Nếu ba trăm năm trước, Newton (1687) đã đưa phép tính vi tích phân, công cụ toán học hiện đại nhất thời đó, vào các nghiên cứu động lực học, thì cũng rất phù hợp là ba trăm năm sau, khi [r]
Trang 1NHÀ KHOA HỌC NGUYỄN VĂN ĐẠO VỚI LÝ THUYẾT DAO
ĐỘNG VÀ CHUYỂN ĐỘNG HỖN ĐỘN
Tác giả: Các cộng sự của VS Nguyễn Văn Đạo trong nhóm nghiên cứu “Hệ Động lực
Phi tuyến” thuộc Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam: GS.TS Nguyễn Văn Đình, PGS.TS Trần Kim Chi, PGS.TS Nguyễn Dũng
Mở đầu Trong bài này các tác giả chỉ dám sơ lược điểm qua
những mốc chính của con đường nghiên cứu khoa học của Viện sĩ
Nguyễn văn Đạo Nó thể hiện ở Anh lòng say mê, khát khao nghiên
cứu khoa học; một nhà khoa học đầy tâm huyết, đầy năng lực và
cần mẫn Anh luôn đóng vai trò tiên phong, mở đường cho những
hướng nghiên cứu lớn Anh đã có nhiều cống hiến cho sự phát triển
khoa học, cho sự nghiệp đào tạo và tổ chức nghiên cứu Khoa học.
Anh ra đi đột ngột vào lúc trí tuệ rất minh mẫn, năng lực thật
sung mãn; vào lúc Anh có nhiều điều kiện thuận lợi nhất để sáng
tạo, để thực hiện những ước mơ lớn của mình về sự nghiệp khoa
học và giáo dục… Anh ra đi để dang dở biết bao ý tưởng, bao dự
định táo bạo, bao hoài bão mong muốn cống hiến cho đời…Anh ra
đi để lại cho chúng tôi niềm tiếc thương vô hạn chẳng gì có thể bù
đắp nổi.
A Mở đường cho những hướng nghiên cứu trong ngành Cơ học
1 Đến với hướng nghiên cứu “Lý thuyết dao động phi tuyến”
Con đường đến với hướng nghiên cứu “Lý thuyết Dao động Phi tuyến ” - Luận
án Phó tiến sĩ
Năm 1960, một đoàn cán bộ cao cấp của Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô do Phó chủ tịch - Viện sĩ Cachennhicôp làm trưởng đoàn sang thăm Việt Nam Trong đoàn có một nhà cơ học nổi tiếng - Viện sĩ Kônônhiêncô, chuyên gia hàng đầu về
Lý thuyết dao động phi tuyến Viện sĩ Kônônhiêncô đã có buổi báo cáo rất đặc sắc các kết quả nghiên cứu của ông với sự có mặt của GS Tạ Quang Bửu (lúc đó GS là Phó chủ nhiệm kiêm Tổng thư ký Uỷ ban Khoa học Nhà nước Việt Nam)
Là một cán bộ trẻ (giảng dậy môn Cơ học lý thuyết) đang chập chững, mầy
mò trên con đường nghiên cứu khoa học, Anh đã hoàn toàn bị thu hút bởi bài thuyết trình của Viện sĩ Kônônhiêncô Anh đã mạnh dạn trình bầy với GS Tạ Quang Bửu ý định phát triển hướng nghiên cứu “Lý thuyết dao động phi tuyến” ở Việt Nam GS Tạ Quang Bửu đã khuyên anh đi theo hướng nghiên cứu của Viện sĩ Kônônhiêncô
Ngày Anh Đạo lên đường đi nghiên cứu sinh, 3/12/1962, GS Tạ Quang Bửu
đẫ viết một lá thư tay bằng tiếng Anh giới thiệu Anh với Viện sĩ Kônônhiêncô
Trang 2Anh đã được tiếp nhận ngay vào Khoa Toán-Cơ của Trường Đại học Tổng hợp Lômônôxôp Mátxcơva và làm việc dưới sự hướng dẫn trực tiếp của Viện sĩ
Mùa hè năm 1965, Anh bảo vệ Luận án Phó tiến sĩ với chủ đề “Dao động và
ổn định của các hệ động lực với các bộ giảm chấn” Luận án đề cập đến những bộ giảm chấn động lực, trong đó vấn đề còn được xem xét dưới quan điểm năng lượng
Luận án Tiến sĩ
Sau khi về nước, Anh bắt tay luôn vào một Chương trình nghiên cứu quy mô
