Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2012 2-Hình chóp đều S.ABCD Cách chọn 1: Cách chọn 2: Gốc O trùng với tâm của hình vuông ABCD, Oz Gốc O trùng với tâm của [r]
Trang 11
ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Hình học nói chung và hình không gian lớp 11 nói riêng là một chuyên đề tương đối khó với đa số học sinh Khó khăn này bao gồm nhiều nguyên nhân, nhưng nhìn chung là do các em chưa được chuẩn bị kĩ càng và đầy đủ về phương pháp, thuật toán để giải bài toán Do vậy, chúng tôi viết chủ đề này với mục đích trang bị, hệ thống cho các em một phương pháp tốt để giải quyết một lớp các bài toán hình học
A-MỘT SỐ BÀI TOÁN MỞ ĐẦU: (Kỳ thi Đại Học toàn quốc)
Bài tập 1: Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A trùng với
gốc của tọa độ với B a( ;0;0 , ) (D 0; ;0 , ' 0;0;a ) A ( b) (a>0, b>0) Gọi M là trung điểm cạnh CC’
a) Tính thể tích khối tứ diện BDA’M theo , .a b
b) Xác định tỷ số a b để 2 mp(A’BD) và (MBD) vuông góc với nhau
Bài tập 2: Cho tứ diện OABC với A(0;0;a 3 , ) B a( ;0;0 , ) C(0;a 3;0 ) (a>0) Gọi M là trung điểm BC Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AB và OM
Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, AC cắt BD tại gốc tọa độ O
Biết A(2;0;0 , ) (B 0;1;1 , ) S(0;0;2 2) Gọi M là trung điểm SC
a) Tính góc và khoảng cách giữa 2 đường thẳng SA, BM
b) Giả sử mp(ABM) cắt đường thẳng SD tại điểm N Tính thể tích khối chóp
S.ABMN
Bài tập 4: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ BiếtA a( ;0;0 , ) (B -a;0;0 , ) (C 0;1;0 ,)
' ;0;
B -a b (a>0, b>0)
a) Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng B’C và AC’ theo , a b
b) Cho , a b thay đổi, nhưng luôn thỏa a+ =b 4 Tìm , a b để khoảng cách giữa 2
đường thẳng B’C và AC’ lớn nhất
Bài tập 5: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ với A(0; 3;0 , - ) (B 4;0;0 , ) (C 0;3;0 , )
' 4;0;4
a) Xác định tọa độ A’, C’ Viết phương trình mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với mp(BCC’B’)
b) Gọi M là trung điểm A’B’ Viết phương trình mp(P) qua 2 điểm A, M và song song BC’ Mặt phẳng (P) cắt đường thẳng A’C’ tại N Tính độ dài MN
Bài tập 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AC cắt BD tại gốc O Biết
( 2; 1;0 , ) ( 2; 1;0 , ) (0;0;3 )
a) Viết phương trình mặt phẳng qua trung điểm M của cạnh AB, song song với 2 đường thẳng AD và SC
b) Gọi (P) là mp qua B và vuông góc với SC Tính diện tích thiết diện của hình chóp S.ABCD với mp(P)
Bài tập 7: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với A(0;0;0 , ) (B 1;0;0 , ) (D 0;1;0 , )
' 0;0;1
A Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD
a) Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng A’C và MN
b) Viết phương trình mặt phẳng chứa A’C và tạo với mp(Oxy) một góc q với cos 1
6
= q
Trang 22
Bài tập 8: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có A(0;0;0 , ) (B 2;0;0 , ) (C 0;2;0 , )
' 0;0;2
A
a) Chứng minh: A’C^BC’ Viết phương trình mp(ABC’)
b) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng B’C lên mp(ABC’)
B-NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP:
