Tìm nghiệm phương trình đạo hàm riêng bằng phương trình sai phân

Lời nói đầuSử dụng phương trình sai phân để giải số là một phương pháp kháphổ biến và hữu hiệu khi nghiên cứu mô hình toán học liên quan tớicác vấn đề trong khoa học, kỹ thuật, kinh tế v

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

NGUYỄN DUY TIN

TÌM NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG BẰNG PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

NGUYỄN DUY TIN

TÌM NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG BẰNG PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số : 8 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS NGUYỄN THỊ NGỌC OANH

THÁI NGUYÊN - 2019

Mục lục

Trang

1.1 Toán tử sai phân 5

1.2 Tính tổng 12

1.3 Biến đổi z 17

Chương 2 Giải phương trình đạo hàm riêng bằng phương trình sai phân 19 2.1 Rời rạc hóa phương trình đạo hàm riêng 19

2.2 Nghiệm của phương trình đạo hàm riêng 27

2.3 Ví dụ số 35

2.3.1 Phương trình parabolic tuyến tính 1 chiều 35

2.3.2 Phương trình parabolic tuyến tính 2 chiều 39

Danh sách hình vẽ

2.1 Mô hình đối với phương trình truyền nhiệt 21

2.2 Lưới điểm đạt được từ trục ban đầu 22

2.3 Lưới điểm đạt được không với giá trị biên 22

2.4 Mô hình phương pháp ẩn 25

2.5 Mô hình phương trình Laplace 27

2.6 Nghiệm xấp xỉ Ví dụ 2.5 37

2.7 Nghiệm chính xác Ví dụ 2.5 38

2.8 Sai số Ví dụ 2.5 38

2.9 Nghiệm xấp xỉ Ví dụ 2.6 39

2.10 Nghiệm chính xác Ví dụ 2.6 40

2.11 Sai số Ví dụ 2.6 40

2.12 Nghiệm xấp xỉ Ví dụ 2.7 43

2.13 Nghiệm chính xác Ví dụ 2.7 43

2.14 Sai số Ví dụ 2.7 44

Lời nói đầu

Sử dụng phương trình sai phân để giải số là một phương pháp kháphổ biến và hữu hiệu khi nghiên cứu mô hình toán học liên quan tớicác vấn đề trong khoa học, kỹ thuật, kinh tế và nhiễu lĩnh vực khác củathực tiễn, ta có thể tìm thấy rất nhiều ví dụ cụ thể như trong Chương

1 tài liệu [2] Phương pháp này được đề xuất từ nửa cuối những năm 40của thế kỷ trước và ngày càng khẳng định vai trò quan trọng trong giảitích ứng dụng và đặc biệt quan trọng trong việc nghiên cứu nghiệm sốcủa phương trình đạo hàm riêng [1, 3]

Luận văn trình bày một số kiến thức cơ bản liên quan tới phươngtrình sai phân và áp dụng phương trình sai phân tìm nghiệm số phươngtrình đạo hàm riêng tuyến tính

Luận văn được chia làm hai chương

Chương 1 là chương mở đầu, trình bày các kiến thức cơ bản nhất liênquan tới phương trình sai phân như: Định nghĩa và các tính chất củatoán tử sai phân; định nghĩa và các tính chất của tổng bất định; biếnđổi z giải phương trình sai phân Nội dung của Chương 1 được thamkhảo chủ yếu trong hai tài liệu [1, 2]

Chương 2 nghiên cứu ứng dụng phương trình sai phân vào việc tìmnghiệm số của phương trình đạo hàm riêng Chương này cũng trình bàycác bước rời rạc bài toán, nghiệm rời rạc đồng thời có các ví dụ số minhhọa thông qua ngôn ngữ lập trình MATLAB Nội dung của chương nàyđược tham khảo chủ yếu trong hai tài liệu [1, 3]

Sau thời gian học tập và rèn luyện tại Trường Đại học Khoa học –

Đại học Thái Nguyên, bằng sự biết ơn và kính trọng, em xin gửi lời cảm

ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo, Khoa Toán - TinTrường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên và các thầy cô đãnhiệt tình hướng dẫn, giảng dạy và tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ

em trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thiện đề tài luậnvăn Thạc sĩ này

Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Nguyễn ThịNgọc Oanh, người đã trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ em trong quá trìnhthực hiện đề tài

Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè cùng đồng nghiệp đã tạođiều kiện giúp đỡ, động viên trong quá nghiên cứu và hoàn thiện đề tàinày

Em xin trân trọng cảm ơn!

