1 = 1.a = a dTÝnh chÊt ph©n phèi cña phÐp nh©n víi phÐp céng: a.b+ c = a.b + a.c Phát biểu: Muốn nhân một số với một tổng ta nhân số đó với từng số hạng của tổng rồi céng c¸c kÕt qu¶ l¹[r]
Trang 1CHƯƠNG I: ÔN TẬP VÀ BỔ TÚC VỀ SỐ TỰ NHIÊN.
№1 :Tập hợp Phần tử của tập hợp:
Tiết 1: Dạng toán tập hợp
Tiết 2;3: Số phần tử của một tập hợp và bài toán thực tế
A/CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
1 Tên tập hợp được đặt bằng chữ cái in hoa
2.Các phần tử của một tập hợp được viết trong hai dấu ngoặc nhọn { }, cách nhau bởi dấu
";" (nếu có phần tử là số) hoặc dấu ","
3.Mỗi phần tử được liệt kê một lần, thứ tự liệt kê tùy ý
+ Kí hiệu: 1 A đọc là 1 thuộc A hoặc 1 là phần tử của A;
5 A đọc là 5 không thuộc A hoặc 5 không là phần tử của A;
4 Để viết một tập hợp, thường có hai cách:
* Liệt kê các phần tử của tập hợp
* Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp đó
5.Một tập hợp có thể có một phần tử, có nhiều phần tử, có vô số phần tử, cũng có thể không có phần tử nào (tức tập hợp rỗng, kí hiệu
6 - Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều thuộc tập hợp B thì tập hợp A gọi là tập hợp con của tập hợp B Kí hiệu: A B đọc là: A là tập hợp con của tập hợp B hoặc A được chứa trong B hoặc B chứa A
- Mỗi tập hợp đều là tập hợp con của chính nó
-Quy ước: tập hợp rỗng là tập hợp con của mọi tập hợp
7.các phép toán về tập hợp
a)Hợp của 2 tập hợpAvà B ký hiệu A B = { x / x A hoặc x B}
b)Giao của 2 tập hợp A và B ký A B = { x / x A và x B}
c)Hiệu của 2 tập hợp A và B ký hiệu A \ B = {x / x A và x B}
b Bµi tËp áp dụng
D¹ng 1: RÌn kÜ n¨ng viÕt tËp hîp, viÕt tËp hîp con, sö dông kÝ hiÖu
Bµi 1: Cho tËp hîp X lµ c¸c ch÷ c¸i trong côm tõ “Thµnh phè Hå ChÝ Minh”
a) H·y liÖt kª c¸c phÇn tö cña tËp hîp A
b) §iÒn kÝ hiÖu thÝch hîp vµo chç trèng
B … X ; C … X ; H … X
Hưíng dÉn:
a) A = {a, c, h, I, m, n, «, p, t}
b) B X ; C X ; H X
Bµi 2: Cho c¸c tËp hîp
A = {1; 2; 3; 4; 5; 6} ; B = {1; 3; 5; 7; 9}
a)ViÕt tËp hîp C c¸c phÇn tö thuéc A vµ kh«ng thuéc B
Trang 2c)Viết tập hợp E các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B.
d)Viết tập hợp F các phần tử hoặc thuộc A hoặc thuộc B
Hướng dẫn:
a) C = {2; 4; 6}
b) D = {7; 9}
c) E = {1; 3; 5}
d) F = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; ; 9}
Bài 3: Cho tập hợp A = {1; 2; a; b}
a) Hãy chỉ rõ các tập hợp con của A có 1 phần tử
b) Hãy chỉ rõ các tập hợp con của A có 2 phần tử
c) Tập hợp T = {a, b, c} có phải là tập hợp con của A không?
Hướng dẫn:
a) B={1}; C={ 2} ; D={ a } ; E={ b}
b) F={1; 2} ; G={1; a}; H={1; b} ; I={2; a} ; K={2; b} ; L={ a; b}
c)Tập hợp T không phải là tập hợp con của tập hợp A bởi vì c T nhng c A
Bài 4: Cho tập hợp B = {x, y, z} Hỏi tập hợp B có tất cả bao nhiêu tập hợp con?
