Tø â ÷a ra c¡ch düng v ph÷ìng tr¼nh c¡c ÷íng trán, ÷íng th¯ng Soddy trong tåa ë barycentric... ÷íng trán Soddy trong tåa ë barycentric 2.4... f Hiºn nhi¶n theo ành ngh¾a cõa ph÷ìng t½ch.
Trang 2LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS Nguyễn Việt Hải
THÁI NGUYÊN - 2019
Trang 3Möc löc
1.1 Ph²p nghàch £o trong m°t ph¯ng 3
1.1.1 ành ngh¾a v t½nh ch§t 3
1.1.2 Cæng thùc kho£ng c¡ch, t½nh ch§t b£o gi¡c 6
1.2 Tåa ë barycentric thu¦n nh§t 9
1.2.1 ành ngh¾a v t½nh ch§t 9
1.2.2 Mët sè k¸t qu£ trong tåa ë barycentric 11
2 C¡c ÷íng trán Soddy 20 2.1 ành ngh¾a v c¡ch düng c¡c ÷íng trán Soddy 20
2.2 B¡n k½nh c¡c ÷íng trán Soddy 23
2.2.1 B¡n k½nh ÷íng trán Soddy nëi 23
2.2.2 B¡n k½nh ÷íng trán Soddy ngo¤i 24
2.3 ÷íng trán Soddy trong tåa ë barycentric 25
2.3.1 C¡c iºm Soddy v ÷íng th¯ng Soddy 25
2.3.2 Ph÷ìng tr¼nh c¡c ÷íng trán Soddy 28
2.4 Tam gi¡c Soddy v tam gi¡c Euler-Gergonne-Soddy 29
3 Mët sè v§n · li¶n quan 35 3.1 Tam gi¡c kiºu Soddy 35
Trang 43.1.1 Mët sè h» thùc h¼nh håc 35
3.1.2 Tam gi¡c kiºu Soddy v c¡c t½nh ch§t 39
3.1.3 Tam gi¡c kiºu Soddy c¤nh nguy¶n 43
3.1.4 Düng tam gi¡c kiºu Soddy bi¸t mët c¤nh 45
3.2 C¡c tam gi¡c lîp κ = ta+ tb + tc 47
3.2.1 C¡c tam gi¡c Heron lîp κ = 2 48
3.2.2 C¡c tam gi¡c Heron lîp κ = 4 48
3.3 C¡c tam gi¡c lîp ~= tb + tc 50
3.3.1 C¡c tam gi¡c Heron lîp ~ = 1 52
3.3.2 C¡c tam gi¡c Heron lîp ~ = 2 54
Trang 5Danh möc h¼nh
1.1 nh nghàch £o cõa iºm 4
1.2 a) nh ÷íng th¯ng khæng qua cüc; b) nh ÷íng trán câ t¥m l cüc 4
1.3 nh cõa ÷íng trán khæng qua cüc nghàch £o 5
1.4 Kho£ng c¡ch A0B0 = R 2 · AB OA.OB 7
1.5 T½nh ch§t b£o gi¡c 8
1.6 V½ dö v· cæng thùc Conway 14
2.1 ÷íng trán Soddy nëi v ÷íng trán Soddy ngo¤i 21
2.2 C¡ch düng c¡c ÷íng trán Soddy 22
2.3 Tåa ë barycentric cõa c¡c iºm Soddy v ÷íng th¯ng Soddy 26 2.4 T¥m Soddy nëi, ngo¤i v iºm Eppstein E = X481 30
2.5 C¡c ÷íng th¯ng Euler v Gergonne 31
2.6 Tam gi¡c Euler-Gergonne-Soddy vuæng t¤i Fl = `G∩ `S 32
2.7 Mët sè iºm tr¶n c¤nh tam gi¡c Euler-Gergonne-Soddy 33
3.1 AD-cevian ti¸p tuy¸n ¿nh A 36
3.2 C¡c t½nh ch§t cõa cevian ti¸p tuy¸n ¿nh A 37
3.3 C¡c h» thùc li¶n quan ¸n θ 38