dưới đầu đề: Kích động thông số dao động phi tuyến của các hệ động lực Việc
thực hiện chương trình này vô cùng khó khăn do phải sơ tán vào rừng núi trong thời kỳ chiến tranh ác liệt nhất Cuối năm 1976, khi được cử đi làm thực tập sinh cao cấp ở nước ngoài, Anh mang theo một tập hợp các công trình nghiên cứu hoàn chỉnh dày trên 500 trang Công trình này đã trở thành Luận án Tiến sĩ khoa học mà Anh đã bảo vệ rất thành công vào tháng 12/1976 tại Trường đại học Vacsava Ba Lan sau hơn ba tháng hoàn tất các thủ tục Nhà báo Hàm Châu đã gọi đây là bản
“Luận án Tiến sĩ Khoa học giữa rừng sâu”
Trang bìa bản tóm tắt Luận án Phó tiến sĩ với nhan đề:
“КОЛЕБНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ДИНАМИЧСКИХ
СИСТЕМ С ГАСИТЕЯМИ”
Москва 7/V 1965 г
Trang 3Một phần luận án tiến sỹ của Anh là phát triển một hướng nghiên cứu của
Viện sỹ Kônônhiêncô về dao động quan liên: Dao động không cộng hưởng theo một phương gây nên dao động cộng hưởng theo phương khác.
VS Kônônhiêncô xét mô hình đĩa tròn dao động cưỡng bức không cộng hưởng quanh trục của nó, qua các yếu tố quán tính phi tuyến, gây dao động lật quanh đường kính Anh Đạo xét mô hình vật đỡ bởi hệ đàn hồi phi tuyến chịu dao động cưỡng bức không cộng hưởng theo phương thẳng đứng, gây dao động cộng hưởng theo phương nằm ngang
Trên cơ sở nhận xét cơ chế của hiện tượng kích động tham số mà phương này
kích động phương kia nên Luận án được chọn tên là: Kích động thông số dao động phi tuyến của các hệ động lực.
Một số kết quả của Anh đã được Giáo sư Ali H Nayfeh (Mỹ) dùng làm tài liêu tham khảo trong công trình của ông
Công trình Khoa học đầu tiên, các thành tựu khoa học
Công trình khoa học đầu tiên Anh công bố (trên Tập san Toán-Lý-Hoá, UBKHNN, Hà Nội, N0 1, 1961) với nhan đề “Áp dụng nguyên lý cực đại của Pôntriaghin vào một vài bài toán Cơ học”
Tiếp theo là trên 100 bài báo về các kết quả nghiên cứu xoay quanh các vấn đề của “Dao động phi tuyến của các hệ động lưc” và 13 cuốn sách chuyên khảo, trong
đó có nhiều cuốn Anh là đồng tác giả với Viện sỹ Mitropolski Một phần nội dung của các các kết quả này được thể hiện trong các cuốn sách chuyên khảo:
1.Nguyen Van Dao Nonlinear oscillations of high order systems, NCSR Vietnam, Hanoi, 1979, 64p
2.Mitropolskii Yu A., Nguyen Van Dao Applied asymptotic methods in nonlinear oscillations, Hanoi, 1994, 412p
3.Mitropolskii Yu A., Nguyen Van Dao Applied asymptotic methods in nonlinear oscillations, Kluwer Academic Publishers, 1997, 342p
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ВОЗБУЖДЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Trang 44.Nguyen Van Dao, Nguyen Van Dinh Interaction between nonlinear oscillating systems Vietnam National University Publishing House, Hanoi, 1999, 356p
Sau hơn bốn chục năm nghiên cứu và xây dựng đội ngũ, hướng nghiên cứu
“Lý thuyết Dao động phi tuyến” ở Việt nam đã phát triển, đạt được nhiều thành tựu và đã được các nhà khoa học Quốc tế nhìn nhận Viện sỹ Mitrôpôlski đánh giá
rằng: đã hình thành một “Trường phái Hà Nội” trong hướng nghiên cứu này.