Thái Nguyên, ngày 01 tháng 11 năm 2019

Học viên

Nguyễn Duy Tin

Chương 1

Một số kiến thức cơ bản

Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản liênquan tới định nghĩa và tính chất toán tử sai phân, tổng bất định và biếnđổi z

1.1 Toán tử sai phân

Định nghĩa 1.1 Cho y(t) là một hàm biến thực t, toán tử sai phân ∆được xác định bởi

∆y(t) = y(t + 1) − y(t)

Ví dụ 1.1 Phương pháp Euler xấp xỉ nghiệm của bài toán ban đầu

Ta sẽ sử dụng một dạng thuận tiện hơn cho phương trình sai phân này,

được viết lại dưới dạng sau

= (y(t + 2) − y(t + 1)) − (y(t + 1) − y(t))

= y(t + 2) − 2y(t + 1) + y(t)

Sai phân cấp n được xây dựng theo công thức quy nạp như sau

Định lý 1.1 Toán tử sai phân ∆ thỏa mãn các tính chất sau đây

∆(y(t)z(t)) = y(t + 1)z(t + 1) − y(t)z(t)

= y(t + 1)z(t + 1) − y(t)z(t + 1) + y(t)z(t + 1) − y(t)z(t)

= z(t + 1)∆y(t) + y(t)∆z(t)

= y(t)∆z(t) + Ez(t)∆y(t)

được xác định như sau:

làm cho các công thức có nghĩa

r

!được xác định bởi

tr

!

r

Hệ số nhị thức có tính chất sau đây

• Tính đối xứng

tr

!

t − r

!

• Chuyển ra ngoài dấu ngoặc

tr

• Công thức cộng

tr

Định lý dưới đây sẽ chỉ ra một số kết quả liên quan tới sai phân

Ví dụ 1.2 Tìm nghiệm của phương trình sai phân sau

y(t + 2) − 2y(t + 1) + y(t) = t(t − 1)

Phương trình sai phân trên có thể viết gọn dưới dạng

Mặt khác, áp dụng công thức a của Định lý 1.3, ta có

Định nghĩa 1.5 Tổng bất định (hay đối sai phân - antidifference) của



= y(t)thỏa mãn với mọi t trong miền xác định của hàm y

Định lý 1.4 Nếu z(t) là một tổng bất định của y(t), thì mọi tổng bấtđịnh của y(t) được cho bởi

Xy(t) = z(t) + C(t)trong đó C(t) có miền xác định giống z(t) và ∆C(t) = 0

Chứng minh Rõ ràng, nếu z(t) là một tổng bất định của y(t), và

đó từ phương trình

∆C(t) = C(t + 1) − C(t) = 0

ta rút ra C(t + 1) = C(t) với mọi số thực t hay C(t) là hàm tuần hoànchu kì 1

Hệ quả 1.1 Cho y(t) là hàm xác định trên tập có dạng {a, a + 1, a +

2, } trong đó a là số thực bất kì Giả sử z(t) là một tổng bất định củay(t) Khi đó mọi tổng bất định của y(t) có dạng

Xy(t) = z(t) + Cvới C là hằng số bất kỳ

d Ta có

∆

log Γ(t) + C(t)



= ∆

log Γ(t)

Ví dụ 1.4 Tìm nghiệm của phương trình sai phân sau

y(t + 2) − 2y(t + 1) + y(t) = t(t − 1), t = 0, 1, 2, · · ·

thỏa mãn y(0) = −1, y(1) = 3 Phương trình sai phân trên có thể viếtgọn dưới dạng

4

Định lý 1.6 Tổng bất định có một số tính chất tổng quát sau đây

i Tính chất c và d còn được biết đến với tên gọi "tổng từng phần."

