Nếu 2 tích đó bằng nhau thì ta lập các tỉ lệ thức từ đẳng thức đó dựa vào tính chất 2 của tỉ lệ thức.. GV: NguyÔn Anh Th..[r]
Trang 1Buổi 1: Số hữu tỉ, cộng trừ số hữu tỉ
(Lớp: củng cố, bổ sung kiến thức) Kiến thức:
- Số hữu tỉ là số viết được dưới dạng với a, b a Z , b 0 Tập hợp các số hữu tỉ kí
hiệu là Q
- Các phân số bằng nhau biểu diễn cùng một số hữu tỉ
- Việc biểu diễn số hữu tỉ trên trục số không phụ thuộc vào cách chọn phân số xác
định nó
- Để so sánh hai số hữu tỉ x và y ta làm như sau:
+ Viết x, y dưới dạng phân số có cùng mẫu dương: x = ; y = a
m
b m
+ So sánh các số nguyên a và b Nếu a < b thì x < y
Nếu a > b thì x > y Nếu a = b thì x = y
- Cộng, trừ số hữu tỉ: Với x = ; y = ( a, b, ma Z ; m >0) ta có:
m
b
a b a b
x y
a b a b
x y
- Quy tắc chuyển vế: Với x, y, z Q thì : x + y = z =>x = z – y
I Bài tập áp dụng:
Bài 1: Viết các số sau đây dưới dạng phân số có mẫu là 20: 1 ; -2; 0; 3;
5
4
Bài 2: So sánh các số hữu tỉ sau:
a x = 2 và y = ; b x = và y = ; c x = 0,75 và y =
7
3 11
300
25
3 4
Bài 3: Cho hai số hữu tỉ và ( a, b, m a Z ; m >0) CMR nếu < thì < <
m
b
m
b m
a m
a b m
m
=> Nhận xét: Giữa hai điểm hữu tỉ khác nhau bất kì bao giờ cũng có ít nhất 1 điểm hữu
tỉ nữa và do đó có vô số điểm hữu tỉ
Bài 4: So sánh các số hữu tỉ sau:
8
19
18
1 4003
75 106
2001
2003 2002
Hdẫn: So sánh qua các số hữu tỉ trung gian: 1 ; 0 ; -1
Bài 5: Tìm phân số (x Z ) sao cho < <
9
9
x 4 7
1 9
x
Hdẫn: Từ < < => < < nên 7x < 36 < 7x + 7
9
7
1 9
63
x 36 63
7 7 63
x
=> x < 36< x + 1 => x = 5 Vậy phân số phải tìm là :
7
5 9
Bài 6: Tính
15
36 30
Trang 2d 21 31 4 e g.
Bµi 7: T×m x biÕt
a x + = 2 b x - = c –x - = d x + = -
3
3 5
2 7
3 8
15
3 10
3
2 5 1
4
Bµi 8: Thùc hiÖn phÐp tÝnh hîp lý
A = 6 2 1 5 5 3 3 7 5
B = 3 3 2 1 3 23
5 11 97 35 4 44
HdÉn: ë biÓu thøc A ta nhãm c¸c sè h÷u tØ cã cïng mÉu vµo c¸c nhãm råi thùc hiÖn KÕt qu¶: A = 5
2
ë biÓu thøc B ta nhãm nh sau: B = 3 3 2 1 3 23
5 11 97 35 4 44
5 7 35 11 4 44 97
21 15 1 12 33 23 2
2 2
1 ( 1)
97 97
Bµi 9: TÝnh tæng:
A = 1 1 1 1 \
1.2 2.3 3.4 99.100
HdÉn: a, Cã 1 1 1 ; ; … ;
1.2 1 2 1 1 1
99.100 99 100
A = 1 1+ + … + = 1 -
1 2 1 1
99 100 1 100 1 99
100 100 100
Trang 3
-Buổi 2: Nhân, chia số hữu tỉ Giá trị tuyệt đối
của một số hữu tỉ
I Kiến thức:
1 Nhân hai số hữu tỉ:
Với x = và y = ( b 0, d 0) ta có: x.y = a
b
c
b d bd
2 Chia hai số hữu tỉ:
Với x = và y = (y 0) ta có: x:y = a
b
c
b d b c bc
Lưu ý: Thương của phép chia số hữu tỉ x cho số hữu tỉ y(y 0) gọi là tỉ số của 2 số x
và y, kí hiệu là: x : y hoặc x
y
3 Giá trị tuyệt đối của 1 số hữu tỉ được xác định như sau:
x
x
x
Nhận xét: x Q ta có: 0; x x x; = x x
II Bài tập:
Bài 1: Tính:
8 11
0, 23.
