Tai lieu boi duong hoc sinh gioi Chuyen de 19 NGHIEM CUA DA THUC Le Hoanh Pho

Hướng dẫn giải Ta chứng minh rằng x1 ,x2 ,x3 là nghiệm nguyên duy nhất của các phương trình trên.. Có thể thấy..[r]

Trang 1

L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p,

đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo

1

CHUYÊN 19: NGHIỆM CỦA ĐA THỨC

1 KIẾN THỨC TRỌNG TÂM G

Định nghĩa: Cho f R x  và số R

Ta gọi  là một nghiệm thực của f nếu f( ) 0

Ta gọi  là nghiệm bội k của f x( ) nếu f x( ) chia hết cho (x)k nhưng không chia hết cho (x)k 1 nghĩa là:

( )f x  (x ) ( ),k g x  x R và ( )g  0

hay

( ) ( )

( )

k 1 k

Trang 2

Giữa 2 nghiệm của đa thức f x( ) thì có một nghiệm của f x'( )

Nếu f có n nghiệm phân biệt thì f ' có n 1 nghiệm phân biệt,

'''

f có n 2 nghiệm phân biệt,…, f(n k )

có n k nghiệm phân biệt,…

Phân tích nhân tử theo các nghiệm

Cho f R x  có nghiệm x x 1, 2, ,x với bội tương ứng m k k 1, 2, ,k m thì tồn tại

Trang 3

Phân tích ra nhân tử của fR x  

Các nhân tử của f chỉ là nhị thức bậc nhất hoặc tam thức bậc hai vô nghiệm:

Đa thức Chebyshev (Trưbưsep) T x n( ) có bậc n và có hệ số cao nhất 2 n 1

Đôi khi ta chỉ xét n1 trở đi

Trang 4

- Mỗi đa thức hệ số thực bậc n đều có không quá n nghiệm thực

- Đa thức có vô số nghiệm là đa thức không f 0

- Nếu đa thức có bậc n và có quá n nghiệm là đa thức không

- Nếu đa thức có bậc n và nhận n 1 giá trị như nhau tại n 1 điểm khác nhau của biến là đa thức hằng: f C

- Hai đa thức có bậc n và nhận n 1 giá trị như nhau tại n 1 điểm khác nhau của biến thì đồng nhất nhau: f g

2) Quy tắc dấu DESCARTE:

f ( x ) a x o n a x 1 n 1 a n 1 x a ,a n o 0



Gọi D là số nghiệm dương (kể cả bội)

L là số lần đổi dấu trong dãy hệ số khác 0 từ a đến o a (bỏ đi các hệ số n a i 0 )

Thì: D L và L D là số chẵn hay L D 2m,mN

3) Đưa đa thức vào giả thiết các số bất kì

Cho n số bất kì x ,x , ,x thì ta xét đa thức nhận n số đó làm nghiệm: 1 2 n

Trang 5

5

Ta chứng minh phản chứng Giả sử phương trình đã cho có nghiệm hữu tỉ  Khi đó 

sẽ là nghiệm hữu tỉ của đa thức:

Trang 6

Vậy x là nghiệm duy nhất của phương trình P( x ) 2 2

Hướng dẫn giải tương tự cho P( x ) 1;P( x ) 3 

Giả sử phương trình P( x )5 có một nghiệm nguyên x , ta có: 5

5P( x ) ( x x )q( x ) 2 ( x x )q( x )3 Nếu x 5x 2 chỉ có thể lấy các giá trị 1 và 3

Nếu x 5x 2  1 thì theo chứng minh trên x phải trùng với 5 x hoặc 1 x Vô lý vì 3 x 5

khác với x và 1 x Do đó chỉ có thể xảy ra khả năng 3 x 5x 2 3

Trang 7

7

Nếu x 1x 2 1 và x 3x 2  1 thì x 5x 2 3

Nếu x 1x 2  1 và x 3x 2 1thì x 5x 2 3

Như vậy nghiệm nguyên x (nếu nó tồn tại) của phương trình 5 P( x )5 được xác định

hoàn toàn bởi x ,x ,x 1 2 3 Các số này là duy nhất Vậy P( x ) 5 không thể có hơn một

nghiệm nguyên

Bài toán 19.3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên a, đa thức:

f ( x )x 2001x ( 2000 a )x 1999x a không thể có hai nghiệm nguyên (phân

biệt hay trùng nhau)

