chuyên đề bồi dưỡng toán tiểu học lớp 4 lớp 5

Viết được tất cả bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau từ 4 chữ số đã cho Bài giải: Ở bài này ta có thể sử dụng phương pháp liệt kê, do chỉ có 4 chữ số nên số các số lập được không quá nh

CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG

TOÁN LỚP 4-5 CHUYÊN ĐỀ 1:

LẬP SỐ - TÍNH TỔNG

I Mở đầu

Đây là 1 dạng "người quen" mà ta thường gặp trong các bài tập về số tự nhiên ở lớp 4 và lớp 5

Để làm tốt dạng này ta cần nắm chắc 1 vài kiến thức cơ bản sau:

- Chữ số 0 không đứng ở hàng cao nhất của 1 số tự nhiên

- Số chẵn có hàng đơn vị là 0; 2; 4; 6; 8

- Số lẻ có hàng đơn vị là 1; 3; 5; 7; 9

- Số chia hết cho 5 có hàng đơn vị là 0 hoặc 5

II Các dạng bài tập

Dạng 1: Tính số lượng các số thỏa mãn điều kiện cho trước

Ở dạng bài này, chúng ta thường dùng 2 phương pháp: Liệt kê và sử dụng Quy tắc nhân

* Các bài tập mẫu:

Bài 1 Cho 4 chữ số 0, 3, 8 và 9 Viết được tất cả bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau từ 4 chữ số

đã cho

Bài giải: Ở bài này ta có thể sử dụng phương pháp liệt kê, do chỉ có 4 chữ số nên số các số lập

được không quá nhiều Chú ý rằng cần lập nên các số có 4 chữ số khác nhau nên ở mỗi số sẽ có mặt đủ cả 0; 3; 8; 9

Chữ số 0 không đứng ở hàng nghìn, để viết được đầy đủ và tránh nhầm lẫn, ta bắt đầu viết các số

có chữ số 3 ở hàng nghìn trước:

Chọn 3 làm chữ số hàng nghìn, ta có các số : 3089; 3098; 3809; 3890; 3980; 3908 Tổng cộng viết được 6 số

Tương tự với 2 chữ số 8 và 9 ở hàng nghìn, mỗi trường hợp ta cũng viết được 6 số

Số các số lập được là: 3 x 6 = 18 ( số )

Bài 2 Cho 5 chữ số 2; 4; 6; 7; 9 Lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau từ 5 chữ số đã

cho ?

Bài giải:

Với những bài có nhiều chữ số, cách liệt kê như bài 1 không đem lại hiệu quả Ta đi xét những khả năng có thể có được ở mỗi hàng và sử dụng Quy tắc nhân

Để đơn giản ta kí hiệu các số có 5 chữ số lập được có dạng abcde ( gạch trên đầu )

- Chữ số a có 5 cách chọn từ 5 chữ số đã cho

- Chữ số b có 4 cách chọn ( do đã mất 1 lượt chọn cho chữ số a)

- Chữ số c có 3 cách chọn ( do đã mất 1 lượt chọn cho a, 1 lượt cho b )

- Chữ số d có 2 cách chọn

- Chữ số e có 1 cách chọn

Sau đó, để tính số các số lập được ta đi nhân các số cách chọn với nhau

Số các số lập được là: 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 ( số )

Bài 3 Cho 4 chữ số 0; 4; 5; 7 Lập được bao nhiêu số có 4 chữ số từ 4 chữ số đã cho ?

Bài giải:

Ta kí hiệu các số có 4 chữ số lập được có dạng abcd ( gạch trên đầu )

Ở bài này xuất hiện chữ số 0, ta đã biết chữ số 0 không thể đứng ở hàng cao nhất, ngoài ra đề cũng không yêu cầu các chữ số trong mỗi số phải khác nhau

Vì vậy số cách chọn được tính như sau:

- Chữ số a có 3 cách chọn từ 4 chữ số đã cho ( loại bỏ trường hợp chữ số 0)

- Chữ số b có 4 cách chọn ( không cần trừ lượt chọn chữ số a do đề không yêu cầu các chữ số khác nhau)

- Chữ số c có 4 cách chọn

- Chữ số d có 4 cách chọn

Số các số lập được là: 3 x 4 x 4 x 4 = 192 ( số )

Bài 4 Cho 5 chữ số 2; 4; 5; 7; 8 Lập được bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số khác nhau từ 5 chữ số

đã cho ?