4
( 3).( )
12
5 7
2
4 : ( 2 )
5 5
Bài 2: Thực hiện phép tính:
3 12 6 : ( )
12 36 5
.
23 6 18
26 13 : 10
3 3
g 21 31 : 41 31 71
Đáp số: a 115 b c d e
42
5
7 2
3 5
7 6
f -8 g 7 7 : 25 22 15 35 42 15 1135.
Bài 3: Tìm x biết:
5 x 10
5 x 7 5
:
x
Đáp số: a x = 7 b x = => x =
2
.
33 8
11
c 7. 4 3=> => =>
5 x 5 7
5 x 35
35 5
49
x
nếu x 0 nếu x > 0
Trang 4d 11. 5 1 => =>
12 x 6 4
:
12 12
11
x
4 5 7 4
4 140
140 4
560
x
Bµi 4: Thùc hiÖn phÐp tÝnh mét c¸ch hîp lÝ:
7 26 13 7 10 5
HdÉn:
a 3 68. 3 36. 3 68 36. 3 104. 3.8 6
b 41 49 : 5 10. 7 14 c
5 9 5 9 11
d 6: 3 6: 3 6 26 6 2 . 26 2 6 28 8
Bµi 5: TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau:
5 19 23
5 19 23
9 11 37 6
HdÉn: A =
4.
5 19 23
8.
5 19 23
B =
2 0, 2
2 2
9 11 37 2 3 4 5
Bµi 6: T×m x biÕt:
3 1,75 x 3, 21 x 1,5 2 1,5.x 2,81 1,09
6 2 3
x x 2 3 2x 0 3x 2 4 x 0
HdÉn: a x = 52 b = 1,75 + 3,21 => = 4,96 => x = 4,96
c x – 1,5 = 2 hoÆc x – 1,5 = -2 d 1,5 = 2,81 + 1,09 =>1,5 = x x
3,99
=> x = 3,5 hoÆc x = -0.5 => = 3,99 : 1,5 => = 2,66x x
=> x = 2,66
e 1 = => = =>x = hoÆc x =
-6
6
6
1 6
1 6
1 6
1 6
=> x = 2 x = 0
3
f => x 2 = 0 vµ 3 2x = 0 (V× x 2 0 x Q; 3 2x 0 x Q)
=> x = 2 vµ x = 1,5 (v« lÝ) nªn kh«ng cã gi¸ trÞ nµo cña x th¶o m·n
Trang 5g => 3x 2 = 4 x => 3x – 2 = 4 – x hoÆc 3x – 2 = -(4 - x)
=> 4x = 6 2x = -2 => x = 1,5 hoÆc x = -1
Bµi 7: TÝnh nhanh
A = (2 + 4 + 6 + …+ 100) 3: 0,7 3. 2 : 1 1 1 1
HdÉn: Cã 3: 0,7 3. 2 =
=> A = 0
Bµi8: TÝnh c¸c tÝch sau:
A = 3 8 15 . 9999 B =
4 9 16 10000
HdÉn:
A = 3 8 15 . 9999 1.3 2.4 3.5 . 99.101 1.2.3 99 3.4.5 101 101.
4 9 16 10000 2.2 3.3 4.4 100.100 2.3.4 99 2.3.4 100 2
B = 1 2 3 . 2006 2007. 1
2 3 4 2007 2008 2008
Trang 6Buổi 3: luỹ thừa của một số hữu tỉ
- Ta có: x n = x.x.x…x ( x Q; n N; n > 1)
n thừa số
- Tính chất: x Q ta có:
xm xn = xm+n xm : xn = xm-n (x; m n) (x.y)n = xn yn
Bài 1: Tính
3
3
1 2 2
3
3
6 6
15 10
6 25
4 3 3 4
(5 5 ) 125
6 25
5 5
6 6
(15.10) 150 1 (6.25) 150 150 (54 5 )43 3
125
5 (5 1) 125 4 64
Nhận xét: + Luỹ thừa với số mũ chẵn của 1 số âm là một số dương
+ Luỹ thừa với số mũ lẻ của 1 số âm là một số âm
Bài 2 : a, Viết các số sau dưới dạng luỹ thừa của cơ số 3:
1 ; ;243; 81; 1 ;3; 729; ; 9;
27
1 243
1 729
b, Trong các số trên, số nào có thể viết được dưới dạng luỹ thừa của cơ số -3 ?
