BẾ văn đàn GIỮA HK II 2020 2021

Nếu tăng chiều rộng thêm 10m và giảm chiều dài đi 10m thì diện tích của mảnh đất tăng thêm 100 m2.. a Chứng minh tứ giác DKIF nội tiếp.. b Chứng minh EB2 EK.EI c Chứng minh BE là tiếp t

PHÒNG GD&ĐT QUẬN ĐỐNG ĐA

TRƯỜNG THCS BẾ VĂN ĐÀN

ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ II NĂM HỌC 2020 – 2021 - MÔN : TOÁN 9

Thời gian làm bài: 90 phút

Bài 1 (2,0 điểm) Cho x 2 x 2 3 12

4 x



x0,x4 a) Tính giá trị của biểu thức A tại x 25

b) Chứng minh x 1

B

x 2





 c) Biết PA.B Tìm giá trị của x để P P

Bài 2 (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 160 m Nếu tăng chiều rộng thêm 10m và giảm chiều dài đi 10m thì diện tích của mảnh đất tăng thêm 100 m2 Tính chiều dài và chiều rộng ban đầu của mảnh đất

Bài 3 (2,0 điểm)

1) Cho hệ phương trình x my 1







(m là tham số)

a) Giải hệ phương trình khi m4 b) Tìm các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất x; y sao cho x; y là 

hai số đối nhau 2) Giải phương trình x23x  2 0

Bài 4 (3,5 điểm)

Cho đường tròn (O) Điểm A ở ngoài đường tròn (O) Qua A kẻ cát tuyến d cắt đường tròn (O) tại hai điểm B và C ( B nằm giữa A và C ) Kẻ đường kính EF  BC tại D ( E thuộc cung nhỏ BC) Tia AF cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là I, các dây EI và BC cắt nhau ở K

a) Chứng minh tứ giác DKIF nội tiếp

b) Chứng minh EB2 EK.EI

c) Chứng minh BE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ∆KIB

d) cho ba điểm A, B, C cố định chứng minh rằng khi đường tròn (O) thay đổi nhưng vẫn đi qua BC thì đường thẳng EI luôn đi qua một điểm cố định

Bài 5 (0,5 điểm)

Cho các số thực a, b, c0 và a   Chứng minh rằng b c 3 1 2 1 2 1 2 3

1 a 1 b 1 c 2

……… Hết………

HƯỚNG DẪN GIẢI

4 x



với x 0,x 4 a) Tính giá trị của biểu thức A tại x 25

b) Chứng minh x 1

B

x 2





 c) Biết PA.B Tìm giá trị của x để P P

Lời giải

a) x 25 thỏa mãn điều kiện x0,x4 Thay x 25 vào biểu thức A ta được

25 2 5 2 3 A

5 2 7

25 2



 Vậy x 25 thì 3

A 7



b) Với x0,x4 ta có:

B

2

x 2





B

x 2





 với

x0,x4

c) Với x0,x4 ta có x 2 x 1 x 1

x 1

x 2



x 2 0với x0,x4)

    Kết hợp với điều kiện x0,x4ta có 0 x 1  thì P P

Bài 2 Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 160 m Nếu tăng chiều rộng thêm 10m và giảm chiều dài đi 10m thì diện tích của mảnh đất tăng thêm 100 m2 Tính chiều dài và chiều rộng ban đầu của mảnh đất

Lời giải

Nửa chu vi của mảnh dất ban đầu là 160 : 2 80 (m)

Gọi chiều dài ban đầu của mảnh đất là x (m), 0x 80

Gọi chiều rộng ban đầu của mảnh đất là y (m) 0y 80

Ta có phương trình x y 80 (1)

Diện tích ban đầu của mảnh đất là xy (m ) 2

Chiều dài của mảnh đất sau khi giảm đi 10m là x 10 (m)

Chiều rộng của mảnh đất sau khi tăng thêm 10m là y 10 (m)

Diện tích của mảnh đất sau khi tăng chiều rộng thêm 10m và giảm chiều dài đi 10m là

2 (x 10)(y 10) (m ) 

Nếu tăng chiều rộng thêm 10m và giảm chiều dài đi 10m thì diện tích của mảnh đất tăng thêm 100cm2 Ta có phương trình

(x 10)(y 10)  xy 100 xy 10x 10y 100   xy 100 x y 10 (2)  

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình x y 80

x y 10

  



 



Áp dụng bài toán tìm hai số khi biết tổng và hiệu ta có:

x (80 10) : 2 45; y(80 10) : 2 35 

Đối chiếu với điều kiện Ta có :

