II- Bài tập: Dạng 1:viết phương trình của đường thẳng Bài 1:Viết phương trình tổng quát,phương trình tham số ,phương trình chính tắc nếu có của đường thẳng d trong các trường hợp sau: [r]
Trang 1Nguyễn Văn Hưng-Gia bình 1
Chuyờn đề: Phương phỏp tọa độ trong mặt phẳng
Chủ đề 1 Tọa độ điểm, phép tính véc tơ
I Tóm tắt lí thuyết
Ngoài các kiến thức quen thuộc, cần chú ý các hệ quả sau:
1 M là trung điểm của AB, thì:
2 G là trọng tâm ABC, thì:
3 Cho u ( ; ) x y1 1 v ( ; ) x y2 2
* u v , cùng phương ( ) tồn tại
0
v
:
k R u kv hoặc u v , cùng phương 1 1
0
* AB AC , cùng phương thì A, B, C thẳng hàng
* u v u v 0
cos( , )
.
x x y y
u v
0, 0
u v
II Các ví dụ dụ tiêu biểu
Vídụ1: Trong mặt phẳng với hệ Oxy vuông góc cho hình thoi ABCD có A (3;1), ( 2;4) B và giao của hai
đường chéo thuộc Ox Tìm toạ độ C, D?
Hướng dẫn:
Gọi I là tâm hình thoi Giả sử I a ( ;0) Ox
Ta có: IA IB nên IA IB 0 2 có nghiệm và
2 0
a a a 1 a 2
* Với a 1 hay I ( 1;0) Do C, D đối xứng với A và B qua I suy ra
C ( 5; 1) (0; 4) D
* Với a 2 hay I (2;0) C (1; 1) D (6; 4)
Vậy có 2 kết quả của C, D
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng cho hệ Oxy vuông góc có A ( 6;2) (2;6) B C (7; 8) Tìm D Ox sao cho ABDC
là hình thang có đáy AB?
Hướng dẫn:
Ta có AB (8;4); , giả sử suy ra
D Ox D x ( ;0) CD ( x 7;8)
Tứ giác ABCD là hình thang có đáy AB và CD nên AB CD , cùng phương
x
x
Ví dụ 3: a) Cho A ( 3;2) (4;3) B Tìm M O x sao cho MAB vuông tại M
b) ABC có A (1;5) ( 4; 5) B C (4; 1) Tìm toạ độ chân các đường phân giác trong, ngoài của góc A
Trang 2Nguyễn Văn Hưng-Gia bình 1
c) ABC có A (1; 1) (5; 3) B và đỉnh C thuộc Oy, trọng tâm G thuộc Ox Tìm C và G?
Hướng dẫn:
a) M Ox , giả sử M x ( ;0)0 ;
MAB
0
3
2
x
MA MB
x
M1(3;0), M2( 2;0)
Chú ý: Có thể dùng Pitago trong tam giác vuông.
b) I - chân phân giác trong
Ta có AB 5 5 AC 3 5 Theo tính chất ta có 5 hay
3
BI AB
3
BI
IC
1;
BI IC I
Chứng minh tương tự suy ra chân phân giác ngoài là J (16;5)
c) Gọi C (0; ), y0 G x ( ;0)0 Theo công thức tính toạ độ trọng tâm suy ra:
Vậy 0
1 5 0
2 3
0
3
o
(0;4) (2;0)
Ví dụ 4: Cho 4 điểm A(-1;3) B(0;4) C(3;5) D(8;0) CMR: ABCD là tứ giác nội tiếp.
