Một số tính chất định tính của nghiệm nhớt cho phương trình vi phân đạo hàm riêng cấp hai

Một số tính chất định tính của nghiệm nhớt cho phương trình vi phân đạo hàm riêng cấp hai

Viện Toán học

Trần Văn Bằng

Một số tính chất định tính

của nghiệm nhớt cho phương trình vi phân

đạo hàm riêng cấp hai

Chuyên ngành: Phương trình Vi phân và Tích phân

Mã số: 62.46.01.05

Tóm tắt luận án tiến sĩ Toán học

Hà Nội - 2007

Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Trần Đức Vân

TS Nguyễn Duy Thái Sơn

Phản biện 1: PGS.TS Đinh Nho Hào, Viện Toán học

Phản biện 2: PGS.TS Hoàng Quốc Toàn, Trường ĐHKHTN - ĐHQG Hà NộiPhản biện 3: PGS.TS Nguyễn Hoàng, Đại học Huế

Luận án được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận án cấp nhà nước họp tại:

Viện Toán học - Viện Khoa học và công nghệ Việt Nam

vào hồi 14 giờ 00 ngày 04 tháng 10 năm 2007

Có thể tìm hiểu luận án tại: Thư viện Quốc gia, Thư viện Viện Toán học, Thư việnTrường ĐHSP Hà Nội 2

Lời nói đầu

Luận án này dành cho việc khảo sát một số tính chất định tính của nghiệm nhớt(viscosity solution) - một loại nghiệm suy rộng toàn cục, cho phương trình vi phân

đạo hàm riêng phi tuyến cấp hai

Việc nghiên cứu phương trình vi phân phi tuyến nói chung, phương trình viphân đạo hàm riêng phi tuyến nói riêng đJ và đang là một vấn đề hết sức cần thiếtcủa Giải tích hiện đại Phương pháp đặc trưng đJ chỉ rõ, nghiệm cổ điển của cácphương trình đạo hàm riêng phi tuyến nói chung chỉ tồn tại địa phương, vì vậy muốn

có nghiệm toàn cục thì nhất thiết phải mở rộng khái niệm nghiệm

Đến đầu thập kỷ 80, thế kỷ 20, M G Crandall và P.-L Lions đJ giới thiệu mộtkhái niệm nghiệm suy rộng mới là nghiệm nhớt cho phương trình Hamilton-Jacobitrong không gian hữu hạn chiều và đJ đưa lý thuyết nghiệm toàn cục của phươngtrình vi phân phi tuyến lên một bước phát triển mới Cho đến nay, đJ có rất nhiềukết quả đẹp đẽ liên quan đến nghiệm nhớt cho phương trình đạo hàm riêng phi tuyếncấp một; khái niệm nghiệm này cũng đJ được đưa ra cho các phương trình đạo hàmriêng cấp hai trong không gian hữu hạn chiều và cho các phương trình cấp một, cấphai trong không gian vô hạn chiều

Với khái niệm nghiệm suy rộng này, các tác giả đJ đạt được các định lý tổngquát về sự tồn tại, tính duy nhất nghiệm, , và có nhiều ứng dụng, đặc biệt là đốivới lý thuyết điều khiển tối ưu, lý thuyết trò chơi vi phân

Trong luận án này, H được dùng để ký hiệu một không gian Hilbert thực, tách

được, với tích vô hướng
.,  và chuẩn được sinh bởi tích vô hướng là |.| Với mộthàm v : H → R, chúng ta sẽ gọi đạo hàm Frechet cấp một và cấp hai của v tại

điểm x tương ứng là Dv(x) và D2v(x) Bằng cách đồng nhất không gian đối ngẫu

H với H, chúng ta có thể coi Dv(x) như một phần tử thuộc H và D2v(x) như mộtdạng song tuyến tính đối xứng, bị chặn trong H hoặc một phần tử thuộc S(H)ưtập hợp tất cả các toán tử tuyến tính tự liên hợp, bị chặn trong H với quan hệ thứ

tự thông thường cho bởi:

G(x, u, Du, D2u) = 0

Để đưa ra khái niệm nghiệm nhớt cho (PDE) thì hàm G phải thoả mJn điều

kiện cấu trúc:

G(x, r, p, X)  G(x, s, p, Y ) khi r  s và Y  X; (0.1)trong đó r, s ∈ R; x, p ∈ H; X, Y ∈ S(H) Điều kiện (0.1) được thành lập từ hai

điều kiện

G(x, r, p, X)  G(x, s, p, X) khi r  s,và

G(x, r, p, X)  G(x, r, p, Y ) khi Y  X (0.3)

Khi hàm G thoả mJn điều kiện (0.3) thì G và phương trình G = 0 được gọi làelliptic suy biến (có một số ít bài báo sử dụng các điều kiện ngược với điều kiện(0.1), khi đó bất đẳng thức trong định nghĩa nghiệm dưới nhớt và nghiệm trên nhớtcũng đổi chiều theo)

Khi số chiều của không gian H bằng N, chúng ta đồng nhất H với RN, khônggian Euclide N chiều Lúc này, tập S(RN) đồng nhất với tập tất cả các ma trận đốixứng thực cấp N ì N và (PDE) được gọi là phương trình trong không gian hữu hạnchiều Sự phát triển của lý thuyết trong trường hợp này được chia thành hai hướngchính: lý thuyết nghiệm nhớt của phương trình với hệ số liên tục (khi hàm G liêntục) và của phương trình với hệ số không liên tục (khi hàm G không liên tục) Cáckết quả gắn liền với tên của các nhà toán học như M G Crandall, H Ishii, LionsP.-L., R Jensen, A 'Swiech, L A Caffarelli, X Cabr 'e, M Kocan, L Escauriaza, K.Fox, P Soravia, G C Dong, L Wang Khi (PDE) là phương trình với hệ số khôngliên tục, các tác giả đJ đưa ra khái niệm Lpưnghiệm nhớt Ngoài các định lý về sựtồn tại, tính duy nhất nghiệm, các tác giả còn chỉ ra mối quan hệ của Lpưnghiệmnhớt với một loạt các khái niệm nghiệm suy rộng như: Lpưnghiệm mạnh (strongsolution) (hàm u ∈ Wloc2,p và thoả mJn (PDE) hầu khắp nơi), nghiệm từng điểm hầukhắp nơi (pointwise almost everywhere solution) (hàm u thoả mJn (PDE) tại hầuhết các điểm, với Du, D2u được hiểu tại từng điểm và không phải theo nghĩa phân

bố, u cũng không nhất thiết thuộc không gian Wloc2,p) Việc nghiên cứu mối quan

hệ của Lpưnghiệm nhớt với các loại nghiệm suy rộng khác, giúp cho chúng ta cócái nhìn thấu đáo hơn về loại nghiệm suy rộng thú vị này Năm 2002 R Jensen,

M Kocan, và A 'Swiech đJ chỉ ra sự tương đương của Lpưnghiệm nhớt với kháiniệm Lpưnghiệm tốt (good solution) (hàm u là giới hạn trong không gian các hàmliên tục của một dJy các Lpưnghiệm mạnh của các phương trình xấp xỉ) cho cácphương trình elliptic đều Ngay từ khi nhận được bản preprint từ Giáo sư A 'Swiech

về kết quả đó, Giáo sư Trần Đức Vân đJ đặt bài toán cho tôi xây dựng khái niệm

Lpưnghiệm tốt cho phương trình parabolic đều Theo hướng này, tôi đJ thu đượckết quả song song với các kết quả R Jensen, M Kocan, A 'Swiech Kết quả này

được trình bày trong Chương 1

Các phương trình đạo hàm riêng trong không gian vô hạn chiều được phân chiathành hai loại: phương trình bị chặn và phương trình không bị chặn Nếu tập xác

định của hàm G là một tập mở và G bị chặn địa phương thì (PDE) được gọi làphương trình bị chặn; nếu tập xác định của hàm G chỉ trù mật trong H và G không

là bị chặn địa phương thì (PDE) được gọi là phương trình không bị chặn

Các phương trình không bị chặn đJ giành được sự quan tâm đặc biệt của cácnhà toán học trên thế giới vì nó bao gồm cả các phương trình quy hoạch động gắnvới các bài toán điều khiển tối ưu và trò chơi vi phân Cụ thể, các nhà toán học đJ

và đang tập trung nghiên cứu các phương trình đạo hàm riêng dừng phi tuyến đầy

(CP)

