Chương VI: Công thức lượng giác

CHƯƠNG IV: CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁCCÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC A... Biến đổi A thành B hay B thành A, thơng thường biến đổi vế nào phức tạp hơn... Xác định dấu của các GTLG cần thiết cịn lại dựa

CHƯƠNG IV: CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

A CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ:

1) Dấu hàm số lượng giác:

Hàm lượng

π α

< <

2

π α π< < 3

2

π

2π α π< <

2) Hệ thức lượng giác cơ bản:

a) tanα = sin

cos

α

α b) cotα =

cos sin

α α

sin α+cosα =1 d) 1 + tan2α= 12

os

e) 1 + cot2α = 12

sin α f) tan cotx x=1

3) Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt

6

π

4

π

3

π

2 π

2

2 2

3

os

2

2 2

1

Khơng xđ

cot x Khơng

1

4) Cung liên kết:

kém 2

π Bù kém Hơnπ

α

−

2

π α−

2

π α+ π α− π α+ sin −sinα cosα cosα sinα −sinα cos cosα sinα −sinα −cosα −cosα tan −tanα cotα −cotα −tanα tanα cot −cotα tanα −tanα −cotα cotα

5) Cơng thức cộng:

a) cos(a b± =) cos cosa bmsin sina b

b) sin(a b± =) sin cosa b±cos sina b

c) tan( ) tan tan

1 tan tan

a b

±

± =

m

6) Cơng thức nhân đơi

a) sin 2a=2sin cosa a

b) cos2a c= os2a−sin2a=2 osc 2a− = −1 1 2sin2a

c) tan 2 2 tan2

1 tan

a a

a

=

−

7) Công thức hạ bậc:

a) 2 1 os 2a

os

2

c

, b) sin2 1 os 2a

2

c

a= −

8) Cơng thức biến tích thành tổng

a) cos cos 1 os( ) os( )

2

a b= c a b− +c a b+ 

b) sin sin 1 os( ) os( )

2

a b= c a b− −c a b+ 

c) sin cos 1 sin( ) sin( )

2

a b=  a b− + a b+ 

9) Cơng thức biến tổng thành tích:

a) cos cos 2 os os

b) cos cos 2sin sin

c) sin sin 2sin os

d) sin sin 2 os sin

Đặc biệt:

4

x c x± = x±π 

os sin 2 sin

4

B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN:

Loại1: Chứng minh một đẳng thức, đơn giản một biểu thức

Để chứng minh A = B (A, B là các biểu thức lượng giác) ta thường chọn một trong các cách sau:

1 Biến đổi A thành B (hay B thành A), thơng thường biến đổi vế nào phức tạp hơn

2 Biến đổi A thành C, B thành C

3 Biến đổi A = B tương đương với một đẳng thức đúng

BÀI TẬP: về các hệ thức lựợng giác cơ bản

Bài 1: Chứng minh các đẳng thức sau:

7)4cos 3 (1 2sin )(1 2sin ) 8)(1 cos )(sin cos cos ) s

in

x

13)

4

sin cos cos

tan cos sin sin

x

− + 14) c os2x( 2sin2 x c + os2x ) = − 1 sin4x

x

x

+

Bài 2: Thu gọn:

A = (1+sinx).tan2x (1 – sinx) B = (1 – sin2x).cot2x + 1 – cot2x

C = 1 – sin2x – cos2x D =

E = tanx – (1 + sinx.cotx).tanx F = (1 tan ) cos+ x 2 x+ +(1 cot )sinx 2 x

G =

2

−

tanx+cotx −(tanx−cot )x

K = cos tan2 cot cos

sin

Bài 3: Chứng minh các đẳng thức sau độc lập với biến x:

Loại 2: TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC – GIÁ TRỊ CÁC GIÁ TRỊ

LƯỢNG GIÁC

1 Xác định dấu của các GTLG cần thiết cịn lại dựa vào GTLG của đề ra.Đơi

khi cĩ thể dùng thêm biến đổi sơ cấp để biến đổi biểu thức về dạng thu gọn

hay dạng hợp lý

2 Sau đĩ thực hiện phép tính số trị của biểu thức như trong đại số

Bài tập:

Bài 1:Tính giá trị của các biểu thức:

0

3sin 90 2cos 0 3sin 60 cot 44 tan 226 cos 406

cot 72 cot18 cos316

o

A B C D

+

Bài 2: Tính giá trị các giá trị lượng giác cịn lại khi biết:

40

3 ) tan - ; (- 0)

) tan 2 3 ; (- 0)

2 9

) tan - ; (- 0)

2 ) cos ; (- 0)

π π π π

π π

= + < <

= < <

= < <

Bài 3: Biết sinα =

4

3

và π <α <π

2 Hãy tính:

a) A =

α α

α α

tan cos

cot 3 tan 2

+

−

b) B =

α α

α α

cot tan

cot

−

+

Bài 4: Tính giá trị các biểu thức sau:

2 2

(tan cot ) (cot tan )

4 tan 4sin cos

x G

−

2(sin cos ) 3(sin cos )

cos sin cos sin

sin cos 3sin cos

2(sin cos sin cos ) (sin cos )

0 0

2

1 3

2 2 (sin cos )(sin cos ), tan 2

, tan

,cot

2sin cos

x

x

x

x

G

x

π π

−

+

−

−

+

=

+

, tan 2 sin

4sin 3cos

, tan 4

x x

= −

−

−

BÀI TẬP: về công thức cộng

Bài 1: a) Cho sin a = 0,6 và 0 < a < π

2 T ính sin 2a và cos 2a.

b) Cho sin(x - π) = 5

13, với x ;0

2

π

−

∈ ÷ Tính cos 2x - 3

2

π

c) Cho sin -24 ; (3 2 ), cos -40 ; ( ), sin( ), tan( )?

x= π < <x π y= π < <y π Tinh x y± x y±

d) Cho sin 24 ; ( ), sin( ), cos( )?

x= π < <x π tinh x−π x+π

Bài 2 Chứng minh các đẳng thức sau:

a) cosx.cos( −x

3

π

)cos( +x

3

π ) = 4

1 cos3x b) sin5x - 2sinx(cos4x + cos2x) = sinx

c) sin2

8

π α

 - sin

2

8

π α

2

tan

c c

α

=

d) tan 2 t anx

sin 2 tan2x-tanx

x

x

=

Bài 3 Chứng minh rằng các biểu thức sau là những hằng số không phụ thuộc α, β:

a) sin6α.cot3α - cos6α

b) [tan(900 - α) - cot(900 + α)]2 - [cot(1800 + α) + cot(2700 + α)]2

c) (tanα - tanβ).cot(α - β) - tanα.tanβ

d) (cot

3

α - tan

3

α )tan

3

2α

Bài 4 Hãy rút gọn các biểu thức sau:

a)

α α

α α

cos 2

cos

1

sin

2

sin

+

+

+ b)

2 cos 1

sin 4 2

2 α α

−

c)

α α

α α

sin cos

1

sin cos

1

−

−

−

+

d)

2 cos 4

) 2 45 ( sin 2 sin

α

α

+