Hướng dẫn:
5
AB AD BAD
AB AD
5
CB CD BCD
CB CD
Vậy ABCD là tứ giác nội tiếp
cos BAD cos BCD 0 BAD BCD 180
Cách khác: I(x;y) cách đều A, B, C, D
Ta có: IA = IB = IC = ID, tìm được 3
0
x y
Vậy I(3;0) là tâm đường tròn ngoại tiếp ABCD
III Bài tập luyện tập
1) (ĐH, CĐ khối D - 2004) Trong mặt phẳng với hệ Oxy vuông góc cho ABC có A(-1;0) B(4;0) C(0;m) m 0 Tìm toạ độ trọng tâm G theo m Tìm m để GAB vuông tại G
Đáp số: m 3 6 2) Cho A(-3;2) B(4;3) Tìm C thuộc Ox sao cho ABC vuông tại C
3) Trong mặt phẳng hệ Oxy vuông góc cho A(-2;1) B(1;1) C(0;1).Tìm M để MAB , OMC cùng cân tại M
4) Cho A(6;6) 1
( ;1) 3
I
a) Tìm B Ox C Oy , sao cho ABC nhận I là trọng tâm
b) Tính SABC?
Trang 3Nguyễn Văn Hưng-Gia bình 1
5) (ĐH, CĐ khối B - 2003) Trong mặt phẳng hệ Oxy vuông góc cho tam giác ABC có AB = AC, góc A = 900 M(1;-1) là trung điểm BC và 2 là trọng tâm Tìm A, B, C?
( ;0) 3
Đáp số: A(0;2) B(4;0) C(-2;-2) (B, C có thể đổi cho nhau)
6) Trên hệ Đề các Oxy cho A(3;1) Tìm B, C sao cho OABC là hình vuông và B nằm trong góc phần tư thứ nhất?
7) (ĐH,CĐ khối A - 2004): Trong mặt phẳng với hệ Oxy vuông góc cho A(0;2) B ( 3; 1) Tìm toạ độ trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp OAB?
Đáp số: Tâm I ( 3;1); Trực tâm H ( 3; 1) 8) Cho A(2;5) B(1;1) C(3;3) Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành?
9) ABC có: A(0;6) B(-2;0) C(2;0) Gọi G là trọng tâm ACM , với M là trung điểm AB
a) Tìm G
b) Tìm toạ độ tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
c) CMR: GI CM
Đáp số: a) 1 b)
( ;3) 3
3
I
10) Tam giác ABC có A(2;5) B(4;-3) C(-1;6)
a) Tìm I sao cho IA 3 IB 2 IC 0
b) Tìm D sao cho 3 DB 2 CD 0
c) CMR: A, I, D thẳng hàng?
d) Gọi E - trung điểm AB, N là điểm sao cho AN k AC
Tìm k để AD, EN, BC đồng quy
e) Tìm quỹ tích M sao cho MA 3 MB 2 MC 2 MA MB MC
Đáp số: a) I(8;-8) b) D(14;-21) d) 2
5
k
e) Quỹ tích M là đường tròn tâm I(8;-8) bán kính 50
2 11) ABC với A(1;0) B(0;3) C(-3;-5) Tìm quỹ tích M trong các trường hợp sau:
a) (2 MA 3 MB MA )( 2 MB ) 0
b)2 MA2 MB2 2 MC2
Đáp số: a) Quỹ tích M là đường tròn tâm 3 15
2 2
b) Quỹ tích M là đường tròn tâm J(8;13) và R 290 12) Tam giác ABC vuông tại A với B(-3;0) C(7;0) và bán kính đường tròn nội tiếp r 2 10 5 Tìm tâm
I của đường tròn nội tiếp tam giác ABC biết yI 0?