2 Đến với hướng Nghiên cứu “ Chuyển động Hỗn độn” (Chaotic Motions)
Khai phá hướng nghiên cứu Chaos trong các Hệ động lực phi tuyến
Cho tới trước năm 2000, các công trình của Anh chủ yếu tập trung vào nghiên cứu các vấn đề của dao động của các hệ động lực phi tuyến theo hướng truyền thống
Bắt đầu từ năm 1999, Anh mở đường đi vào một hướng nghiên cứu rất mới
của các hệ phi tuyến: Chuyển động hỗn độn - Chuyển động Chaos (Chaotic
Motions)
“ Hỗn độn - Chaos” không chỉ là hướng nghiên cứu mới đối với chúng ta mà
là hướng nghiên cứu mới đối với thế giới Nó chỉ mới được phát hiện và bắt đầu được nghiên cứu khoảng hơn bốn chục năm gần đây (vào đầu những năm 60 của thế kỷ XX) nhưng nó đã có những ảnh hưởng và đóng góp rất lớn đến việc nghiên
VS Mitropolski và GS Nayfeh (Mỹ) là khách mời của Hội nghị Cơ học toàn quốc lần thứ VII Hà nội 12/2002
Trang 5cứu hầu như trong mọi lĩnh vực: khoa học, kỹ thuật, kinh tế, kể cả khoa học xã hội Nó thu hút sự quan tâm của nhiều nhà khoa học và đặc biệt được nghiên cứu nhiều ở Mỹ, Nhật Bản, hai cái nôi sản sinh ra ngành khoa học này
Sự khai phá mới bao giờ cũng thật khó khăn, rất ít người cộng tác (vì trong lĩnh vực Động lực học, ở Việt nam đến thời điểm đó, chưa có nhà khoa học nào đi sâu tìm hiểu hiện tượng Chaos), hơn thế nữa, bản thân “Chaos” là vấn đề rất khó Hai năm đầu, Anh cùng cả nhóm nghiên cứu tập trung vào đọc sách tìm hiểu vấn đề Có lần Anh đã mời Giáo sư Nhật Bản sang thuyết trình Một việc cũng rất khó khăn là việc tính lại các ví dụ trong sách, bởi vì động chạm đến các nghiệm Chaos thì chương trình tính toán rất phức tạp, mất nhiều thời gian (có nhiều chương trình như xây dựng các sơ đồ phân nhánh, phải chạy máy tính đến hàng chục ngày)
Sau thời gian tìm hiểu, Anh cùng nhóm nghiên cứu đã mạnh dạn đăng ký hướng nghiên cứu này trong “Chương trình nghiên cứu cơ bản của Nhà nươc” với
đề tài “Hệ Động lực phi tuyến và Chaos” Đề tài thực hiện từ năm 2001 đến 2005
và đã đạt được những kết quả ban đầu
Anh đã có 8 công trình nghiên cứu về chuyển động Chaos của một số hệ động
lực Đã xuất bản một quyển sách chuyên khảo với nhan đề “Nhập môn Động lực học phi tuyến và chuyển động hỗn độn” (Nhà xuất bản ĐHQG,2005)
Giới thiệu sơ lược về khái niệm chuyển động hỗn độn - Chuyển động Chaos
Lâu nay, định luật II của Newton F=mA được xem như mở đầu và cũng là kết thúc cho việc nghiên cứu động lực học! Dựa vào đó, người ta có cơ sở để tin rằng nếu biết trước vị trí, vận tốc ban đầu và các lực tương tác, thì với một máy tính đủ mạnh, người ta có thể dự đoán được chuyển động của một hệ trong tương lai lâu dài Nhưng tiếc rằng, sự xuất hiện của các máy tính nhanh và mạnh này không phải lúc nào cũng đáp ứng được niềm kỳ vọng vào khả năng dự đoán trước một cách vô tận trong động lực học Rất gần đây, người ta đã phát hiện ra rằng, chuyển động của những hệ động lực rất đơn giản không phải luôn luôn có thể dự báo được dài trong tương lai Những chuyển động không dự báo được dài hạn này
được gán cho tên là chuyển động Chaos (chuyển động hỗn độn) và việc nghiên