Hướng dẫn:
- Tập hợp con của B không có phần từ nào là
- Tập hợp con của B có 1phần từ là {x} { y} { z }
- Các tập hợp con của B có hai phần tử là {x, y} { x, z} { y, z }
- Tập hợp con của B có 3 phần tử chính là B = {x, y, z}
Vậy tập hợp A có tất cả 8 tập hợp con
* Ghi nhớ Một tập hợp A bất kỳ luôn có hai tập hợp con đặc biệt Đó là tập hợp
rỗng và chính tập hợp A .
Bài 5 : Cho A = {1; 3; a; b} ; B = {3; b}
Điền các kí hiệu , , thích hợp vào chỗ trống
1 … B ; 3 … A ; 3 … B ; B … A
Hướng dẫn:
1 B ; 3 A ; 3 B ;B A
Bài 7: Cho các tập hợp: Ax N / 9 x 99 ; Bx N * /x 100
Hãy điền dấu hay vào các ô dới đây
N … N* ; A … B
Hướng dẫn:
N N * ; A B
Dạng 2: Các bài tập về xác định số phần tử của một tập hợp
Bài 1:
Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có 3 chữ số Hỏi tập hợp A có bao nhiêu phần tử? Hướng dẫn:
Tập hợp A có (999 – 100) + 1 = 900 phần tử
Bài 2: Hãy tính số phần tử của các tập hợp sau:
a) Tập hợp A các số tự nhiên lẻ có 3 chữ số
b) Tập hợp B các số 2, 5, 8, 11, …, 296
c) Tập hợp C các số 7, 11, 15, 19, …, 283
Trang 3Hướng dẫn: lấy ( số cuối - số đầu ) : khoảng cỏch + 1
a) Tập hợp A có (999 – 101):2 +1 = 450 phần tử
b) Tập hợp B có (296 – 2 ): 3 + 1 = 99 phần tử
c) Tập hợp C có (283 – 7 ):4 + 1 = 70 phần tử
Tổng quát:
-Tập hợp các số chẵn từ số chẵn a đến số chẵn b có (b – a) : 2 + 1 phần tử
-Tập hợp các số lẻ từ số lẻ m đến số lẻ n có (n – m) : 2 + 1 phần tử
-Tập hợp các số từ số c đến số d là dãy số cách đều, khoảng cách giữa hai số liên tiếp của dãy là 3 có (d – c ): 3 + 1 phần tử
Bài 3: Cha mua cho em một quyển số tay dày 256 trang Để tiện theo dõi em đánh số
trang từ 1 đến 256 Hỏi em đã phải viết bao nhiêu chữ số để đánh hết cuốn sổ tay? Hướng dẫn:
- Từ trang 1 đến trang 9, viết 9 số
- Từ trang 10 đến trang 99 có 90 trang, viết 90 2 = 180 chữ số
- Từ trang 100 đến trang 256 có (256 – 100) + 1 = 157 trang,
cần viết 157 3 = 471 chữ số
Vậy em cần viết 9 + 180 + 471 = 660 chữ số
C/ bài tập kỳ này
Bài toán1 Viết các tập hợp sau rồi tìm số phần tử của tập hợp đó.
a) Tập hợp A các số tự nhiên x mà 8:x =2
b) Tập hợp B các số tự nhiên x mà x+3<5
c) Tập hợp C các số tự nhiên x mà x-2=x+2
d)Tập hợp D các số tự nhiên mà x+0=x
Bài toán 2 Cho tập hợp A = { a,b,c,d}
a) Viết các tập hợp con của A có một phần tử
b) Viết các tập hợp con của A có hai phần tử
c) Có bao nhiêu tập hợp con của A có ba phần tử? có bốn phần tử?
d) Tập hợp A có bao nhiêu tập hợp con?