Đáp số: I1(2 10;2 10 5) , I2(2 10;2 10 5)
Chủ đề 2: Phương trỡnh đường thẳng
I-Lý Thuyểt
A-Phương trỡnh đường thẳng
Trang 4NguyÔn V¨n Hng-Gia b×nh 1
1.Nếu đường thẳng (d) biết Phương trình tổng quát của (d) là :
0 0
) di qua M(x ;y )
2 Nếu đường thẳng (d) biết Phương trình tham số của (d) là :
0 0
) di qua M(x ;y )
0 0
3.Nếu đường thẳng (d) có phương trình tổng quát: ax+by+c=0 thì (d) có một vtpt là n ( ; )a b và mọi nghiệm của phương trình là tọa độ của điểm thuộc (d)
4.Nếu (d) có phương trình tham số 0 thì (d) có một vtcp và ứng với mỗi giá trị của t
0
cho ta tọa độ một điểm thuộc (d)
5.Nếu u( ; )a b là một vtcp (hoặc vtpt)của đường thẳng (d) thì là một vtpt (hoặc vtcp)của
( ; )
u b a
đường thẳng (d)
6.Cho đường thẳng (d): ax+by+c=0
- Nếu (d1)//(d) thì phương trình (d1)có dạng :ax+by+m=0
- Nếu (d2) (d) thì phương trình (d 2)có dạng :-bx+ay+n=0
7.Phương trình đường thẳng (d) đi qua hai điểm A(a;0) và B(0;b) có dạng
x y 1(a 0;b 0)
8.Phương trình đường thẳng (d) đi qua hai điểm A(xA;yA);B(xB;yB) có dạng:
A A
- Nếu x Bx A=0 thì (d) có phương trình : x x A=0
- Nếu y By A=0 thì (d) có phương trình :y y A=0
9.Nếu đường thẳng (d)có phương trình tham số 0 với thì ta có phương trình chính
0
tắc của (d) là :x x0 y y0
B-Vị trí tương đối của hai đường thẳng :
Cho (d1):a x b y c1 1 1 0
(d2): a x b y c2 2 2 0
Để xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng (d1) và (d2) ta lập hệ
Trang 5NguyÔn V¨n Hng-Gia b×nh 1
1 1 1
a x+b y+c =0
( )
a x+b y+c =0 I
- Hệ (I) vô nghiệm (d1)// (d2)
- Hệ (I) có nghiệm duy nhất (x0;y0) (d1)cắt (d2) tại điểm M(x0;y0)
- Hệ (I) vô số nghiệm (d1) trùng (d2)
C-Góc giữa hai đường thẳng :
Góc giữa hai đường thẳng luôn bằng hoặc kề bù với góc giữa hai vtpt (hoặc góc giữa hai vtcp)
Suy ra:
Nếu (d1):a x b y c1 1 1 0
(d2): a x b y c2 2 2 0 thì 1 2 1 2 ( là góc giữa hai đường thẳng (d1) và
a a +b b
os =
c
(d2))
D-Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng
Cho (d):ax+by+c=0 và điểm M x y( ; )0 0 Khi đó khoảng cách từ điểm M tới đường thẳng (d):
0 0
ax +by +c
M d
d
Lưu ý:
Cho (d):ax+by+c=0 và hai điểm M x y( ; )0 0 ,N x y( ; )1 1 Đặt t = (ax +by +c)(ax +by +c)0 0 1 1
Nếu t < 0 thì M,N nằm về hai phía của (d)
Nếu t>0 thì M,N nằm cùng một phía với (d)
II- Bài tập:
Dạng 1:viết phương trình của đường thẳng
Bài 1:Viết phương trình tổng quát,phương trình tham số ,phương trình chính tắc (nếu có) của đường thẳng
(d) trong các trường hợp sau:
a) (d) có vtpt =(2;-3) và đi qua điểm M(1;2).n
b) (d) đi qua điểm A(3;2) và vuông góc với (d1):2x-y-1=0
c) (d) đi qua hai điểm A(1;2) và B(3;4)
Giải :
a) Ta có :
(d): (1; 2) phương trình tổng quát của (d): 2(x-1)-3(y-2)=0
n(2; 3)
qua M
vtpt
↔ (d): 2x-3y+4=0
Trang 6NguyÔn V¨n Hng-Gia b×nh 1
+) (d) có vtpt n(2; 3) suy ra (d) có vtcp là phương trình tham số của (d) là:
u(3; 2)
2 2
+) phương trình chính tắc của (d) là: 1 2
b) Do (d) (d 1):2x-y-1=0 nên (d) có dạng : x+2y+m=0
Vì A(3;2) (d) nên ta có :3+2.2+m=0↔m=-7
Vậy phương trình tổng quát của (d) là :x+2y-7=0
+) Phương trình tham số của (d): Đặt y=t suy ra x=7-2t
Vậy phương trình tham số của (d): x 7 2t
y t
+)Phương trình chính tắc của (d): 7
2 1
x y
c) Cách 1:Do (d) đi qua A và B nên (d): A(1; 2) phương trình tham số của (d) là
AB(2; 2)
qua vtcp
2 2
+) Phương trình tổng quát của (d):Khử tham số t ở p tham số ta được: x-y+1=0
Cách 2: Phương trình tổng quát của (d):
1 2 1 0
3 1 4 2
x y
Từ đó suy ra phương trình tham số của (d): x 1 t
y t
Bài 2:Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết trung điểm các cạnh là M(2;1),N(5;3),P(3;-4).
