Gọi I là trung điểm của BC, hình chiếu vuông góc H của S lên mặt đáy ABC thỏa mãn: IA 2 IH , góc giữa SC và mặt đáy ABC bằng 60 0 .Hãy tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ [r]
Trang 1
THAM Môn: TOÁN; %&' A
Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề.
( 1
)* CHUNG CHO + THÍ SINH(7 /'0123
Câu I ( 2 /'012
Cho hàm y x3 ( 1 2 m ) x2 ( 2 m ) x m 2 (1) m là tham
1
26
1 cos
Câu II (2 /'012
1 7 8 )-9/ trình: 4 5
4
2 log2 2
x
x
2 7 )-9/ trình: 3 sin 2 x 2 cos x 1 2 cos 3 x cos 2 x 3 cos x
Câu III (1 /'012
Tính tích phân: I
4 0
2
2 1 1
1
dx x x
Câu IV(1 /'012
Cho hình chóp S.ABC có + ABC là tam giác vuông cân C A, AB a 2 7D I là trung ' !" BC, hình
!* vuông góc H !" S lên F + (ABC) G mãn: IA 2 IH, góc /I SC và F + (ABC) J/ 0.Hãy tính
60
Câu V(1 /'012
Cho x, y, z là ba x2 y2 z2 xyz Hãy tìm giá
xy z
z zx y
y yz
x
x
P
)* 6 (3 /'012# Thí sinh chỉ 9%:" làm 1=> trong hai C%D" ( C%D" A %@E9 C%D" B ).
A Theo 9%GH"A trình 9%5J"#
Câu VI.a (2 /'012
1 Trong F )0/ Oxy, cho tam giác ABC A(3;0), -./ cao L C B có )-9/ trìnhx y 1 0, trung
*+ L C C có )-9/ trình: 2x-y-2=0 T )-9/ trình -./ tròn /, ) tam giác ABC
2 Trong không gian # V :W! D X Oxyz, cho các ' A(-1;1;0), B(0;0;-2) và C(1;1;1) Hãy )-9/ trình F )0/ (P) qua hai ' A và B, / . K/ cách L C # F )0/ (P) J/ 3
Câu VII.a (1 /'012
Cho khai :'2 14 Hãy tìm giá : !"
14 2
2 1 0 2 2
10
1 2
B Theo 9%GH"A trình nâng cao:
Câu VI.b (2 /'012
1 Trong F )0/ D X Oxy, cho tam giác ABC A(1;-1), B(2;1), 1V tích J/ 5 , 5 và :D/ tâm G
*X! -./ 0/ d:3 x y 4 0 Tìm D X C C
2.Trong không gian # V :W! Oxyz, cho F )0/ (P)x y z 1 03 -./ 0/ d:
3
1 1
1 1
2
x
7D I là giao ' !" d và (P) T )-9/ trình !" -./ 0/ J trong (P), vuông góc # d và cách
I X K/ J/ 3 2
Câu VII.b (1 '
1
3
z i i z
Trang 2) ÁN ( 1
) ÁN –THANG
THI M N CAO O 2010
MÔN:TOÁN, %&' A )* CHUNG CHO + THÍ SINH.