cứu chúng đã gây ra cuộc tranh cãi về một số ý tưởng toán học mới sôi động trong động lực học Nếu ba trăm năm trước, Newton (1687) đã đưa phép tính vi tích phân, công cụ toán học hiện đại nhất thời đó, vào các nghiên cứu động lực học, thì cũng rất phù hợp là ba trăm năm sau, khi các hiện tượng mới được phát hiện trong các hệ động lực, thì các nhà khoa học cũng phải xử dụng các lý thuyết toán học hiện đại nhất về topo, hình học để nghiên cứu những vấn đề này
Trở lại với các nghiệm của hệ động lực Cùng với các định luật Newton, một thời gian dài, chúng ta chỉ nghĩ rằng nếu nghiệm của hệ động lực còn bị giam hãm trong một miền giới nội trong không gian trạng thái thì chúng chỉ có thể là một trong hai trạng thái sau:
Trang 61- Trạng thái dừng, hay cân bằng được hình thành do sự hao tán năng lượng bởi ma sát, trạng thái này được Newton mô tả bởi hình ảnh “quả táo nằm trên mặt đất”
2- Trạng thái dao động, có thể tuần hoàn hoặc á tuần hoàn, được Newton
mô tả như là chuyển động đều đặn của Trái đất, Mặt trăng và các hành tinh khác xung quanh Mặt trời
Vài chục năm gần đây, các nhà khoa học mới phát hiện ra còn có một trạng
thái thứ ba của chuyển động, đó là chuyển động Chaos Những chuyển động này
cũng bị giới nội, bị giam hãm như những chuyển động tuần hoàn và á tuần hoàn,
nhưng không hề lặp lại và không thể có được một dự đoán dài hạn.
Hiện nay chưa có một định nghĩa chính xác cho một nghiệm Chaos, bởi vì nó không thể biểu diễn được qua các hàm toán học chuẩn Mặc dù vậy, người ta thường có nhận định chung rằng: nghiệm Chaos là một nghiệm không tuần hoàn với một số đặc điểm nhận dạng đặc biệt
Nghiệm Chaos được xác định như một trạng thái yên định giới nội, miền hút của nghiệm Chaos trong không gian trạng thái không phải là một đối tượng hình học đơn giản như một số hữu hạn điểm, một đường cong kín hay một xuyến, mà
nó có cấu trúc hình học phức tạp, được gọi là tập hút lạ (strange attractor) hay tập hút Chaos (chaotic attractor), có thứ nguyên phân hình (fractal dimension) Phổ của các tín hiệu Chaos có đặc tính của một dải rộng liên tục, nghĩa là có tính chất như phổ của một hiện tượng ngẫu nhiên, chứ không chỉ rời rạc như phổ của tập hút tuần hoàn hay á tuần hoàn
Tính chất điển hình quan trọng nhất của chuyển động Chaos là nó đặc biệt nhậy cảm với sự thay đổi của điều kiện ban đầu, có nghĩa là: những khác nhau rất nhỏ ở đầu vào, bị khuếch đại và tạo nên sự khác nhau rất lớn ở đầu ra Sự
cực kỳ nhậy cảm với điều kiện ban đầu của nghiệm Chaos được người ta gán cho
một cái tên rất đẹp, rất sinh động là “Hiệu ứng cánh bướm” (Butterfly effect) và
được diễn đạt bởi một câu nói đầy ấn tượng và văn hoa: Một cái vẫy cánh của một con bươm bướm ở Bắc Kinh, Trung Quốc hôm nay, có thể gây bão tố cho bang California (Mỹ) vào tháng sau”
Như vậy, việc tìm nghiệm Chaos dẫn đến một loạt vấn đề: tập hút lạ, phổ phản ứng, sự phụ thuộc nhậy cảm vào điều kiện ban đầu mà tiêu chuẩn điển hình là có
số mũ Liapunov dương , xây dựng hàm mật độ Một trong những vấn đề có ý nghĩa nhất, đặc biệt trong thực tiễn, là xác định được miền các tham số tương ứng với nghiệm Chaos
Sau một thời gian dài nghiên cứu, Giáo sư Yoshisuke Ueda (người đầu tiên phát hiện ra hiện tượng Chaos trong các dao động của dòng điện vào năm 1961) đã
nhận xét: Người ta gọi Chaos là một hiện tượng mới, nhưng nó luôn luôn tồn tại xung quanh ta Thật ra chẳng có gì mới về nó, chỉ có điều người ta đã không chú ý tới nó (People call Chaos a new phenomenon, but it has always been around.