Bài toán 3 Xét xem tập hợp A có là tập hợp con của tập hợp B không trong các trường
hợp sau
a, A={1;3;5}, B = { 1;3;7}
b, A= {x,y}, B = {x,y,z}
c, A là tập hợp các số tự nhiên có tận cùng bằng 0, B là tập hợp các số tự nhiên chẵn
Bài toỏn 4:
Cho A là tập hợp cỏc số tự nhiờn lớn hơn 1 và nhỏ hơn 5
Cho B là tập hợp cỏc số tự nhiờn lớn hơn 4 và nhỏ hơn 8
Cho C là tập hợp cỏc số tự nhiờn lớn hơn hoặc bằng 2 và nhỏ hơn hoặc bằng 6
a) Viết cỏc tập hợp trờn bằng 2 cỏch
b) Trong 3 tập hợp trờn chỉ rừ tập hợp nào là tạp hợp con
c) Xỏc định cỏc tập hợp A B:; A C ; A B : A C
d) Xỏc định A \ B ?
Trang 4№ 2: TẬP HỢP CÁC SỐ TỰ NHIấN N ( 3 tiết)
A/Giải bài kỳ trước :
Bài toán1 Viết các tập hợp sau rồi tìm số phần tử của tập hợp đó.
a) Tập hợp A các số tự nhiên x mà 8:x =2
b) Tập hợp B các số tự nhiên x mà x+3<5
c) Tập hợp C các số tự nhiên x mà x-2=x+2
d)Tập hợp D các số tự nhiên mà x+0=x
GIẢI :
a) các số tự nhiên x thỏa món 8:x =2 là A= {4 } vỡ 4.2 = 8
Tập hợp A cú 1 phần tử
b) Tập hợp B các số tự nhiên x mà x+3<5 là B = { 0;1}
Tập hợp B cú 2 phần tử
c) Tập hợp C các số tự nhiên x mà x-2=x+2 là C =
Tập hợp C khụng cú phần tử nào
d) Tập hợp D các số tự nhiên mà x+0 = x là D = { N}
Kết luận Moọt taọp hụùp coự theồ coự
+moọt phaàn tửỷ , A
+coự nhi eàu phaàn tửỷ , B
+coự voõ soỏ phaàn tửỷ , D
+cuừng coự theồ khoõng coự phaàn tửỷ naứo C
Bài toán 2 Cho tập hợp A = { a,b,c,d}
a) Viết các tập hợp con của A có một phần tử
b) Viết các tập hợp con của A có hai phần tử
c) Có bao nhiêu tập hợp con của A có ba phần tử? có bốn phần tử?
d) Tập hợp A có bao nhiêu tập hợp con?
GIẢI :
a) Các tập hợp con của A có một phần tử là {a } {b } {c } {d }
b) Các tập hợp con của A có hai phần tử là {a;b } {a;c } {a;d } {b;c } { b;d} {c;d }
c) Có bao nhiêu tập hợp con của A có ba phần tử? có bốn phần tử?
Các tập hợp con của A có 3 phần tử là {a;b;c } {a;c;d } {a;b;d } {b;c;d }
Cú 4 tập hơp cú 3 phần tử
Các tập hợp con của A có 4 phần tử là A
d) Tập hợp A có 16 tập hợp con?
Bài toán 3 Xét xem tập hợp A có là tập hợp con của tập hợp B không trong các trường
hợp sau
a, A={1;3;5}, B = { 1;3;7} A khụng là tõp con của B vỡ 5 B
b, A= {x,y}, B = {x,y,z}
A cú là tõp con của B vỡ mọi phần tử của tậphợp A đều thuộc tập hợp B
c, A là tập hợp các số tự nhiên có tận cùng bằng 0,
B là tập hợp các số tự nhiên chẵn cú vỡ mọi phần tử của tập hợp A đều
thuộc tập hợp B
Trang 5Bài tốn 4:
Cho A là tập hợp các số tự nhiên lớn hơn 1 và nhỏ hơn 5
Cho B là tập hợp các số tự nhiên lớn hơn 4 và nhỏ hơn 8
Cho C là tập hợp các số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng 2 và nhỏ hơn hoặc bằng 6 GIẢI :
a) Viết các tập hợp trên bằng 2 cách
A = { x N/ 1< x < 5 }
A = { 2;3;4 }
B = { x N/ 4 < x < 8}
B = {5;6;7 }
C = { x N/ 2 x 6}
C = { 2;3;4;5;6}
b) Trong 3 tập hợp trên chỉ rõ tập hợp nào là tạp hợp con
A C
c) Xác định các tập hợp A B:; A C ; A B : A C
A B = {2;3;4;5;6 }
A C = {2;3;4;5;6 }
A B =
A C = { 2;3;4}
d) Xác định A \ B ?