3.4 P Q ⊥ AD 39
3.5 Tam gi¡c kiºu Soddy ABC 40
3.6 ÷íng th¯ng Gergonne song song vîi AD 42
3.7 Quÿ t½ch iºm C 45
3.8 Düng tam gi¡c kiºu Soddy bi¸t mët c¤nh 46
3.9 Tam gi¡c Heron lîp ~= 1 54
3.10 Tam gi¡c Heron lîp ~= 2 56
Trang 6Líi c£m ìn
º ho n th nh ÷ñc luªn v«n mët c¡ch ho n ch¿nh, tæi luæn nhªn ÷ñc
sü h÷îng d¨n v gióp ï nhi»t t¼nh cõa PGS.TS Nguy¹n Vi»t H£i, Gi£ngvi¶n cao c§p Tr÷íng ¤i håc H£i Pháng Tæi xin ch¥n th nh b y tä lángbi¸t ìn s¥u sc ¸n th¦y v xin gûi líi tri ¥n nh§t cõa tæi èi vîi nhúng
i·u th¦y ¢ d nh cho tæi
Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn pháng o t¤o, Khoa To¡n Tin, quþ th¦y
cæ gi£ng d¤y lîp Cao håc K11 (2017 - 2019) Tr÷íng ¤i håc khoa håc - ¤ihåc Th¡i Nguy¶n ¢ tªn t¼nh truy·n ¤t nhúng ki¸n thùc quþ b¡u côngnh÷ t¤o i·u ki»n cho tæi ho n th nh khâa håc
Tæi xin gûi líi c£m ìn ch¥n th nh nh§t tîi gia ¼nh, b¤n b±, nhúngng÷íi ¢ luæn ëng vi¶n, hé trñ v t¤o måi i·u ki»n cho tæi trong suètqu¡ tr¼nh håc tªp v thüc hi»n luªn v«n
Xin tr¥n trång c£m ìn!
H£i Pháng, th¡ng 12 n«m 2019
Ng÷íi vi¸t Luªn v«n
Ngæ Trång Th nh
Trang 7Mð ¦u
1 Möc ½ch cõa · t i luªn v«n
C¡c ÷íng trán Soddy cõa tam gi¡c ABC câ nhúng t½nh ch§t °c bi»t,
b i to¡n düng c¡c ÷íng trán Soddy l tr÷íng hñp ri¶ng quan trång cõa
b i to¡n Apolilonius Cha ´ cõa ÷íng trán Soddy, iºm Soddy, ÷íngth¯ng Soddy, tam gi¡c Soddy, l Frederick Soddy, ng÷íi ¢ d nh ÷ñcgi£i th÷ðng Nobel v· Hâa håc Ph¡t triºn c¡c kh¡i ni»m n y trong nhúngn«m g¦n ¥y, nhi·u t¡c gi£ (N Dergiades n«m 2007, M Jackson n«m 2013,
M Jackson v Takhaev n«m 2015, 2016 ) ¢ cæng bè c¡c ph¡t hi»n h¼nhhåc s¥u sc sinh ra tø ÷íng trán Soddy B i to¡n °t ra l l m th¸ n odüng ÷ñc c¡c ÷íng trán Soddy, x¡c ành c¡c b¡n k½nh cõa chóng theoc¡c y¸u tè cõa tam gi¡c cho tr÷îc? c¡c ÷íng trán Soddy, c¡c ÷íng th¯ngSoddy câ li¶n quan g¼ vîi c¡c ÷íng trán v ÷íng th¯ng ¢ bi¸t kh¡c?Tr¼nh b y c¡ch gi£i quy¸t c¡c b i to¡n tr¶n l lþ do º tæi chån · t i
" ÷íng trán Soddy v c¡c v§n · li¶n quan" Möc ½ch cõa · t i l :
- Tr¼nh b y c¡c kh¡i ni»m, c¡ch x¡c ành ÷íng trán Soddy, t½nh ÷ñcc¡c b¡n k½nh, t¼m ÷ñc c¡c t½nh ch§t mîi cõa ÷íng trán Soddy nëi v
