25. Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 DHQGHN năm học 2011-2012 (chuyên) dự bị 

Ý tưởng: Trước hết quan sát thấy đây là một bất đẳng thức đối xứng khi vai trò của hai biến như nhau vì thế ta khẳng định a b = , đồng thời kết hợp với giả thiết sẽ có điểm rơi của bài[r]

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

Đề dự bị TRƯỜNG THPT CHUYÊN NĂM 2012 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

MÔN THI: TOÁN (Vòng 1) Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề) Câu I (3,0 điểm)

1) Giải phương trình

x+ - - x= 2) Giải hệ phương trình

3

x y xy

x y xy

ìïï íï ïî

Câu II (3,0 điểm)

1) Với ;x y là các số nguyên, chứng minh 5 5

x y- xy chia hết cho 30

2) Giả sử ;a b là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a+ ³ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức b 2

P

Câu III (3,0 điểm) Cho tam giác ABCV vuông tại A Gọi CT là đường phân giác trong của tam giác (T thuộc cạnh AB )

1) Chứng minh rằng đường tròn ( )K đi qua ;C T và tiếp xúc với AB có tâm K thuộc BC

2) Gọi giao điểm của AC và ( ) K là D khác C , giao điểm của DB và ( ) K là E khác D Chứng minh rằng

ABD= BCE

3) Gọi giao điểm của CE và AB là M Chứng minh rằng M là trung điểm của đoạn thẳng BT

Câu IV (1,0 điểm) Giả sử ; ;a b c là các số thực dương Chứng minh rằng

1+ a + 1+ b + 1+ c ³ a+ +b b+ +c c+ a

Câu I

1) Điều kiện 8- £ £ x 2

+ Nếu 1< £ Þx 2 x+ >8 9= 3

2- <x 2- = Þ1 1 x+ -8 2 2- > - = Þ loại x 3 2 1 + Nếu 8- £ < tương tự ta cóx 1,

x+ - - <x - = Þ loại

Với x = 1, thỏa mãn phương trình

Đáp số x = 1

Nhận xét: bài toán sử dụng phương pháp nhẩm nghiệm và đánh giá theo miền nghiệm để chứng minh nó có nghiệm duy nhất

Ý tưởng: Đây một bài toán đơn giản nhưng đòi hỏi đi theo phương pháp đánh giá thì cần đoán trước nghiệm của phương trình Đầu tiên ta sẽ ưu tiên nghiệm nguyên trước, với nghiệm nguyên thì các biểu thức chứa căn phải là một số chính phương, tức là 8 22

2

x h

ìï + = Î ïí

ï - = Î ïî

¡

¡

Với điều kiện chặn của x éÎ -ë 8; 2ùû thì ta sẽ thử một vài giá trị nguyên của x và thấy rằng tại x = 1 thỏa mãn phương trình Công việc còn lại là ta sẽ đi chứng minh nó là nghiệm duy nhất Nó là nghiệm duy nhất nếu với

) (

8;1 1; 2

x éÎ -ë È ù

û thì phương trình bài cho vô nghiệm Đi xét từng trường hợp ta có:

 Với x éÎ -ë 8;1) suy ra x+ -8 2 2- x< 9- 2 1= 1

 Với xÎ (1; 2ùû suy ra x+ -8 2 2- x> 9- 2 1= 1

Cả hai trường hợp trên đều chứng minh x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình

Bài toán kết thúc

Bài tập tương tự:

1 Giải phương trình 7x+ -8 x= 3x+ 4

2 Giải phương trình x+ -9 2 1- x=1.

2) Ta có x+ 3y- xy= Û3 (x- 3 1)( - y)= 0

x= Þ + y + y= Û y + y+ = (vô nghiệm)

2

x

x

é = ê

= Þ + + = Û + - = Û ê = -ë

Đáp số (x y =; ) ( ) (1; 1 , - 2; 1)

Nhận xét: Phân tích nhân tử ở phương trình một, sau đó thế vào phương trình hai tìm nghiệm của hệ

Ý tưởng: Đây là một bài toán rất dễ, khi ý tưởng tác giả đã cho lộ ngay từ phương trình một, vì đi từ đó ta có

x+ y- xy= Û x- - y =

Xét từng trường hợp một, thế vào phương trình hai giải phương trình bậc hai sẽ tìm được nghiệm của hệ phương trình

Bài toán kết thúc

Bài tập tương tự:

1 Giải hệ phương trình

2

2 2

4

ïí

2 Giải hệ phương trình

2

2 2

4

ìï + = + ïí

Câu II

A= x y- xy = xy x - y

+ Nếu x hoặc y chẵn, suy ra A M , 2 trái lại nếu ;x y cùng lẻ, nên ( 4 4)

x - y M Þ AM Þ A luôn chia hết cho 2

+ Nếu x hoặc y chia hết cho 3 , suy ra A M 3 nếu ;x y cùng không chia hết cho 3 , nên

x º y º Þ x º y º Þ x - y MÞ A luôn chia hết cho 3

+ Nếu x hoặc y chia hết cho 5, suy ra A M 5

Nếu ;x y cùng không chia hết cho 5, suy ra 2 2 4 4

x y º Þ x y º Þ AM , nên A luôn chia

hết cho 5

Vậy 2.3.5 30AM =

Nhận xét Một số vừa chia hết cho 2, 3 và 5 thì chia hết cho 30 vì 2, 3 và 5 là các số nguyên tố cùng nhau

