Vậy tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị là tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng m và hệ số góc của tiếp tuyến này là m 2 1... Một số tính chất hình học của tiếp tuyến A.[r]
Trang 1THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc
Mục lục
Loại 1 Tiếp tuyến tại một điểm và tiếp tuyến qua một điểm 2
A Tóm tắt lý thuyết 2
B Một số ví dụ 3
C Bài tập 10
D Hướng dẫn và đáp số 11
Loại 2 Một số tính chất hình học của tiếp tuyến 12
A Tóm tắt lý thuyết 12
B Một số ví dụ 13
C Bài tập 21
D Hướng dẫn và đáp số 22
Loại 3 Điều kiện tiếp xúc 23
A Tóm tắt lý thuyết 23
B Một số ví dụ 24
C Bài tập 28
D Hướng dẫn và đáp số 29
Trang 2THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
Loại 1 Tiếp tuyến tại một điểm và tiếp tuyến qua một điểm
A Tóm tắt lý thuyết
Cho y f x C
* Tiếp tuyến tại một điểm ( Hình 1 ):
Tiếp tuyến với C tại M x ;f x 0 0 là đường thẳng đi qua
M và có hệ số góc f ' x 0 Như vậy, PTTT với C tại M
là:
: y f ' x 0 x x 0 f x 0
Chú ý: Khi nói đến tiếp tuyến của C tại M , ta phải hiểu
rằng M C và M là nơi xảy ra sự tiếp xúc
Δ
O
y
x
M x 0 ;f x 0
C ( )
Hình 1
* Tiếp tuyến qua một điểm:
Tiếp tuyến qua M của C là tiếp tuyến với C tại một điểm N nào đó Ta có ba trường hợp
sau:
+) Trường hợp 1 ( Hình 2 ): M C
+) Trường hợp 2 ( Hình 3 ): M C , M không phải tiếp điểm
+) Trường hợp 3( Hình 4 ): M C , M là tiếp điểm Trong trường hợp này, tiếp tuyến
qua M chính là tiếp tuyến tại M
N
M
(C)
Hình 2
M
N
(C)
Hình 3
M≡N
(C)
Hình 4
Trang 3THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
B Một số ví dụ
Ví dụ 1 Cho 2 x 1
2 3x 1
C Viết PTTT của C tại điểm M có hoành độ bằng 1
Giải
Ta có 1
4
f 1 ,
2 3x 4x 1
2 2 3x 1
8
f ' 1 PTTT với C tại M là:
8 8
Ví dụ 2 Cho f x x 3 4x 2 5x 2 C Viết phương trình các tiếp tuyến của C tại những giao điểm của C với trục hoành
Giải
M :
Thay 2 vào 1 ta được x 3 4x 2 5x 2 0 x 2 x 1 2 0 x 2
Vậy C có hai giao điểm với trục hoành là M 1 2;0 và M 2 1;0
Ta có f ' x 3x 2 8x 5
+) f ' 2 1 PTTT với C tại M là 1 1 : y 1 x 2 0 1 : y x 2
+) f ' 1 0 PTTT với C tại M là 2 2 : y 0 x 1 0 2 : y 0
Vậy phương trình các tiếp tuyến của C tại những giao điểm của C với trục hoành là
1 : y x 2
, 2 : y 0
Ví dụ 3 Cho 2 3 2
3
f x x x 2x 2 C Viết phương trình các tiếp tuyến có hệ số góc bằng
2 của C
Trang 4THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
Giải
PTTT của C tại điểm có hoành độ x là 0
0 0 0
có hệ số góc bằng 2 khi và chỉ khi
0
f ' x 2 2x 0 2 2x 0 2 2 x 2 0 x 0 2 0 0
0
+) x 0 1 7
0 3
3
: y 2 x 1
3
: y 2x
+) x 0 2 2
3
: y 2 x 2
3
: y 2x
Vậy phương trình các tiếp tuyến có hệ số góc bằng 2 của C là:
13 3
: y 2x
3
: y 2x
Ví dụ 4 Cho f x x 3 3x 2 12x 5 C Viết PTTT có hệ số góc nhỏ nhất của C
Giải
Hệ số góc tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x của 0 C là:
k f ' x 3x 6x 12 3 x 1 15
Ta thấy k 15, dấu “ ” xảy ra x 0 Do đó 1 k nhỏ nhất bằng 15, đạt được
0
x 1
f 1 9 tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của C là:
: y 15x 6
Ví dụ 5 [ĐHB08] Cho 3 2
