TRƯNG VƯƠNG GIỮA HK II 2020 2021

Tìm tọa độ tiếp điểm.. Bài 2 2,0 điểm Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình.. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 3 giờ sẽ đầy bể.. Nếu mở vòi thứ nhất trong 20

TRƯỜNG THCS TRƯNG VƯƠNG

NĂM HỌC 2020 - 2021

ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ II

MÔN : TOÁN 9

Thời gian làm bài: 90 phút

Bài 1 (3,0 điểm)

1) Giải hệ phương trình :

6

2 1 y 1 3x 2

2

1 y 2 3x 2





 2) Cho parabol     2  

P : y m 1 x m1 và đường thẳng  d : y2x 1 a) Tìm m để  P đi qua điểm A 3; 3  Vẽ  P với m vừa tìm được trên hệ trục tọa độ Oxy

b) Tìm m để  d tiếp xúc với  P Tìm tọa độ tiếp điểm

Bài 2 (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 3 giờ sẽ đầy bể Nếu mở vòi thứ nhất trong 20 phút rồi khóa lại và mở tiếp vòi thứ hai chảy trong 30 phút thì cả hai vòi chảy được 1

8 bể Tính thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể

Bài 3 (1,5 điểm)

Cho hệ phương trình mx 4y 10 m

x my 4







(m là tham số)

a) Tìm các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất x; y Tìm nghiệm 

duy nhất đó

b) Trong trường hợp hệ phương trình có nghiệm duy nhất, hãy tìm m để x 2y

Bài 4 (3,0 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC AB AC nội tiếp đường tròn  O Đường cao AD cắt đường tròn tại điểm thứ hai là E

a) Chứng minh DA.DEDB.DC

b) Kẻ đường kính AK Chứng minh EK//BC và tứ giác BCKE là hình thang cân

c) Gọi H là trực tâm của tam giác ABC , M là trung điểm của BC Chứng minh điểm H đối xứng với K qua M

Bài 5 (0,5 điểm)

Cho các số thực x0; yy0 và xy 3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A 2x2 y2 28 1

……… Hết………

Bài 1

1) ĐK: x 2, y 1

3

4

3

1 y 1

y 0



 

 

thoả mãn điều kiệnx 2, y 1

3

Vậy (x; y) 4;0

3

  

  là nghiệm của hệ phương trình đã cho

2)

a)  P đi qua điểm A 3; 3  khi và chỉ khi  3 (m 1).  32 m 1   1 m 0

Ta có hàm số 2

y x Bảng giá trị tương ứng của x và y

b) Hoành độ giao ddiemr của (P) và (d) là gnhieemj của phương trình

(m 1)x 2x 1 (m 1)x 2x 1 0 (1) 

Vì m 1 m 1 0  Nên phương trình (1) là phương trình bậc 2 ẩn x, có các hệ số

am 1 , b  , 2 c 1

b 4ac ( 2) 4(m 1).1 4 4m 4 4m 8

 d tiếp xúc với  P khi và chỉ khi phương trình (1) có nghiệm kép

Gọi x ;x là nghiệm của phương trình (1) ta có 1 2 x1 x2 b ( 2) 1

2a 2(2 1)

 

 Với x1 ta có y2.1 1 1 

Suy ra tọa độ tiếp điểm là (1; 1)

Bài 2

Gọi thời gian vói thứ nhất chảy một mình đầy bể nước là x (giờ), x > 3

Gọi thời gian vói thứ hai chảy một mình đầy bể nước là y (giờ), y > 3

Trong một giờ vòi thứ nhất chảy được 1

x (bể)

Trong một giờ vòi thứ hai chảy được 1

y (bể) Trong một giờ cả hai vòi chảy được 1 1

x  y (bể)

Vì hai vòi cùng chảy trong 3 giờ thì đầy bể nên ta có phương trình 1 1 1

x  y 3

Đổi 20 phút 1

3giờ, 30 phút 

1

2giờ

Trong 20 phút vòi thứ nhất chảy được 1

3x(bể)

Trong 30 phút vòi thứ hai chảy được 1

2y(bể)

Mở vòi thứ nhất trong 20 phút rồi khóa lại và mở tiếp vòi thứ hai chảy trong 30 phút thì cả hai vòi chảy được 1

8 bể Ta có phương trình  

3x 2y 8

Ta có hệ phương trình





y 12

Bài 3

a) Ta có hệ phương trình    





mx 4y 10 m (1)

x my 4 (2)

Từ phương trình (2) ta có: x 4 my thay vào phương trình (1) ta được 

m(4 my) 4y 10 m

4m m y 4y 10 m 2   

(4 m )y 10 5m (3)  2  

Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất  phương trình (3) có nghiệm duy nhất

4 m 2 0

m 2

Từ phương trình (3) ta có     

 2

y

(2 m)(2 m) 2 m

4 m

x 4 my 4 m

Vậy với m  2 Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất     

2 m 2 m

b) Với m 2Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất    

2 m 2 m

+ Nếu 2 m 0  m 2 ta có 



10 0

+ Nếu 2 m 0m 2 ta có 



10

0

2 m

Vậy m 18 thì Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thoả mãn x 2y

Bài 4

a) ∆DAC  ∆DBE ( góc – góc)  DA DE

DA.DC DB.DE

b) Đường tròn (O) có AEK là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn   AEK900 AEEK (1)

AD là đường cao của ∆ABC (gt)  AD  BC hay AE  BC (2)

Từ (1) và (2) Suy ra EK//BC ( từ vuông góc đến song song )

 Tứ giác BCKE là hình thang (Định nghĩa) (3)

Đường tròn (O) có dây EK//BC  BE CK  

Mà BCK 1sñBK 1sñ BE EK 

   (Tính chất góc nội tiếp)

 BCK CBE

(4)

Từ (3) và (4) Suy ra tứ giác BCKE là hình thang cân ( Định nghĩa )

c) Vẽ đường cao BF của ∆ABC, F  AC  BF  AC (5)

H là trực tâm của ∆ ABC  H  BF

Đường tròn (O) có ACK là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn   ACK900 ACCK (6)

Từ (5) và (6) Suy ra BF // CK  BH // CK

Chứng minh tương tự có CH // BK

Tứ giác BHCK có: BH // CK , CH // BK  Tứ giác BHCK là hình bình hành ( dấu hiệu nhận biết)

 BC và HK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường ( tính chất hình bình hành)

Mà M là trung điểm của BC (gt)  M là trung điểm của HK

 Điểm H đối xứng với K qua M

O

F

H

M

K E

D A

Bài 5

Cho các số thực x0; y0 và xy 3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A 2x2 y2 28 1

Lời giải

Ta có

Với hai số a, b không âm ta có:           

2

Vì x0; y0 nên 28  1 

0, 7x 0, 0

Áp dụng Bất đẳng thức (1) ta có:

y 2 y 2

Mà (x 2) 2 0 với mọi x

2 (y 1) 0 với mọi y

xy ( theo giả thiết ) 3

Suy ra A 2(x 2)2 (y 1)2 28 7x 1 y (x y) 9

28 2 3 9   24

Dấu “=” xảy ra khi

x 0, y 0

x 2 0

y 1 0

x 2 28

7x

y 1 x

1 y y

x y 3



  



  





















  



Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A bằng 24 khi x 2, y1

TEAM XỎ XIÊN – DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN THCS VIỆT NAM