Giải:
Giả sử M,N,P theo thứ tự lần lượt là trung điểm các cạnh BC,AC,AB
Ta có:
+) phương trình BC được xác định bởi
M(2;1) M(2;1)
( ) :
BC//PN vtcp PN( 2; 7)
qua qua
BC
+) phương trình AC được xác định bởi
N(5;3) N(5;3)
( ) :
AC//PM vtcp PM(1; 5)
qua qua
AC
Trang 7NguyÔn V¨n Hng-Gia b×nh 1
+) phương trình AB được xác định bởi
P(3;-4) P
( ) :
AB//MN vtcp MN(3; 2)
qua qua
AB
Kết luận: Vâỵ phương trình ba cạnh tam giác là: (AB):2x-3y-18=0
(BC):7x-2y-12=0
(AC):5x+y-28=0
Bài 3:lập phương trình các cạnh của tam giác ABC nếu biết B(-4;-5) và phương trình hai đường cao của
tam giác là (d1):5x+3y-4=0 và (d2): 3x+8y+13=0
Giải:
Nhận xét:B(-4;-5) không thuộc vào các đường cao.giả sử các đường có phương trình :5x+3y-4 =0 là đường cao xuất phát từ A
+) phương trình cạnh AB:
Vì (AB) (d 2):3x+8y+13=0 phương trình (AB) có dạng:8x-3y+c=0
Mặt khác: Do B(-4;-5) thuộc (AB) nên :8(-4)-3(-5)+c=0↔c=17
Vậy phương trình (AB): 8x-3y+17=0
+) phương trình cạnh BC:
Vì (BC) (d 1):5x+3y-4=0 phương trình (BC) có dạng:3x-5y+m=0
Mặt khác: Do B(-4;-5) thuộc (BC) nên :3(-4)-5(-5)+m=0↔m=-13
Vậy phương trình (BC): 3x-5y-13=0
+) phương trình cạnh AC:
Điểm A( ) (d1 AB) nên tọa độ A (-1;3)
Điểm C( ) (d2 BC) nên tọa độ C (1;-2)
Suy ra :phương trình cạnh AC là 1 3 5 2 1 0
1 1 2 3
Kết luận : phương trình các cạnh của tam giác ABC:
(AB):8x-3y+17=0 (BC):3x-5y-13=0 (AC):5x+2y-1=0
Dạng 2:xét tương giao của hai đường thẳng
Bài 1:xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:
a) (d1): x+2y+1=0 và (d2): x+4y+3=0
b) (d1):x+y+1=0 và (d2): 1
1
Trang 8NguyÔn V¨n Hng-Gia b×nh 1
c) (d1): 2 và (d2):
4
2 2
Giải:
a) xét hệ 2 1 0 1 Vậy (d1)cắt (d2) tại điểm A(1;-1)
b) phương trình tổng quát của (d2)là :x+y=0
Xét hệ : 0 Hệ vô ngiệm Suy ra (d1)//(d2)
1 0
x y
x y
c) phương trình tổng quát của(d1):x-2y+4=0
(d2):x-y=0
Xét hệ 2 4 0 4.Vậy (d1)cắt (d2) tại điểm A(4;4)
Bài 2: a) Biện luận theo m vị trí tương đối của (d1):mx+y+2=0 và (d2):x+my+m+1=0
b) Cho hai đường thẳng (d1): 1 và (d2):
1
2 2
Tìm điều kiện của m,n,p,q để (d1)và(d2):
+) cắt nhau
+) song song
+) trùng nhau
+) Vuông góc với nhau
Giải
a) xét hệ 2 0 (I).Ta có
1 0
mx y
x my m
2
2
2
x
y
m
m
m
TH1:Nếu D 0 m 1.Hệ phương trình (I)có nghiệm duy nhất nên (d1) cắt (d2) tại
A(-1 2 1
m y
m
m-1;2 )
1
m
