Ứng dụng phương pháp tách biến giải một số lớp phương trình đạo hàm riêng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN -NGUYỄN TUẤN ANH ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN GIẢI MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 201

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-NGUYỄN TUẤN ANH

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN

GIẢI MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2012

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-NGUYỄN TUẤN ANH

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN

GIẢI MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS LÊ HUY CHUẨN

Hà Nội - 2012

Mục lục

Lời mở đầu 2

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 4

1.1 Các loại phương trình đạo hàm riêng 4

1.2 Chuỗi Fourier 6

1.3 Hàm Bessel 8

1.4 Các định lí về tính duy nhất của nghiệm 12

1.5 Phương trình sóng một chiều: Phương pháp tách biến 16

Chương 2 Phương trình đạo hàm riêng hai chiều 22

2.1 Bài toán giá trị riêng của phép biến đổi Laplace 22

2.2 Phương trình Laplace 25

2.3 Phương trình sóng 38

2.4 Phương trình nhiệt 57

Kết luận 64

Tài Liệu Tham Khảo 65

LỜI MỞ ĐẦU

Phương pháp tách biến là một trong những phương pháp quan trọng đểgiải bài toán biên của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính Nó đã được sửdụng trong suốt thế kỷ qua, và ngày nay vẫn là một phương pháp rất quantrọng và được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực Bằng việc sử dụng phươngpháp tách biến kết hợp với nguyên lý chồng chất nghiệm và khai triển hàmtheo hệ cơ sở trực giao, ta có thể giải quyết một số lớp các phương trình đạohàm riêng tuyến tính không thuần nhất

Mục tiêu của luân văn này là tìm hiểu và trình bày lại các kết quả vềviệc áp dụng phương pháp tách biến vào việc giải một số phương trình đạohàm riêng tuyến tính không thuần nhất trong không gian hai chiều

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chiathành hai chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trình bày một số phương trình đạo hàmriêng, kiến thức cơ bản của chuỗi Fourier, hàm Bessel sẽ sử dụng trong chươngsau, các định lí duy nhất nghiệm và giới thiệu về phương pháp tách biến.Chương 2: Phương trình đạo hàm riêng hai chiều Sử dụng phương pháptách biến và hàm riêng để tìm nghiệm của phương trình sóng, phương trìnhnhiệt và phương trình Laplace trên hình chữ nhật, hình tròn

Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS.Lê Huy Chuẩn.Thầy đã giao đề tài và tận tình hướng dẫn em trong quá trình hoàn thànhluận văn này Nhân dịp này em xin gửi lời cảm ơn của mình tời toàn bộ cácthầy cô giáo trong khoa Toán-Cơ-Tin học đã giảng dạy và giúp đỡ chúng emtrong suốt quá trình học tập tại khoa

Đồng thời, tôi xin cảm ơn các bạn trong lớp Cao học khóa 2010-2012chuyên nghành Toán, khoa Toán-Cơ-Tin học đã nhiệt tình giúp đỡ tôi trongquá trình học tập tại lớp.

Hà nội, ngày 26 tháng 11 năm 2012

Học viên

Nguyễn Tuấn Anh

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Các loại phương trình đạo hàm riêng

Phương trình đạo hàm riêng với ẩn là hàm u(x1, x2, , xn) với các biến

trong đó F là một hàm của các đối số trên Cấp cao nhất đạo hàm riêng của

u, có mặt trong phương trình, được gọi là cấp của phương trình Phươngtrình đạo hàm riêng được gọi là tuyến tính, nếu F tuyến tính đối với ẩn hàm

u và tất cả đạo hàm riêng của nó

Xét phương trình cấp hai của hàm hai biến

b2− ac = 0 Nếu phương trình (1.1.1) tại mọi điểm trong một miền G đều

thuộc cùng một loại thì ta nói rằng phương trình ấy thuộc loại đó trong miềnG.