định của y(n) là tập các số tự nhiên N = {0, 1, 2, 3, }

Phần tiếp theo chúng tôi sẽ nêu lại một số định lý liên quan tới biếnđổi z, chứng minh của các định lý này đã được trình bày rất chi tiếttrong Chương 3, tài liệu [2].

phân cấp n là bị chặn mũ và do đó biến đổi z của nó là tồn tại

Định lý 1.9 (Tính tuyến tính) Nếu a và b là các hằng số thì

cho các z là xác định chung của U (z) và V (z)

Định lý 1.10 Nếu Y (z) = Z(yk) với |z| > r thì

Chương 2

Giải phương trình đạo hàm riêng bằng phương trình sai phân

2.1 Rời rạc hóa phương trình đạo hàm riêng

Các phương trình đạo hàm riêng là các phương trình sai phân liênquan đến các hàm của hai hoặc nhiều biến độc lập Chúng xuất hiệnthường xuyên trong các nghiên cứu về tổ hợp và trong xấp xỉ các nghiệmcủa phương trình đạo hàm riêng bằng phương pháp sai phân hữu hạn.Chúng ta sẽ bắt đầu bằng việc nghiên cứu nghiệm xấp xỉ của phươngtrình truyền nhiệt trong không gian một chiều (một chiều không gian)

Để thu được một phương trình sai phân thích hợp đối với phươngtrình (2.1), ta ký hiệu h và k là các bước lưới dương nhỏ và xác địnhtrên lưới điểm

với các giá trị cụ thể của i và j Theo công thức Taylor

với cij nằm giữa tj và tj + k nên

Hình 2.1: Mô hình đối với phương trình truyền nhiệt

phương trình (2.4), ta có điều kiện ban đầu

Bắt đầu với các phần tử nằm bên dưới trục i, ta có thể tính toán mọigiá trị y(i, 1) từ phương trình (2.4) và các giá trị đầu f (i) Tương tự,các giá trị này là cơ sở để tính y(i, 2) với mọi i Do đó, theo lập luậnnày, y(i, j) được xác định một cách duy nhất với mọi i và j = 0, 1, 2 Tiếp theo, ta xét bài toán tính duy nhất nghiệm của phương trình(2.1) trong góc phần tư thứ nhất {(x, t) : x ≥ 0, t ≥ 0} Nếu ta biếtu(x, 0) = g(x) với mọi x ≥ 0 thì ta có các giá trị đầu y(i, 0) = f (i) với

i = 0, 1, Quan sát rằng các phần tử xác định y(i, j) chỉ với i ≥ j(xem Hình 2.2) Để tìm y(i, j) với j > i, ta cần có thêm thông tin như

là giá trị của y(0, j) với j ≥ 1 Do đó, một nghiệm duy nhất của phươngtrình (2.4) thu được bằng phương pháp lặp nếu ta có thêm điều kiệnu(0, t) một cách chính xác với t ≥ 0 Trong bài toán dòng nhiệt, điềukiện này tương ứng với đã biết nhiệt độ tại x = 0 tại mọi t ≥ 0

Một bài toán liên quan thu được trong miền không gian hữu hạn với

0, 1, 2, , N Bây giờ, điều kiện ban đầu y(i, 0) = f (i) (i = 0, 1, , N )

Hình 2.2: Lưới điểm đạt được từ trục ban đầu

xác định định y(i, j) trong một miền rất hạn chế (xem Hình 2.3) Trongtrường hợp này, chúng ta cần các giá trị y(0, j) và y(N, j) với j = 1, 2, cho việc tìm giá trị duy nhất đối với y(i, j) với i = 0, , N , j = 0, 1,

Hình 2.3: Lưới điểm đạt được không với giá trị biên

Đặc biệt, ta xét bài toán

trong đó g(0) = g(l) = 0 Bài toán rời rạc tương ứng là

y(i, j + 1) = (1 − 2α)y(i, j) + α(y(i + 1, j) + y(i − 1, j)),

Khi đó, phương trình (2.6) tương đương với

(2.7)

Để phân tích sâu hơn về phương trình (2.7), ta sẽ tính các giá trịriêng của ma trận A Chú ý rằng A là đối xứng nên nó có các giá trịriêng thực và N − 1 véctơ riêng độc lập Ta có

aw(t + 1) + (1 − 2α)w(t) + αw(t − 1) = λw(t)

Bằng cách viết lại phương trình sai phân trên, ta có

là các giá trị riêng của A

Ma trận kết quả các véctơ riêng là

với j = 0, 1, 2,

Câu hỏi đặt ra liệu nghiệm v(j) thu được có đủ xấp xỉ tốt nghiệm

(2.5) cũng có tính chất lim

khác, nếu (2.8) không xảy ra, trong phần lớn các trường hợp v(j) khônghội tụ về 0 khi j → ∞ và do đó đây không phải là một xấp xỉ tốt củau(x, t) khi t tăng lên Với lý do này, phương pháp lúc này gọi là ổn định