Đẳng thức không thể xảy ra vì x ,x 1 2 đều chẵn

- Giả sử f ( x ) có nghiệm kép x chẵn Khi đó o x cũng là nghiệm của đạo hàm o f '( x )

Do đó:

f '( x )4x 6003x 2( 2000 a )x 19990 Đẳng thức không thể xảy ra vì x chẵn o

Bài toán 19.4: Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện: với mỗi số nguyên dương

n,a b c là số nguyên Chứng minh tồn tại các số nguyên p, q, r sao cho a, b, c là 3

nghiệm của phương trình x 3px 2qx r 0

Trang 8

Theo định lí Viet, rõ ràng điều phải chứng minh tương đương với việc chứng minnh

a b và a.b là số nguyên a b hiển nhiên nguyên theo điều kiện đề bài

x  px q 0với p, q là các số nguyên nào đó (và dó đó a nb n nguyên dương với mọi

n nguyên dương) Điều đó cũng có nghĩa là ta chỉ cần dùng giả thiết của bài toán đến

a b nguyên với mọi n nguyên dương

Trở lại với bài toán, ta chỉ cần chứng minh a b c,ab bc ca    vàabc nguyên

Trang 9

Từ đây, do a b c,a  2b 2c ,a 2 3b 3c 3và 2( ab bc ca )  là số nguyên nên ta suy

ra 6abc là số nguyên (ta nhân (2) với 2! ) Từ đó, nhân (2) với 3 ta thu được

6( ab bc ca )  2( a b b c c a ) 12abc( a b c )   là số nguyên Như vậy 2( ab bc ca )  và 6( ab bc ca )  2 Áp dụng cách chứng minh như bổ đề nêu trên, ta suy ra ab bc ca  là số nguyên Từ đây, thay vào (2) ta có 3abc là số nguyên Tiếp theo, ta ử dụng hằng đẳng thức tương tự (2)

a b c 3a b c ( a b c )( a b c a b b c c a ) với chú ý 2( a b 2 2b c 2 2c a ) 2 2 là số nguyên ta suy ra 6a b c 2 2 2 là số nguyên

Từ 6abc và 6a b c 2 2 2 là số nguyên, bằng cách chứng minh hoàn toàn tương tự ta suy ra abc là số nguyên Bài toán được Hướng dẫn giải quyết hoàn toán

Bài toán 19.5: Cho đa thức P(x) có bậc m0 và có các hệ số nguyên Gọi n là số tất cả các nghiệm nguyên phân biệt của hai phương trình P( x )1 và P( x ) 1 Chứng minh rằng : n m 2

Trang 10

10

A( r )0 (1) và B( s )0 (2) Khi đó, trừ (1) cho (2) ta được một tổng của hạng tử có dạng i i

a( r s ) và cộng thêm cho 2 Mỗi hạng tử này chia hết cho ( rs ), do đó 2 phải chia hết cho ( rs ) Từ đó, suy ra r và s hơn kém nhau 0, 1 hoặc 2 đơn vị

Giả sử r là nghiệm nguyên bé nhất trong tất cả các nghiệm nguyên của hai phương trình:

P( x )1 và P( x ) 1

Ta biết rằng đa thức bậc m và có không quá m nghiệm phân biệt, do đó nó cũng có không quá m nghiệm nguyên phân biệt Theo nhận xét trên, nếu r là một nghiệm nguyên của phương trình này và s là một nghiệm nguyên của phương trình kia thì r và s khác 0, 1 hoặc 2 đơn vị

Nhưng ta có sr , do đó ta được sr,s r 1 hoặc s r 2

Do vậy, ta suy ra rằng phương trình thứ hai chỉ có thêm vào nhiều nhất là 2 nghiệm phân biệt nữa Vậy: n m 2

Bài toán 19.6: Tìm các nghiệm của đa thức P( x ) hệ số thực thỏa mãn:

Trang 11

Vậy P( x ) Cx( x 1)( x 1)( x 2 )    nên có 4 nghiệm x  0; 1, 2

Bài toán 19.7: Tìm a để phương trình: 4 3 2

16 x ax ( 2a 17 )x ax 16 0 có 4 nghiệm phân biệt lập cấp số nhân

Trang 12

12

Chia (3) cho (1) vế theo vế:y m 2 31 (4)

Suy ra m 3 0,m0 Thay (4) vào (2) được:

 Đặt m v thì yv3

Thay vào (2) và (2’) được: 3 2 4 6 

v 1 v v v ) A (5) Rồi biến đổi thì được phương trình:

1 1

, ,2,8

8 2 phân biệt lập cấp số nhân có công bội là 4 Vậy a170

Bài toán 19.8: Tìm a, b nguyên sao cho phương trình:

Trang 13

Giả sử u.v 1 Từ (2) và (3) ta suy ra uv hữu tỉ và ( uv ) 2Z nên ( u v ) Z và

cả hai ( uv ),( uv ) 21 đều chia hết cho u.v

Nhưng    2

u v , u v 1 1

  , nên suy ra hoặc u.v1 hoặc u.v 1

Điều này mâu thuẫn với u.v 1

Bài toán 19.9: Cho phương trình bậc 3: 3 2

x  px qx r 0 có 3 nghiệm phân biệt Chứng minh điều kiện cần và đủ để 3 nghiệm x ,x ,x 1 2 3

a) Lâp cấp số cộng là: 2 p 29 pq 27r 0

b) Lập cấp số nhận là: q 3rp 3 0

Trang 14

b) Giả sử 3 nghiệm x ,x ,x 1 2 3 lập cấp số nhân nên x x 1 3x 2 2

Trang 15

15

Khi đó

2 2

 có n nghiệm phân biệt F( x )0

Mà hệ số của F( x ) đối với x n 1 bằng 0

Trang 16

Bài toán 19.12: Cho 3 2

P( x )x ax bx c có hệ số nguyên Chứng minh nếu P( x ) có một nghiệm bằng tích 2 nghiệm còn lại thì:

Trang 17

a) Dãy các dấu của các hệ số là     

Gọi L là số lần đổi dấu hệ số và D là số nghiệm dương thì:

L   3 3 D 2k

Do đó D3 hoặc 1 hay D1 nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm dương

b) Dãy các dấu của hệ số là      nên : L   2 2 D 2k

Do đó: D0 hoặc D2

Mặt khác f ( 0 )1, f ( 1) 2 nên f ( 0 ) f ( 1) 0 do đó phương trình f ( x )0 có ít nhất một nghiệm trong ( 0,1 )

Vậy D0 do đó D2 nên phương trình có 2 nghiệm dương

Rõ ràng f ( x )0 nếu x0 nên phương trình chỉ có 2 nghiệm dương không có nghiệm

Trang 18

Trong đó g( x ) không có nghiệm trong ( a,b ) nên đa chức g( x )giữ nguyên dấu trong

( a,b ) Giả sử g( x )0 với mọi x a,b

Chứng minh tương tự khi f ( a ) f ( b )0

Bài toán 19.15: Cho đa thức P( x ) bậc n và 2 số ab thỏa:

n n n

Trang 19

Nếu x a P( x ) 0 P( x ) không có nghiệm xa

Vậy các nghiệm phải thuộc ( a,b )

Bài toán 19.16: Cho f ( x ) là đa thức bậc n có các hệ số bằng 1 Biết rằng đa thức

x1 là nghiệm bội cấp m với m2 ,k k 2, k nguyên Chứng minh rằng n2 k 1 1

ở vế phải của (*) là 0 Điều này mâu thuẫn vì hệ số vế trái của (*)

