Bai giang Tổ Hợp

Hỏi có mấy cách chọn một học sinh lên nhận phần thưởng đại diện?. + Có 9 cách chọn học sinh nam + Có 6 cách chọn học sinh nữ Vì chọn nam thì không chọn nữ và ngược lại nên ta có 9 +6 =1

-§.TỔ HỢP

Bài 1: Kiến thức cơ bản về tổ hợp.

I Quy tắc cộng.

Ví dụ Có 9 học sinh nam và 6 học sinh nữ Hỏi có mấy cách chọn một học sinh lên nhận

phần thưởng đại diện?

+ Có 9 cách chọn học sinh nam

+ Có 6 cách chọn học sinh nữ

Vì chọn nam thì không chọn nữ và ngược lại nên ta có 9 +6 =15 cách chọn một học sinh… Tổng quát ta có quy tắc

Nếu có m1 cách chọn đối tượng x1

Nếu có m2 cách chọn đối tượng x2

Nếu có m n cách chọn đối tượng x n

Và x i¹ x j ( ,"i j=1,2, , )n thì ta có m1 + m2 +…… + mn cách chọn một đối tượng trong các đối tượng đã cho

Ví dụ Cho ba số tự nhiên 6, 7, 8 Hỏi có thể lâp được bao nhiêu số tự nhiên khác nhau có

các chữ số khác nhau?

H? Trường hợp số có một chữ số, có mấy số?

H? Trường hợp số có hai chữ số, có mấy số?

H? Trường hợp số có ba chữ số, có mấy số?

Kết luận?

II Quy tắc nhân.

Ví dụ.

Hỏi có mấy cách đi từ HN về HT và phải qua TP Vinh?

H? Có mấy cách đi từ HN về Vinh?

H? Mỗi cách đi từ HN về Vinh thì có mấy cách đi từ Vinh về HT?

Tổng quát ta có quy tắc:

Nếu một phép chọn được thực hiện n bước liên tiếp Trong đó:

Bước 1 có m1 cách chọn

Bước 2 có m2 cách chọn

…

…

Bước n có m n cách chọn

Thì phép chọn được thực hiện m1.m2… mn cách khác nhau

Ví dụ Với 6 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số phân biệt và

là

a) Số lẽ

b) Số chẵn

Ví dụ Với 6 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số phân biệt và

là

a) Số lẽ

b) Số chẵn

III Hoán vị

1 Định nghĩa Cho tập A gồm n phần tử (n ³ 1) Mỗi cách sắp xếp thứ tự n phần tử của A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó

Ví dụ

{ }

; có hai hoán vị ab, ba A= ; ; có 6 hoán vị abc, acb, bac, bca, cab, cba

a b c

=

2 Định lí Nếu kí hiệu số hoán vị của n phần tử là P , ta có

P ( 1)( 2) 3.2.1 !

Thật vậy: A= ; ; ; ; có n phần tử

Lập một hoán vị ta làm như s

n n

n

au

Chọn phần tử đứng vị trí số 1 có n cách chọn

Chọn phần tử đứng vị trí số 2 có n-1 cách chọn

Chọn phần tử đứng vị trí số 3 có n-2 cách chọn

Sau khi

®

®

®

đã chọn n-1 phần tử thì còn phần tử cuối cùng đứng ở vị trí thứ n có một cách chọn Áp dụng qut tắc nhân ta có P =n! n

®

Ví dụ 1) Hỏi có mấy cách sắp xếp 5 học sinh ngồi vào một bàn? Có P5 = 5! cách

2) Hỏi có mấy cách sắp xếp 6 người ngồi vào một bàn tròn?