Chiều dài ban đầu của mảnh đất là 45m

Chiều rộng ban đầu của mảnh đất là 35m

Bài 3

1) Cho hệ phương trình x my 1







(m là tham số)

a) Giải hệ phương trình khi m4 b) Tìm các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất x; y sao cho x; y là 

hai số đối nhau 2) Giải phương trình x23x 2  0

Lời giải

1) Cho hệ phương trình x my 1







(m là tham số)

a) Khi m4 ta có hệ phương trình

x 2

1

4





Vậy khi m4 Hệ phương trình đã cho có nghiệm là 1

4

b) Ta có hệ phương trình x my 1 (1)







Từ phương trình (1) ta có x 1 my Thay vào phương trình (2) ta được

2(1 my) 4y 3

2 2my 4y 3 (4 2m)y 1 (3)

Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình (3) có nghiệm duy nhất

Từ phương trình (3) ta có 1

y

4 2m





x 1 my 1 m

x; y là hai số đối nhau



Vậy 5

m

3

 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất x; y và x; y là hai số đối nhau 

2) Giải phương trình x23x  2 0

Phương trình đã cho là phương trình bậc hai ẩn x có các hệ số a 1 0, b 3, c     2

b 4ac 3 4.1.( 2) 9 8 17 0

          Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

1

x

    

x

    

x

    

x

    

  là nghiệm của phương trình đã cho

Bài 4

Cho đường tròn (O) Điểm A ở ngoài đường tròn (O) Qua A kẻ cát tuyến d cắt đường tròn (O) tại hai điểm B và C ( B nằm giữa A và C ) Kẻ đường kính EF  BC tại D ( E thuộc cung nhỏ BC) Tia AF cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là I, các dây EI và BC cắt nhau ở K

a) Chứng minh tứ giác DKIF nội tiếp

b) Chứng minh EB2 EK.EI

c) Chứng minh BE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ∆KIB

d) Cho ba điểm A, B, C cố định Chứng minh rằng khi đường tròn (O) thay đổi nhưng vẫn đi qua BC thì đường thẳng EI luôn đi qua một điểm cố định

Lời giải

a) Chứng minh tứ giác DKIF nội tiếp

Đường tròn (O) có EF  BC tại D (gt)  FDK900



EIF là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn  EIF900 hay KIF 900

Tứ giác DKIF có FDK KIF 90  0 900 1800

Mà FDK và  KIF là hai góc ở vị trí đối nhau

 Tứ giác DKIF nội tiếp đường tròn

b) Chứng minh EB2 EK.EI

Đường tròn (O) có đường kính EF  BC tại D

E là điểm chính giữa của cung nhỏ BC  EC EB 

Xét KBE và BIE có

 BEK là góc chung

BIE CBE ( hai góc nội tiếp chắn hai cung EC EB  )

 KBE  BIE ( góc – góc )

BE EK.EI

EI  BE  

M

D

K

N I

F

E

B

C

c) Chứng minh BE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ∆KIB

KBE  BIE  KBE KIB

Gọi M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác KIB, kẻ đường kính KN của đường tròn (M)

 KIBKNB (2 góc nội tiếp cùng chắn cung KB)

MKMBvì cùng là bán kính của đường tròn (M)

 MKBMBK (2)

KBN90 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (M) )

MKB KNB 90

Mà B  (M)  BE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ∆KIB

d) Chứng minh rằng khi đường tròn (O) thay đổi nhưng vẫn đi qua BC thì đường thẳng EI luôn đi qua một điểm cố định

Vì bốn điểm B, C, F, I cùng thuộc đường tròn (O)

 Tứ giác BCFI nội tiếp đường tròn (O)    0

FIB BCF 180 

FIB BIA 180  (hai góc kề bù)

 BCFBIA

Xét ∆ACF và ∆AIB có



FAC là góc chung

BCFBIA

∆ACF  ∆AIB ( góc – góc )

 AB AI AB.AC AI.AF

Xét ∆AIK và ∆ADF có



FAD là góc chung

AIKADF90

∆AIK  ∆ADF ( góc – góc )

 AK AI AK.AD AI.AF

Từ (4) và (5)  AB.AC AK.AD AK AB.AC

AD

Mà điểm A cố định  K cố định  ĐPCM

Bài 5

Cho các số thực a, b, c0 và a   Chứng minh rằng b c 3 1 2 1 2 1 2 3

1 a 1 b 1 c 2

Lời giải

Vì (a 1) 2  0 với mọi a

 2

a 2a 1 0 với mọi a

 2

a  1 2a với mọi a

Mà a   0 1 2 1

1 a  2a

Ta có:

1 a  1 a  2a  2

Chứng minh tương tự ta có: 1 2 1 b

1 b  2,

1 2 1 c

1 c  2

Suy ra 1 2 1 2 1 2 1 a 1 b 1 c

1 a 1 b 1 c  2 2 2

3 a b c 3 3 3

 

Dấu bằng xảy ra khi ab  c 1

TEAM XỎ XIÊN – DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN THCS VIỆT NAM