Bằng phép đổi biến ta có thể đưa phương trình loại ellip, hypecbôn, vàparabôn về các dạng chính tắc

1 Dạng chính tắc của loại ellip là

∂2u

∂x2 + ∂

2u

∂y2 = 0,

và phương trình Poisson hai chiều

∂2u

∂x2 + ∂

2u

∂y2 = f (x, y),chúng thuộc loại ellip

Định lí 1.1 ([3, Tr 106] Nguyên lý chồng chất) Nếu u1 và u2 là nghiệm củaphương trình đạo hàm riêng tuyến tính thuần nhất, thì bất kỳ tổ hợp tuyếntính u = c1u1 + c2u2, trong đó c1 và c2 là hằng số, cũng là một nghiệm.Ngoài ra nếu u1 và u2 thỏa mãn một điều kiện biên tuyến tính thuần nhất,thì u = c1u1+ c2u2 cũng sẽ thỏa mãn

nó liên tục từng khúc trên mọi đoạn [a, b] bất kì

Định nghĩa 1.2 (Hàm trơn từng khúc) Một hàm f , xác định trên đoạn[a, b], được gọi là trơn từng khúc nếu f và f0 là liên tục từng khúc trên [a, b].Một hàm tuần hoàn là trơn từng khúc nếu nó là trơn từng khúc trên mọiđoạn [a, b]

Định lí 1.2 ([3, Tr 30] Biểu diễn chuỗi Fourier) Giả sử rằng f là một hàmtuần hoàn với chu kỳ 2π trơn từng khúc Thì với mọi x chúng ta có

Z π

−π

an = 1π

Z π

−π

f (x) cos nxdx (n = 1, 2, ), (1.2.3)

bn = 1π

Z π

−π

f (x) sin nxdx (n = 1, 2, ) (1.2.4)Đặc biệt, nếu f là trơn từng khúc và liên tục tại x, thì

Z 2π

0

f (x)dx,

an = 1π

Z 2π

0

f (x) cos nxdx (n = 1, 2, 3 ),

bn = 1π

Z 2π

0

f (x) sin nxdx (n = 1, 2, 3 )

Định lí 1.3 ([3, Tr 39] Biểu diễn chuỗi Fourier: chu kỳ tùy ý) Giả sử f

là hàm tuần hoàn chu kì 2p, trơn từng khúc Chuỗi Fourier của hàm f đượccho bởi

Z p

−p

f (x)dx,

an = 1p

nếu không liên tục tại x

Định lí 1.4 ([3, Tr 43] Khai triển chẵn và khai triển lẻ) Giả sử f (x) làhàm trơn từng khúc xác định trên khoảng 0 < x < p Thì f có chuỗi cos mởrộng

an = 2p

Z p

0

f (x) cosnπ

p xdx (n ≥ 0). (1.2.8)Cũng như thế, f có một chuỗi sin mở rộng

bn = 2p

Z p

0

f (x) sin nπ

p xdx (n ≥ 1). (1.2.10)Trên khoảng 0 < x < p, chuỗi (1.2.7) và (1.2.9) hội tụ tới f (x+)+f (x2 −) Định lí 1.5 ([7, Tr 178] Khai triển chuỗi Fourier sin kép) Cho f (x, y) làmột liên tục trên miền K = {(x, y)|0 < x < a, 0 < y < b}, với các đạo hàmriêng fx và fy bị chặn, đồng thời các đạo hàm riêng fx, fy, fxy liên tục Khi

đó chúng ta có thể khai triển f (x, y) thành chuỗi Fourier sin kép như sau

Một nghiệm của phương trình Bessel là

x2

x2

Để đơn giản kí hiệu, ta đặt

λpj = αpj

a , j = 1, 2, 3, (1.3.6)Như vậy λpj là giá trị không điểm dương thứ n của Jp bị thu nhỏ bởi mộtđại lượng không đổi 1a

Định lí 1.6 ([3, Tr 252] Tính trực giao của hàm Bessel đối với một lượng).Với p ≥ 0 và a > 0 Cho Jp(λpjx) (j = 1, 2, ) như trong (1.3.5) và (1.3.6).Thì

Z a

0

Jp(λpjx)Jp(λpkx)xdx = 0 với j 6= k, (1.3.7)và

a2J2 p+1(αpj)

Z a

0

f (x)Jp(λpjx)xdx (1.3.9)Các số Aj được gọi là hệ số Bessel-Fourier thứ j của hàm f Trên khoảng(0, a), chuỗi hội tụ tới f (x) khi f liên tục và tới f (x+)+f (x