Hai cách ngồi được xem là như nhau nếu cách này có thể nhận đươc từ cách kia bằng cách quay bàn đi một góc nào đó Vậy có 6

6

P

cách ( vẽ hình minh họa)

IV Chỉnh hợp

1 Định nghĩa Cho một tập A có n phần (n ³ 1) Một bộ gồm k phần tử (1 k n£ £ ) sắp thứ tự của tập A được gọi một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A

Ví dụ Cho A= ; ; số chỉnh hợp chập 2 của 3 phần tử của A là{a b c}

{ } { } { } { } { } { }a b; , ; , ; , ; , ; ,a c b a b c c a c b ®; có 6 chỉnh hợp

2 Định lí Kí hiệu chỉnh hợp chập k của n phần tử là k

n

A , thì ta có

! ( 1)( 2)( 3) ( 1)

!

k

n

n

n k

- C/M:

Ví dụ Có mấy cách chọn và sắp thứ tự 5 cầu thủ đá luân lưu 11m Biết rằng khả năng đá

11m của 11 cầu thủ là như nhau ( 5 )

11

A cách

Ví dụ Từ các chữ số 1, 3, 5, 7, 8 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau.

V Tổ hợp.

1 Định nghĩa Cho tập A gồm n phần tử Một tập con k phần tử của A (0 k n£ £ ) được gọi là tổ hợp chập k của n phần tử của A

-2 Định lí Kí hiệu k

n

C là tổ hợp chập k của n phần tử thì ta có. ( )

!

k n

n C

k n k

=

- C/M: Các chỉnh hợp chập k nếu khác nhau về thứ tự thì được coi như cùng một tổ hợp chập

k của n phần tử Vậy nếu đem một tổ hợp chập k này hoán vị theo một cách nào đó thì được k! chỉnh hợp, tức là ( )

!

!

k

-Ví dụ Một hộp có 10 viên bi Lấy ngẫu nhiên 4 viên Hỏi có mấy cách lấy?

3 Tính chất

1

k n k

-Bài 2 Các dạng bài tập về tổ hợp

Dạng 1 Rút gọn biểu thức.

Kiến thức 0! = 1

1! = 1 n! = n(n-1)(n-2)…3.2.1

Ví dụ Rút gọn các biểu thức sau:

1

2009

2009 4

7

6! ( 1)!

( 1) 4!( 1)!

Ta có k.k!= 1 1 ! 1 ! ! ( 1)! !

! ( 1)! ! 2! 1! 3! 2! ( 1)! ! ( 1)! 1 )

2 7!.4! 8! 9!

3 101 3!.5! 2!7

n k

m

a A

A

d A

=

+

=

-=

é + - ù = + - = +

-+

-å

! 2009! 2007

2008! 2007! 2009

e A

-Dạng 2 Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình.

Ví dụ Giải các phương trình sau:

4

1

1

1) 1 ! 6 ! ( 1)! 2) 2

7

2 23

4

4

n

n

A

-+

Ví dụ Giải các bất phương trình sau:

Ví dụ Giải các hệ phương trình và hệ bất phương trình sau:

1

2

5

2 2

7

1)

5 2)

2 72 3)

720

,

12 5)

6

y

x x y x

x y x y x y

x y

x

x y

x y

P

x y

P

-+

-+

ìï =

ïïí

ïïỵ

ïïí

ïïỵ

ïí

ï < + <

ïỵ

ïï

ïï =

íï

ïï Ỵ

ïïỵ

ìï + £

ïïí

ïïỵ

¢

Dạng 3 Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức.

Kiến thức

1

1

n n

k n k

-=

¥

Bài tập

1

+

2 2

2 2

VD2 Cho 2 k n CMR: k 1 1

! Thật vậy: k 1 1

2 !

k n

k n

n

k n k

n

4

3 Cho 4 k n CMR: C 4 6 6 4

=C 3 3

-+

1

=C 2

= C

=C

4 CMR: 1+P 2 3 1

Thật vậy:

2 3

1 Cộng vế theo vế đpcm

- =

-Þ

1! 2! 3! !

Thật vậy:

1 =1

1!

=

=1-2! 2 2

= =

3! 2.3 2 3

4! 3.4 3 4

Cộng vế theo vế ta có 2

VD

n

VT

+ + + + <

-< =

-< - 1 2

n<

1

6.CMR: 2n ! , 3

Dạng 4 Bài toán đếm.