Khảo sát hàm số khi m = 2
Khi m = 2, hàm 3 3x + 42
a) %_`2 R b) SBT a7# ,2 lim ; lim
ab* thiên:
Có y’ = 3x2 6x; y’=0 x =0, x =2
y’ + 0 0 +
y
4
0
+
Hàm
0,25
0,25
c) ` 2 Qua (-1 ;0) Tâm
0,25
Tìm m
) *+ có e!9 pháp
d: có e!9 pháp n2 ( 1 ; 1 )
Ta có
3 2 2
3 0
12 26 12
1 2
1 26
1
cos
2
1 2
2 2
1
2 1
k
k k
k k
k n
n
n n
0,5
Yêu !g* !" bài toán G mãn ít 8 X trong hai )-9/ trình: y/ k1 (1) và / 2 (2)
k
y
có /V x
3
2 2
) 2 1 ( 2 3
2
3 2
) 2 1 ( 2 3
2 2
m x
m x
m x
m x
0
0
2 / 1 /
0,25
-/2
0 3 4
0 1 2 8
2 2
m m
m m
1
; 4 3
2
1
; 4 1
m m
m m
4
1
m
2
1
có /V
1
I
2
2 -1
4
y
có /V
Trang 3-/2 Giải bất phương trình
Bpt
) 2 ( 3 4
2 log 2
) 1 ( 2 4
2 log 3
9 4
2 log
0 4 4
2 log
2 1
2 1 2
2 1
2 2 1
x x x x
x x x
x
0,25
7 (1): (1)
5
16 3
8 0 4
16 5
0 4
8 3 8 4
2
x x x x x
7 (2): (2)
9
4 17
4 0 4
4 9
0 4
4 17
4
1 4
2 8
1
x x x x x
T\+ 8 )-9/ trình có \) /V 5
16
; 3
8 9
4
; 17
4
Giải PT lượng giác
Pt 3 sin 2 x ( 2 cos x 1 ) (cos 3 x cos x ) (cos 2 x 1 ) ( 2 cos x 1 )
) 1 cos 2 ( sin 2 cos sin 4 ) 1 cos 2 ( 2 sin
0 ) 1 sin 2 2 sin 3 )(
1 cos 2
0,5
6 2 sin(
2 2 cos 2 sin 3 0 1 sin 2 2 sin
x x
x x
x
x k
6
0,25
2 3 2
2 3
2 0
1 cos
k x
k x
3
2
k
3
2
k
0,25
- /2 Tính tích phân.
4 0
2
2 1 1
1
dx x x
x
dx dt
x
2 1 2
1
2
2
2
t t
x
`O !\
0,25
t t t
dt t
t t t dt
t
t t t
2
2 4
2
4 2
2
2 3 2
2
2 4 3 2
1 2 4 3 2
1 ) 1 )(
2 2 ( 2 1
0,5
Trang 4=
t t t
ln 4 3 2 2
=
4
1 2 ln
Tính thể tích và khoảng cách
•Ta có IA 2 IH H
BC = AB 2 a ; AI= a; IH= =
2
IA
2
a
AH = AI + IH =
2
3a
0,25
•Ta có
2
5 45
cos
2 2
HC AH
AC AH
AC
Vì SH ( ABC ) ( SC ; (ABC )) SCH 600
2
15 60
HC
0,25
•
6
15 2
15 )
2 ( 2
1 3
1
3
.
a a
a SH
S
IV
SH BI
AH BI
Ta có
2 2
1 ) (
; ( 2
1 )) (
; ( 2
1 ))
(
; (
)) (
;
BI SAH
B d SAH
K d SB
SK SAH
B d
SAH K d
0,25
V Tim giá trị lớn nhất của P
xy z
z zx y
y xy
x
x P
xy z
z zx
y
y yz
x
x P
2 2
2
2 2
2
0,25
H
K
I
B A
S
C
Trang 5
xy zx
yz
2 2
2 4 1
xyz
z y x xyz
xy zx yz y
x x z z y
2 2 2
2
1 2
1 1 1 1 1 1 1 4 1
2
1 2
1
xyz
l8* J/ M+ ra x y z 3 T\+ MaxP =
2
)* 6 #
B-/2 Viết phương trình đường tròn…
KH: d1: x y 1 0 ; d2 : 2 x y 2 0
có e!9 pháp *+ và có e!9 pháp *+
1
d n1 ( 1 ; 1 ) d2 n2 ( 1 ; 1 )
• AC qua ' A( 3;0) và có e!9 !C )-9/ n1 ( 1 ; 1 ) )-9/ trình AC:x y 3 0
AC d2
0 2 2
0 3
C y
x
y x
0,25