Một cách tiếp cận khác đối với rời rạc hóa phương trình truyền nhiệt

dạng như Hình 2.4 Do đó, với cách tiếp cận này, nghiệm của phươngtrình (2.5) không thể được xấp xỉ bằng phương pháp lặp hiện (2.9) và

ta có một phương pháp giống như là phương pháp ẩn

Hình 2.4: Mô hình phương pháp ẩn

Tuy nhiên, nếu α, v(j) và v(0) định nghĩa như trước đó và

thì phương trình (2.9) cộng thêm điều kiện bổ trợ có thể viết thành

Hệ (2.10) có thể giải hiện giống như các phương pháp trước đó Cũng

Hình 2.5: Mô hình phương trình Laplace

Ta có thể rút ra phương trình sai phân

k

có mô hình giống hình thoi như Hình 2.5 nên nó chỉ ra rằng các giá trịz(i, j) trên biên của một miền đóng như hình chữ nhật trong Hình 2.5phải biết để tính giá trị z(i, j) trong toàn miền

2.2 Nghiệm của phương trình đạo hàm riêng

Chúng ta đã đưa ra một nghiệm hiện của phương trình sai phân riêngvới điều kiện bổ trợ bằng cách viết chúng giống như bài toán giá trị banđầu đối với hệ các phương trình sai phân thường Cách tiếp cận này làkhả thi vì tính tự nhiên của bài toán: miền quan tâm là hữu hạn trongmột chiều và nửa vô hạn trong các trường hợp khác, các điều kiện biên

z(i)f (aj − bi) =p(i)z(i + a)f (a(j + b) − b(i + a))

=p(i)z(i + a)f (aj − bi),nên

z(i) = p(i)z(i + a)

Phương trình cuối có thể giải bằng phương pháp lặp và có |a| nghiệm

với i = 1, 2, Do đó, phương trình ban đầu có nghiệm dạng

Phương trình với ba hoặc nhiều hơn ba thành phần có thể được giảitheo cách thay (2.12) vào các trường hợp đặc biệt trong đó các hệ sốthỏa mãn điều kiện tương thích Xét

Một lần nữa ta thử y(i, j) = z(i)f (aj − bi):

z(i)f (aj − bi) =p(i)z(i + a)f (aj − bi)

+ q(i)z(i + c)f (aj − bi + ad − bc)

Hàm f sẽ khử và cho ta một phương trình sai phân thường nếu các hệ

số thỏa mãn điều kiện ad − bc = 0 Trong trường hợp này, phương trìnhlà

z(i) = p(i)z(i + a) + q(i)z(i + c)

Ví dụ 2.2 Hai người chơi P và Q chơi một trò chơi mà mỗi lần P thắngmột thẻ từ Q với xác suất p và Q thắng một thẻ từ P với xác suất

q = 1 − p Trò chơi kết thúc khi một trong hai người chơi hết thẻ Choy(i, j) ký hiệu xác suất P thắng trò chơi nếu P bắt đầu với i thẻ và Qbắt đầu với j thẻ Tìm y(i, j) với i, j = 0, 1,

Xét trạng thái đầu tiên của trò chơi Có hai khả năng xảy ra: hoặc Pthắng một thẻ (với xác suất p) và khi đó xác suất thắng là y(i + 1, j − 1)hoặc P thua một thẻ và có xác suất thắng là y(i − 1, j + 1) Do đó, ythỏa mãn

y(i, j) = p(y(i + 1, j − 1) + qy(i − 1, j + 1),đây là một dạng của phương trình (2.13) với a = d = 1 và b = c = −1

Vì ad − bc = 0 nên ta thay y(i, j) = z(i)f (i + j) và tìm

z(i) = p(z(i + 1) + qz(i − 1)

Đây là phương trình cấp hai và có nghiệm đặc trưng λ = q

i = 0 và không có khả năng thua nếu j = 0, ta có

1 −



p q

y(i, j) = y(i − 1, j) + y(i − 1, j − 1)