÷íng trán Soddy ngo¤i Tø â ÷a ra c¡ch düng v ph÷ìng tr¼nh c¡c
÷íng trán, ÷íng th¯ng Soddy trong tåa ë barycentric
- X¡c ành mèi quan h» cõa tam gi¡c Soddy vîi c¡c iºm v ÷íngth¯ng °c bi»t kh¡c
- Ph¥n lo¤i ÷ñc c¡c tam gi¡c lîp κ = ta + tb + tc v lîp ~ = tb + tc,kh£o s¡t c¡c tr÷íng hñp °c bi»t cõa 2 lîp â
Trang 82 Nëi dung · t i, nhúng v§n · c¦n gi£i quy¸t
Nëi dung luªn v«n ÷ñc chia l m 3 ch÷ìng:
Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc bê sung
Nhc l¤i v bê sung hai chõ · cì b£n ÷ñc sû döng l m cæng cögi£i quy¸t b i to¡n °t ra: Ph²p nghàch £o v tåa ë barycentric, ch÷ìng
n y bao gçm c¡c möc sau (têng hñp, bê sung tø c¡c b i b¡o [1], [3], [7]):2.1 ành ngh¾a v c¡ch düng c¡c ÷íng trán Soddy
2.2 B¡n k½nh c¡c ÷íng trán Soddy
2.3 ÷íng trán Soddy trong tåa ë barycentric
2.4 Tam gi¡c Soddy v tam gi¡c Euler-Gergonne-Soddy
Ch÷ìng 3 Mët sè v§n · li¶n quan
Ch÷ìng 3 x²t c¡c v§n · li¶n quan ¸n ÷íng trán Soddy, tam gi¡cSoddy, thüc ch§t l c¡c tr÷íng hñp ri¶ng quan trång li¶n quan ¸n c¡ckh¡i ni»m kh¡c trong h¼nh håc, ch¯ng h¤n tam gi¡c Heron Ch÷ìng n y
÷ñc tham kh£o v têng hñp theo c¡c b i b¡o [4], [5] Nëi dung gçm:3.1 Tam gi¡c kiºu Soddy
3.2 C¡c tam gi¡c lîp κ = ta + tb + tc
3.3 C¡c tam gi¡c lîp ~ = tb + tc
Trang 9Ch֓ng 1
Ki¸n thùc bê sung
Ta nhc l¤i v bê sung hai nëi dung c¦n cho c¡c ch÷ìng sau: Thù nh§t,
iºm qua v· ph²p nghàch £o ¢ ÷ñc nghi¶n cùu trong Gi¡o tr¼nh h¼nhhåc sì c§p; Thù hai, bê sung th¶m tåa ë barycentric (d¤ng h¼nh håc gi£it½ch), ph¡t triºn tø kh¡i ni»m t¥m t cü quen thuëc
1.1 Ph²p nghàch £o trong m°t ph¯ng
Ta nhc l¤i mët sè ành ngh¾a, t½nh ch§t quan trång cõa ph²p nghàch
£o qua ÷íng trán hay cán gåi l ph²p èi xùng qua ÷íng trán tr¶n m°tph¯ng Euclide C¡c chùng minh chi ti¸t câ thº t¼m th§y trong c¡c gi¡otr¼nh H¼nh håc sì c§p hi»n h nh
1.1.1 ành ngh¾a v t½nh ch§t
ành ngh¾a 1.1 Tr¶n m°t ph¯ng cho ÷íng trán t¥m O, b¡n k½nh R.Ph²p nghàch £o cüc O, ph÷ìng t½ch k = R2 l ph²p bi¸n êi tr¶n m°tph¯ng, bi¸n P 7→ P0 sao cho n¸u P 6= O th¼ OP.OP0 = R2; n¸u P ≡ O
th¼ P0 ←→ ∞
Ta kþ hi»u ph²p nghàch £o â l fRO2, ÷íng trán (O, R) ÷ñc gåi l