m
TH2:Nếu D=0↔m 1
Với m=1 ta có Dx=Dy=0↔ hệ có vô số nghiệm↔(d1)trùng(d2)
Với m=-1 ta có Dx=2↔hệ vô nghiệm↔(d1)//(d2)
Trang 9NguyÔn V¨n Hng-Gia b×nh 1
Ta có :
t
u
m
a) (d1) cắt (d2)D 0 np mq 0
b) (d1)//(d2)
0
0 0
0
t u
D
np mq D
D
c) (d1) trùng (d2)
0
0 0
0
t u
D
np mq D
D
d) Ta có (d1)có vtcp u1( ; )m n và (d2)có vtcp là
2 ( ; )
u p q
Khi đó ( ) ( )d1 d2 u1u2 mp nq 0
Dạng 3:Một số bài toán về góc và khoảng cách
Bài1:Tính góc giữa hai đường thẳng (d1) và (d2) trong các trường hợp sau
a) x+2y+1=0 và x+4y+3=0
b) 2 và x+2y+7=0
4
c) 2 và
4
2 2
Giải :
a) Ta có: (d1) có vtpt n1 (1; 2) và (d2) có vtcp là Khi đó:gọi là góc giữa hai đường
2 (1; 4)
thẳng thì ta có:
os = 1.1+2.4 9
4 1 16 1 85
b) Ta có: (d1) có vtpt n1 ( 1; 2) và (d2) có vtpt là Khi đó:gọi là góc giữa hai đường
2 (1; 2)
thẳng thì ta có:
os = -1.1+2.2 3
5
4 1 4 1
Trang 10NguyÔn V¨n Hng-Gia b×nh 1
c) Ta có: (d1) có vtcp u1(2;1) và (d2) có vtpt là Khi đó:gọi là góc giữa hai đường
2 (2; 2)
u
thẳng thì ta có:
os = 2.2+2.1 6
4 4 4 1 40
Bài 2:Viết phương trình đường thẳng (d) trong các trường hớp sau
a) (d) đi qua M(1;1) và tạo một góc 300 với đường thẳng (d1):x-2y+8=0
b) (d) đi qua M(1;1) và tạo một góc 450 với đường thẳng (d2):
2
x t
Giải:
a) Gọi u1 (2;1) là vtcp của (d1) và là vtcp của (d)
( ; )
u a b
Theo giả thiết:góc giữa (d) và (d1) là 300 nên ta có
2 5
a b
Giải phương trình trên bằng cách đặt a=kb ta được 2 8 75
k
k
Với k 8 75 đường thẳng (d) có vtcp có tọa độ (kb;b) chọn (k;1).Khi đó:
1 vtcp ( ;1)
k
u k
Tương tự với k 8 75
b) Gọi u1 (1;1) là vtcp của (d1) và là vtcp của (d)
( ; )
u a b
Theo giả thiết:góc giữa (d) và (d1) là 450 nên ta có
0 2
0 2
2
a
a b
ab
b
Với a=0 đường thẳng (d) có vtcp có tọa độ (0;b) chọn (0;1).Khi đó:
(d): M(1;1) ( ) : 1 0
vtcp (0;1)
qua
d x u
Tương tự với b=0
Bài 3:Tính khoảng cách từ M tới đường thẳng (d) biết
a) M(1;1) và đường thẳng (d):x-y-2=0
b) M(2;1) và đường thẳng (d): 2
4
Trang 11NguyÔn V¨n Hng-Gia b×nh 1
Giải:
a) Ta có
/ 1 1 2 2
1 1
M d
b) ta có:phương trình tổng quát của (d):x-2y+8=0
/ 1 10 8 1
M d
Bài 4:Cho hai điểm P(2;5) và Q(5;1).Lập phương trình đường thẳng qua P sao cho khoảng cách từ Q tới
đường thẳng đó bằng 3
Giải:
Gọi (d):ax+by +c=0 là đường thẳng thỏa mãn đề bài
Điểm P(2;5) thuộc (d) nên ta có:2a+5b+c=0
