Chương 1: Công thức lượng giác

Bảng giá trị lượng giác của một số cung hay góc đặc biệt Goùc α Giaù trò.. Hệ thức cơ bản.[r]

CHƯƠNG 1: CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

I Định nghĩa

Trên mặt phẳng Oxy cho đường tròn lượng giác tâm O bán kính R=1 và điểm M trên đường tròn lượng giác mà sđAM = β với 0≤ β ≤ π2

Đặt α = β +k2 ,k Zπ ∈

Ta định nghĩa:

sinα =OK

cosα =OH

sin tg

cos

α

α =

α với cosα ≠0 cos

cot g

sin

α

α =

α với sinα ≠0

II Bảng giá trị lượng giác của một số cung (hay góc) đặc biệt

Góc α

Giá trị 0 0( )o ( )30o

6

4

3

2

π

1

2

2 2

1 2

0

3

3

0

III Hệ thức cơ bản

sin α +cos α =1

2

2

1

1 tg

cos

α với k k Z( )

2

π

α ≠ + π ∈

2

2

1

t cot g

sin

α với α ≠ π ∈k k Z( )

IV Cung liên kết (Cách nhớ: cos đối, sin bù, tang sai π; phụ chéo)

a Đối nhau: và α −α

( )

sin −α = −sinα

( )

cos −α =cosα

tg −α = −tg α

cot g −α = −cot g α

b Bù nhau: và α π − α

π − α = − α

c Sai nhau : và π α π +α

π + α = α

d Phụ nhau: và α

2

π

− α

2

2

2

2

π

π

π

π

⎛ − α = α⎞

e.Sai nhau

2

π: α và

2

π+ α

2

2

2

2

π

π

⎛ + α = −⎞ α

π

π

⎛ + α = − α⎞

f

+ π =

k k

cot g x k cot gx

V Công thức cộng

sin a b sinacos b sin b cosa

cos a b cosacos b sin asin b

tga tgb

tg a b

1 tgatgb

±

m

m

VI Công thức nhân đôi

=

=

−

−

=

2 2

sin2a 2sinacosa

cos2a cos a sin a 1 2sin a 2cos a 1

2tga tg2a

1 tg a cot g a 1 cot g2a

2cot ga

−

VII Công thức nhân ba:

3 3

sin3a 3sina 4sin a

cos3a 4 cos a 3cosa

VIII Công thức hạ bậc:

2

2

2

1

2 1

2

1 cos2a

tg a

1 cos2a

−

=

+

IX Công thức chia đôi

Đặt t tga

2

= (với a≠ π +k2π)

2 2 2

2

2t sin a

1 t

1 t cosa

1 t 2t tga

1 t

=

+

−

=

+

=

−

X Công thức biến đổi tổng thành tích

sin a b tga tgb

cosacos b sin b a cot ga cot gb

sina.sin b

±

±

XI Công thức biển đổi tích thành tổng

1

2 1

2 1

2

−

⎤

Bài 1: Chứng minh sin a cos a 1 246 46

sin a cos a 1 3

Ta có:

sin a cos a 1+ − = sin a cos a+ −2sin acos a 1− = −2sin acos a2

Và:

sin a cos a sin acos a 1

1 2sin acos a sin acos a 1 3sin acos a

= −

−

Do đó: sin a cos a 146 46 2sin acos a 222 22

Bài 2: Rút gọn biểu thức ( )2

2

1 cosx

1 cosx

+

Tính giá trị A nếu cosx 1

2

= − và x

2

π

< < π

Ta có: A 1 cosx sin x 1 2cosx cos x2 2 2

2

2 1 cosx

1 cosx

− +

A

−

⇔ = = = (với sin x 0≠ )

Ta có: sin x 1 cos x 12 2 1 3

4 4

Do: x

2

π< < π nên sinx 0>

Vậy sin x 3

2

=

Do đó A 2 4 4

Bài 3: Chứng minh các biểu thức sau đây không phụ thuộc x:

a A 2cos x sin x sin x cos x 3sin x= 4 − 4 + 2 2 + 2

tgx 1 cot gx 1

+

1

a Ta có:

A 2cos x sin x sin x cos x 3sin x= − + + 2

2

A 2

⇔ = (không phụ thuộc x)

b Với điều kiện sin x.cosx 0,tgx 1≠ ≠

Ta có: B 2 cot gx

tgx 1 cot gx 1

1 +

1 1

tgx

+

+

− − (không phụ thuộc vào x)

Bài 4: Chứng minh

1 cosa

−

Ta có:

cos b sin c cotg b.cotg c

sin b.sin c

2

cotg b 1 cot g b cot g c

sin c sin b

cot g b 1 cot g c 1 cot g b cot g b cot g c

2

1 cosa

1 cosa 1

2

1 cosa

1 cosa 1

+

−

+

1 cosa 2 cosa. cot ga

2sin a 1 cosa

+

Lấy (1) + (2) ta được điều phải chứng minh xong

Bài 5: Cho ΔABC tùy ý với ba góc đều là nhọn

Tìm giá trị nhỏ nhất của P tgA.tgB.tgC=

Ta có: A B+ = π −C

Nên: tg A B( + )= −tgC

1 tgA.tgB

+

Vậy: P tgA.tgB.tgC tgA tgB tgC= = + +

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương tgA,tgB,tgC ta được

3

tgA tgB tgC 3 tgA.tgB.tgC+ + ≥

P 3 P

⇔ ≥

3 P2 3

P 3 3

⇔ ≥

Dấu “=” xảy ra

⎪

< <

⎪⎩

tgA tgB tgC

A B C

3

0 A,B,C

2

= =

Do đó: MinP 3 3 A B C

3

π

Bài 6 : Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của

a/ y 2sin x cos 2x= 8 + 4

b/ y = 4sin x − cosx

a/ Ta có :

4

4

1 cos 2x

2

−

Đặt t cos 2x= với − ≤ ≤1 t 1 thì

( )4 4

1

8

= − +t

=> y ' 1(1 t)3 4t3

2

Ta có : y ' 0= Ù (1 t− )3 = 8t3

⇔ 1 t− =2t

⇔ t 1

3

=

Ta có y(1) = 1; y(-1) = 3; y 1 1

⎛ ⎞ =

⎜ ⎟

Do đó :

∈

=

x y 3

∈ =

x

1 y

b/ Do điều kiện : sinx 0≥ và cos x 0≥ nên miền xác định

π

2 với k∈

Đặt t = cosx với 0 t 1≤ ≤ thì t4 = cos x 1 sin2 = − 2x

Nên sin x= 1 t− 4

Vậy y = 81 t− 4 −t trên D ' =[ ]0,1

Thì

−

−

3 7 4 8

t

2 1 t ∀ ∈t [0; 1)

Nên y giảm trên [ 0, 1 ] Vậy : ∈ = ( )=

x D

x D

min y y 1 1

Bài 7: Cho hàm số y = sin x cos x 2msin x cos4 + 4 − x

Tìm giá trị m để y xác định với mọi x

Xét f (x) sin x cos x 2m sin x cos x= 4 + 4 −

f x = sin x cos x+ −m sin 2x 2sin x cos x− 2

f x 1 sin 2x msin 2x

2

Đặt : t sin 2x= với t∈ −[ 1,1]

y xác định ∀x ⇔ f x( )≥ ∀ ∈0 x R

⇔ 1 1t2 mt 0

2

− − ≥ ∀ ∈t [−1,1]

⇔ g t( )= t2 +2mt 2 0− ≤ ∀ ∈ −t [ 1,1]

t

Do Δ =' m2 + >2 0 ∀m nên g(t) có 2 nghiệm phân biệt t1, t2

Lúc đó t t1 t2

g(t) + 0 - 0

Do đó : yêu cầu bài toán ⇔ t1 ≤ − < ≤1 1 2

⇔ ( ) ⇔

( )

1g 1 0

− ≤

⎧⎪

⎨

≤

⎪⎩

2m 1 0 2m 1 0

⎧

⎩

⇔

1 m

2 1 m

2

−

⎪⎪

⎨

⎪⎩

Cách khác :

g t( )= t2 +2mt 2 0− ≤ ∀ ∈t [−1,1]

