74. Đề thi tuyển sinh vào lớp10 tỉnh Tiền Giang năm học 2018-2019 (chuyên)

a) Chứng minh tứ giác BCPI nội tiếp được trong một đường tròn... Ta xem là phương trình bậc hai theo biến y (x là tham số)..[r]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH TIỀN GIANG

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 Năm học 2018-2019 Môn thi: TOÁN CHUYÊN TIN (Đề thi có 01 trang, gồm 05 bài) Thời gian làm bài: 120 phút

(không kể thời gian phát đề)

Ngày thi: 06/6/2018



Bài I (3 điểm):

1 Rút gọn biểu thức 29 12 5 5

5 2 5

2 Giải phương trình    2

10 x2 x4 3x 6x21

3 Giải hệ phương trình

3

x xy y y

x y





Bài II (3 điểm):

1 Trong mặt phẳng Oxy, cho Parabol   1 2

: 4

P y x và đường thẳng  d :x2y120

a) Tìm tọa độ giao điểm A và B của  d và  P

b) Tìm tọa độ điểm C nằm trên  P sao cho tam giác ABC vuông tại C

2 Giả sử x x là 2 nghiệm của phương trình 1, 2 x22mx 4 0 Xác định m để 4 4

x x 

Bài III (1 điểm):

Hai máy cày cùng làm việc trong 12 giờ thì cày được 1

10 khu đất Nếu máy cày thứ nhất làm một mình trong 42 giờ rồi nghỉ và sau đó máy cày thứ hai làm một mình trong 22 giờ thì cả hai máy cày được 25% khu đất Hỏi nếu làm một mình thì mỗi máy cày trong bao lâu?

Bài IV (3 điểm):

Cho đường tròn tâm O đường kính AB2R và điểm C nằm trên đường tròn sao cho CACB Gọi I là trung

điểm của OA Vẽ đường thẳng d vuông góc với AB tại I , cắt tia BC tại M và cắt đoạn AC tại P ; AM cắt

đường tròn  O tại điểm thứ hai K

a) Chứng minh tứ giác BCPI nội tiếp được trong một đường tròn

b) Chứng minh 3 điểm , ,B P K thẳng hàng

c) Các tiếp tuyến tại A và C của đường tròn  O cắt nhau tại Q Tính diện tích của tứ giác QAIM theo R biết

BCR

Hết

Giải

Bài I:

1

2 5 3 5 2 5 2

10 x2 x4 3x 6x21

 2       

2

x 2x 4 0 x 4

       hoặc x2

10 x2 x4 3x 6x2110 x2 x4 3 x2 x 4 3

Đặt t x2x4 , t0 Phương trình trở thành 2 2

3

3

t

t







 



 

1 3 2

   



   



 

2

3 82

3

  







  







 

x xy y y

x y







Từ (1) ta có 2   2

y y x   x  Ta xem là phương trình bậc hai theo biến y (x là tham số)

Suy ra phương trình có 2 nghiệm là 3 3 1 2 2

2

2

+ Nếu y2x2 Thay vào phương trình (2) ta được

x  x  x  x  x    x  x  (phương trình vô nghiệm)

+ Nếu y  x 1 Thay vào phương trình (2) ta được

2

x   x   x      x y

Vậy tập nghiệm S 2; 1  

Bài II:

1

a) Ta có   1

2

d y x

Phương trình hoành độ giao điểm 1 2 1 6 9

6

  



       

Vậy 2 giao điểm A  6;9 ,B 4; 4

b)

Cách 1

;

4

C c c  P



  c6, c 4 là điểm cần tìm

Ta có AB2 125 ; 2  2 1 2 2 1 4 7 2

AC  c  c    c  c  c

BC  c  c    c  c c

Tam giác ABC vuông tại C khi và chỉ khi AB2 AC2BC2

2 0

4 12 0

c

 









 

 

 

2

4

6







  

 



Vậy C 2;1 là điểm thỏa đề bài

Cách 2:

;

4

C c c  P



  c6, c 4

Ta gọi M là trung điểm của AB, suy ra 1;13

2

M 

 

Ta có ABC vuông tại C nên 1 5 5

MC AB (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền) Suy ra  2 1 2 13 2 125

1

c  c   

 

 

 

2

4







Vậy điểm C 2;1 là điểm thỏa đề bài

2

Ta có  ' m24

x x    m    m hoặc m 2 Theo định lý viet ta có S x1 x2 b 2m P; x x1 2 c 4

 

m

   

Kết hợp với điều kiện có nghiệm ta có m 2 hoặc m2

Bài III:

Gọi x (giờ) là thời gian máy cày 1 làm một mình xong khu đất

y (giờ) là thời gian máy cày 2 làm một mình xong khu đất Điều kiện x y, 12

Mỗi giờ máy 1 và máy 2 làm được tương ứng là 1

x và

1

y khu đất

Do 2 máy cùng cáy trong 12 giờ thì được 1

10 khu đất nên ta có phương trình

12 12 1

10

x  y  Nếu máy 1 làm một mình 42 giờ và máy 2 làm một mình 22 giờ thì làm được 25% 1

4

 khu đất nên ta có

phương trình 42 22 1

4

x  y 

Suy ra

300

200 4

x

y y

x y





Vậy máy 1 làm một mình trong 300 giờ thì xong khu đất Máy 2 làm một mình trong 200 giờ thì xong khu đất

Bài IV:

a) Xét tứ giác BCPI có:

0

90

ACB (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Và PIB900 (giả thiết)

Suy ra tứ giác BCPI nội tiếp đường tròn đường kính BP

b) Xét tam giác MAB có:

MI AB và ACMB , suy ra MI AC là 2 đường cao Mà P là giao điểm của , MI AC Nên P là trực tâm ,

tam giác MAB

Ta lại có BKA900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Nên BK MABK là đường cao thứ 3 trong tam giác MAB Do đó BK đi qua điểm P hay , , B P K thẳng

hàng

c)

Ta có AQ/ /MI (do cùng vuông góc với AB) nên QAIM là hình thang vuông

BCR nên OBC đều Do đó ABC600

Ta có QA QC là 2 tiếp tuyến của ,  O nên QACQCAABC600 (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn 1 cung)

Do đó QAC đều

AC AB BC  R R R QAR

Q

K

P M

I

C

B O

A

Ta có I là trung điểm của bán kính OA nên 1

2

AI  R và 3

2

BI  R

Xét tam giác MIB vuông tại I có: 3 0 3 3

tan tan 60

R

QAIM

R

S