Bài giải::

Nếu như ở các bài trước ta thường tính số cách chọn từ chữ số hàng cao nhất đầu tiên thì ở bài này cần để ý rằng, các số lập được là số chẵn, tức là hàng đơn vị phải chẵn Vì vậy, ta cần tính số lượt chọn ở hàng đơn vị trước

Ta kí hiệu các số có 4 chữ số lập được có dạng abcd ( gạch trên đầu )

- Chữ số d có 3 cách chọn ( là 2; 4 ; 8)

- Chữ số a có 4 cách chọn ( do đã mất 1 lượt chọn chữ số d)

- Chữ số b có 3 cách chọn

- Chữ số c có 2 cách chọn

Số các số lập được là: 3 x 4 x 3 x 2 = 72 ( số )

Bài 5 Cho 5 chữ số 0; 4; 5; 7; 8 Lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác nhau từ 5 chữ số

đã cho ?

Bài giải:

Giống như bài 3, cần lập các số chẵn, tức là hàng đơn vị phải chẵn Ta thấy hàng đơn vị có 3 cách chọn là 0; 4; 8 Nhưng nếu áp dụng nguyên xi cách làm như bài 4 thì sẽ dẫn đến kết quả sai, nguyên nhân là chữ số 0 có thể đứng ở hàng đơn vị nhưng không thể đứng ở hàng đầu tiên

Vì vậy, với những bài kiểu này, khi xét số cách chọn cho hàng đơn vị mà thấy xuất hiện cả chữ

số 0 thì ta cần chia làm 2 trường hợp Cụ thể như sau:

Ta kí hiệu các số có 5 chữ số lập được có dạng abcde ( gạch trên đầu )

Xét 2 trường hợp:

- Trường hợp 1: e = 0, ta có dạng abcd0

Lúc này chữ số a có 4 cách chọn, b có 3 cách chọn, c có 2 cách chọn và d có 1 cách chọn Ở trường hợp này ta lập được 4 x 3 x 2 x 1 = 24 ( số )

- Trường hợp 2: e khác 0, lúc này e sẽ có 2 cách chọn là 4 và 8

Chữ số a có 3 cách chọn ( do mất 1 lượt chọn e và a phải khác 0 ), b có 3 cách chọn, c có 2 cách chọn và d có 1 cách chọn Ở trường hợp này ta lập được 2 x 3 x 3 x 2 x 1 = 36 ( số )

Cộng cả 2 trường hợp, ta tìm được số các số lập được là: 24+36 = 60 (số)

Dạng 2: Tính tổng các số lập được thỏa mãn điều kiện cho trước

* Các bài tập mẫu:

Bài 1 Cho 3 chữ số 2, 3 và 5 Hãy lập tất cả các số có 3 chữ số mà mỗi số có đủ 3 chữ số đã cho

Hỏi :

a, Lập được mấy số như thế

b, Mỗi chữ số đứng ở mỗi hàng mấy lần?

c, Tính tổng các số

Bài giải:

a, Ta lập được 6 số sau

235 325 523

253 352 532

b, Mỗi chữ số đứng ở mỗi hàng 2 lần

c, Tổng các số đó là :

(2 + 3 + 5) x 2 x 100 + (2 + 3 + 5) x 2 x 10 + (2 + 3 + 5) x 1

= 10 x 2 x (100 + 10 + 1)

= 10 x 2 x 111

= 2220

Chú ý: Bài toán này không khó, nhưng có thể thấy các câu hỏi b và c chính là 1 hướng gợi mở

trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến "Tính tổng các số lập được" Nguyên tắc làm dạng này như sau:

- Tìm số các số lập được thỏa mãn đề bài

- Xét xem mỗi chữ số đứng ở mỗi hàng bao nhiêu lần ( còn gọi là tìm số lần lặp )