• 7D B ( xB; yB) ) ( M là trung ' AB)
2
; 2
3 ( xB yB
Ta có B *X! và M *X! d1 d2 nên ta có: ( 1 ; 0 )
0 2 2 3
0 1
B y
x
y x
B B
B B
0,25
• 7D )-9/ trình -./ tròn qua A, B, C có 1,/2
Thay D X ba ' A, B, C vào pt -./ tròn ta có 0
2 2
2
2 y ax by c
x
Pt -./ tròn qua A, B, C là:
3 2 1
17 8
2
1 2
9 6
c b a
c b a
c a
c a
Tâm I(1;-2) bán kính R = 0
3 4 2
2
2 y x y
0,5
Viết phương trình mặt phẳng (P)
a7D n ( a ; b ; c ) Olà e!9 pháp *+ !" (P)
Vì (P) qua A(-1 ;1 ;0) pt (P):a(x+1)+b(y-1)+cz=0
Mà (P) qua B(0;0;-2) a-b-2c=0 b = a-2c
Ta có PT (P):ax+(a-2c)y+cz+2c =0
0,25
) 2 (
2
2 2
c c a a
c a
0,5
Trang 6
c a
c a
7
•TH1: a c ta !D a c 1 Pt !" (P): x-y+z+2=0 TH2: a 7 c ta !D a =7; c = 1 Pt !" (P):7x+5y+z+2=0
0,25
VII.a (1 Tìm hệ số của khai triển
4
3 ) 1 2 ( 4
1
x
) 2 1 ( 16
9 ) 2 1 ( 8
3 ) 2 1 ( 16
1 ) 1 (
2
0,25
• Trong khai :' 14 là:
2
x 2 C6 146
Trong khai :' 12 là:
2
x 2 C6 126
Trong khai :' 10 là:
2
x 2 C6 106
0,5
16
9 2
8
3 2
16
10 6 6
12 6 6
14 6
Tìm tọa độ của điểm C
• 7D D X !" ' ) Vì G *X! d
3
; 3 1 ( )
;
C C
y x G y
x
) 3 3
; ( 3 3 0
4 3 3 1
a`-./ 0/ AB qua A và có e!9 !C )-9/ AB ( 1 ; 2 ) ptAB : 2 x y 3 0
0,25
•
5
11 5
3 3 3 2 5
11 )
; ( 2
11 )
; ( 2
1
C C ABC
x x AB
C d AB
C d AB S
5 17
1 11
6 5
C
C C
x
x x
0,5
• TH1: xC 1 C ( 1 ; 6 )
5
36
; 5
17 ( 5
17
xC
0,25
Viết phương trình của đường thẳng
• (P) có véc 9 pháp *+ n(P) ( 1 ; 1 ; 1 ) và d có véc 9 !C )-9/ u ( 1 ; 1 ; 3 )
) 4
; 2
; 1 ( )
d
• vì ( P); d có véc 9 !C )-9/ u n(P); u ( 4 ; 2 ; 2 ) 2 ( 2 ; 1 ; 1 )
0,25 3K-/2
• 7D H là hình !* !" I trên H mp (Q )qua I và vuông góc Y-9/ trình (Q): 2 ( x 1 ) ( y 2 ) ( z 4 ) 0 2 x y z 4 0
Trang 7
-
U> -7D d1 ( P ) ( Q ) d1có vécto !C )-9/
và qua I
n(P); n(Q) ( 0 ; 3 ; 3 ) 3 ( 0 ; 1 ; 1 ) d1
t z
t y
x ptd
4 2
1 :
1
Ta có H d1 H ( 1 ; 2 t ; 4 t ) IH ( 0 ; t ; t )
3
3 2
3 2 2
t
t t
IH
0,5
• TH1:
1
7 1
5 2
1 : )
7
; 5
; 1 ( 3
t
TH2:
1
1 1
1 2
1 : )
1
; 1
; 1 ( 3
t
0,25
VII.b 1 Giải phương trình trên tập số phức.
`2 z i
• `F ta có )-9/ trình:
z i
i z w
w3 1 ( w 1 )( w2 w 1 ) 0
2
3 1 2
3 1 1
0 1
1
2
i w
i w
w
w w w
0,5
z i
i z w
2
3 1 2
3
z i
i z i
w
2
3 1 2
3 1
z i
i z i
w
T\+ pt có ba /V z z 0 ; 3 và z 3
0,5
Trang 8
THAM Môn: TOÁN; %&' A
Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề.