I- Sự cần thiết của phương pháp:
+ Xuất phát từ nhu cầu: có phương pháp hiệu quả hơn trong việc giải quyết các bài tập HHKG11
+ Học sinh thường ngại và lúng túng khi gặp bài toán toán HHKG thuần túy
+ Đáp ứng yêu cầu phát triển tư duy và nâng cao trình độ cũng như chất lượng bài học
ở trường THPT
+ Giải quyết kịp thời những yêu cầu giảng dạy và học Toán trong tình hình mới
II- Tư duy thuật toán:
Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz
Suy ra tọa độ các điểm liên quan (phụ thuộc theo giả thiết độ dài)
Bước 2: Chuyễn ngôn ngữ (yêu cầu đề bài) hình học thuần túy sang ngôn ngữ
(kỹ năng) tọa độ Oxyz
II- KỸ NĂNG CHỌN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ OXYZ:
Loại I-TAM DIỆN:
1 1 1
z
y
C
1 1 1
z
y
Ta có thể chọn hệ tọa độ chứa góc phẳng
đó
Loại II -HÌNH CHÓP:
1-Hình chóp đều S.ABC
Gốc O trùng với trọng tâm G của đáy, Oz trùng
với đường cao của hình chóp
C
B A
S
z
x
y
G
Đáy của chóp đều S.ABC:
H
y
G
x
A
Trang 33
2-Hình chóp đều S.ABCD
Gốc O trùng với tâm của hình vuông ABCD, Oz
trùng với đường cao của hình chóp
O
S
z
x
A
Đáy của chóp đều S.ABCD:
O
C D
Gốc O trùng với tâm của hình vuông ABCD, Oz trùng với đường cao của hình chóp
y x
z
S
C D
O
Đáy của chóp đều S.ABCD:
x
B A
3- Hình chóp S.ABCD có SA^(ABCD : )
3-1) Đáy ABCD là hình chữ nhật 3-2) Đáy ABCD là hình thoi, 0
60
=
BAC
Gốc O trùng với đỉnh A của hình chữ nhật
ABCD, Oz trùng với đường cao của hình chóp
z
S
B
C
y
x
Đáy của chóp S.ABCD:
x
y
A
D
Gốc O trùng với đỉnh A của hình thoi ABCD, Oz trùng với đường cao của hình chóp
O
S
A
B
C
D
y z
x
Đáy của chóp S.ABCD:
x
y
30 0
60 0
A
B
C
D
Trang 44
4- Hình chóp S.ABC có SA^(ABC : )
4-1) Đáy ABC là tam giác vuông tại A 4-2) Đáy ABC là tam giác vuông tại B
Gốc O trùng với đỉnh A của tam giác ABC, Oz
trùng với đường cao của hình chóp
S
A
B
x
z
Đáy của chóp S.ABC:
A
B
C
y x
Gốc O trùng với đỉnh A của tam giác ABC,
Oz trùng với đường cao của hình chóp
C
S
z
y
Đáy của chóp S.ABC:
B
x
y
4-3) Đáy ABC là tam giác đều 4-3) Đáy ABC là tam giác cân tại A có
0
120
=
Gốc O trùng với đỉnh A của tam giác ABC, Oz
trùng với đường cao của hình chóp
S
z
B
x
30 0
Gốc O trùng với đỉnh A của tam giác ABC,
Oz trùng với đường cao của hình chóp
S
z
A
30 0
x
B
C
y
Trang 55
Đáy của chóp S.ABC:
A
y
C B
x
30 0
Đáy của chóp S.ABC:
A
B C
y
x
30 0
5- Hình chóp S.ABCD có (SAB) (^ ABCD)
5-1 Đáy là hình chữ nhật ABCD 5-2 Đáy là hình thoi ABCD có góc
0
120
=
BAD
Gốc O trùng với trung điểm của cạnh AB, Oz
trùng với đường cao của hình chóp
I
D
S
z
A
B
x
C
y
Đáy của chóp S.ABCD:
I
D
C B
A
y
x
Gốc O trùng với trung điểm của cạnh AB,
Oz trùng với đường cao của hình chóp
60 0
z
S
I A
x
B
D
y
C
Đáy của chóp S.ABCD:
D
x
B
I
Loại III- HÌNH LĂNG TRỤ:
1- Hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ 2- Hình lăng trụ tứ giác đều
ABCD.A’B’C’D’
Gốc O trùng với đỉnh A của tam giác đều
ABC, Oz trùng với đường cao của hình lăng
trụ
Gốc O trùng với đỉnh A của hình vuông ABCD, Oz trùng với đường cao của hình lăng trụ
Trang 66
C' A'
B'
A
B
x
z
30 0
Đáy của lăng trụ ABC.A’B’C’:
30 0
x
B
C
y
A
D'
D B
A
C
C'
A' B'
z
y x
Đáy của lăng trụ ABCD.A’B’C’D’:
B A
O
y
x
3- Hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có
120
=
4- Hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có
120
=
Gốc O trùng với đỉnh A của tam giác đều
ABC, Oz trùng với đường cao của hình lăng
trụ
A'
C'
B'
y
C
B
x
30 0
A
z
Gốc O trùng với đỉnh A của tam giác đều ABC, Oz trùng với đường cao của hình lăng trụ
A'
B'
C'
D' O'
x
z
y
D
C B
A
O
Trang 77
Đáy của lăng trụ ABC.A’B’C’:
30 0
x
y
A
Đáy của lăng trụ ABCD.A’B’C’D’:
D
C B
A
60 0
30 0
y x
5- Hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có hình chiếu
của A’ trùng với tâm đáy và ABCΔ vuông
6- Hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có hình chiếu
của A’ trùng với tâm đáy và ABCΔ đều
Gốc O trùng với đỉnh A của tam giác ABC,
Oz trùng với đường cao của lăng trụ
I A
B
C
B'
C' A'
z
y
x
Đáy của lăng trụ ABC.A’B’C’:
x
y
C B
A
Gốc O trùng với trọng tâm G của tam giác ABC, Oz trùng với đường cao của lăng trụ
z
B'
C' A'
x
A
B
C
Đáy của lăng trụ ABC.A’B’C’:
C B
A
y
H
7- Hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’: 8- Hình lập phương ABCD.A’B’C’D’:
Gốc O trùng với đỉnh A của hình chữ nhật
ABCD, Oz trùng với đường cao của hình lăng
trụ
x
y
z
B'
A'
C'
C
A B
D
D'
Gốc O trùng với đỉnh A của hình vuông ABCD, Oz trùng với đường cao của hình lăng trụ
D'
D B
A
C
C'
A' B'
z
y x
Trang 88
Đáy của lăng trụ ABCD.A’B’C’D’:
D
C B
x
Đáy của lăng trụ ABCD.A’B’C’D’:
y
O
C D
x
III- Chuyển ngôn ngữ hình học thuần túy sang ngôn ngữ tọa độ:
1) Chứng minh hai đường thẳng d 1 và d 2
vuông góc d1 có vectơ chỉ phương u x x x1( 1; ;2 3)
d2 có vectơ chỉ phương u y y y2( 1; ;2 3)
Ycbt: u u 1 2 =0 Ûx y1 1+x y2 2+x y3 3=0
2) Xác định góc giữa hai đường thẳng 1 2
cos
u u
u u
= a
3) Chứng minh 2 đường thẳng d 1 và d 2
u ku
= ì
í Î Þ Ï î
hoặc [ 1 2]
u u
ï í
Î Þ Ï ïî
4) Tính diện tích tam giác ABC 1
, 2
ABC
S = ëé AB ACùû
S =S +S = éë AB ACùû + éë AC ADùû
6) Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng
chéo nhau d và 1 d 2
1 2
1 2
;
, d( ; )
,
u u M M
d d
u u 7) Tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt
0 0 0 0
d ;( )
M x y z P ax by cz d
ax by cz d
a b c
8) Tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1
đường thẳng M x y z d có 1vtcp 0( ; ; );0 0 0 a a a a( 1; ;2 3);N dÎ
0 0
, ( ; ) M N a
d M d
a
9) Tính thể tích hình chóp S.ABC
.
1 , 6
S ABC
V = ëéSA SB SC ùû
10) Tính th ể tích hình chóp S.ABCD . . .
SA SC SB SA SC SD
= ë û + ë û
11) Th ể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’
ABCD A B C D
V = ëé AB AD AAùû
12) Chứng minh CK ^(MNP)
Chỉ rõ . 0
CK MN
CK MP
ï í
= ïî
Trang 99
13) Chứng minh PH//(ABC )
Chỉ rõ ( )
ABC 0
PH n
P ABC
ï í Ï ïî
*Lưu ý: Các yêu cầu khác thì chuyển tương tự
C- BÀI TẬP MINH HỌA:
Bài tập 1: Cho tứ diện OABC có đáy OBC là tam giác vuông tại O, OB=a, OC= a 3, (a>0) và đường cao OA= a 3 Gọi M là trung điểm của cạnh BC Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và OM
Hướng dẫn:
Cách 1: Ứng dụng tọa độ
Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ Khi đó:
O(0;0;0), A(0;0;a 3); ( ;0;0), (0;B a C a 3;0), ; 3; 0
2 2
a a
Bước 2: Ta có:
( ;0; 3)
3
; ;0
2 2
AB a a
a a OM
-ïï
=
î
và OB=(a;0;0)
d ;
5 ,
OB AB OM a
AB OM
AB OM
Cách 2: Phương pháp hình học sơ cấp
Gọi N là điểm đối xứng của C qua O Ta có: OM // BN (tính chất đường trung bình)
Þ OM // (ABN)
Þ d(OM;AB) = d(OM;(ABN)) = d(O;(ABN))
Dựng OK ^BN OH, ^ AK K BN H( Î ; ÎAK)
Ta có: AO^(OBC OK); ^BN Þ AK ^BN
BN ^OK BN ^ AK ÞBN ^ AOK Þ BN ^OH
OH ^ AK OH ^BN ÞOH ^ ABN Þ d O ABN =OH
Từ các tam giác vuông OAK; ONB có:
5
a OH
Vậy, d( ; ) 15
5
a
OM AB =OH =
Bài tập 2: Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C có các mặt bên là hình vuông cạnh a Gọi 1 1 1
D, E, F lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng BC A C C B Tính khoảng cách giữa DE và , 1 1, 1 1
1
A F
Hướng dẫn:
M
O
B
A
C y
x
z
Trang 1010
Do các mặt bên của hình lăng trụ là hình vuông cạnh a nên là hình lăng trụ tam giác đều
có tất cả các cạnh đều bằng a
Cách 1: Ứng dụng tọa độ
Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ Khi đó:
O(0;0;0), 1( ) ( ) 1( ) 1
0;0;0 , ;0; , ;0;0 , ; ;0 , ; ;
Suy ra: ;0;0 , 3 ; 3; , 3 ; 3;0
Bước 2: Ta có:
1
3
; ;
4 4
; ;0
4 4
a a
a a
A F
=
í
î
1
và 1 3 ; 3;
4 4
a a
Ta có:
1
,
ED A F
ë û
1
1
17 ,
A F ED A F a
A F ED
ED A F
Cách 2: Phương pháp hình học sơ cấp
Ta có: A F1 ^(BCC B1 1) Dựng EK//A F1 ÞEK ^(BCC B1 1)
Suy ra DK là hình chiếu vuông góc của DE lên (BCC B 1 1)
Dựng FH ^DK Þd(ED A F, 1 )=FH
Xét tam giác DFK vuông tại F: 12 12 12 162 12 172 17
17
a FH
FH = FK + FD = a +a = a Þ =
Kết luận: ( 1 )
17
17
a
A F ED =
Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, AB = AC = a
(a > 0), hình chiếu của S trên đáy trùng với trọng tâm G của DABC Đặt SG = x (x > 0)
Xác định giá trị của x để góc phẳng nhị diện (B SA C bằng 60; ; ) o
Hướng dẫn: Ta có: BC a= 2 Gọi M là trung điểm của BC 2; 2
Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của G lên AB, AC Tứ giác AEGF là hình vuông
3
a
D
H
K F
a a
30 0
z
x y
C 1
B 1
A 1
B
a
A
y
C
30 0
Trang 1111
Cách 1: Ứng dụng tọa độ
Chọn hệ trục như hình vẽ: A(0;0;0), B(a;0;0), C(0; a; 0), ; ; 0 , ; ;
Gæ ö Sæ xö
SA=æ xö SB=æ - -xö SC= -æ -xö
2
1
SA SB æ ax ö aæ x ö a n
ë û è ø è ø , với 1 0; ;
3
a
n =æ x - ö
2
2
SA SC æ ax ö a xæ ö a n
-ë û è ø è ø với 2 ; 0;
3
a
n =æx - ö
Mặt phẳng (SAB) có vectơ pháp tuyến n1= ëéSA SB , ùû
Mặt phẳng (SAC) có vectơ pháp tuyến n2 = ëéSA SC , ùû
Góc phẳng nhị diện (B SA C bằng 60; ; ) o
2
0 .0
3 3 cos 60
9
o
a a
x x
a
x a
+
2
1
2 9
a
x a
Û =
+
3
a
Kết luận:
3
a
x=
Cách 2: Phương pháp hình học sơ cấp
Gọi M là trung điểm của BC Þ AM ^BC (DABC vuông cân)
Ta có: SG^(ABC)Þ SG^BC Suy ra: BC ^(SAM)
Dựng BI ^SAÞ IM ^SA và IC^SAÞBIC là góc phẳng nhị diện (B SA C ; ; )
SAB SAC c c c
D = D - - Þ IB IC= Þ DIBC cân tại I
BC a= AM =BM =MC = BC = AG=
2
2
9
x
3 2
2 9 2
ax IM
Ta có: BIC =60o
3
a
Kết luận:
3
a
x=
E
F M
a a
G
S
C A
B
z
x
y
x
Trang 1212
Bài tập 4: (Trích đề thi Đại học khối A – 2002) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ
dài cạnh đáy là a Gọi M, N là trung điểm SB, SC Tính theo a diện tích DAMN, biết (AMN) vuông góc với (SBC)