- Thực hiện phép tính tính giá trị các chữ số ở mỗi hàng ứng với số lần lặp rồi cộng các kết quả với nhau, ta được tổng các số lập được (Ví dụ chữ số 5 đứng ở hàng nghìn 6 lần thì khi tính tổng các số, giá trị chữ số 5 đem lại là 5 x 1000 x 6 )

Bài 2 Cho 4 chữ số 1, 2, 3, 4 Lập được bao nhiêu số có 4 chữ số mà ở mỗi số có đủ 4 chữ số đẫ

cho Tính tổng các số đó

Bài giải:

Đầu tiên, dễ dàng tính được số các số lập được là: 4 x 3 x 2 x 1 =24 ( số )

Bây giờ cần xét xem mỗi chữ số đứng ở mỗi hàng mấy lần Lưu ý rằng đề bài không có chữ số

0, vì vậy tần suất xuất hiện của các chữ số ở các hàng như nhau và ta chỉ cần lấy số các số lập được chia cho số chữ số để tính ra số lần lặp

Mỗi chữ số đứng ở mỗi hàng số lần là: 24 : 4 = 6 (lần)

Vậy tổng các số lập được :

(1 + 2 + 3 + 4) x 1000 x 6 + (1 + 2 + 3 + 4) x 100 x 6 + (1 + 2 + 3 + 4) x 10 x 6 + (1 + 2 + 3 + 4)

x 1 x 6

= 10 x 6 x (1000 + 100 + 10 + 1)

= 60 x 1111

= 66660

Bài 3 Cho 4 chữ số 0, 2, 3, 5 Lập được bao nhiêu số có 4 chữ số mà ở mỗi số có đủ 4 chữ số đẫ

cho Tính tổng các số đó

Bài giải:

Bước 1: Số các số lập được là: 3 x 3 x 2 x 1 =18 ( số )

Bước 2: Tính số lần lặp Ở bài toán này có xuất hiện chữ số 0, vì vậy không thể tính giống như bài số 2 Cần để ý rằng khi tính số lần lặp ta không cần tính chữ số 0 mà chỉ tính cho 2,3,5 (vì 0 nhân lên bao nhiêu vẫn là 0 ) Ta lấy chữ số 2 làm ví dụ:

- Xét 2 đứng ở hàng nghìn, ta có số có dạng 2abc, dễ thấy a có 3 cách chọn ( sau khi bỏ 1 cách chính là chữ số 2 ), b có 2 cách chọn và c có 1 cách chọn Như vậy ta có 3 x2 x 1 = 6 ( số ) dạng 2abc, hay 2 sẽ đứng ở hàng nghìn 6 lần

- Xét 2 đứng ở hàng trăm, ta có số có dạng a2bc, dễ thấy a có 2 cách chọn ( sau khi bỏ 1 cách chính là chữ số 2 và không chọn chữ số 0 ), b có 2 cách chọn và c có 1 cách chọn Như vậy ta có

2 x2 x 1 = 4 ( số ) dạng 2abc, hay 2 sẽ đứng ở hàng trăm 4 lần

- Với hàng chục và đơn vị, ta cũng tính ra số lần lặp là 4 lần

Tương tự, chữ số 3 và 5 cũng đứng ở hàng nghìn 6 lần, các hàng còn lại mỗi hàng 4 lần

(2 + 3 + 5) x 1000 x 6 + (2 + 3 + 4) x 100 x 4 + (2 + 3 + 5) x 10 x 4 + (2 + 3 + 5) x 1 x 4

= 60000 + 4000 + 400 + 40

= 64440

Chú ý: Ta có thể tính số lần lặp bằng cách sau Chỉ có các chữ số 2,3,5 đứng ở hàng nghìn, và

mỗi chữ số có số lần lặp như nhau nên số lần xuất hiện ở hàng nghìn của mỗi chữ số đó là: 18 : 3

= 6 ( lần )

Số lần xuất hiện ở các hàng còn lại là ( 18 - 6 ) : 3 = 4 ( lần )

Cách tính ở lời giải trên tuy dài hơn, nhưng lại rất hiệu quả trong những bài toán có điều kiện phức tạp 1 chút, ví dụ như bài toán lập các số chẵn, số lẻ, số chia hết cho 5

Bài 4 Cho các chữ số a; 4; 6; 9 Từ 4 chữ số đó ta lập được 12 số có mặt đủ cả 4 chữ số đã cho

Tìm a ?