A \ B = {2;3;4 }
II/Ơn Tập hợp các số tự nhiên N
A/CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ
1/Tập hợp các số tự nhiên N
N = {0;1;2;3;4;5;6… }
a)Trong N
- TËp hỵp sè tù nhiªn kh¸c 0 kÝ hiƯu lµ tËp hỵp N*
N* = {1; 2; 3; 4; 5; …}
N* = {x N/ x 0}
- Sè 0 lµ sè tù nhiªn nhá nhÊt
- Kh«ng cã sè tù nhiªn lín nhÊt
-Mçi sè tù nhiªn ®ưỵc biĨu diƠn mét điểm trªn tia sè
b) Trong N
1.- Với a , b N thì a b hay a b
2.- Nếu a < b và b < c thì a < c
3.- Mỗi số tự nhiên có một số liền trước và liền sau sau duy nhất
Trang 6c)-Trong hệ thập phân cứ 10 đơn vị ở một hàng thì làm thành 1 đơn vị ở hàng liền trước nó
-Trong hệ thập phân các số tự nhiên đều viết được dưới dạng tổng của các hang
Ví dụ abcd = a.1000 +b 100 +c 10 + d
Tổng quát a1a2a3 a n = 10n-1.a1+ 10n-2.a2+10n-3.a3+…….+10.an-1+an
Ví dụ 67435 = 6.104 + 7.103 + 4.102 +3.10 +5
II/.BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Viết tập hợp các số tự nhiên cĩ 2 chữ số sao cho trong mỗi số cĩ :
a) ít nhất 1 chữ số 5
b) Chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị
c) Chữ số hàng chục bé hơn chữ số hàng đơn vị
Giải :
Gọi số cĩ 2 chữ số là trong đĩ x y là các số tự nhiên từ 0 đến 9 và x 0xy
a)Vì phải cĩ ít nhất 1 chữ số 5 nên xy
-Nếu x = 1,2,3,4,5,6,7,8,9 thì y =5 ta cĩ 8 số thỏa mãn đĩ là 15;25;35;45;55;65;75;85;95 -Nếu x = 5 thì y = 0,1,2,3,4,6,7,8,9 ta cĩ 10 số
thỏa mãn đĩ là50,51,52,53,54,55,56,57,58,59
vậy tập hợp các số cần tìm cĩ 18 số
b)Chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị
nên ta cĩ x > y vậy ta cĩ các số thỏa mãn là
+nếu x =1 thì y = 0 ta cĩ 1 số là 10
+ nếu x =2 thì y = 0,1 ta cĩ 2 số là 20,21
+nếu x =3 thì y = 0,1,2, ta cĩ 3 số là 30,31,32
+Nếu x =4 thì y = 0,1,2,3 ta cĩ 4 số là 40,41,42,43
+nếu x =5 thì y = 0,1,2,3,4 ta cĩ 5 số là 50,51,52,53,54,
+nếu x =6 thì y = 0,1,2,3,4,5 ta cĩ 6 số là 60,61,62,63,64,65
+nếu x =7 thì y = 0,2,3,4,5,6 ta cĩ 7 số là 70,71,72,73,74,75,76
+nếu x =8 thì y = 0,1,2,3,4,5,6,7 ta cĩ 8 số là 80,81,82,83,84,85,86,87
+nếu x =9 thì y = 0,1,2,3,4,5,6,7,8 ta cĩ 9 số là90,91,92,93,94,95,96,97,98
Vây ta cĩ tất cả 1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45 số thỏa mãn đề bài
c) vì chữ số hàng chục bé hơn chữ số hàng đơn vị nên x<y
chọn y = 1 ……….9 ta được
x = 0 ……… 8
vậy ta được 8+7+6+5+4+3+2+1=36 số
Bài 2
Cho các số tự nhiên từ 1 đến 100 ta chia thành 2 dãy số chẵn và dãy số lẻ
Hỏi dãy nào cĩ tổng các chữ số lớn hơn và lớn hơn bao nhiêu?