là 1 Do đó, bậc của g( x ) không nhỏ hơn k

2 1 Vậy n2 k 2 k  1 2 k 1 1

Bài toán 19.17: Cho đa thức 3 2

Trang 20

x px qx r 0 có 1 nghiệm thực âm và hai nghiệm phức liên hợp Giả sử ba

nghiệm đó là a,R(cos i sin),R(cosi sin) với a0,R0,0   thì

Bài toán 19.18: Cho phương trình: 3

x   x 1 0 có 3 nghiệm phân biệt Tính tổng lũy thừa bậc 8 của 3 nghiệm đó

Hướng dẫn giải

Theo định lý Viete: phương trình: 3

x   x 1 0 có 3 nghiệm phân biệt nên

x x x 0; x x x x x x  1 và x x x 1 2 3 1

Trang 21

i 1 i

x 1 S

Trang 22

Hơn nữa, vì f ( x ) 0 là phương trình bậc năm nên có đúng 5 nghiệm

Ta có x là nghiệm của phương trình (1) nên: i

Trang 23

Vì y’ bậc 2 có 2 nghiệm phân biệt nên có CĐ và CT

Lấy y chia y’ ta có: y 1 x.y' 2( a 2 b )x 2 2( a 3 b ) 3

Bài toán 19.22: Cho phương trình 3 2

ax 27 x 12x 2001 0  có 3 nghiệm thực phân biệt Hỏi phương trình sau có bao nhiêu nghiệm thực:

Trang 24

Vậy phương trình g( x )0 có 2 nghiệm thực

Trang 25

Chứng minh f ( x ) f '( x )0 cũng có nghiệm phân biệt và:

2

( n 1)a 2na a Hướng dẫn giải

Vậy ( n 1)a 1 2 2na a o 2

Bài toán 19.25: Giả sử n n 1

Trang 26

Do đó g( x )h( x )a k 0 (mâu thuẫn) Nên a n 0

Vậy f ( x )không có nghiệm số thực

Bài toán 19.26: Cho 2 cấp số cộng ( a ),( b ) n n và số m nguyên dương, m2 Xét m tam thức bậc hai: p ( x ) k x 2a x b k  k với k1,2, ,m Chứng minh nếu p ( x ) 1 và p m( x )

không có nghiệm số thực thì các tam thức còn lại cũng không có nghiệm số thực

Hướng dẫn giải

Ta có tam thức bậc hai: p ( x ) 1 và p m( x ) không cói nghieemj số thực thì p ( x ) 1 và

m( x )

p đều luôn luôn dương với mọi x

Giả sử tồn tại p ( x ) k x 2a x b k  k với k2,3, ,m 1 có nghiệm số thực xc Gọi a, b là công sai của hai cấp số cộng ( a ),( b ) n n

Ta có p m( x )p ( x ) ( m k )( ax b ) k    và p ( x ) k p ( x ) ( m k )( ax b ) 1   

Do đó p ( c ) ( m k )( ac b ) m    và p ( c ) 1   ( k 1)( ac b ) nên p ( c ).p ( c ) 0 : m 1  vô

lý

Vậy các tam thức còn lại cũng không có nghiệm số thực

Bài toán 19.27: Cho các đa thức P ( x ),k k 1,2,3 xác định bởi:

Trang 27

Suy ra rằng phương trình P ( x ) n x có 2 nghiệm thực phân biệt n

Bài toán 19.28: Chứng minh rằng nếu đa thức P( x ) bậc n có n nghiệm thực phân biệt thì đa

thức P( x ) P'( x ) cũng có n nghiệm thực phân biệt

Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử hệ số cao nhất của P( x ) là 1

Xét deg Pn chẵn, ta thấy G( x )là một hàm đa thức bậc chẵn thì:

Trang 28

Để giải bài toán ta xét hai trường hợp

- Trường hợp 1: f ( x ) không nhận x0 làm nghiệm

Ta chứng minh bằng quy nạp

Với n1 bài toán hiển nhiên đúng

Giả sử đúng vớ nk , ta chứng minh đúng với n k 1, twccs là

Gọi c là một nghiệm của f ( x ) thì f ( x0( x c ).q( x ) (1)

Với : q( x ) là đa thức bậc k của x:

Trang 29

Do đó áp dụng kết quả của trường hợp 1 cho H( x ) và:

p'    p k n k 1 (do p n 1), ta được đa thức:

n k n

Định dạng
Số trang	47
Dung lượng	879,8 KB