Bài giải::

Bài tập này chữ số a chưa biết, vì vậy số các số lập được sẽ phụ thuộc vào giá trị của a Như vậy cần xét đầy đủ các khả năng có thể xảy ra của a

- Trường hợp 1: a = 0

Hàng nghìn có 3 cách chọn, hàng trăm có 3 cách chọn, hàng chục có 2 cách chọn, hàng đơn vị

có 1 cách chọn Như vậy ta lập được 3 x 3 x 2 x 1 = 18 ( số ) - Không thỏa mãn đề bài

- Trường hợp 2: a khác 0 và khác cả các chữ số 4;6;9

Số các số lập được là : 4 x 3 x 2 x 1 = 24 ( số ) - Không thỏa mãn

- Trường hợp 3: a nhận giá trị là 1 trong 3 chữ số 4;6;9

Trong trường hợp này ta sẽ lập được 12 số ( có thể lấy ví dụ a = 4 rồi liệt kê )

Vậy a bằng 1 trong các số đã cho

Chú ý: Bài tập này rất nhiều người giải sai vì không hình dung ra đủ các trường hợp của a, đó là

khi xét a khác 0 và vẫn tính ra có 18 số ( tức là đã quên mất rằng trong trường hợp a khác 0 vẫn còn 2 khả năng xảy ra, đó là bằng 1 trong các chữ số còn lại hoặc khác các chữ số còn lại ) Bài toán này còn 1 hướng mở rộng thêm đó là:

Cho các chữ số x; 2; 5; 8 Từ 4 chữ số đó ta lập được 12 số có mặt đủ cả 4 chữ số đã cho có tổng là 66 660 Tìm x ?

Đây là dạng bài kết hợp giữa bài số 4 ở trên và công thức tính tổng các số lập được

III Bài tập tự luyện

Bài 1 Từ 5 chữ số 1; 2; 6; 8; 9 lập được tất cả bao nhiêu số lẻ có 4 chữ số?

Bài 2 Có bao nhiêu số có 6 chữ số dạng abcabc ( trong đó các chữ số a, b, c khác nhau) ?|

Bài 3 Có bao nhiêu số có 4 chữ số mà trong mỗi số có đúng 1 chữ số 2?

Bài 4 Từ 4 chữ số 0; 5; 6; 7 lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau mà mỗi số đều chia

hết cho 5?

Bài 5 Có bao nhiêu số có 4 chữ số mà trong mỗi số có ít nhất một chữ số 1?

Gợi ý: Để làm bài này ta chia làm 3 bước:

- Bước 1: Tính số các số có 4 chữ số

- Bước 2: Tính số các số có 4 chữ số mà trong mỗi số không có chữ số 1 (bài toán phủ định)

- Bước 3: Lấy kết quả bước 1 trừ đi kết quả ở bước 2

Bài 6 Cho 5 chữ số : 0, 2, 3, 5, 9 Hãy lập tất cả các số mà mỗi số có đủ 5 chữ số đã cho Tính

tổng các số lập được

Bài 7 Cho 4 chữ số : 1, 6, 6, 5 Hãy lập tất cả các số có 4 chữ số mà mỗi số có đủ 4 chữ số đã

cho Tính tổng các số lập được

Bài 8 Cho 5 chữ số : 0, 1, 3, 2, 5 Hãy lập tất cả các số có 5 chữ số chia hết cho 5 mà mỗi số có

đủ 5 chữ số đã cho Tính tổng các số lập được

Bài 9 : Cho 5 chữ số 0, 1, 4, 3, 8 Có thể viết được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau từ 5 chữ

số đã cho? Trong các số viết được có bao nhiêu số chẵn?

Bài 10 Cho các chữ số x; 2; 1; 7 Từ 4 chữ số đó ta lập được 18 số có mặt đủ cả 4 chữ số đã cho

Tìm x? Tính tổng các số lập được

Bài 11 Cho 7 chữ số 0; 2; 1; 4; 5; 6; 8 Lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau từ các chữ

số trên biết mỗi số đều chia hết cho 15