Giải :
Ta chia thành 2 dãy
dãy số chẵn 2,4,6,8,10,12,……….96,98,100 cĩ 50 số
và dãy số lẻ 3,5,7,9,11, 13……95,97,99, 1 cĩ 50 số
Trang 7tổng các chữ số của dãy số lẻ hơn tổng các chữ só cưa dãy số chăn tương ứng là 3-2 = 1 cặp cuối cùng là bằng nhau
vậy ta có 49 căp nên
tổng các chữ số của dãy số lẻ lớn hơn tổng các chữ só cưa dãy số chẵn
và lớn hơn 1.49 = 49
Bài 3:
Cuốn sách giáo khoa toán 6 tập 1 có 132 trang Hỏi ta phải dùng tất cả bao nhiêu chữ số
để đánh số trang của cuốn sách?
Giải :
Từ trang 1 đên trang 9 là các trang có 1 chữ số ta dùng 9 chữ số
Từ trang 10 đên trang 99 là các trang có 2chữ số có số trang là 99 -10 +1 =90 số nên ta dùng 90 2 = 180 chữ số
Từ trang 100 đên trang 132 là các trang có 3 chữ số , có số trang là
132-100+1 =33trang ta dùng 33.3 = 99 chữ số
Vậy để đánh số trang của cuốn sách ta cần dung tất cả 9 + 180 + 99 = 228 chữ số
III/Bài tập kỳ này
Bài 1 : bài 16 trang 11 các dạng toán THCS tập 1
Cho số có 3 chữ số abc
a)Nếu viết thêm chữ số 7 vào bên phải nó thì số đó thay đổi như thế nào?
b)Nếu viết thêm chữ số 8 vào bên trái nó thì số đó thay đổi như thế nào?
Bài 2 : bài 17 trang 11 các dạng toán THCS tập 1
Cho số 7766 và 2 chữ số 0 và 5 Muốn được số lớn nhất thì:
a Phải viết chữ số 0 vào chỗ nào?
b Phải viết chữ số 5 xen giữa những chữ số nào?
Bài 3: bài 3 trang 8 các toán nâng cac và các chuyên đề số học 6
Để đánh số trang 1 cuốn sách người ta dùng 1995 chữ số hỏi cuốn sách dày bao nhiêu trang?
Bài 4(Dành cho 6A)
Giải thích tại sao
a)số có 4 chữ số xyxy khi chia cho số có 2 chữ số lại cho thương là 101 xy
b)số có 6 chữ số xyzxyz khi chia cho số có 3 chữ số xyz lại cho thương là 101
Trang 86A :Thứ ………Ngày…… tháng …….Năm …….Vắng ……… 6C :Thứ ………Ngày…… tháng …….Năm …….Vắng ………
AGiải bài kỳ trước
Bài 1 : bài 16 trang 11 các dạng toán THCS tập 1
Cho số có 3 chữ số abc
a)Nếu viết thêm chữ số 7 vào bên phải nó thì số đó thay đổi như thế nào?
b)Nếu viết thêm chữ số 8 vào bên trái nó thì số đó thay đổi như thế nào?
Giải :
a)Nếu viết thêm chữ số 7 vào bên phải nó thì số đó có 4 chữ số
khi đó chữ số a ở hàng nghìn số abcsẽ tăng gấp 10 lần và 7 đơn vị
)Nếu viết thêm chữ số 8 vào bên trái nó thì số đó trở thành 8abc,khi đó chư số 8 trở thành chữ số hàng nghìn số abc tăng 8000 đơn vị
Bài 2 : bài 17 trang 11 các dạng toán THCS tập 1
Cho số 7766 và 2 chữ số 0 và 5 Muốn được số lớn nhất thì:
a Phải viết chữ số 0 vào chỗ nào?
b Phải viết chữ số 5 xen giữa những chữ số nào?
Giải :
Cho số 7766 và 2 chữ số 0 và 5 Muốn được số lớn nhất thì:
a)Phải viết chữ số 0 vào chỗ bên phải số 7766 ta được số 77660 gấp số 7766 10 lần
Nếu viết vào bên trái số 7766 ta được số 07766 có giá trị không thay đổi
b)C hữ số 5 có 3 cách viết là 75766 hoặc 77566 và 77656 như vậy số 77656 là lớn nhất
Bài 3: bài 3 trang 8 các toán nâng cac và các chuyên đề số học 6
Để đánh số trang 1 cuốn sách người ta dùng 1995 chữ số hỏi cuốn sách dày bao nhiêu trang?