( 2
)* CHUNG CHO + THÍ SINH (7 /'012#
1
x y x
1.
2 Tìm m ' -./ 0/ d: y = 2x + m !o (C) , 2 ' phân V A, B sao cho AB = 5
Câu II: (2 điểm)
1 7 )-9/ trình: 2 cos 5 cos 3 x x sin x cos 8 x , (x R)
Câu III: (1 điểm) Tính 1V tích hình )0/ /# , ] các -./ y ex 1 3:W! hoành, x = ln3 và x = ln8.
Câu IV: (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có + ABCD là hình thoi ; hai -./ chéo AC = 2 3a , BD = 2a
và !o nhau , O; hai F )0/ (SAC) và (SBD) cùng vuông góc # F )0/ (ABCD) A K/ cách L
' O F )0/ (SAB) J/ 3 , tính
4
a
Câu V: (1 điểm) Cho x,y R và x, y > 1 Tìm giá : G 8 !" 3 3 2 2
P
)* RIÊNG (3 /'012 : Thí sinh 9%W /GX9 làm 1=> trong hai C%D" ( C%D" A %@E9 B)
A Theo 9%GH"A trình %5J"
Câu VI.a (2 điểm)
1 Trong F )0/ # V D X Oxy, cho -./ tròn (C): x2 + y2 - 2x - 2my + m2 - 24 = 0 có tâm I và
-./ 0/ : mx + 4y = 0 Tìm m -./ 0/ !o -./ tròn (C) , hai ' phân V A,B G mãn 1V tích tam giác IAB J/ 12.
Trang 92 Trong không gian # V D X Oxyz, cho hai -./ 0/ d1: 1 1 1 ; d2:
và F )0/ (P): x - y - 2z + 3 = 0 T )-9/ trình chính o! !" -./ 0/ ,
J trên F )0/ (P) và !o hai -./ 0/ d1 , d2
Câu VII.a (1 điểm) 7 8 )-9/ trình log2 2log2
2 2x x x 20 0
B Theo 9%GH"A trình Nâng cao
Câu VI.b (2 điểm)
1 Trong F )0/ # V D X Oxy, cho tam giác ABC có )-9/ trình !, AB: x - y - 2 = 0, )-9/ trình !, AC: x + 2y - 5 = 0 A :D/ tâm !" tam giác G(3; 2) T )-9/ trình !, BC.
3 Trong không gian # V :W! D X Oxyz, cho -./ 0/ : 1 3 và ' M(0 ; - 2 ;
0) T )-9/ trình F )0/ (P) qua ' M song song # -./ 0/ / . K/ cách /I -./ 0/ và F )0/ (P) J/ 4.
Câu VII.b (1 điểm) 7 )-9/ trình /V )P! : z 25 8 6 i
z
… U> ….
Thí sinh không /GX9 8Z R["A tài ;'\53 Cán K= coi thi không A'^' thích gì thêm.
) ÁN ( 2
) ÁN THI M - # 2012 -2013
%\) xác D = R\- 1
@ thiên:
Sb* thiên: ' 4 2 0,
x
Hàm
-
0,25
- 7# , , vô !!3 /# , vô !! và V !\2
`-./ 0/ y = 2 là V !\ ngang
`-./ 0/ x = - 1 là V !\ P/
0,25
I-1
(1
/'012
SA/ thiên:
y
0,25
Trang 10` 2
-
hai V !\ I(- 1; 2)
0,25
Y-9/ trình hoành X giao '2 2x2 + mx + m + 2 = 0 , Mv - 1) (1) 0,25
d !o (C) , 2 ' phân V PT(1) có 2 /V phân V khác -1 m2 - 8m - 16 > 0 (2) 0,25 7D A(x1; 2x1 + m) , B(x2; 2x2 + m Ta có x1, x2 là 2 /V !" PT(1)
1 2
2 2 2
m
m
x x
0,25
I-2
(1
/'012
AB2 = 5 ( x1 x2)2 4( x1 x2)2 5 2 m2 - 8m - 20 = 0
( x x ) 4 x x 1
m = 10 , m = - 2 ( %G mãn (2))
KL: m = 10, m = - 2.
