Ôn tập Cuối năm phần Số học

Vậy ab luôn chia hết cho 6.[r]

Đề bài: Cho n là số tự nhiên lớn hơn 3 Nếu 2n=10a+b (a, b   , b<10).*

Chứng minh rằng a.b chia hết cho 6

Giải:

Cách 1:

Do n > 3 => 2n >= 24 chia hết cho 16 => 10a + b chia hết cho 16

Ta có 2n có thể có những tân cùng là 2; 4; 6; 8

+ TH1: 2n có tận cùng là 2 => n = 4k+1

=> 10a + b có tận cùng là 2 => b = 2 ( do b < 10)

ta có 2n = 10a + 2 => 2( 24k - 1) = 10a => 24k - 1 = 5a

do 24k - 1 chia hết cho 3 => 5a chia hết cho 3 => a chia hết cho 3

=> a.b = a.2 chia hết cho 6 (1)

+ TH2: 2n có tận cùng là 4 => n = 4k +2

=> 2n = 10a + b có tận cùng là 4 => b = 4( do b <10)

=> 24k+2 = 10a + 4 => 4.24k - 4 = 10a

=> 4.24k-1 = 10a

ta có 24k-1 chia hết cho 3 => 10a chia hết cho 3 => a chia hết cho 3

=> a.b chia hết cho 6 (2)

+ TH3: 2n có tận cùng là 8 => n = 4k +3

+ TH4: 2n có tận cùng là 6 => n = 4k

(bằng cách làm tương tự ta luôn có a.b chia hết cho 6) => Đpcm

Cách 2:

Ta có: n > 3 nên có thể biểu diễn n = 4 k + p

( p là số tự nhiên nhỏ hơn 4 hay p thuộc tập {0 ; 1 ; 2 ; 3}

+) p = 0, ta có:

2n = 24k = 16k tận cùng là 6 => b = 6 => ab chia hết cho 6

+) p = 1, ta có:

2n = 24k+1 = 2.16k tận cùng là 2 => b = 2 (1)

Khi đó : 2n = 2.16k = 10 a + 2 <=> 2.(16k – 1) = 10 a <=> 5a = 16k - 1 Mặt khác: Áp dụng tính chất an - 1 chia hết cho a - 1, ta có

5a = 16k - 1 chia hết cho 16 - 1 = 15 => a chia hết cho 3 (2)

Từ (1) và (2) ta có ab chia hết cho 6

+) p =2 (lập luận tương tự)

2n = 4.16k tận cùng là 4 => b = 4

2n = 4.16k = 10a + 4 <=> 4(16k - 1) = 10a <=> 5a = 2(16k - 1)

5a = 2(16k - 1) chia hết cho 16 - 1 - 15 => a chia hết cho 3

=> ab chia hết cho 6

+) p = 3

2n = 8.16k tận cùng là 8 => b = 8

2n = 8.16k = 10a + 8 <=> 8 (16k - 1) = 10a <=> 5a = 4(16k - 1)

5a = 4(16k - 1) chia hết cho 16 - 1 = 15 => a chia hết cho 3

=> ab chia hết cho 6

Vậy ab luôn chia hết cho 6 => Đpcm.

Bài toán sử dụng một vài tính chất:

(1) Số có tận cùng là 6 lũy thừa cơ số tự nhiên được số có tận cùng là 6

(2) an - 1 chia hết cho a - 1

(3) k A chia hết cho m và ƯCLN(k,m) = 1 => A chia hết cho m

(4) A có chữ số tận cùng là m, B có chữ số tận cùng là n, thì A.B có chữ số tận cùng bằng chữ

số tận cùng là m.n

Gv Phan Đình Thiệu (St) SĐT: 0986.138.545 Email: info@123doc.org