÷íng trán nghàch £o Ph²p nghàch £o n y công gåi l ph²p èi xùngqua ÷íng trán
D¹ th§y ph²p nghàch £o câ t½nh ch§t èi hñp, tùc l fRO2
2
= Id Tø
Trang 10H¼nh 1.1: nh nghàch £o cõa iºm
ành ngh¾a ta suy ra c¡c t½nh ch§t sau cõa ph²p nghàch £o:
H¼nh 1.2: a) nh ÷íng th¯ng khæng qua cüc; b) nh ÷íng trán câ t¥m l cüc
a) Qua ph²p nghàch £o fRO2, ÷íng trán nghàch £o (O, R) bi¸n th nhch½nh nâ, nâi c¡ch kh¡c, ÷íng trán nghàch £o l h¼nh k²p tuy»t èi(t÷ìng tü tröc èi xùng trong ph²p èi xùng) Måi iºm ð trong(O, R)
bi¸n th nh iºm ð ngo i v ng÷ñc l¤i
Trang 11H¼nh 1.3: nh cõa ÷íng trán khæng qua cüc nghàch £o
b) Qua ph²p nghàch £o fRO2, måi ÷íng th¯ng i qua O bi¸n th nh ch½nh
e) Qua ph²p nghàch £o fRO2, måi ÷íng trán khæng i qua O bi¸n th nh
÷íng trán khæng i qua O; måi ÷íng trán t¥m O, b¡n k½nh r bi¸n
th nh ÷íng trán çng t¥m O, b¡n k½nh R2/r
f) ÷íng trán (I, r) bi¸n th nh ch½nh nâ qua ph²p nghàch £o f cüc O,ph÷ìng t½ch p, vîi p = PO/(I,r)
Chùng minh a), b) hiºn nhi¶n
c) H¤ OH ⊥ ∆, gåi H0 l £nh nghàch £o cõa H th¼ H0 cè ành Vîi måi
M ∈ ∆,M0 l £nh cõaM th¼OM.OM0 = OH.OH0 n¶n 4 iºmH,H0,M,
M0 thuëc mët ÷íng trán Ta l¤i câ \M HH0 = 90◦, suy ra \M M0H0 = 90◦,tùc l M0 thuëc ÷íng trán ÷íng k½nh OH0 £o l¤i, vîi måi N0 tr¶n
Trang 12÷íng trán ÷íng k½nh OH0 V¼ ∆ ⊥ OH0 n¶n ON0 luæn ct ∆ t¤i mët
iºm N (n¸u N0 ≡ O th¼ ta l§y iºm væ tªn tr¶n ∆) Tù gi¡c N HH0N0
nëi ti¸p v¼ câ 2 gâc èi di»n b¬ng 90◦ Suy ra ON.ON0 = OH.OH0 = R2
theo c¡ch x¡c ành H, H0 nh cõa måi M ∈ ∆ l M0 ∈ δ- ÷íng trán
÷íng k½nh OH0 Vªy £nh cõa ÷íng th¯ng ∆ khæng qua O l ÷íng trán
n¶n ta câ (Kþ hi»u ph²p và tü t¥m O l HO):
fRO2(C) = fRO2 ◦ fpO(C) = HhO(C), vîi h = R2/p
Ta ¢ bi¸t HhO(C) l ÷íng trán C0 (d¹ th§y C0 khæng i qua O)
f) Hiºn nhi¶n theo ành ngh¾a cõa ph÷ìng t½ch
1.1.2 Cæng thùc kho£ng c¡ch, t½nh ch§t b£o gi¡c
Ta i t¼m kho£ng c¡ch giúa hai £nh nghàch £o cõa hai iºm cho tr÷îc:M»nh · 1.1 N¸u (O, R) l ÷íng trán nghàch £o, A0, B0 l £nh nghàch
Trang 13H¼nh 1.4: Kho£ng c¡ch A 0 B0 = R
2 · AB OA.OB
H» qu£ 1.1.1 Ph²p nghàch £o b£o to n t sè k²p cõa 4 iºm
Chùng minh T sè k²p cõa 4 iºm (A0, B0, C0, D0) = C