Đ/số: ; 81; 729; 9; 1
9
1 729
* Lưu ý: Các luỹ thừa với số mũ chẵn của cơ số x thì viết được dưới dạng luỹ thừa của cơ số –x (với x 0)
Bài 3: Ta thừa nhận tính chất: a 0, a 1, nếu a m = an thì m = n Dựa vào tính chất này hãy tìm số n sao cho:
243
32 1
2n 2
2 1
n
5
n
e 2-1 2n + 4 2n = 9 25
Hdẫn: a 3n-1 35 = 1 => 3n+4 = 30 => n + 4 = 0 => n = -4
b 2n = 25 2 => 2n = 26 => n = 6 c => 2n – 1 = 3 => n = 2
2 1 3
n
d n – 5 = 4 => n = 9
n
e 2n ( + 4) = 9 21 5 => 2n = 25 2 =>n = 6
2
Bài 4: Tìm x biết:
a b ( 2x - 1)3 = -8 c ( x - 2)2 = 1 d
3
1
0 2
x
2
2 16
x
Trang 7HdÉn: a => 1 0 1 b ( 2x - 1)3 = (-2)3 => 2x – 1 = -2 => x = -1,5
x x
c Cã 1 = 12 = (-1)2 nªn ta cã x – 2 = 1 hoÆc x – 2 = -1 => x = 3 hoÆc x = 1
d Cã 1 1 2 1 2 nªn ta cã hoÆc => x = hoÆc x =
1 1
2 4
4
1 4
Bµi 5: So s¸nh c¸c sè sau:
a 227 vµ 318 b* 321 vµ 231 c* 9920 vµ 999910
HdÉn: a Cã 227 = 23.9 = 89; 318 = 32.9 = 99
V× 8 < 9 nªn 89 < 99 hay 227 < 318
b Cã 321 =3 320 ; 320 = 32.10 = 910 ; 231 =2 230 vµ 230 = 23.10 = 810
L¹i cã: 3 > 2; 910 > 810 => 3.910 > 2 810 hay 321 > 231
c Cã 9920 = 9910 9910 ; 999910 = (99.101)10 = 9910.10110 mµ 9910 < 10110
nªn 9920 < 999910
Bµi 6: Chøng minh r»ng:
a 278 – 321 26 b 812 – 233 – 230 55
Ta cã: a 278 – 321 = (33)8 – 321 = 321 (33 -1) = 321 26
Mµ 26 26 nªn 3 21 26 26 hay 27 8 – 321 26
b 812 – 233 – 230 = (23)12 – 233 – 230 = 230 (26 – 23 - 1) = 230 55
Mµ 55 55 nªn 2 30 55 55 hay 8 12 – 233 – 230 55
Bµi 7: TÝnh
A = (100 - 1).(100 - 22).(100 - 32)…(100 - 502)
B = 1 + 3 + 32 + 33 + …+ 3100
+ Ta cã: 100 – 102 = 100 – 100 = 0
A = (100 - 1).(100 - 22).(100 - 32)…(100 - 502)
A = (100 - 1).(100 - 22).(100 - 32)… 0 …(100 - 502) = 0
+ Cã 3B = 3 + 32 + 33 + …+ 3100 + 3101
=> 3B – B = 3101 – 1 hay 2B = 3101 – 1 => B = 3 - 1 101
2
Trang 8Buổi 4: Tỉ lệ thức, tính chất dãy tỉ số bằng nhau
- Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số a và
b
c d
- Ta có thể viết: a c là a : b = c : d
b d
(a, b, c, d là các số hạng của tỉ lệ thức)
a và d là số hạng ngoài (ngoại tỉ); b và d là số hạng trong(trung tỉ)
- Tính chất :
a Nếu a c thì a.d = b c
b d
b Nếu ad = bc và a, b, c, d khác 0 thì ta có thể suy ra các tỉ lệ thức sau:
b d c d b a c a
- Tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
a c a c a c
b d b d b d
Tính chất này còn được mở rộng cho dãy tỉ số bằng nhau, chẳng hạn:
a c e a c e a c e
b d f b d f b d f
(Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
Bài 1: Thay tỉ số giữa các số hữu tỉ bằng tỉ số giữa các số nguyên
a 1,4 : 1,89 b 11:1,32 c
25
3 5
2 :
8 4
Ví dụ: 1,4 : 1,89 = 14 189 14 100: 20 20 : 27
10 100 10 189 27
Bài 2: Từ các tỉ số sau có thể lập được các tỉ lệ thức không?