f x 4x 6x 1 C Viết phương trình các tiếp tuyến đi qua điểm
M 1; 9 của C
Giải
PTTT của C tại điểm có hoành độ x là: 0
0 0 0
Trang 5THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
8x 3 0 6x 2 0 12x 0 10 0
4x 0 5x 0 12 0
5
0 4 0
x
+) 0 5
4
15
0 4 9
0 16
f ' x
f x
4 6
: y x
+) x 0 1
0 0
: y 24 x 1 9 : y 24x 15
Vậy phương trình các tiếp tuyến đi qua điểm M của C là 15 21
, : y 24x 15
Ví dụ 6 Cho 1 x
x 1
C Chứng minh qua điểm I 1; 1 không tồn tại tiếp tuyến của
C
Giải
PTTT của C tại điểm có hoành độ x là: 0
0 0 0
0
x 0 1
d đi qua I 1; 1
0
x 0 1
x 0 1 x 0 1
x 0 1
0
Trang 6
THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
x 0
Vậy không tồn tại x để 0 đi qua I Nói cách khác qua I không tồn tại tiếp tuyến của C
f x 4x 3mx 6 C Tìm m để C có tiếp tuyến đi qua A 1; 2
Giải
PTTT với C tại điểm có hoành độ x là: 0
: y f ' x 0 x x 0 f x 0
C có tiếp tuyến đi qua A 1; 2 x 0: đi qua A phương trình:
có nghiệm đối với x 0
Ta có: * 4x 2 0 8x 0 3m 8 0 ( ' 12m 48)
Do đó * có nghiệm ' 0 12m 48 0 m 4
Vậy C có tiếp tuyến đi qua A 1; 2 m 4
Ví dụ 8 Cho 2x 1
x 2
C Tìm trên đường thẳng x 3 các điểm mà qua đó có tiếp tuyến của C
Giải
PTTT với C tại điểm có hoành độ x ( 0 x 0 2) là:
0 0 0
0
x 0 2
Điểm A nằm trên đường thẳng x 3 tọa độ A có dạng A 3;a
Trang 7THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
Qua A có tiếp tuyến tới C
tồn tại x sao cho 0 qua A
phương trình
0
x 0 2
0
a x 0 22 5 3 x 0 2x 0 1x 0 2
a 2 x 2 0 2 2a 1 x 0 4a 17 0 2
* a 2 0 a 2 Khi đó 2 trở thành 10x 0 21 0 0 21
10
x Do đó trong trường hợp này 2 có nghiệm 1 có nghiệm
* a 2 0 a 2 Khi đó 2 là phương trình bậc hai có ' 5a 35 Do đó, trong trường hợp này 1 có nghiệm 2 có nghiệm ' 0 5a 35 0 a 7
Vậy tập hợp các điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là A 3;a a 7
Ví dụ 9 [ĐHD02] Cho f x 2m 1 x m x 1 2
C và d : y Tìm m để x C tiếp xúc với d
Giải
PTTT với C tại điểm có hoành độ x ( 0 x 0 ) là: 1
0 0 0
m 1 2 2m 1 x 0 m 2
0
m 1 2 m 1 2 2m 1 x 0 m 2
0
x 0 1 x 0 1 x 0 1
Trang 8THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
C tiếp xúc với d x 0: d
hệ
2
m 1
x 0 1
2
2 2m 1 x m
0
m 1
0
x 0 1 x 0 1
1
* có nghiệm đối với x 0
Ta có *
2
m 1
x 0 1
2 2m 1 x 0 m
0
1
0
0
0
0 0 0
+) m 1 m 2 m 1 1 vô nghiệm * vô nghiệm
+) m 1: 1 0
0
0
x m VT 2 m 2m 1 m m m 1 2 0 VP 2
x 0 m là một nghiệm của *
* có nghiệm
Vậy C tiếp xúc với d m 1
Ví dụ 10 Cho f x x 4 8x 2 7 C Tìm m để đường thẳng d : y 60x m tiếp xúc với
C Với mỗi m tìm được, hãy chỉ ra hoành độ tiếp điểm của d và C
Giải
PTTT với C tại điểm có hoành độ x là: 0
Trang 9THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
0 0 0
: y f ' x 0 x x 0 f x 0
: y f ' x 0 x x f ' x 0 0 f x 0
C tiếp xúc với d x 0: d
hệ
0
* có nghiệm đối với x 0
0
1 4x 3 0 16x 0 60 x 0 3
Thay x 0 3 vào 2 ta có: m 164
Vậy d tiếp xúc với C m 164 Khi đó hoành độ tiếp điểm là x 0 3
Trang 10THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
C Bài tập
Bài 1 Viết PTTT của C biết rằng
1) C là ĐTHS f x x 4 2x 2 3 và hoành độ tiếp điểm bằng 2
2) C là ĐTHS 2 3x 4
x 1