There’s nothing new about it , only people did not notice it)
Một điều đáng nói là việc phát hiên ra những nghiệm Chaos trong các hệ động lực thoạt tiên không phải là các nhà toán học, mà là các chuyên gia về kỹ thuật khi
Trang 7họ nghiên cứu các bài toán thực tế về khí tượng thuỷ văn, về dao động của dòng điện …và sau đó người ta mới dùng các công cụ toán học để nghiên cứu bản chất của hiện tượng này một cách sâu sắc
3 Bước đầu đến với Cơ học Nano
Việc chế tạo ra các vật liệu Nano và phát minh ra công nghệ Nano được xem
là một trong những thành tựu khoa học kỹ thuật đặc sắc về kích thước ở cuối thế
kỷ XX Trong thế kỷ XXI này, những nghiên cứu về các vật liệu và công nghệ Nano có thể tạo ra một cuộc cách mạng mới trong sản xuất
Anh Đạo đã tìm hiểu, nắm bắt vấn đề khoa học và công nghệ có vai trò cách mạng này và nhìn nhận nó trên quan điểm Cơ học
Trong hội nghị Cơ học toàn quốc kỷ niệm 25 năm thành lập Viện Cơ học (10/4/2004) tại Hà Nội, Anh đã có báo cáo khoa học với nhan đề “Cơ học Nano” Trong báo cáo này Anh đã trình bày những thông tin tổng quát về hướng nghiên cứu Cơ học Nano, những thành tựu đã đạt được trên thế giới và đề xuất phương hướng nghiên cứu Cơ học Nano ở nước ta
Trong Cơ học Nano, vật liệu được xem xét ở kích thước cỡ một phần tỷ của mét (10 m9 ), gần với kích thước của phân tử Ở kích thước này của vật liệu, sẽ xuất hiện hiệu ứng lượng tử , vì thế các định luật Newton, các quy luật kết cấu, ma
Báo cáo trong hội thảo KH Mừng Sinh nhật lần thứ 80 VS Frolov K V.:
“The Study of Chaotic Phenomena in a strong nonlinear Mathieu Oscillator”
Matxcơva 7/2002
Trang 8sát, tương tác … trong cơ học kinh điển không còn chính xác nữa mà phải kể thêm các hiệu ứng điện từ, lực phân tử,…
Nhìn trước vai trò quan trọng của Cơ học Nano trong tương lai của khoa học cơ bản và công nghệ, Anh đã có một số kiến nghị :
1 Tổ chức một nhóm nghiên cứu thăm dò, tìm kiếm thêm thông tin về lĩnh
vực này: nội dung khoa học, các tổ chức nghiên cứu tại các nước … Ngành cơ học thuộc Hội Đồng Khoa Học Tự Nhiên tài trợ cho nhóm nghiên cứu Các đề tài lựa chọn cần được định hướng và việc nghiên cứu
cơ học phục vụ cho phát triển công nghệ Nano ở Việt Nam, cho việc phát triển công nghệ sản xuất các sản phẩm cấu trúc Nano Đặc biệt lưu tâm đến lĩnh vực Cơ học vật liệu
2.Tìm hiểu chương trình đào tạo cán bộ Cơ học Nano ở các nước Chuyển
một số cán bộ Cơ học trẻ và giỏi ở các trường đại học và Viện nghiên cứu sang nghiên cứu về Cơ học Nano
3 Tổ chức một số seminar về Cơ học Nano
4 Tham gia các họat động hợp tác quốc tế trong lĩnh vực Cơ học Nano, cử
cán bộ đi trao đổi khoa học ở các nước về vấn đề này
Trong Hội nghị, Anh cũng đã động viên khuyến khích các cán bộ khoa học trẻ mạnh dạn đi vào hướng nghiên cứu mới này Mong rằng chúng ta có thể thực hiện được các ý nguyện tâm huyết của Anh
4 Kết luận
Cách đây ít hôm, ngày 21/7/2007, Nguyên Thủ tướng Võ Văn Kiệt đã đên
thăm gia đình VS Nguyễn Văn Đạo Trong lời cảm tưởng Ông viết: “ Tôi thật xúc động bồi hồi và thương tiếc Anh vô cùng - Một nhà trí thức lớn đầy tâm huyết, nhiều ý tưởng, luôn sáng tạo và vươn tới cái mới …”.