Khoảng cách từ Q(5;1) tới (d) bằng 3 nên :
5
a b c
Từ đó ta có hệ
vậy ta được
0 và c=-2a
b= và c=
7
b
hai đường thẳng x-2=0 và 7x+24y-134=0
Bài 5: Cho P(3;0) và hai đường thẳng (d1):2x-y-2=0 và (d2):x+y+3=0.Gọi (d) là đường thẳng qua P cắt (d1)và (d2) lần lượt tại A và B sao cho PA=PB.Viết phương trình của (d)
Giải
Giả sử A(xA;yA) và B(xB;yB).Khi đó ta có :A thuộc (d1) nên 2xA-yA-2=0
B thuộc (d2) nên xB+yB+3=0
Từ các phương trình ta được ( ;11 16) và B( ;-7 16)
A
Vậy phương trình đường thẳng (d):
7 11 16 16
x y
Trang 12NguyÔn V¨n Hng-Gia b×nh 1
Bài 6:Cho tam giác ABC với A(7/4;3),B(1;2),C(-4;3).Viết phương trình đường phân giác trong của góc A.
Giải:
Đường thẳng AB và AC có phương trình là lượt là:
4x-3y+2=0 và y-3=0
Các đường phân giác trong và ngoài của góc A là:
4x+2y-13=0 và 4x-8y+17=0
Do hai điểm B,C nằm cùng phía với đường phân giác ngoài và nằm khác phía với đường phân giác trong của góc A nên ta chỉ cần xét vị trí của B,C với một trong hai đường,chẳng hạn :4x+2y-13=0.Thay tọa độ B,C vào ta được: 4+8-13=-1<0 và -16+6-13=-23<0 suy ra B,C cùng phía với đường thẳng :4x+2y-13=0 Vậy đường phân giác trong của góc A là :4x-8y+17=0
Bài 7:Cho hai đường thẳng :
(d1):x+2y-3=0
(d2):3x-y+2=0
Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua P(3;1) và cắt d1;d2 tại A;B sao cho đường thẳng (d) tạo với (d1)
và (d2) một tam giác cân cóc cạnh đáy là AB
Hướng dẫn:
Cách 1:Viết phương trình hai đường phân giác của (d1)và (d2).Khi đó (d) vuông góc với các đường phân giác này
Cách 2: Giả sử A(xA;yA) và B(xB;yB).Dựa vào giả thiết:A thuộc (d1),B thuộc (d2),ba điểm A,B,P thẳng hàng
ta tìm được tọa độ A,B
Dạng 4:Tìm điểm liên quan tới đường thẳng
Lưu ý:- Tìm hình chiếu H của M trên đường thẳng (d)
Ta là theo các bước:-Viết phương trình Mx vuông góc với (d)
- H là giao của Mx và (d)
- Tìm điểm N đối xứng với M qua (d)
Ta làm theo các bước: -Tìm tọa độ hình chiếu H của M trên (d)
- H là trung điểm MN
- Cho hai điểm A;B và đường thẳng (d).Tìm trên (d) điểm P sao cho PA+PB nhỏ nhất:
Ta xét hai trường hợp:
TH1:A,B khác phía thì P chính là giao điểm của AB và (d)
TH2:Nếu A,B cùng phía với (d):- Ta tìm điểm A1 đối xứng với A qua (d)
- Khi đó:PA+PB=PA1+PB
Bài 1:Cho đường thẳng (d):x+2y+1=0 và điểm M(1;2)