và tiếp điểm là giao điểm của C với trục tung
3) C là ĐTHS 3 2
f x 2x 3x 5 và tiếp tuyến đi qua 19
12
Bài 2 Viết PTTT của C biết
1) C là ĐTHS 3 2
f x x 3x 5x 1 , tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất
2) C là ĐTHS 1 3 2
3
f x x x 5x 2, tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất
3) C là ĐTHS 5 4
f x x 5x , tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất
4) C là ĐTHS f x x 5 10x 2, tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất
3
Tìm m để hệ số góc của tiếp tuyến có hệ số góc
nhỏ nhất của đồ thị là 10 Viết phương trình các tiếp tuyến đó
Bài 4 Cho f x 2x 3 3x 2 12x 1 C Tìm những điểm thuộc C mà tiếp tuyến tại đó
đi qua gốc tọa độ
Bài 5 Cho x
x 1
f x
C Chứng minh rằng qua I 1;1 của C , không tồn tại tiếp tuyến nào của C
Bài 6 Tìm m sao cho ĐTHS x m
x 1 m
có tiếp tuyến đi qua điểm A 0; 2
Trang 11THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
D Hướng dẫn và đáp số
Bài 1 1) y 24x 43 2) y 7x 4 3) y 12x 15 , 21 645
32 128
Bài 2 1) y 2x 2) 2 7
3
y 6x
f ' x 5x 20x 5x x 4 f ' x 0 min 4 x 0 Áp dụng BĐT Cô-si cho 0
các số dương x 0, x 0, x 0, 3x 0 12 ta có:
4
f ' x 0 135 Dấu “” xảy ra x 0 3
PTTT của hệ số góc nhỏ nhất của C là: d : y 135x 243
4) Tương tự câu 3): PTTT có hệ số góc lớn nhất của C là: d : y 15x 6
Bài 3 Ta có y ' x 2 2mx 1 x m 2 m 2 1 m 2 1 Dấu “” xảy ra x m Vậy tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị là tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng m và hệ số
góc của tiếp tuyến này là m 2 Ta có 1 m 2 1 10 m 3 Với m 3, tiếp tuyến cần tìm là d : y 1 10x 11 , Với m 3, tiếp tuyến cần tìm là d : y 2 10x 13
Bài 4 Trên C có một điểm mà tiếp tuyến tại đó đi qua gốc tọa độ là M 1;12
Bài 6 ĐTHS có tiếp tuyến qua A 0; 2 2
3 m 1
Trang 12THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
Loại 2 Một số tính chất hình học của tiếp tuyến
A Tóm tắt lý thuyết
Phần này sử dụng một số kiến thức sau:
* Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng có phương trình dạng hệ số góc:
Cho 1 : y k x 1 m 1 và 2 : y k x 2 m 2 Ta có:
+) 1 2 1 2
+) 1 2 1 2
+ ) 1 2 k k 1 2 1
+) tạo với 1 góc 2 ( 0 ;90 ) k 1 k 2
1 k k 1 2 tan
Đặc biệt nếu k 2 ( 0 d 2
vuông góc với trục tung) thì: tạo với 1 góc 2 ( 0 ;90 )
1
k tan
* Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng: cho điểm M x ;y 0 0 và đường thẳng
: ax by c 0
(a 2 b 2 0) Ta có công thức tính khoảng cách từ M đến :
ax 0 by 0 c
2 2
a b
* Giao điểm của hai đường thẳng: Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của hệ
gồm các phương trình đường thẳng
Trang 13THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
B Một số ví dụ
Ví dụ 1 [ĐHD10] f x x 4 x 2 6 C Viết PTTT vuông góc với đường thẳng
1
6
d : y x 1 của C
Giải
là tiếp tuyến với C tại điểm có hoành độ x 0 có hệ số góc là f ' x 0
d
1
0
6 f ' x 1
f ' x 0 6
4x 3 0 2x 0 6
2x 3 0 x 0 3 0
x 1 2x 2x 3
0 2
x 0 1
0
x 1 f x 0 4 : y 6 x 1 4 : y 6x 10
Vậy tiếp tuyến vuông góc với d của C là : y 6x 10
Ví dụ 2 [ĐHD05] Cho 1 3 m 2 1
f x x x C m Gọi M là điểm thuộc C m có hoành
