không mẫu mực, đánh giá 2 vế ,tổng 2 lượng không âm,vẽ 2 đồ thị bằng đạo hàm

Giải phương trình

1/ cos3x+ 2 cos 3x  2 =2(1+sin22x) x k  2/ 2cosx+ 2sin10x=3 2+2sinxcos28x

4

x  k 

3/ cos24x+cos26x=sin212x+sin216x+2 với x0; 4/ 8cos4xcos22x+ 1 cos 3x +1=0 2

2 3

x  k 

5/sin x  cosx x 0 6/ 5-4sin2x-8cos2x/2 =3k tìm k Z * để hệ có nghiệm 7/ 1- 2 =cosx

2

x

8/( cos2x-cos4x)2=6+2sin3x 9/

2

1 cos 1 cos cos 2 sin 4

2

2 4

x   k 