Trong đó, A : D(A) ⊂ H → H là một toán tử đóng, xác định trù mật trong H, các

ký hiệu Du và D2u trong (CP) lần lượt là đạo hàm Fr'echet cấp một và cấp hai củahàm u theo biến không gian x, F là một hàm liên tục Tính không bị chặn gây nên

do số hạng
Ax, Du

Cách tiếp cận, cũng như những kỹ thuật mang tính nền móng khi nghiên cứunghiệm nhớt của các phương trình trên đJ được giới thiệu bởi Crandall M.G vàLions P.-L Sau đó có hai hướng phát triển chính là: mở rộng nghiên cứu cho cảcác phương trình của các hàm đa trị của H Ishii và phát triển các kỹ thuật để thíchứng với lớp các phương trình có ”độ không bị chặn” cao hơn của nhóm tác giảGozzi F., Roy E., Sritharan S.S., và A 'Swiech Năm 2000, Gozzi F., Rouy E và A.'Swiech đJ đề xuất cách tiếp cận phương trình (S) theo nghĩa nghiệm nhớt khi hàm

F cũng gây nên tính không bị chặn Tiếp theo sự phát triển đó, chúng tôi đJ đưa

ra được khái niệm nghiệm nhớt cho (CP) và đJ chứng minh được cả sự tồn tại lẫntính duy nhất của khái niệm nghiệm nhớt đó khi hàm F cũng gây nên tính không

bị chặn Kết quả này được trình bày trong Chương 3

Thành công của lý thuyết về nghiệm nhớt một lần nữa được khẳng định khiGozzi F., Sritharan S S và A 'Swiech nghiên cứu các phương trình quy hoạch độnggắn với điều khiển tối ưu của hệ phương trình Navier-Stokes Các tác giả đJ đưa rakhái niệm nghiệm nhớt và chứng minh tính duy nhất của nghiệm nhớt cho bài toán

và cho bài toán

ở đó, H là không gian Hilbert, A, B tương ứng là toán tử Stokes và toán tử Euler(chi tiết xem Mục 2.1.4), Q là toán tử hiệp phương sai (covariance), dương, cótr(Q) < ∞ Từ các kết quả trên, chúng tôi đưa ra khái niệm nghiệm nhớt cho lớpphương trình tổng quát

u +
Ax + B(x, x), Du + F (x, Du, D2u) = 0 trong H, (S2)với hàm F cũng sinh ra tính không bị chặn và đJ chứng minh được tính duy nhấtcủa nghiệm nhớt đó Kết quả này được trình bày trong Chương 2

Như vậy, nội dung của luận án gồm ba chương

Chương 1 trình bày khái niệm Lp-nghiệm tốt cho phương trình parabolic cấp 2

đều với hệ số không liên tục trong không gian hữu hạn chiều, chứng minh sự tồn tạicủa Lpưnghiệm tốt cho lớp phương trình đó (với một số điều kiện bổ sung), đồngthời chỉ ra sự tương đương của Lp-nghiệm tốt với Lp-nghiệm nhớt Kết quả này chochúng ta thêm một sự hiểu biết về Lp-nghiệm nhớt

Trong Chương 2, chúng tôi đưa ra khái niệm nghiệm nhớt và chứng minh tínhduy nhất nghiệm nhớt cho một lớp các phương trình tổng quát (S2)

Chương 3 dành cho việc giới thiệu khái niệm nghiệm nhớt cho bài toán Cauchy(CP) trong trường hợp hàm F có ”dáng điệu xấu” (bad behavior) theo cả x, t, Du

và D2u Với khái niệm nghiệm đó, chúng tôi đJ nhận được các định lý về sự tồntại và tính duy nhất nghiệm nhớt của (CP) dưới những điều kiện nhất định

Sau đây chúng tôi viết tắt ”tương ứng” bởi ”t.ư.” và ”hầu khắp nơi” bởi ”h.k.n.”