[ , ]

max ( ) max ( ), ( )

∈ −

⇔ − 2 − − 1 2 + 1 ≤ 0⇔

1 m 2 1 m 2

−

⎪⎪

⎨

⎪⎩

m

⇔ − ≤ ≤1 1

Bài 8 : Chứng minh A sin4 sin43 sin45 sin4 7

Ta có : sin7 sin cos

π = ⎛π − π⎞ =

π 3

sin

1 2sin cos

2

1

1 sin 2 2

Do đó : A sin4 sin4 7 sin4 3 sin4

π ⎞

⎟

⎠

3 ⎞

⎟

⎠

1

3

1 3 2

2 2

= − =

Bài 9 : Chứng minh :16sin10 sin 30 sin 50 sin 70o o o o = 1

Ta có : A A cos10oo 1

cos10 cos10

= = o (16sin10ocos10o)sin30o.sin50o.sin70o

o

2 cos10

⎛ ⎞

⎝ ⎠

o

A 4 sin 20 cos 20 cos 40

cos10

=

o

1

A 2sin 40 cos 40

cos10

=

Bài 10 : Cho ΔABC Chứng minh : tg tgA B tg tgB C tg tgC A 1

2 2 + 2 2 + 2 2 =

Ta có : A B C

2

= − Vậy : tgA B cot gC

+ =

⇔

1 tg tg tg

+

=

−

⇔ tgA tgB tgC 1 tgA tg

B 2

⇔ tg tgA C tg tgB C tg tgA B 1

2 2 + 2 2 + 2 2 =

Bài 11 : Chứng minh : 8 4tg+ π +2tg π +tg π = cot g π ( )*

Ta có : (*) ⇔ 8 cot g tg 2tg 4tg

Mà : cot ga tga cos a sin a cos a sin a2 2

sin a cos a sin a cos a

−

cos 2a 2 cot g2a

1 sin2a 2

Do đó :

π

⎡

(*) ⇔

4 cot g 4tg 8

⇔

=

− 8cot gπ 8

⇔ = (hiển nhiên đúng)

4

Bài :12 : Chứng minh :

3 2

=

a/

b/

sin 2x sin 4x sin 8x sin16x+ + + = −

a/ Ta có : cos x cos2 2 2 x cos2 2 x

⎞

⎟

⎠

1 1 cos 2x 1 1 cos 2x 4 1 1 cos 4 2x

3 1 cos 2x cos 2x 4 cos 4 2x

3 1 cos 2x 2 cos 2x cos4

π

3 1 cos 2x 2cos 2x 1

⎝ ⎠

3

=

2 b/ Ta có : cot ga cot gb cosa cos b sin b cosa sin a cos b

sin a sin b sin a sin b

−

sin b a sin a sin b

−

=

Do đó : cot gx cot g2x sin 2x x( ) 1 ( )1

sin x sin 2x sin 2x

−

sin 4x 2x 1

sin 2x sin 4x sin 4x

−

( ) ( )

sin 8x 4x 1

sin 4x sin 8x sin 8x

−

sin cot g8x cot g16x− = 16x 8x 1 4

sin16x sin 8x sin16x

−

= Lấy (1) + (2) + (3) + (4) ta được

cot gx cot g16x

sin 2x sin 4x sin 8x sin16x

Bài 13 : Chứng minh : 8sin 18 +3 0 8sin 182 0 =1

Ta có: sin180 = cos720

⇔ sin180 = 2cos2360 - 1

⇔ sin180 = 2(1 – 2sin2180)2 – 1

⇔ sin180 = 2(1 – 4sin2180+4sin4180)-1

⇔ 8sin4180 – 8sin2180 – sin180 + 1 = 0 (1 )

⇔ (sin180 – 1)(8sin3180 + 8sin2180 – 1) = 0

0 < 1)

Chia 2 vế của (1) cho ( sin180 – 1 ) ta có

( sin180 + 1 ) – 1 = 0

Bài 14 :