* Bài toán 1 Đếm số các chữ số thỏa mãn tính chất K hình thành từ một tập số

Ví dụ 1 Cho E ={1;2;3;4;5;6;7} Tìm tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số lấy từ E sao cho

a) Các chữ số đều khác nhau? ( 5 )

7 số

A

b) Chữ số đầu tiên là chữ số 3? ( QT nhân)

c) Chữ số tận cùng không là số 4? (QT nhân)

d) Các chữ số khác nhau và là số chẵn?

HD: Số cuối có 3 cách chọn 4 số còn lại là chỉnh hợp chập 4 của 6 Áp dụng quy tắc nhân

e) Các chữ số khác nhau trong đó phải có chữ số 7?

HD: + Số có 5 chữ số khác nhau lấy từ E là ( 5 )

7 số

A

+ Số có 5 chữ số khác nhau lấy từ E không có chữ số 7 là ( 5 )

6 số

A

Suy ra: Số các số có 5 chữ số khác nhau và có mặt chữ số 7 là 5 5

A - A số

f) Các chữ số khác nhau trong đó có chữ số 7 và chữ số hàng ngàn là 1?

{ }

: Gọi số cần tìm là abcde

b- có 1 cách chon

Chọn 1 trong 4 vị trí để đặt chữ số 7, có 4 cách

3 vị trí còn lại là mọt bộ thứ tự được chọn trong E\ 1;7 c

HD

5 3

5

ó A cách

Theo quy tắc nhân ta có 1.4.A cách chọn

Ví dụ 2 Cho E ={1;2;3;4;5} Có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số phân biệt thỏa mãn

a) Không bắt đầu bằng chữ số 1?

b) Không bắt đầu bằng chữ số 123?

HD: + Số các số có 5 chữ số phân biệt lấy từ E là 5

5

A

+ Số các số có 5 chữ số khác nhau lấy từ E và bắt đầu bằng chữ số 1 là 1 A44

+ Số các số có 5 chữ số khác nhau lấy từ E và bắt đầu bằng chữ số 123 là 1 A22

Kết luận…

Ví dụ 3 Cho E ={0;1;2;3;4;5;6;7;8;9} Có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số thỏa mãn

a) Phân biệt?

b) Trong đó hai chữ số kề nhau phải khác nhau?

{ } { }

4 9 4 9

:

) có 9 cách chọn

bcde phân biệt chọn chọn từ E\ có A

Số có 5 chữ số phân biệt chọn từ E là 9.A số

b) a- có 9 cách chọn

b- được chọn từ E\ co

a

a

a =

-Þ

{ }

ù 9 cách chọn c- được chọn từ E\ b có 9 cách chọn

-{ } { }

d- được chọn từ E\ có 9 cách chọn

e- được chọn từ E\ có 9 cách chọn

có 9.9.9.9.9 cách

c d

Þ

Ví dụ 4 Cho E ={0;1;2;3;4;5;6;7} Có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau vàthỏa mãn

a) Là số chẵn?

b) Một trong 3 số đầu tiên phải là số 1?

c) Số đó phải chia hết cho 5?

* Bài toán 2 Đếm số phương án.

Ví dụ 1 Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam và 3 nữ Hỏi có mấy cách

phân công đội về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và một nữ

3 12

2 8

1 4

1 4

Có C cách phân 4 nam và 1 nữ về tỉnh thứ I

Có C cách phân 4 nam và 1 nữ về tỉnh thứ II

Có C cách phân 4 nam và 1 nữ về tỉnh thứ III

Theo quy tắc nhân ta c

C

C

C

−

−

−

ó C C C cách C C C

Ví dụ 2 Một bộ bài Túlơkhơ 52 con Rút ra 5 con, có bao nhiêu cách chọn mà có ít nhất 2

con át?