Ph²p nghàch £o trð n¶n °c sc nhí c¡c °c tr÷ng câ thº bi¸n ÷íngtrán th nh ÷íng th¯ng v ÷íng th¯ng th nh ÷íng trán Nh÷ng nâ thüc
sü hi»u qu£ trong ùng döng nhí t½nh ch§t b£o gi¡c, tùc khæng thay êigâc giúa 2 ÷íng cong (th¯ng, trán) qua ph²p bi¸n êi Cö thº
M»nh · 1.2 Gi£ sû γ1, γ2 l hai ÷íng cong ( ÷íng th¯ng , ÷íng tránho°c ÷íng tòy þ) tr¶n m°t ph¯ng, ph²p nghich £o fRO2 : γ1 7→ γ10, γ2 7→ γ20.Khi â ∠(γ10, γ20) = ∠(γ1, γ2)
Chùng minh Ta ch¿ x²t c¡c ÷íng cong γ1, γ2 l ÷íng th¯ng ho°c ÷íngtrán Do t½nh ch§t £nh cõa ph²p nghàch £o ta ph£i chia th nh nhi·utr÷íng hñp v· và tr½ t÷ìng èi cõa γ1, γ2 èi vîi cüc nghàch £o:
(i.) Hai ÷íng th¯ng khæng qua O;
Trang 14(ii.) Mët ÷íng th¯ng qua O v mët ÷íng th¯ng khæng qua O;
(iii.) Hai ÷íng th¯ng ct nhau t¤i O v c¡c tr÷íng hñp t÷ìng tü khiγ1, γ2
P0 Do â, gâc θ công l gâc giúa 2 ÷íng trán t¤i P0
Do t½nh èi hñp n¶n m»nh · hiºn nhi¶n trong tr÷íng hñp γ1, γ2 l hai
÷íng trán qua O Chó þ r¬ng vîi 2 ÷íng trán ct nhau t¤i P ta chuyºnv· x²t 2 ti¸p tuy¸n t¤i P
M»nh · ÷ñc sû döng th÷íng xuy¶n khi γ1, γ2 ti¸p xóc ho°c trüc giaovîi nhau
Trang 151.2 Tåa ë barycentric thu¦n nh§t
1.2.1 ành ngh¾a v t½nh ch§t
Ta cè ành tam gi¡c ABC, gåi nâ l tam gi¡c cì sð (khæng suy bi¸n)
Kþ hi»u XY Z l di»n t½ch ¤i sè cõa tam gi¡c XY Z Ta câ ành ngh¾a
ành ngh¾a 1.2 Gi£ sû ABC l tam gi¡c cì sð Tåa ë barycentric cõa
iºm M èi vîi tam gi¡c ABC l bë ba sè (x : y : z) sao cho
x : y : z = M BC : M CA : M AB
Tø ành ngh¾a ta suy ra: n¸u M = (x : y : z) th¼ công câ
M = (kx : ky : kz), k 6= 0 Cho ∆ABC gåi G, I, O, H, Oa l¦n l÷ñt l trång t¥m, t¥m ÷íng trán nëi ti¸p, t¥m ÷íng trán ngo¤i ti¸p, trüc t¥m,t¥m ÷íng trán b ng ti¸p trong gâc A trong tam gi¡c â Khi â ta câ:V½ dö 1.2.1 Ta câ tåa ë barycentric cõa G, I, O, H, Oa:
a G = (1 : 1 : 1) v¼ SGBC = SGCA = SGAB
b I = (a : b : c) v¼ SIBC = 12ra, SICA = 12rb, SIAB = 12rc
c O = (sin 2A : sin 2B : sin 2C) =
d Oa = (−a : b : c) v¼ −S(OaBC) : S(OaCA) : S(OaAB) = −a : b : c
e H = (tan A : tan B : tan C) =
1
b2 + c2 − a2 : :
Trang 16
f C¡c iºm tr¶n BC câ tåa ë d¤ng (0 : y : z) T÷ìng tü c¡c iºm tr¶n