8
3 17
Hdẫn: Tính các tỉ số và so sánh, nếu các tỉ số bằng nhau thì ta có thể lập được tỉ
lệ thức, nếu không bằng nhau thì ta không thể lập được tỉ lệ thức
Bài 3: Tìm x biết:
18 3,6
3 : 2 0, 25 : 2
x x
Hdẫn: Dùng tính chất cơ bản của tỉ lệ thức để lập tích ngoại tỉ bằng tích trung tỉ,
sau đó tìm x Ví dụ:
Trang 9a Từ 3 => x 3,6 = 18 (-3) => x = = -15
18 3,6
3,6 3,6
Bài 4: Lập tất cả các tỉ lệ thức có thể được từ 4 số sau:
a 4,4 ; 9,9; 0,84; 1,89
Hdẫn: Nếu 4 số có thể lập thành tỉ lệ thức thì tích của 2 số này phải bằng tích của
hai số kia, vì vậy để kiểm tra xem 4 số nào có thể lập thành tỉ lệ thức ta so sánh tích của
số nhỏ nhất với số lớn nhất và tích của hai số còn lại Nếu 2 tích đó bằng nhau thì ta lập các tỉ lệ thức từ đẳng thức đó dựa vào tính chất 2 của tỉ lệ thức Ví dụ:
a Có 9,9 0,84 = 8,316; 4,4 1,89 = 8,316
=> 9,9 0,84 = 4,4 1,89 => ta có các tỉ lệ thức sau:
9,9 1,89 9,9 4, 4 0,84 1,89 0,84 4, 4
4, 4 0,84 1,89 0,84 4, 4 9,9 1,89 9,9
Bài 5:
a Tính hai cạnh của hình chữ nhật biết rằng tỉ số giữa 2 cạng là 2 : 3 và chu vi của
nó là 90cm?
b Tính 3 góc của một tam giác biết rằng các góc đó tỉ lệ với 1:2:6 và tổng 3 góc đó bằng 1800 ?
Hdẫn:
a Gọi độ dài của 2 cạnh hình chữ nhật đó lần lượt là a và b ( cm; a, b >0)
Theo bài ra ta có: a : b = 2 : 3 và 2(a+b) = 90
Từ a : b = 2 : 3 => ; a + b = 45
2 3
a b
áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
=> a = 2 9 = 18; b = 3 9 = 27
45 9
a b a b
vậy độ dài hai cạnh của hcn đó là 18cm và 27cm
b Làm tương tự, kết quả: số đo 3 góc lần lượt là: 200; 400; 1200
Bài 6: Tìm a, b biết rằng và
5 4
a b a2 b2 81
Hdẫn: Từ => áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
5 4
25 16
a b
=> a2 = 9 25 = 225 => a = 15 hoặc a = -15
2 2 2 2 81
9
25 16 25 16 9
a b a b
b2 = 9 16 = 144 => b = 12 hoặc b = -12 Vì nên a và b cùng dấu Vậy a = 15 và b = 12 hoặc a = -15 và b = -12
5 4
a b
Bài7: Cho tỉ lệ thức a c , chứng minh rằng:
b d
bd b d
Hdẫn:
a Từ a c =>
b d a 1 c 1 a b c d
b.Từ a c => => áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
b d a22 c22
b d ac a22 c22
bd b d
Trang 10= hay
2 2
2 2
ac a c
bd b d a22 c22
b d
2 2
2 2
ac a c
bd b d
Bài 8: Tìm 3 số x, y, z biết rằng:
a x : y : z = 3 : 5 : -2 và 5x – y + 3z = 124
b 2x = 3y ; 5y = 7z và 3x – 7y + 5z = 30
Hdẫn: a Tự làm (tương tự như với 2 số ở bài 7)
b Từ 2x = 3y
5y = 7z
7 5 14 15
=> Từ dó áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau và tìm x, y, z bình thường
21 14 15
Bài 9: Tìm a và b biết ; a.b = 48?