Nhắc lại kiến thức và phương pháp

 Trong một tích có một thừa số là số chẵn thì tích đó chia hết cho 2

Nếu x hoặc y là số chẵn thì A M 2

 Hiệu của hai số lẻ là một số chẵn Số chẵn luôn chia hết cho 2

Nếu x và y đều là số lẻ thì 4

x hoặc y 4 đều là số lẻ thì 4 4

x - y là số chẵn suy ra A M , suy ra A luôn chia 2

 Trong một tích có một số chia hết cho 3 thì tích đó chia hết cho 3

Nếu x hoặc y là số chia hết cho 3 thì A M 3

 Một số nguyên dương khi chia cho 3 dư 0, 1 hoặc 2 nên lũy thừa bậc bốn của số đó chia 3 dư 0 hoặc 1

Nếu ;x y cùng không chia hết cho 3 thì 4 4

1(mod 3)

3

Þ - M , suy ra A luôn chia hết cho 3

 Trong một tích có một số chia hết cho 5 thì tích đó chia hết cho 5

Nếu x hoặc y là số chia hết cho 5 thì A M 5

 Một số nguyên khi chia cho 5 thì dư 0, 1, 2, 3 hoặc 4 nên bình phương của số đó chia 5 dư 0, 1 hoặc 4 do đó lũy thừa bậc bốn của số đó chia 5 dư 0 hoặc 1

Nếu ;x y cùng không chia hết cho 5 thì 4 4 ( 4 4)

x º y º Þ x - y M , suy ra A luôn chia hết cho 5

 Một số nguyên dương chia hết cho các số nguyên tố cùng nhau thì số nguyên dương này chia hết cho tích của các số nguyên tố cùng nhau đó

Ta có

2 3 5

A

A

A

ìïï

ïïí

ïïï

ïî

M

M

M

(chứng minh trên) mà 2, 3 và 5 là các số nguyên tố cùng nhau nên A M(2.3.5) hay A M 30 2) Theo bất đẳng thức Cosi

3 2

1

a b

3 2

1

b a

a b

Dấu “=” xảy ra khi a= =b 1

Vậy min 1

2

P =

Nhận xét: Bài toán sử dụng kỹ thuật đánh giá qua bất đẳng thức Cosi khi đoán được điểm rơi, hay còn gọi là kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Cosi

Nhắc lại kiến thức và phương pháp:

 Bất đẳng thức Cosi cho ba số thực dương 3

3

a+ + ³b c abc

Ý tưởng: Trước hết quan sát thấy đây là một bất đẳng thức đối xứng khi vai trò của hai biến như nhau vì thế ta

khẳng định a b= , đồng thời kết hợp với giả thiết sẽ có điểm rơi của bài toán là a= =b 1 Mặt khác, ở biểu thức P

cả hai phân số đều có dạng bậc ba trên bậc hai và sử dụng giả thiết thì ta cần tìm số k sao cho

+ + Với điểm rơi đã dự đoán a= =b 1, ta thấy rằng

1 8

+ + Vì vậy, để sử dụng được bất đẳng thức Cosi cho ba số thì ta cần tạo ra thêm hai lượng 1

8

Do đó, ta sẽ đánh giá như sau:

;

Bài toán kết thúc

Bài tập tương tự:

1 Cho ;x y là hai số thực dương thỏa mãn ;x y£ 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 12

2

y x P

2 Cho x y ; là hai số thực dương thỏa mãn x+ =y 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2

P= x + y + x + y

Câu III

D

A

M T

E

1).( )K tiếp xúc AB tại T, nên KT^ AB, suy ra KT/ /AB

Chú ý tam giác KTCD cân nên ·KCT= KTC· =TCA· =TCB· . nên K thuộc BC .

Nhận xét Chứng minh một điểm thuộc một đoạn thẳng ta quy về chứng minh ba điểm thẳng hàng

Nhắc lại kiến thức và phương pháp

 Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (tiếp tuyến) vuông góc với bán kính của đường tròn tại tiếp điểm

Đường tròn ( )K ti ếp xúc AB tại T , nên KT AB^ tại T

 Đường thẳng c vuông góc với a và b nên a và b là hai đường thẳng song song

Ta có KT^ AB và AB^ AC (do ·BAC= 90° ) suy ra KT ACP

 Hai đường thẳng song song tạo ra các góc so le trong bằng nhau

Ta có KT ACP suy ra ·KTC=TCA· mà CT là phân giác của góc · ACB nên suy ra · ACT=TCB· từ đây suy

ra ·KTC=TCB·

 Tam giác có hai cạnh bằng nhau là tam giác cân Tam giác cân có hai góc kề đáy bằng nhau

Tam giác KTCD có KT= KC= R suy ra KTCD cân tại K do đó · KTC= KCT· kết hợp với chứng minh từ