CA, AB l¦n l÷ñt câ tåa ë (x : 0 : z), (x : y : 0)
Khi M = (x : y : z) m x + y + z 6= 0 ta thu ÷ñc tåa ë barycentrictuy»t èi cõa M:
th¼ (x : y : z) ÷ñc gåi l tåa ë barycentric chu©n cõa M N¸u
P (u : v : w), Q(u0 : v0 : w0) thäa m¢n u + v + w = u0 + v0 + w0 th¼ iºm
X chia P Q theo t sè P X : XQ = p : q câ tåa ë l
(qu + pu0 : qv + pv0 : qw + pw0)
V½ dö 1.2.2 T¼m tåa ë c¡c iºm T, T0, t¥m và tü trong v ngo i cõa
÷íng trán ngo¤i ti¸p v ÷íng trán nëi ti¸p tam gi¡c ABC
Líi gi£i Ta câ T, T0 chia i·u háa o¤n th¯ng OI, v d¹ th§y t sè
Trang 171.2.2 Mët sè k¸t qu£ trong tåa ë barycentric
Chóng tæi tâm tt c¡c k¸t qu£ cì b£n ¢ ÷ñc Paul Yiu n¶u trong [7].(a) C¡c cevian v v¸t
Ba ÷íng th¯ng nèi tø iºm P ¸n 3 ¿nh tam gi¡c gåi l c¡c ceviancõa P Giao iºm AP, BP, CP cõa c¡c cevian n y vîi c¡c c¤nh tam gi¡cgåi l v¸t cõa P Tåa ë c¡c v¸t câ d¤ng
(b) iºm Gergonne v iºm Nagel
Ba ti¸p iºm X, Y, Z cõa ÷íng trán nëi ti¸p vîi c¡c c¤nh tam gi¡c câtåa ë
Trang 18Nh÷ vªy, AX, BY, CZ ct nhau t¤i iºm câ tåa ë
ð tr¶n c¤nh tam gi¡c) ÷ñc gåi l hai iºm ¯ng hñp n¸u c¡c v¸t t÷ìngùng cõa chóng èi xùng nhau qua trung iºm c¤nh t÷ìng ùng Nh÷ vªy,
BAP = AQC, CBP = BQA, ACP = CQB Ta s³ kþ hi»u iºm ¯ng hñpcõa P l P∗ Ta câ
(c) Cæng thùc Conway
Kþ hi»u σ = 2SABC (hai l¦n di»n t½ch tam gi¡c ABC), vîi θ ∈ R, °t
σθ = σ cot θ Khi â
abc4R·b
sin A.2bc =
b2 + c2 − a2
Vîi θ, ϕ tòy þ º cho ti»n khi tr¼nh b y ta °t σθϕ = σθ.σϕ
T½nh ch§t 1.2.1 Ta câ hai t½nh ch§t cõa σθ
• σB + σC = a2, σC + σA = b2, σA + σB = c2
Trang 19• σAB + σBC + σCA = σ
Chùng minh ¯ng thùc ¦u hiºn nhi¶n º câ ¯ng thùc thù hai, ta nhªnx²t: v¼ A + B + C = 1800 n¶n cot(A + B + C) l ∞ M¨u sè cõa nâ b¬ng
cot A cot B + cot B cot C + cot C cot A − 1 = 0 Tø â,
σAB+ σBC+ σCA = σ2· (cot A cot B + cot B cot C + cot C cot A) = σ2.V½ dö 1.2.4 Tåa ë trüc t¥m H v t¥m ngo¤i ti¸p O theo σθ
- T¥m ngo¤i ti¸p câ tåa ë
- Tåa ë iºm èi xùng cõa trüc t¥m qua t¥m ÷íng trán ngo¤i ti¸p, tùc
l iºm L chia o¤n th¯ng HO theo t sè HL
Trang 20H¼nh 1.6: V½ dö v· cæng thùc Conway
(d) Ph÷ìng tr¼nh ÷íng th¯ng
÷íng th¯ng nèi 2 iºm (x1 : y1 : z1), (x2 : y2 : z2) l
x1 y1 z1
x2 y2 z2
σB σA −c2
= 0 v