2 3

4 48

3 2

4 48

4 1

4 48

2 át+ 3 con loại khác có C cách

3 át+ 2 con loại khác có C cách

4 át+ 1 con loại khác có C cách

Theo quy tắc cộng ta có C C C cách

C C C

−

−

−

Ví dụ 3 Một nhóm học sinh 12 em, gồm 5 hs lớp A, 4 hs lớp B và 3 hs lớp C Cần chọn 4 hs

đi làm nhiệm vụ sao cho 4 hs này không quá hai lớp Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

GV: Nếu làm xuôi thì có nhiều phương án chọn thỏa mãn

+ Số cách chọn 4 hs trong 12 hs là 4

12 495 cách

+ Số cách chọn 4 hs trong 12 hs mà mỗi lớp có ít nhất 1 hs được tính như sau:

* 2 hs lớp A + 1 hs lớp B + 1 hs lớp C có 2 1 1

5 4 3 120 cách

C C C =

* 2 hs lớp B + 1 hs lớp A + 1 hs lớp C có 2 1 1

4 5 3 90 cách

C C C =

* 2 hs lớp C + 1 hs lớp B + 1 hs lớp A có 2 1 1

3 4 5 60 cách

C C C =

Vậy số cách chọn 4 hs trong 12 hs mà mỗi lớp có ít nhất 1 hs 120+ 90+ 60 = 270 cách Số cách chọn phải tìm là 495 – 270 = 225 cách

Ví dụ 4 Trong một môn học GV có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi

trung bình và 15 câu hỏi dễ Có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra từ 30 câu hỏi đó sao cho mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, có đủ 3 loại ( khó, tb, dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn

2 ?

Hướng dẫn.

3 dễ + 1 tb + 1 khó

2 dễ +1 tb + 2 khó

2 dễ + 2 tb + 1 khó

Ví dụ 5 Một người có 12 cuốn sách đôi một khác nhau gồm 5 sách Truyện, 4 sách Nhạc và

3 sách Ngoại ngữ Người đó lấy 6 cuốn tặng đều cho 6 người Hỏi có bao nhiêu cách tặng mà sau khi tặng xong thì mỗi loại sách còn ít nhất một cuốn?

HD: Ta để ý rằng tổng 2 loại sách nào cũng lớn hơn 6 nên sau khi tặng 6 cuốn thì không thể hết tới 2 loại sách

- Số cách chọn 6 sách từ 12 sách khác nhau cho 6 người là 6

12 665280

- Ta loại đi các trường hợp;

+ Tặng hết sách Truyện có 5 1

A A = ( Chọn 5 người trong 6 người để tặng

5 sách truyện có 5

6 cách

A , chọn 1 sách trong 9 sách để tặng cho người còn lại có 1

9

A )

+ Tặng hết sách Nhạc có 4 2

6 8 20160

A A =

+ Tặng hết sách NN có 3 3

6 9 60480

A A =

Vậy số cách tặng cần tìm là 665280 – (5040 + 20160 + 60480)=579600 cách

Ví dụ 6 Có 5 nhà Toán học nam, 3 nhà Toán học nữ và 4 nhà Vật lí nam Có bao nhiêu

cách lập đoàn công tác 3 người mà có nam có nữ và có Toán có Lí

- Chọn 2 nữ Toán + 1 Lí nam

- Chọn 1 nữ Toán + 2 Lí nam

- Chọn 1 nữ Toán + 1 nam Toán + 1 Lí nam

Ví dụ 7 Một hộp đựng 4 bi đỏ, 5 bi trắng và 6 bi xanh Chọn ra 4 viên bi Có bao nhiêu

cách chọn mà không có đủ 3 màu

- Tổng số 15 bi chọn ra 4 bi có 4

15 1365

C = cách

- Ta loại đi các trường hợp chọn 4 bi mà đủ 3 màu

+ 2 đỏ + 1 trắng + 1 xanh + 1 đỏ + 2 trắng + 1 xanh + 1 đỏ + 1 trắng + 2 xanh

Ví dụ 8 Cho tập A gồm n phần tử (n≥4) Biết rằng số tập con 4 phần tử bằng 20 lần số

tập con gồm 2 phần tử Tìm số nguyên dương k sao cho số tập con gồm k phần tử của A là lớn nhất?