độ bằng Tìm m để tiếp tuyến tại M của 1 C m song song với đường thẳng d : 5x y 0
Giải
là tiếp tuyến tại M của C m : y f ' 1 x 1 f 1
2
: y m 1 x 1
Trang 14THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
2
Ta có d : y 5x Do đó d m
2
Vậy tiếp tuyến tại M của C m song song với đường thẳng d m 4
Ví dụ 3 Cho 3 2
f x 2x 4x x C Viết phương trình các tiếp tuyến của C biết tiếp tuyến tạo với Ox góc 45
Giải
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x của 0 C là: 2
k f ' x 6x 8x 1
,Ox 45 k tan 45 k 1
* k 1 6x 2 0 8x 0 1 1 0 4
0 3
x
+)x 0 0 f x 0 0 : y x
+) 0 4
3
0 27
3 27
27
: y x
* k 1 6x 2 0 8x 0 1 1 0 1
0 3
x
+)x 0 1 f x 0 1 : y x 1 1 : y x
+) 0 1
3
0 27
3 27
27
: y x
Các tiếp tuyến tạo với Ox góc 45 của C là: y x, 64
27
: y x
, y x, 8
27
y x
Trang 15THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
Ví dụ 4 Cho 4 1 2
24
f x mx 3m x 2 C m Gọi A và B lần lượt là các điểm có hoành độ bằng 1 và 2 của C m Tìm m để các tiếp tuyến của C m tại A và B vuông góc với nhau
Giải
12
f ' x 4mx 6m x hệ số góc các tiếp tuyến của C m tại A và B lần lượt
12
f ' 1 10m và 1
6
f ' 2 44m Do đó các tiếp tuyến của C m tại A và B
vuông góc với nhau khi và chỉ khi
3 72
1 24 71 1320
m m
Ví dụ 5 Cho 1 x
2x 1
C Viết PTTT của C biết tiếp tuyến cách 1 1
2 2
I ; một khoảng
bằng 3
10
Giải
PTTT của C tại điểm có hoành độ x ( 0 0 1
2
x ) là:
: y f ' x 0 x x 0 f x 0
0
2x 0 1
0
2x 0 1
Trang 16THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
d I;
Do đó:
10
9 2x 0 1
2x 0 14 10 2x 0 12 9 0
2 0 2 0
0 0 0 0
+) x 0 0
0 0
: y 3x 1
+) x 0 1
0 0
: y 3 x 1 2 : y 3x 5
+) x 0 1
1
0
f ' x
3
3 3
+) x 0 2
1
0
f ' x
3
3 3
Vậy có bốn tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là: y 3x 1 , y 3x 5 , 1 1
3 3
y x ,
5
1
3 3
y x
Trang 17THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
Ví dụ 6 Cho f x 3 2 x 1 x
C Viết PTTT của C biết tiếp tuyến cách đều các điểm
A 7;6 và B 3;10
Giải
PTTT của C tại điểm có hoành độ x ( 0 x 0 ) là: 1
0 0 0
0
x 0 1
cách đều các điểm A và B khi và chỉ khi:
d A, d B,
35 6 x 0 1 2x 0 6x 0 3 15 10 x 0 1 2x 0 6x 0 3
8x 2 0 6x 0 32 12x 2 0 14x 0 8
4x 2 0 3x 0 16 6x 2 0 7x 0 4
2
0
0
+) x 0 1
5
1
0 2
f ' x
f x
2
4 4
Trang 18THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
+) x 0 2
0 0
: y 5 x 2 7 : y 5x 17
Vậy phương trình các tiếp tuyến cách đều A và B của C là: 5 7
4 4
y x , y 5x 17
Ví dụ 7 Cho 2x 1
x 1
C Tìm tọa độ điểm M C sao cho khoảng cách từ điểm
I 1;2 tới tiếp tuyến của C tại M đạt giá trị lớn nhất
Giải
Giả sử x là hoành độ của 0 M tiếp tuyến tại M của (C) có phương trình:
: y f ' x 0 x x 0 f x 0
0 2
3
3x x 1 y 2x x 5 0
3 2 x 0 1 2x 2x 0 1
2
x 0 1
d I,
Theo bất đẳng thức Cô-si:
0 2
x 0 1
, vậy d I, 6 Đẳng thức xảy ra
khi và chỉ khi
2 0 2 0
9
x 0 12 3 x 0 1 3
Vậy khoảng cách d I, lớn nhất bằng 6 , đạt được khi và chỉ khi x 0 1 3
M 1 3 ;2 3 hoặc M 1 3 ;2 3
Ví dụ 8 [ĐHD07] Cho 2x
x 1
Tìm tọa độ điểm M thuộc C biết tiếp tuyến của
C tại M cắt hai trục Ox, Oy tại A , B sao cho OAB có diện tích bằng 1
4
Giải