⇔ 8sin3180 + 8sin2180 – 1 = 0 (do 0 < sin18

Cách khác :

( 1 ) ⇔ 8sin2180

Chứng minh :

a/ sin x cos x4 + 4 = 1 3 cos4x

4 + b/ sin 6x cos6x 1(5 3cos4x)

8

c/ sin x cos x8 8 1 (35 28cos4x cos8x)

64

sin x cos x+ = sin x cos x+ −2sin x cos x2

a/ Ta có:

2

2

1 sin 2 4

1

1 1 cos4 4

3 1 cos4x

4 4

= + b/ Ta có : sin6x + cos6x

) (sin x cos x sin x sin x cos x cos x2 2 )( 4 2 2 4

(sin x cos x4 4 ) 1sin 2x2

4

3 1cos 4x 1 1 cos 4x

⎝ ⎠ ( do kết quả câu a )

3cos 4x 5

sin x cos x sin x cos x 2sin x cos x4

c/ Ta có :

( )

= 1 3 cos4x+ 2 − 2 sin 2x4

2 2

1 9 6cos 4x cos 4x 1 1 1 cos 4x

9 3cos4x 1 1 cos8x 1 1 2cos4x cos 4x

= 9 + 3cos4x+ 1 cos8x+ 1 cos4x− 1 1 cos8x+

35 7 cos4x 1 cos8x

64 16

64 +

Bài 15 : Chứng minh : sin 3x.sin x cos3x.cos x cos 2x3 + 3 = 3

Cách 1:

Ta có : sin 3x.sin x cos3x.cos x cos 2x3 + 3 = 3

(3sin x 4 sin x sin x3 ) 3 (4 cos x 3cos x cos x3 ) 3

3sin x 4sin x 4 cos x 3co x

3 sin x cos x 4 sin x cos x

3 sin x cos x sin x cos x

4 sin x cos x sin x sin x cos x cos x

3cos 2x 4 cos 2x 1 sin x cos x⎡ ⎤

2

1 3cos 2x 4 cos 2x 1 sin 2x

4

2

1 cos 2x 3 4 1 sin 2x

4

cos 2x 1 sin 2x

3

cos 2x

=

Cách 2 :

Ta có : sin 3x.sin x cos3x.cos x3 + 3

⎞

⎟

⎠

3 sin 3x sin x cos3x cos x 1 cos 3x sin 3x

3cos 3x x 1cos6x

(

1 3cos2x cos3.2x 4

= 1 3cos2x 4cos 2x 3cos2x ( bỏ dòng này cũng được) + 3 − 4

3

cos 2x

=

o o o o o 3 1 cos12 cos18 4 cos15 co

2

+

Chứng minh :

cos12 +cos18 −4 cos15 cos 21 cos 24o

Ta có :

2cos15 cos 3 2cos15 cos 45 cos 3

os3 2cos15 cos45 2cos15 cos3

2cos15 c

2cos15 cos45

= −

(cos 60o cos 30o)

=

3 1

2

Bài 17 : Tính P sin 50= 2 o +sin 70 cos50 cos702 − o o

P 1 cos100 1 cos140 cos120 cos20

o

Ta có :

o

P 1 cos120 cos20 cos20

4 2

5 1

P cos20 1cos20 5

Bài 18 : Chứng minh : tg30o tg40o tg50o tg60o 8 3cos 20

3

sin a b tga tgb

cos a cos b

+

Áp dụng :

Ta có : (tg50o +tg40o) (+ tg30o +tg60o)

sin 90 sin 90 cos50 cos 40 cos 30 cos60

o

1 sin 40 cos 40 cos 30

2

sin 80 cos30

2 cos10 cos 30

cos30 cos10 2

cos10 cos 30

s 20 cos10

co 4 cos10 cos 30

=

o

8 3 cos20 3

=

Bài 19 : Cho ΔABC, Chứng minh :

a/ sin A sin B sin C 4 cos cos cosA B C

2 A

b/ cA cosB cosC 1 4sin sin sinB C

so

c/ sin 2A sin 2B sin 2C 4 sin A sin B sin C+ + =

d/ cos2A +cos B cos C2 + 2 = −2cos A cosBcosC

e/ tgA tgB tgC tgA.tgB.tgC+ + =

f/ cot gA.cot gB cot gB.cot gC cot gC.cot gA 1+ + =

g/ +cot gA cot gB +cot gC = cot g cot g cot gA B

C

2

a/ Ta có : sin A sin B sin C 2sinA BcosA B sin A B( )