0,25
y
x
x= -1
1
-2
Trang 11PT cos2x + cos8x + sinx = cos8x 0,25
sinx = 1 v sin 1
2
II-1
(1
/'012
2 x 2 x y 4 y x y 2 y x 2 2 0 (3)
y x
%L PT(4) y = 0 v 5y = 4x
II-2
(1
/'012
T# 5y = 4x vào PT(2) ta có x 2 x 3 x 1
KL: HPT có 1 "A%'\1 ( ; ) 1; 4
5
ln 8
ln 3
1
x
Khi x = ln3 thì t = 2 ; Khi x = ln8 thì t = 3; Ta có 2tdt = exdx 22
1
t
t
Do (
2
t
III
(1
/'012
= 2 ln 1 3 2 ln 3 1
2
t t t
%L / AC = 2 a 3; BD = 2a và AC ,BD vuông góc # nhau , trung ' O !" x -./
chéo.Ta có tam giác ABO vuông , O và AO = a 3; BO = a , do ( 0
60
A D B Hay tam giác ABD b*
%L / hai F )0/ (SAC) và (SBD) cùng vuông góc # F )0/ (ABCD) nên giao *+ !"
chúng là SO (ABCD)
0,25
Do tam giác ABD b* nên # H là trung ' !" AB, K là trung ' !" HB ta có DH AB và
DH = a 3; OK // DH và 1 3 OK AB AB (SOK)
a
7D I là hình !* !" O lên SK ta có OI SK; AB OI OI (SAB) , hay OI là K/ cách L O
F )0/ (SAB)
0,25
0,25
IV
(1
/'012 Tam giác SOK vuông , O, OI là -./ cao 2 2 2
2
a SO
lV tích + SABCD 4 SABO 2 OA OB 2 3 a2;
-./ cao !" hình chóp
2
a
3
.
a
0,25
S
A
K
H C
O
I D
3a
a
Trang 12`F t = x + y ; t > 2 Áp 1W/ A`% 4xy (x + y)2 ta có
4
t
Do 3t - 2 > 0 và nên ta có
1
t t xy t
P
xy t
2
4
t xy
2
2 2
(3 2) 4
2 1
4
t P
t
0,25
Xét hàm ( ) 2 ; '( ) 2 42 ; f’(t) = 0 t = 0 v t = 4.
t 2 4 +
f’(t) - 0 +
f(t)
8
0,25
V
(1
/'012
Do ( min P = = f(4) = 8 , -{! khi
(2;min) f t ( )
7D H là trung ' !" dây cung AB
Ta có IH là -./ cao !" tam giác IAB
IH =
( , )
d I
0,25
2
25
m
VI.a -1
(1
/'012
lV tích tam giác IAB là SIAB 12 2 SIAH 12
3
3
m
m
0,25
7D A = d1(P) suy ra A(1; 0 ; 2) ; B = d2 (P) suy ra B(2; 3; 1) 0,25
mX q!9 !C )-9/ !" -./ 0/ là u (1; 3; 1)
0,25
VI.a -2
(1
/'012
Y-9/ trình chính o! !" -./ 0/ là: 1 2
`b* KV2 x> 0 ; BPT 4log2 2log 2
`F t log2 x Khi ( 2t.
x
BPT :] thành 2 2 2 2 `F y = ; y 1.
2
2 t
0,25
VII.a
(1
/'012
- 1 t 1.