Giải :
1 Từ trang 1 đên trang 9 là các trang có 1 chữ số ta dùng 9 chữ số
2 Từ trang 10 đên trang 99 là các trang có 2chữ số có số trang là 99 -10 +1 = 90 số nên
ta dùng 90 2 = 180 chữ số
Vậy từ trang 1 đến trang 99 ta phải dùng 189 chữ số Vì 189 < 1995 nên số trang cần tìm là
số có 3 chữ số
Số các số có 3 chữ số là = 602 số
3
189
1995
Số thứ nhất có 3 chữ số là 100 , vậy số thứ 602 là 100 + 602 – 1 = 701
Vậy cuốn sách có tất cả 701 trang
Trang 9Bài 4(Dành cho 6A)
Giải thích tại sao
a)số có 4 chữ số xyxy khi chia cho số có 2 chữ số lại cho thương là 101 xy
b)số có 6 chữ số xyzxyz khi chia cho số có 3 chữ số xyz lại cho thương là 101
Giải :
a)số có 4 chữ số xyxy được viết dưới dạng tổng là 100 + = ( 100 + 1) xy xy xy
vây 101 : = 101 xy xy
b)số có 6 chữ số xyzxyz được viết dưới dạng tổng là
1000 xyz + xyz = xyz.(1000+1)
Vậy xyz 1001 : xyz = 1001
Bài 5: (dành cho lớp A)
Cho dãy số : 4 ;7 ;10;13;16 …………
a)Tìm số thứ 100 của dãy? Số thứ n của dãy
b) Số 45723 có mặt ở trong dãy đó không?
Giải :
Ta thấy 7 = 4 + 3
10 = 7 + 3
13 = 10 + 3 ………
Như vậy trong dãy số đã cho kể từ số thứ 2 trở đi mỗi số đều bằng số liền trước đố cộng 3 Gọi các số trong dãy lần lượt là a1; a2; a3; a4; a5…… an-1; an
Ta có a2 – a1 = 1
a3 - a2 = 1
………
an – an-1=1 ta có n -1 đẳng thức
Cộng 2 vế ta được an – a1 = 3.(n-1) hay an = a1+ 3.(n-1)
Vì a1 =4 nên an= 4 +3n -3 = 3n+1 ( n = 1;2;3;4;… )
Vậy số thứ 100 của dãy là a100 = 3 100 +1 = 301
b) Số 45723 có mặt ở trong dãy đó không?
Các số trong dãy đều có dạng 3n+1
Ta có số 45723 = 3 15241 vậy số 45723 không có mặt trong dãy
Bài 6:
Tìm số tự nhiên có 5 chữ số biết rằng nếu thêm chữ số 2 vào đằng sau số đó thì được số lớn gấp 3 lần số đó có được bằng cách viết thêm chữ số 2 vào đằng trước số đó
Giải :
Gọi số đã cho có dạng là aqbcde
Thêm 2 vào đằng trước ta được số 2abcde
Theo bài ra ta có phép nhân 2abcde
X
3
a bcde 2
Trang 10lần lượt tìm các chữ số ở số bị nhân từ phải qua trái
ta có 3.e = 2 e = 4 ta có 3.4 = 12 viết 2 nhớ 1 sang hàng chục
ta có 3.d + 1 tận cùng bằng 4 d = 1
ta có 3.c = d tận cùng bằng 1 nên c = 7 ta có 3.7 = 21 viết 1 nhớ 2 sang hang nghìn
ta có 3.b+2 tận cùng bằng d =7 nên b = 5
ta có 3.a +1 tận cùng bằng5 nên a = 8 3.8 =24 nhớ 2 sang hàng trăm nghìn
3.2+2 = 8
Vậy ta được 235714
X
3
857142
Bài 7: Tìm số tự nhiên x sao cho :
a) x + 3 = 4
b) 8 – x = 5
c) X : 2 = 0
d) 0 :x = 0
e) 5 x = 12