2sin

b/ Ta có : cos A cosB cosC 2cosA BcosA B cos A B( )

2

= −

4sin sin sin 1

sin 2A sin 2B sin 2C 2sin A B cos A B+ = + − +2sin C cosC c/

=2sin C cos(A B) 2sin C cosC − +

=2sinC[cos(A B) cos(A B) ] − − +

= −4sinCsin A sin( B) −

=4 sin C sin A sin B

cos A cos B cos C

1

1 cos2A cos2B cos C

2

1 cos A B cos A B cos C

= −cosC cos A⎡⎣ − −cosC⎤⎦ do (cos A B( + )= −cosC)

1 2 cos C.cos A.cos B

= −

e/ Do nên ta có

g A B+ = −tgC

a b+ = π −C

t

tgA tgB tgC

1 tgAtgB

+

= −

−

⇔

⇔ tgA tgB+ = −tgC tgAtgB+ tgC

⇔

a có : cotg(A+B) = - cotgC

tgA tgB tgC tgAtgBtgC+ + =

f/ T

1 tgAtgB cot gC

⇔

tgA + tgB

−

= −

⇔ cot gA cot gB 1 cot gC

cot gB cot gA

−

= − + (nhân tử và mẫu cho cotgA.cotgB)

g/ Ta có :

cot gA cot gB 1− = −cot gCcot gB cot gA cot gC−

⇔

cot gA cot gB cot gBcot gC cot gA cot gC 1+ +

+

=

⇔

1 tg tg

+

=

−

cot g cot g 1

+

=

−

.cotg B 2

A

2

2 +cot g 2 = cot g cot g cot g2 2 2 −cot g2

Bài 20 :

cot g cot g cot g cot g

ABC Chứng minh :

Cho Δ

cos2A + cos2B + cos 2C + 4cosAcosBcosC + 1 = 0

Ta có : (cos2A + cos2B) + (cos2C + 1)

= 2 cos (A + B)cos(A - B) + 2cos2C

= - 2cosCcos(A - B) + 2cos2C

= - 2cosC[cos(A – B) + cos(A + B)] = - 4cosAcosBcosC

Do đó : cos2A + cos2B + cos2C + 1 + 4cosAcosBcosC = 0

Bài 21 : Cho ΔABC Chứng minh :

4sin sin sin

cos3A + cos3B + cos3C = 1 -

2

Ta có : (cos3A + cos3B) + cos3C

2

2cos (A B) cos (A B) 1 2sin

2 Mà : A B+ = π −C nên 3(A B) 3

2 + = π −2

3C 2

=> cos3(A B+ )= cos 3 3C

π

3C cos

π

3C sin 2

= −

Do đó : cos3A + cos3B + cos3C

3 A B

−

3 A B

−

3 A B

⎣

−

+

⎥

⎦

−

=4sin3Csin3Asin( 3B) 1+

4sin sin sin 1

Bài 22 : A, B, C là ba góc của một tam giác Chứng minh :

sin A sin B sin C tgA tg cot gB C cos A cosB cosC 1 2 2 2

2

cos A cos B cosC 1 2cos cos 2sin

2

Ta có :

C

−

B

−

2sin

C − 2 .sin 2

2 2cos cos

⎛− ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

=

cot g tg tg

=

2

Bài 23 : Cho ΔABC Chứng minh :

sin cos cos sin cos cos sin cos cos

( )

sin sin sin tg tg tg tg tg tg *

Ta có : B C

+ = π − vậy tg A B cot gC

⇔

1 tg tg tg

+

=

−

⇔ tgA tgB tgC 1 tgAtg

B 2

⇔tg tgA C tg tgB C tg tgA B 1 1( )