2
2 t 4 2 t 2 t 1
Do ( - 1 log x2 1 1 2
I
H
5
Trang 13%D X ' A là /V !" HPT: - - 2 0 A(3; 1)
x y
Do G là :D/ tâm !" tam giác ABC nên 3 5 2 9 Hay B(5; 3), C(1; 2)
5 2
b c
VI.b- 1
(1 /'012
mX q!9 !C )-9/ !" !, BC là u BC ( 4; 1)
7 } n a b c ( ; ; ) là X q!9 pháp *+ !" F )0/ (P)
Y-9/ trình F )0/ (P): ax + by + cz + 2b = 0
`-./ 0/ qua ' A(1; 3; 0) và có X q!9 !C )-9/ u (1;1; 4) 0,25
%L / ta có
4
n u a b c P
d A P
0,25
( a 5 ) c (2 a 17 c 8 ac ) a - 2 ac 8 c 0
VI.b-2
(1 /'012
T# a 4
c !D a = 4, c = 1 b = - 8 Y-9/ trình F )0/ (P): 4x - 8y + z - 16 = 0
T# a 2 !D a = 2, c = - 1 b = 2 Y-9/ trình F )0/ (P): 2x + 2y - z + 4 = 0
Khi ( z a bi ; 1 1 a2 bi2
Khi ( )-9/ trình z 25 8 6 i a bi 25(2a bi2 ) 8 6 i
VII.b
(1 /'012
(2)
3 4
Ta có a = 0 v a = 4 T# a = 0 b = 0 ( w,
0,25
THAM Môn: TOÁN; %&' A
Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề.
( 3
3)%D" chung cho >e> 9^ thí sinh (7 '
2
1 2
x x y
Trang 142. P/ minh -./ 0/ d: y = -x + m luôn luôn !o (C) , hai ' phân V A, B Tìm m '
, AB có X dài G 8
Câu II (2 '
1 7 )-9/ trình 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 8
2. 7 8 )-9/ trình log22 x log2 x2 3 5 (log4 x2 3 )
Câu III (1 ' Tìm nguyên hàm
x x
dx
cos sin
)0/ + J/ 300 Hình !* H !" ' A trên F )0/ (A1B1C1) *X! -./ 0/ B1C1 Tính K/ cách /I hai -./ 0/ AA1 và B1C1 theo a.
Câu V (1 ' Cho a, b, c 0 và 2 2 2 Tìm giá : G 8 !" '* P!
3
P
3)%D" riêng (3 '
1.Theo 9%GH"A trình 9%5J"
Câu VIa (2 '
1.Trong F )0/ # V D X Oxy cho -./ tròn (C) có )-9/ trình (x-1)2 + (y+2)2 = 9 và -./
0/ d: x + y + m = 0 Tìm m ' trên -./ 0/ d có duy 8 X ' A mà L ( K -{! hai ) *+
AB, AC # -./ tròn (C) (B, C là hai ) ' sao cho tam giác ABC vuông.
2.Trong không gian # V D X Oxyz cho ' A(10; 2; -1) và -./ 0/ d có )-9/ trình
t
z
t
y
t
x
3
1
2
1
8
Câu VIIa (1
2.Theo 9%GH"A trình nâng cao (3 '
Câu VIb (2 '
1.Trong F )0/ # V D X Oxy cho -./ tròn (C): x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0 và -./ 0/ d có )-9/ trình x + y + m = 0 Tìm m ' trên -./ 0/ d có duy 8 X ' A mà L ( K -{! hai )
*+ AB, AC # -./ tròn (C) (B, C là hai ) ' sao cho tam giác ABC vuông.
2.Trong không gian # V D X Oxyz cho ' A(10; 2; -1) và -./ 0/ d có )-9/ trình
3
1 1
2
x
8
Câu VIIb (1
`U>`
) ÁN ( 3
) ÁN THI M b* 1 ( A – MÔN TOÁN
I.Phần dành cho tất cả các thí sính
1 (1,25 điểm)
... cho -. / tròn (C): x2 + y2 - 2x + 4y - = -. / 0/ d có ) -9 / trình x + y + m = Tìm m '' -. / 0/ d có 8 X '' A mà L ( K -{ ! hai... pháp *+ !" (P)Vì (P) qua A (-1 ;1 ;0) pt (P):a(x+1)+b(y-1)+cz=0
Mà (P) qua B(0;0 ;-2 ) a-b-2c=0 b = a-2c
Ta có PT (P):ax+(a-2c)y+cz+2c =0
0,25
)... # V D X Oxy, cho tam giác ABC có ) -9 / trình !, AB: x - y - = 0, ) -9 / trình !, AC: x + 2y - = A :D/ tâm !" tam giác G(3; 2) T ) -9 / trình !, BC.
3