3 4
a b
Hdẫn:
C 1 : Từ => Mà a.b = 48 => a2 = 36 => a = 6 hoặc a = -6
3 4
3 3 4 3 9 12
a a b a a ab
Nếu a = 6 => b = 8 Nếu a = -6 => b = -8
Kết luận:
C 2 : Đặt tỉ số = k => a = 3.k ; b = 4.k
3 4
a b
Mà ab = 48 => 12k2 = 48 => k2 = 4 => k = 2 hoặc k = -2
Với k = 2 => a = 6 => b = 8
Với k = 2 => a = -6 => b = -8
Kết luận:
Trang 11Buổi 5: Hai góc đối đỉnh, hai đường thẳng vuông góc, hai
đường thẳng song song
a Kiến thức:
- Hai góc đối đỉnh là 2 góc mà mỗi cạnh góc này là tia đối của một cạnh góc kia Vậy với hai đường thẳng cắt nhau tạo thành 2 cặp góc đối đỉnh
- T/c: Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau
- Hai đường thẳng xx’ và yy’ gọi là vuông góc với nhau nếu chúng cắt nhau tại một
điểm và trong các góc tạo thành có một góc vuông Kí hiệu: xx’ yy’
- T/c: Có một và chỉ một đường thẳng a’ đi qua điểm O cho trước và vuông góc với
đường thẳng a cho trước
- Đường thẳng a là trung trực của đường thẳng AB khi a AB tại I là trung điểm của đường thẳng AB
- Nếu đường thẳng c cắt hai đường thẳng a và b và trong các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau thì:
+ Hai góc so le trong còn lại bằng nhau
+ Hai góc đồng vị bằng nhau
+ Hai góc trong cùng phía bù nhau
- Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng không có điểm chung
Kí hiệu: a // b
- Nếu đường thẳng c cắt hai đường thẳng a, b và trong các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau( hoặc một cặp góc đồng vị bằng nhau) thì a và b song song với nhau
b Bài tập:
Bài 1: Vẽ hai đường thẳng cắt nhau trong các góc tạo thành có một góc bằng 450
a Đặt tên cho các góc tạo thành?
b Hai góc nào có số đo là 450 ?
c Hai góc nào có số đo là 1350?
Bài 2: Cho góc xOy có số đo bằng 700 Gọi xOt và yOv là các góc kề bù với xOy Chứng tỏ rằng:
a Hai góc: vOy và tõ là hai góc đối đỉnh Tính số đo của hai góc đó?
b đường thẳng chứa tia phân giác của vOy cũng chứa tia phân giác của tOx?
Bài 3:
Vẽ góc xOy và lấy điểm A không nằm trên Ox, Oy Qua điểm A vẽ những đường thẳng lần lượt vuông góc với Ox, Oy?
Hdẫn: Có hai trường hợp: A nằm ngoài góc xOy và A nằm trong góc xOy
A x’ y
Trang 12Bài 4: Cho góc xOy = 1200 Vẽ các tia Ot, Oz nằm trong góc đó sao cho Ot Ox ,
Oz Oy Tính số đo góc tOz?
Hdẫn: Vì Ot nằm giỡa Ox và Oy nên ta có:
yOt + tOx = yOx= 1200
Có: tOx = 90 0 ( do Ot Ox)
=> yOt = yOx - tOx = 120 0 - 900 = 300
yOz = 90 0( do Oz Oy)
Do đó Ot nằm giỡa hai tia Oy và Oz
=> tOz = yOz - yOt = 90 0 - 300 = 600
Bài 5: Cho hai góc kề bù xOy và yOx’, biết xOy = 60 0, Ot là tia phân giác của xOy Trên nửa mặt phẳng chứa tia Oy bờ chứa tia Ox kẻ tia Oz vuông góc với Ox
a Tính góc tOz?
b Chứng tỏ Oy là tia phân giác của zOt?
c Gọi Ov là tia phân giác của yOx’ Chứng tỏ Ov vuông góc với Ot?
Đáp số: a tOz = 60 0
b.Chứng tỏ zOy = yOt = 30 0 => Oy là tia phân giác của zOt.
c vOy = 60 0, yOt = 30 0 => vOt = 90 0 nên Ov Ot
Bài 6: Trên đường thẳng x’x lấy hai điểm A và B sao cho B nằm trên tia Ax Trên hai
nởa mặt phẳng đối nhau có bờ là đường thẳng x’x đựng hai tia Aa và Bb sao cho xAa= 1350 và = 450 chứng tỏ rằng:
a Hai đường thẳng chứa hai tia Aa và Bb song song với nhau
b.Hai đường thẳng chứa hai tia phân giác của hai góc xAa và xBb song song với nhau
Hdẫn:
a xBb + bBA = 180 0
=> bBA = 180 0- xBb = 135 0
Vậy bBA = xAa
=>Aa //Bb( vì 2 góc so le trong bằng nhau)
b Gọi At là tia phân giác của xAa
Bv là tia phân giác của xBb
=> tAB = aAx : 2 = 67,5 0
vBA = bBA : 2 = 67,5 0
=> tAB = vBA, mà chúng lại ở vị trí so le trong nên At // Bv
Bài 7: Cho xOy = 120 0 và Oz là tia phân giác của góc đó Trên tia Ox lấy điểm M, vẽ tia Mm nằm trong xOy sao cho OMm = 60 0
x
A