ý (3) ta có ·TCB= KCT·

 Hai góc có cùng số đo, chung một cạnh, cạnh còn lại của mỗi góc cùng nằm một phía so với cạnh chung thì trùng nhau

Ta có ·KTC=TCB· suy ra KC CBº hay ba điểm K ; C ; B hay K nằm trên BC

2) Gọi ( )K giao BC t ại F khác C Ta thấy tứ giác FEDC nội tiếp và chú ý K thuộc BC nên FEC =· 900

ABD= - ADB= - EFC= BCE

Nhận xét Chứng minh hai góc bằng nhau đưa về biến đổi số đo hai góc cùng bằng một lượng

Nhắc lại kiến thức và phương pháp

 Dây cung đi qua tâm đường tròn là đường kính

Ta có dây cung FC đi qua tâm K nên FC là đường kính của đường tròn đã cho

Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông

Ta có ·FEC là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đã cho được chia đôi bởi đường kính FC nên suy ra

FEC= ° do đó ·CEF+ECF· = 90° Û ECF· = 90°- CEF· mà DABD vuông tại A nên ta có

ABD+ ADB= ° Û ABD= °- ADB

 Góc ngoài tại đỉnh đối diện bằng góc trong không kề với nó của một tứ giác nội tiếp

Góc ·ADE là góc ngoài tứ giác nội tiếp EDCF nên · ADE= EFC· kết hợp với (7) ta được ·ECF= ABD· 3) Từ trên, suy ra ·MBE= BCM· do đó 2

Từ đó chú ý MT tiếp xúc ( ) K , suy ra MT2= ME MC = MB2

Vậy M là trung điểm BT

Nhận xét Chứng minh một điểm là trung điểm của một đoạn thẳng ta chứng minh điểm đó nằm trên đoạn thẳng và cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng

Nhắc lại kiến thức và phương pháp

 Tam giác có hai cặp góc bằng nhau thì đồng dạng

- Xét MBED và MCBD có:

+ ·BMC chung;

+ ·MBE= BCM· (chứng minh phần 2),

suy ra MBED ∽ DMCB (g – g), suy ra 2

- Xét MTED và MCTD có:

+ ·TMC chung;

+ ·MTE=TCM· (góc tạo bởi tia tiếp tuyến - dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung của đường tròn ( )K ),

suy ra MTED ∽ DMCT (g – g), suy ra 2

Từ đây suy ra 2 2

MB = MT Þ MB= MT mà ba điểm M ; B ; T thẳng hàng nên suy ra M là trung điểm

của BT

Câu IV Theo bất đẳng thức Cô si:

4

1+a + 1+b ³ 2 1+a 1+ b = 2 1+ a 1+b Theo bất đẳng thức Bunhia cốpxki:

( 2)( 2) ( 2)( 2 ) 2

1+ a 1+ b = +1 a b + ³1 (a+ b)

1+ b + 1+ c ³ 2 b+ c 2 2

Cộng cả ba bất đẳng thức trên rồi chia cho 2 ta có

1+ a + 1+ b + 1+ c ³ a+ +b b+ +c c+ a

Dấu “=” xảy ra khi a = = = b c 1.

Nhận xét: Bài toán kết hợp cả hai bất đẳng thức quen thuộc là Cosi và Bunhiacopxki để chứng minh bất đẳng thức Nhắc lại kiến thức và phương pháp:

 Bất đẳng thức Cosi cho hai số thực dương: a+ ³b 2 ab

 Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho bộ số ; ; ;a b c d :

ac+bd £ a +b c +d

Ý tưởng: Bất đẳng thức bài cho đối xứng, vai trò các biến là hoàn toàn như nhau suy ra điểm rơi hay nói cách khác tại a= = =b c 1 thì dấu đẳng thức xảy ra Sẽ có bạn hỏi việc dự đoán trước điểm rơi để làm gì Thực ra công việc này rất quan trọng giúp ta phát hiện ra được cần áp dụng bất đẳng thức gì và áp dụng như thế nào Như bên trên đã nói, vai trò ; ;a b c như nhau nên ta chỉ cần chứng minh 2 2

1+ a + 1+ b ³ k a+ (*) và các biểu thức còn lại b

đánh giá tương tự Với điểm rơi a= =b 1 để bất đẳng (*) thức xảy ra dấu “=” khi và chỉ khi

2+ 2= 2kÛ = Và vì thế ta sẽ đi chứng minh: k 2 2 2

1+ a + 1+ b ³ 2 a+ b

Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có: 2 2 4( 2)( 2)

1+ a + 1+ b ³ 2 1+ a 1+ b do đó, ta chỉ cần chứng minh

1+ a 1+ b ³ a+b Đây là một kết quá quen thuộc, ta có thể biến đổi tương đương hoặc áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki như sau: ( )2 ( 2)( 2)

1.a+ b.1 £ +1 a 1+b

Bài toán kết thúc

Bài tập tương tự:

1 Cho các số thực dương ; ;a b c Chứng minh rằng

3

a+ +b c ³ a bc+b ca+c ab

2 Cho các số thực dương ; ;a b c Chứng minh rằng

3