2 2 + 2 2 + 2 2 =

Ac B C sin cos cosB C A C A B

Do đó : (*) Ù

sin sin sin 1

sin

2

⇔ sin cosA B C cos sinA B C 1

⇔ sinA B C 1

2

+ +

= ⇔sinπ =1

2 ( hiển nhiên đúng)

Bài 24 : tgA tgB tgC 3 cos A cosB cosC( )*

2 2 2 sin A sin B sin C

Chứng minh :

Ta có :

2

⎢ +

2

−

=

=

C A inB

4 sin sin s 4

2 2 2 + (1)

=

sin A sin B sin C 2sin cos sin C

2cos cos 2sin cos

C 2

−

Từ (1) và (2) ta có :

4 cos cos cos

(*) ⇔

sin sin sin sin sin sin 1

+

s cos

⎤

⎥⎦

⇔

sin sin sin 1

⇔ sinA cos cosB C sin sinB C cosA sin cosB C sin cosC B 1

⇔ sin cosA B C+ cos sinA B C 1

+

A

2

+ + ⎤ =

sin ⎡

⇔ sinπ 1

2 = ( hiển nhiên đúng)

Bài 25 : Chứng minh:

cos cos cos cos cos cos

ABC Δ

Cho

Cách 1 :

Ta có :

B 2

cos cos cos cos cos cos cos

+

1

2 cos cos cos cos cos cos

−

=

−

−

A B

cos cos cos cos cos

B 2

Do đó : Vế trái

B 2 2

−

+

2

2cos cos

cos cos

Cách 2 :

B C A C A B

cos cos cos cos cos cos

2

Ta có vế trái

cos cos sin sin cos cos sin sin

cos cos sin sin

cos cos

− +

B 2

Mà : tg tgA B tg tgB C tg tgA B 1

2 2 + 2 2 + 2 2 = (đã chứng minh tại b

Do đó : Vế trái = 3 – 1 = 2

Bài 26 :

ài 10 )

Có cot g ,cot g ,cot gA B C

ABC Δ

Cho

2 theo tứ tự tạo cấp số cộng

cot g cot g 3

Chứng minh

cot g ,cot g ,cot g

Ta có :

2 là cấp số cộng

⇔ cot gA cot gC 2cot gB

⇔

+

=

A C

B

sin sin sin

⇔

B

B

sin sin sin

=

nên cosB 0

2 >

+

(do 0<B< π )

⇔

cos cos sin sin

sin sin

−

⇔ cot g cot gA C 3

=

Bài 27 : Cho ΔABC Chứng minh :

1 + 1 1 1 tgA tgB tgC cot gA co gt B cot gC

cot g cot g cot g cot g cot g cot g

2

(Xem chứng minh bài 19g )

Mặt khác :tg cot g sin cos 2

cos sin sin 2

1 tgA tgB tgC cotg A cotgB cotgC

Do đó :

1 tgA cot gA 1 tgB cot gB 1 tgC cot gC

⎤

⎥⎦

sin A sin B sin C

BÀI TẬP

1 Chứng minh :

a/ cos cos2 1

π − π =

2 b/ cos15oo sin15oo 3

cos15 sin15

−

2

− d/ sin 2xsin 6x cos 2x.cos6x cos 4x 3 + 3 = 3

tg20 tg40 tg60 tg80 =3

e/

+tg2 +tg5 +tg = 3cosπ

8 tg

f/

7

os cos cos cos cos cos cos

g/

h/ tgx.tg⎡⎢π−x tg⎤⎥ x tg3x

π

⎡ + ⎤ =

k/ tg20o +tg40o + 3tg20 tg40o o = 3

sin 20 sin 40 sin 80

e/

8

=

m/ tg5 tg55 tg65 tg75o o o o =1

2 Chứng minh rằng nếu

2

π

x y+

thì

sin x 2sin=

⎧

⎪

⎨

sin

cos

y

tg x y

y

− 2

3 Cho ΔABC có 3 góc đều nhọn và A B C≥ ≥