Chương 1

Nghiệm tốt của phương trình parabolic cấp 2 đều

Trong chương này chúng tôi đề xuất khái niệm Lpưnghiệm tốt cho phươngtrình parabolic cấp 2 đều, đồng thời chúng tôi cũng sẽ chứng tỏ rằng Lpưnghiệmtốt của bài toán Cauchy-Dirichlet cho phương trình parabolic đều tương đương với

Lpưnghiệm nhớt của bài toán đó

1.1 Một số ký hiệu và kiến thức cơ sở

Ký hiệu RN, N
1 là không gian Euclide N chiều Gọi S(RN) là tậphợp tất cả các ma trận đối xứng thực cấp N ì N Với một ma trận thực cấp

N ì N bất kỳ Y = (ai,j) thì vết của Y xác định bởi tr(Y ) = N

i=1ai,i Giả sử

X ∈ S(RN), X = X+ư Xư với X+
0, Xư
0 Khi đó ta sử dụng chuẩn

X = trX+ + trXư.Cho 0 < λ  Λ là các hằng số Các toán tử cực trị Pucci ứng với λ và Λ làcác phiếm hàm xác định trên S(RN) và được định nghĩa bởi

Pλ,Λ+ (X) = ưλtr(X+) + Λtr(Xư), Pλ,Λư (X) = ưΛtr(X+) + λtr(Xư).Trong toàn bộ Chương 1, Ω ⊂ RN (N
2) luôn được giả thiết là một miền

bị chặn và thoả mJn điều kiện nón ngoài đều, tức là tồn tại β ∈ (0, π) và một số

r0 > 0 sao cho, với mỗi z ∈ ∂Ω có một phép quay θ = θ(z) thoả mJn

Ω ∩ Br 0(z) ⊆ {z} + θ(Tβ),trong đó

Tβ = {x = (x1, ã ã ã , xN) ∈ RN : xN
(cos β)|x| };

với biên ∂Ω và bao đóng Ω; Br(x0) là hình cầu mở trong RN với bán kính r và tâmtại x0 Ký hiệu Br = Br(0)

Đặt Q = Ω ì (0; T ] (T > 0); ∂pQ := (∂Ω ì (0, T ]) ∪ (Ω ì {0}) được gọi làbiên parabolic của Q Ký hiệu Qr := Brì (ưr2, 0] Khi đó, lân cận parabolic của

điểm (x, t) ∈ Q là các tập hợp có dạng:

Qr(x, t) = Qr + {(x, t)}

Khoảng cách parabolic giữa (x, t) và (y, s) trong RN ì R là

d((x, t), (y, s)) = (|x ư y|2 + |t ư s|)1/2

Với khoảng cách này, thì đường kính diam(Q) và các khoảng cáchdist((x, t), ∂pQ), dist(Q, ∂pQ), Q ⊂ Q là các hàm đo được Khi Q ⊂ Q vàdist(Q, ∂pQ) > 0 thì ta viết Q ⊂⊂ Q.

để đơn giản trong cách trình bày, chúng tôi vẫn viết là với mọi (x, t) ∈ Q

Ta nói (PE) là phương trình parabolic đều nếu có các hằng số 0 < λ  Λ saocho

λtr(P )  G(x, t, r, p, X ư P ) ư G(x, t, r, p, X)  Λtr(P ) với P
0

và với mọi x, t, r, p, X

Giả sử O ⊂ RN +1 là một tập đo được tùy ý Chúng ta sử dụng một số khônggian như: Lp(O) : không gian các hàm p khả tích trên O với chuẩn f L p (O) =(

O|f(x, t)|pdxdt)1p; L∞(O) : không gian các hàm bị chặn cốt yếu trên O vớichuẩn fL∞ (O) = esssup

Điều kiện (1.3) và (1.4) có nghĩa là: G(x, t, r, p, X) liên tục Lipschitz theobiến p ∈ RN với hằng số γ đều đối với các biến còn lại; G(x, t, r, p, X + P ) G(x, t, r, p, X) ư λP  nếu P ∈ S(RN) là một ma trận dương; G(x, t, r, p, X) liêntục Lipschitz theo X ∈ S(RN) với hằng số Λ đều đối với các biến khác Nói riêng,(PE) là một phương trình parabolic đều và (1.4) suy ra tính elliptic suy biến,