Để thiết lập một phương trình toán tử tương đương, ta đưa ra toán tửdịch chuyển

Khi đó, phương trình trở thành

Nếu tác động E1 vào cả hai vế thì ta nhận được

Chúng ta có thể coi phương trình cuối này như là một phương trình sai



f (j − n)

Bây giờ, ta sẽ giải phương trình bằng z-biến đổi Ta có

Ta có thể đơn giản hóa các tính toán bằng cách đặt điều kiện đầu tại

là nghiệm duy nhất của phương trình (2.14), (2.15)

Ta có thể thu được đáp án tương tự bằng cách sử dụng kỹ thuật toán

tử nếu ta chú ý rằng phương trình (2.14) là thuần nhất, hệ quả là tổngcác nghiệm của (2.14) cũng là một nghiệm Cho g là một hàm bất kỳ.Khi đó, ta có nghiệm

g(j − m + 1),kết quả này tương đương với các kết quả trước đó

Nghiệm của các phương trình đạo hàm riêng tuyến tính với hệ số biếnthiên có thể được giải bằng cách sử dụng số Sterling loại một hoặc loạihai Ở đây, ta chỉ xét số Sterling loại một

Ta định nghĩa các số Sterling loại một, ký hiệu

"

ij

#, là nghiệm y(i, j) =

thỏa mãn điều kiện ban đầu

Bằng cách vẽ ra mô hình tính toán, ta dễ dàng kiểm tra được (2.16),(2.17) có duy nhất nghiệm y(i, j) với i, j ≥ 0

Ta tính toán z-biến đổi của

"

ij

#tương ứng với j bằng cách áp dụngz-biến đổi vào cả hai vế của (2.16):

zY (i + 1, z) − zy(i + 1, 0) = izY (i, z) + Y (i, z)

Từ phương trình (2.17), y(i + 1, 0) = 0 với i ≥ 0 nên

Z

"

ij

Ví dụ 2.4 Giả sử có i số phân biệt được đặt trong một chiếc mũ và rút

ra từng số một cách ngẫu nhiên để tìm số lớn nhất Ở mỗi bước, số đượcrút ra đem so sánh với số lớn nhất được tìm thấy cho đến bước đó Nếu

số rút ra nhỏ hơn, chúng ta loại bỏ đi; nếu nó lớn hơn, chúng ta thaythế số lớn nhất trước đó bằng chính số đó Đặt p(i, j) là xác suất rằngchính xác j lần là cần rút số

Để tìm một phương trình cho p(i, j) trong trường hợp này để số cuốicùng được rút ra là lớn nhất Sự kiện này có khả năng xuất hiện với

i − 1 số còn lại là 1 Nếu số cuối cùng không là số lớn nhất (xác suất =

i + 1



Y (i, z)

"

ik

#,và

2.3 Ví dụ số

Giới thiệu bài toán

Cho hàm số u(x, t) trên [0, 1] × [0, T ] thỏa mãn

Phân rã bài toán

Giả sử ta có Ur−1, ta tính ur Kí hiệu Ur(i) = u(xi, tr).

Hình 2.7: Nghiệm chính xác Ví dụ 2.5

Hình 2.8: Sai số Ví dụ 2.5

Giới thiệu bài toán

Tìm hàm số u(x, y, t) trên Ω × [0, T ], Ω = (0, 1) × (0, 1), thỏa mãn

Hình 2.10: Nghiệm chính xác Ví dụ 2.6

Hình 2.11: Sai số Ví dụ 2.6

Phân rã bài toán

Không giảm tính tổng quát, ta giải bài toán trên với a = 1

2 cos(πx) sin(πy) sin(15πx) cos(15πy)

Kết quả số được cho trong hình dưới đây

Hình 2.12: Nghiệm xấp xỉ Ví dụ 2.7

Hình 2.13: Nghiệm chính xác Ví dụ 2.7

Hình 2.14: Sai số Ví dụ 2.7

¯end

surf(U-Uex);title(’Sai so tung diem’);

figname = [exa,’_err.eps’];

print(’-depsc2’,figname);

%%%%%%%%%% Chuong trinh chayclear all;

% Cac tham so (co the thay doi)

exa = ’exa3_1’; % ten vi du

epsilon=1e-2;

a=1;

T=0.1;

N=50; % so khoang chia tren truc x

M=25; % so khoang chia tren truc y

dx=1/N; % buoc luoi tren truc x

dt=T/M; % buoc luoi tren truc y