Hướng dẫn:
Gọi O là hình chiếu của S trên (ABC), ta suy ra O là trọng tâm ABCD Gọi I là trung điểm của
BC, ta có: 3 3
a
Trong mặt phẳng (ABC), ta vẽ tia Oy vuông góc với OA
Đặt SO = h, chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ ta được:
(0;0;0 , 0;0; , ) ( ) 3; 0; 0
3
a
3
; 0; 0
6
a
3
; ; 0
6 2
3
; ; 0
3
; ;
12 4 2
3
; ;
12 4 2
2
,
2
, ; 0;
6
n éSB SCù æ ah ö
AMN ^ SBC Ûn n = Þh = ÞSD = éë AM ANùû =
Bài tập 3: Cho hình lập phương ABCD A'B'C'D' cạnh a Chứng minh rằng AC' vuông góc với
mặt phẳng (A'BD)
Hướng dẫn:
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O º A; B Î Ox; D Î Oy và A' Î Oz
Þ A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0), A'(0;0;a), C'(1;1;1)
Þ Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng(A'BD): x + y + z = a hay x + y + z –a = 0
ÞPháp tuyến của mặt phẳng (A'BC): n(A BC' ) =(1;1;1) và AC'=(1;1;1) =1.n(A BC' )
Kết luận: AC' vuông góc với (A'BC)
Bài tập 5: Cho lăng trụ ABC.A'B'C' các các mặt bên đều là hình vuông cạnh a Gọi D, F lần
lượt là trung điểm của các cạnh BC, C'B' Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A'B và B'C'
Hướng dẫn:
Cách 1: Ứng dụng tọa độ
Vì các các mặt bên của lăng trụ đều là hình vuông nên
' ' ' ' ' '
AB BC CA A B= = = =B C =C A = Þa các tam giác ABC, A’B’C’ là các tam giác đều
Chọn hệ trục Axyz, với Ax, Ay, Az đôi một vuông góc
A(0;0;0), ; 3; 0 , ; 3; 0 , '(0; 0; ), ' ; 3; , ' ; 3;
Ta có: B C BC B C' '// , ' '// ( 'A BC )
d B C A B' '; ' d B C' '; A BC' d B A BC'; '
a
h
y x
O
z
S
A
B C
Trang 1313
2
a
0; 1;
2
Phương trình mặt phẳng (A’BC) qua A’ với vectơ pháp tuyến n :
2
x- + y- + z a- = ( ' ): 3 3 0
a
A BC y z
21
7 3
1 4
a
a
B A BC
+
Kết luận: ( ' ; ' ') 21
7
a
d A B B C =
Nhận xét: Ở bài tập trên chúng ta đã dùng công thức!!
Cách 2: Phương pháp hình học sơ cấp
Vì các các mặt bên của lăng trụ đều là hình vuông nên
' ' ' ' ' '
Þ các tam giác ABC, A’B’C’ là các tam giác đều
Ta có: ' '//B C BC Þ B C' '//( 'A BC)
( ' ; ' ') ( ' ';( ' ) ) ( ;( ' ) )
d A B B C d B C A BC d F A BC
' ( A'BC A')
BC FD
BC A FDA
BC A D
^
ì
Dựng FH ^ A D' Vì BC ^(A FDA' )Þ BC ^FH Þ H ^( 'A BC)
Xét ΔA FD' vuông có: 1 2 1 2 12 42 12 72 21
7
a FH
FH = A F + FD = a + a = a Þ =
Kết luận: d( ' ; ' ') 21
7
a
A B B C =FH =
Bài tập 6: Tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau, AB = 3, AC=AD=4
Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD)
Hướng dẫn:
+ Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho
A º O, D ÎOx; C Î Oy và B Î Oz
Þ A(0;0;0); B(0;0;3); C(0;4;0); D(4;0;0)
Þ Phương trình mặt phẳng (BCD) là:
4 4 3
x y z
x y z
Suy ra: d( ;( ) ) 12
34
A BCD =
Bài tập 7: Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c đôi một vuông góc Điểm M cố
định thuộc tam giác ABC có khoảng cách lần lượt đến các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) là
1, 2, 3 Tính a, b, c để thể tích O.ABC nhỏ nhất
Hướng dẫn:
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có: O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c)
K H D
y
B
z
x
H
C' A'
B'
A
B
C
y
x z
30 0
a
a
F
D