(ii) Do giả thiết p > (N +2)/2 nên W2,1,p(Q) được nhúng compact trong C(Q).Hơn nữa, nếu u ∈ Wloc2,1,p(Q) thì u khả vi parabolic hai lần h.k.n

Ví dụ điển hình về hàm G thỏa mJn các điều kiện chỉ ra là các toán tử cực trịPucci và

G(x, t, r, p, X) =sup

à inf

ν {ưtr(Aà,ν(x, t)X)+
Bà,ν(x, t), p + cà,ν(x, t)r ư fà,ν(x, t)},trong đó à, ν chạy trên các tập chỉ số không quá đếm được nào đó; các ma trận

1.3 Một số khái niệm nghiệm

f (x)}; ess liminf

x→x 0

f (x) = lim

r↓0{ ess infx∈B r (x 0 )f (x)}

Định nghĩa 1.2 Hàm u ∈ C(Q) được gọi là một Lpưnghiệm dưới nhớt của (PE)trong Q, nếu với mỗi hàm ϕ ∈ Wloc2,1,p(Q) khi u ư ϕ có cực đại địa phương tại(ˆx, ˆt) ∈ Ω ì (0, T ) thì

Nhận xét 1.3 i) Với các giả thiết ở Mục 1.2, Crandall và Lions đJ chỉ ra rằng:chúng ta có thể thay lân cận Euclide của điểm (ˆx, ˆt) trong Định nghĩa 1.2 bởi lâncận parabolic Nói cách khác, trong các giới hạn có thể yêu cầu t  ˆt

ii) Các khái niệm trong Định nghĩa 1.2 là các khái niệm có tính địa phương

Do vậy chúng không thay đổi khi ta thay giả thiết ϕ ∈ Wloc2,1,p(Q) bởi ϕ ∈ W2,1,ptrong một lân cận của (ˆx, ˆt)

Tiếp theo là khái niệm Lpưnghiệm mạnh

Định nghĩa 1.4 Hàm u được gọi là một Lpưnghiệm dưới mạnh (Lpưnghiệm trênmạnh) của (PE) trong Q, nếu u ∈ Wloc2,1,p(Q) và

∂u

∂t(x, t) + G(x, t, u(x, t), Du(x, t), D

2u(x, t))  0

(t.ư ∂u

∂t(x, t) + G(x, t, u(x, t), Du(x, t), D

2u(x, t))
0)h.k.n trong Q

Hàm u được gọi là một Lpưnghiệm mạnh của (PE) nếu nó vừa là Lpưnghiệmdưới mạnh, vừa là Lpưnghiệm trên mạnh của phương trình đó

Trong Luận án chúng tôi còn đưa ra khái niệm nghiệm từng điểm hầu khắp nơi,một số tính chất của các loại nghiệm này và mối liên hệ giữa chúng

i) Gm thoả mJn các điều kiện cấu trúc đều theo m,

ii) Gm(x, t, r, p, X) → G(x, t, r, p, X) khi m → ∞, với mọi (x, t, r, p, X),iii) các phương trình ∂u

∂t + Gm(x, t, u, Du, D

2u) = 0 trong Q có Lpưnghiệmmạnh um thoả mJn um → u khi m → ∞ trong C(Q)

Xét bài toán Cauchy-Dirichlet

∂u

∂t ư ∆u + G(x, t, u, Du, D

2u) = 0 trong Q, u = ψ trên ∂pQ, (1.10)với G bị chặn

Trong chương này, khi nói tới một bài toán thì nó bao gồm hai phần: phươngtrình và điều kiện trên biên parabolic Đối với phương trình thì các khái niệmnghiệm đJ được trình bày chi tiết, còn với điều kiện biên thì luôn được hiểu theonghĩa chặt, tức là tương ứng với nghiệm dưới (t.ư nghiệm trên hay nghiệm) thì bất