Trong khoa học, Anh thể hiện rất rõ là con người như vậy Từ những ngày đầu
ở lứa tuổi 20, chập chững đi vào nghiên cứu khoa học và cho đến những năm tháng cuối Anh luôn miệt mài làm việc, khai phá mở đường và đẫn dắt cả một tập thể nghiên cứu theo hướng của Anh Anh cũng đã luôn giúp đỡ, bồi dưỡng, tạo điều kiện cho các cán bộ khoa học trẻ vươn lên Một hoạt động khác trong lĩnh này
là Anh rất chịu khó viết sách chuyên khảo Anh Bắt đầu viết sách từ năm 1969, tới nay Anh đã viết 13 cuốn sách chuyên khảo
Ở anh một nét nổi bật là khả năng tổ chức, đoàn kết, hội tụ các nhà khoa học
để phát huy sức mạnh của họ phục vụ đất nước
B Công trình khoa học cuối cùng
Trang 9“Một tiếp cận số của các Chuyển động Hỗn độn trong Chấn tử Duffing –
Van Der Pol”
AN NUMERICAL APPROACH OF CHAOTIC MOTIONS IN
A DUFFING-VAN DER POL OSCILLATOR
Nguyen Van Dao, Nguyen Van Dinh,
Vietnam National University, Hanoi
Tran Kim Chi, Nguyen Dung
Vietnamese Academy of Science and Technology
Abstract In the present paper the influence of the excitation
frequency ( ν ) and the forcing amplitude (e) on the chaotic
behaviour of the system governed by equation
x2x k (1 x x2)x3esint (1)
will be examined This equation is a Van der Pol one with a
forcing term esinvt, where , , , ,e and are constants,
overdot denotes the derivative with respect to time t When e=0 ,
we have the classical Van der Pol equation which
represents a self – excited oscillator with the amplitude a* 2 /
and frequency ω Our discussion was focused upon variation
of the excitation frequency ν and the forcing amplitude e The
bifurcation diagrams for acquiring the overview of equation (1)
and the Liapunov exponent method will be used [3,4,5,6,9]
For a concrete case, the parameter regions in which either
periodic or chaotic motions exist were shown In two preceding
cases, the first case, when ν is control parameter, it changes
suddenly from periodic motion to chaotic motion, corresponding
to Hopf bifurcation In the second case, it is the double – period
process and leads to chaotic motion.Chaotic attractors illustrate
the complexity of the motion of the system under consideration.
1 Summary of the case of small parameters
First, we recall briefly some known results of deterministic motions in (1) for the case of smallness of the coefficients It is supposed that is close to the natural frequency , namely :
2 2 , (2)
Trang 10here is a detuning parameter and is a small positive one Applying to (1) the asymptotic method [2] and using the amplitude and phase variables (a , ) given by
cos( ), sin( ),
(3)
we have
ν ˙a=− ε[ Δx+k (1− γx
2 ) ˙x +βx3+e sin νt]sin (νt +θ),
νa ˙θ=− ε[ Δx+k (1− γx2
) ˙x + βx3+e sin νt]sin(νt+θ). (4)
Since a and are slowly varying functions of time, the change in their values during a time period T =2 / is very small Hence, in the first approximation one may replace equations (4) by their time – averages over (t, t+T )assuming a and
to be constant :
ν ˙a= ε
2[ak ν (1 −
1
4γa
2 )−e cosθ],
νa ˙θ= ε
2(− Δa −
3
4 βa
3 +e sin θ).
(5) The steady-state equations are
a0kν (1 − γ
4 a0
2 )=e cos θ0,
Δa0+3
4βa0
3
By eliminating the phase θ0 from these equations we obtain
¿=E2,
A¿ (7) where
A= γ
4a0
2
=a02
a❑2 , E
2
4 k2ω2e
2, σ = ω
k [
α2−1
3 β
4 ω2a0
2 ],α= ν
ω , (8)
a❑=2/√γ is the amplitude of the purely self-excited van Der Pol oscillator Below only the behaviour of forced oscillations with the frequency which is close to will be considered
The oscillation described by the equation (1) with stationary amplitude a0 and phase 0: x a 0cos(t0) has the frequency of the external force only The self-excited oscillation is entrained by the external excitation The synchronized oscillation (3) is characterized by the entrainment of the auto-periodic frequency
by the external one.The synchronization effect is observed only when the exciting frequency is close enough to the natural frequency