- Số tập con k phần tử của A là k

n

C

- Theo (gt) ta có C n4 =20C n2 ⇔ ⇔ = n 18

- Do

1 18 18

18

1

k k

k

+ = − > ⇔ <

C <C < <C ⇒C >C > >C

- Vậy k = 9 là giá trị cần tìm

Ví dụ 9 Cho đa giác đều 2n đỉnh A A A nội tiếp trong đường tròn (O) Biết rằng số tam 1 2 2n

giác có các đỉnh là 3 trong 2n đỉnh đã cho nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n đỉnh đã cho Tìm n

- Số tam giác có 3 đỉnh chon từ 2n đỉnh là 3

2n

C

- 2n đỉnh cách đều nhau nội tiếp trong (O) có n đường chéo là n đường kính, 2 đường kính bất kì nào cũng tạo 1 hình chữ nhật Vậy số hình chữ nhật có 4 đỉnh trong 2n đỉnh là 2

n

C

- Theo (gt) ta có 3 2

Ví dụ 10 Cho đa giác đều H có 20 cạnh Hỏi có bao nhiêu tam giác nội tiếp H mà không có

cạnh nào là cạnh của H?

GV: Vẽ hình minh họa

- Tổng số tam giác có đỉnh là đỉnh của H là 3

20

C

- Số tam giác có 2 cạnh là cạnh của H là 20

- Số tam giác có 1 cạnh là cạnh của H là 20 1

16

C

§ NHỊ THỨC NEWTON

I Kiến thức:

( )

0

1 1 1

1 1

* Với a, b , n ta có:

Chú ý:

* C

*

*

*

* 1,

n

k

k n k

a b C a C a b C a b C b C a b

C

C C C

kC nC

a b

-=

+

-+ +

-=

=

=

=

å

2

2 2

2 1

2 1

0

2 1

1

* 1,

* 1,

1

2

*

2 1

*

1

k k

n

n k n

n

a b x

a b x

f x f x

f x f x

g x x C x

g x x C

+ +

+

= +

=- Þ

ìï

ï ï

ï ï

ï

ï Þ ï

ý í

-ï ï

ï ï

þ ïỵ

å

( )

0

2 1

2 1

2

Ví dụ 1 Tính giá trị của các biểu thức sau:

n

k k n k

n

g x g x

g x g x

a A C C C

b B C C C B

+

= +

ìï

ï ï

ï ï

ï ï

ï Þ ï

ý í

-ï ï

ï ï

þ ïỵ

å

11

2

Ví dụ 2 Tính tổng:

HD:

1

cộng lại, chọn x= 2 )

1

1

1

n n n n

c C C C C C

a A C C C C C

b B C C C C C

x

a x

x x

x x

+

=

ü ï

ïï

- =ïþ

ü ï + =ï

ý

trừ vế theo vế, chọn x= 2 )

Ví dụ 3 Tính tổng:

T=

n

b

n n

ïï ïþ

Ví duï 4 tính toång:

S= 1.2.3.C 2.3.4 2 1

n

3

3

1 1

1 2 2

Ví duï 5 tính toång:

Ví duï 6 tính

n

n

n

-+ +

+

2

toång:

Ví duï 7 tính toång:

1

2 1

2 2 2 1

n

n

n

n

n

k

C

+ +

+ +

+

+

+

+

=

2 1

Ví duï 8 tính toång:

2 1

n

n n

k k n

k

C

k

n

n

+

-+

+

+

+

1

1 (2)

2 1

n

n k

=

-+

å

( )

( ) ( )

Ví duï 9 CMR: 2 4 6 2 2 1

Ví duï 10 CMR: 1.2 2.2 3.2 2 3 1 2

: 2 2 2 2 2 2

VT

=

1

2 1

2

Ví duï 11 Tìm soá nguyeân döông n sao cho:

1 1 2 0,1,2, 2

n n

n n

n

-+

+ +

1

2 0

1

1

1 1

1

1

n k

n

k

k n k

k n

k C n

+ +

=

+

+

+ +

+

+

å

( )

( )

( )

1

1 1

1

1

1

Ví duï 13 CMR:

0,1,2,

1

k k n

n n

C n

n

+

+ +

-+

-+

1

1 0

1

2012

1 1

1 1 0

( 1)

Ví duï 14 Tìm soá nguyeân döông n sao cho:

n n n

n n

n n

k

n

k k n k

C

n

n

n

+ +

+ +

+ +

+ +

=

+ +

+

+

1 0

1

2 1

n

k k n k n

n

C n

C n

+

= +

+

+

+

å

1

1

Bài tập: Chứng minh rằng:

1) 2.1.C 3.2 ( 1) 1 2

n n

n n

n

n

-+

+

+

1

n n n

C

n

+

-=

Bài tập về giá trị của hệ số trong khai triển nhị thức Newton.

§ XÁC SUẤT

I Kiến thức:

- Không gian mẫu : W={tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử}

- Biến cố A liên quan đến phép thử T W =A {tất cả các kết quả có lợi cho biến cố A}

- Biến cố chắc chắn là tập W

- Biến cố không xảy ra là tập Ỉ

- Xác suất của biến cố A, P A( )= WA

W Tính chất: 0£ P A( )£ "1, ;A P( )W =1; P( )Ỉ =0

- Hai biến cố A, B đgl xung khắc nếu W ÇW =ỈA B

Nếu n biến cố đôi một xung khắc A , , thì Pn n i n i

ỉ ư÷

ç ÷=

çèU ø å

- Biến cố đối của biến cố A là biến cố không A, kí hiệu là A

+ P A( )= -1 P A( )

+ Hai biến cố đối nhau thì xung khắc, điều ngược lại không đúng

- Hai biến cố A, B đgl độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra A không liên quan đến B

Nếu n biến cố đôi một độc lập A , , thì Pn n i n i

ỉ ư÷

çèÕ ø Õ

Ta có: P

P

II Bài tập:

Ví dụ 1 Một hộp đựng 4 bi đỏ, 5 bi trắng và 6 bi vàng Chọn ra 4 bi từ hộp đó Tính xác suất để trong 4 bi lấy ra không có đủ cả ba màu?

HD: - Số cách lấy 4 bi trong 15 bi là: 4

C =

- Các trường hợp chọn được 4 bi có đủ 3 màu

+ 2 đỏ + 1 trắng + 1 vàng : 2 1 1

C C C =

+ 1 đỏ + 2 trắng + 1 vàng : 1 2 1

C C C =

+ 1 đỏ + 1 trắng + 2 vàng : 1 1 2

C C C =

- Số cách chọn không có đủ 3 màu là …

- Xác suất cần tìm là…

Ví dụ 2 Một tổ có 9 hs nam và 3 hs nữ Chia tổ thành 3 nhóm mỗi nhóm 4 người Tính xác suất để sau khi chia nhóm nào cũng có nữ

- Tổng số cách chia? C C C =12 84 4 44 34650

- Tổng số cách chia mà tổ nào cũng có nữ ? C C C C C C =3 9 2 6 1 31 3 1 3 1 3 10080

- Xác suất cần tìm là…

Ví dụ 3 Hai máy bay ném bom một mục tiêu, một máy ném một quả với xác suất trúng mục tiêu tương ứng là 0,7 và 0,8 Tìm xác suất để mục tiêu bị trúng bom

- A= “ máy bay thứ nhất ném trúng mục tiêu”

- B= “máy bay thứ hai ném trúng mục tiêu”

Lúc đó A BÈ ={mục tiêu bị trúng bom}

Vì A, B độc lập nhau nên P(AB)= P(A).P(B) và P A B( È )=P A( )ÈP B( )- P AB( )