đẳng thức  (t.ư
hay đẳng thức) xảy ra tại mọi (x, t) ∈ ∂pQ

Nhận xét 1.17 Nếu hàm G(x, t, r, p, X) trong (1.10) liên tục Lipschitz theo biến

X với hằng số L đều đối với các biến còn lại và thỏa mJn điều kiện (1.5) thì hàm

G(x, t, r, p, X) = ưtr(X) + G(x, t, r, p, X) thỏa mJn điều kiện (1.4) với các hằng

số λ = 1, Λ = 1 + L

Sự tồn tại nghiệm mạnh của bài toán (1.10) được chỉ ra trong định lý sau

Định lý 1.18 Giả sử G : Q ì R ì Rnì S(RN) → R là một hàm đo được, bị chặn,thoả m:n các điều kiện (1.3), (1.5), (1.6), và liên tục Lipschitz theo biến X đều đốivới các biến còn lại, ψ ∈ C(∂pQ) Khi đó bài toán (1.10) có một Lpưnghiệm mạnh

u ∈ C(Q) ∩ Wloc2,1,p(Q)

Kết quả này cần thiết cho việc chứng minh sự tương đương của Lpưnghiệm tốtvới Lpưnghiệm nhớt Sự tồn tại của Lpưnghiệm tốt đJ đạt được

Định lý 1.19 (Sự tồn tại Lpưnghiệm tốt) Giả sử ψ ∈ C(∂pQ), F là hàm đo được,thoả m:n các điều kiện (1.3), (1.4), (1.6), (1.7), (1.1) và f ∈ Lp(Q) Khi đó bàitoán Cauchy-Dirichlet

Fm(x, t, p, X) → F (x, t, p, X),với hầu hết (x, t) ∈ Q, và với mọi (p, X) ∈ Rn ì S(RN),

Chương 2

Tính duy nhất nghiệm nhớt của phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp 2 trong không gian con của

L2(Ω)2 với Ω ⊂ R2Chương này dành cho việc nghiên cứu nghiệm nhớt của phương trình

u(x) +
Ax + B(x, x), Du(x) + F (x, Du(x), D2u(x)) = 0, (S’)trong đó A, B tương ứng là toán tử Stokes và toán tử Euler trong không gian Hilbert

L2div(Ω) Các khái niệm và các giả thiết về hàm F sẽ được đề cập chi tiết trong Mục2.1 dưới đây

2.1 Một số kiến thức cơ sở

2.1.1 Về tính chất của toán tử

Giả sử H là một không gian Hilbert với tích vô hướng
u, vH =
u, v vàchuẩn |u|H = |u| =
u, u12, u, v ∈ H Chúng ta sẽ đồng nhất không gian đối ngẫu

H của H với H

Một toán tử tự liên hợp B : D(B) ⊂ H → H được gọi là dương nếu
Bv, v
0với mọi v ∈ D(B) và được gọi là xác định dương nếu tồn tại a > 0 sao cho

Bv, v
a|v|2 với mọi v ∈ D(B)

Toán tử tuyến tính, tự liên hợp, dương B : D(B) ⊂ H → H được gọi là có phổrời rạc nếu trong H có một cơ sở trực chuẩn {ek} gồm các véc tơ riêng tương ứngvới các giá trị riêng λk của B có tính chất

vkek ∈ H :

∞

k=1

vkg(λk)ek, v ∈ D(g(B)) (2.1)

Với g(λ) = λα ta có các toán tử Bα, α ∈ R Ký hiệu V2α = D(Bα), α ∈ R Khi

đó ta có một số tính chất sau:

Tính nghiệm nhớt phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp không gian của< /h3>

L2(Ω)2 với Ω ⊂ R2Chương dành cho vi? ??c... Lp? ?nghiệm tốtvới Lp? ?nghiệm nhớt Sự tồn Lp? ?nghiệm tốt đJ đạt được

Định lý 1.19 (Sự tồn Lp? ?nghiệm tốt) Giả sử ψ ∈ C(∂pQ), F hàm đo... kiện (1.4) với

số λ = 1, Λ = + L

Sự tồn nghiệm mạnh toán (1.10) định lý sau

Định lý 1.18 Giả sử G : Q ì R ì Rnì S(RN) → R hàm đo được, bị chặn,thoả