−

)

2 nếu gián đoạntại điểm đó

Định lí 1.8 ([3, Tr 255] Dạng tham số của phương trình Bessel) Cho

p ≥ 0, a > 0, và cho αpj biểu thị không điểm dương thứ j của Jp(x) Với

j = 1, 2, , hàm Jp(αpj

a x) là nghiệm của phương trình Bessel bậc pdạng tham số,

x2y00(x) + xy0(x) + (λ2x2 − p2)y(x) = 0, (1.3.10)cùng với điều kiện biên

y(0) hữu hạn, y(a) = 0, (1.3.11)

khi λ = λpj = αpj

a , và chúng là nghiệm duy nhất của (1.3.10) − (1.3.11), trừ

ra các bội vô hướng Hơn thế nữa, các nghiệm thỏa mãn (1.3.7) và (1.3.8) vànhư vậy chúng trực giao trên đoạn [0, a] đối lượng hàm x

và được gọi là hàm Bessel chỉnh sửa bậc p thứ nhất Dễ dàng chỉ ra đượchàm Bessel chỉnh sửa bậc p thỏa mãn phương trình Bessel chỉnh sửa bậc p

x2y00+ xy0− (x2+ p2)y = 0 (1.3.13)Hàm Bessel chỉnh sửa thứ nhất dương và đồng biến trên miền x > 0

Hàm

Kp(x) = 2

sin pπ[I−p(x) − Ip(x)] (1.3.14)cũng là thỏa mãn của phương trình Bessel chỉnh sửa, và độc lập tuyến tínhvới Ip Hàm này được gọi là hàm Bessel chỉnh sửa thứ hai Đặc biệt hàmBessel chỉnh sửa thứ hai không bị chặn gần 0

Định lí 1.9 ([3, Tr 232] Khai triển chuỗi kép Fourier-Bessel) Cho hàm

f (r, θ) xác định liên tục trên 0 < r < a và 0 < θ < 2π, với các đạo hàmriêng fr và fθ bị chặn, đồng thời các đạo hàm riêng fr, fθ, frθ liên tục Khi

đó f (r, θ) có thể khai triển thành chuỗi như sau

1.4 Các định lí về tính duy nhất của nghiệm

Định lí 1.10 ([2, Tr 90] Phương trình Laplace) Giả sử Ω là một miềngiới nội với biên S trơn từng mảnh và f (P ) là một hàm liên tục cho trướctrên S

Giả sử hàm u(P ) điều hòa trong Ω, liên tục trong miền đóng Ω ∪ S và tạibiên S giá trị của hàm u trùng với hàm f (P ) Khi đó u(P ) được xác địnhmột cách duy nhất trên Ω ∪ S

Chứng minh Giả sử bài toán có hai nghiệm là u1(P ) và u2(P ) Đặt v(P ) =

u1(P ) − u2(P ), thì v là hàm điều hòa, liên tục trong miền đóng Ω ∪ S vàv|S = 0 Theo nguyên lý cực đại trên biên, ta có v(P ) = 0 trong Ω, do đó

u1(P ) = u2(P ) trong Ω

Định lí 1.11 ([2, Tr 72] Công thức Green) Giả sử Ω là một miền giới nộitrong R2, giới hạn bởi biên S trơn từng mảnh, −→n là véctơ pháp tuyến trongcủa S Giả sử u(x, y), v(x, y) là hai hàm bất kì có đạo hàm riêng cấp hai liêntục trong Ω và các đạo hàm riêng cấp một liên tục trong miền đóng Ω ∪ S.Chúng ta có công thức Green như sau

Z

S

u∂v

∂ndS = 0.

Chúng ta xét bài toán truyền nhiệt Giả sử Ω ⊂ R2 là một miền giới nội,

ta kí hiệu V = {(x, y, t) | (x, y) ∈ Ω, t > 0}, tìm nghiệm u(x, y, t) của phươngtrình

u(x, y, 0) = ϕ(x, y), (x, y) ∈ Ω, (1.4.2)

và điều kiện biên

u(x, y, t) = µ(x, y, t), (x, y) ∈ S, t > 0, (1.4.3)

trong đó S là biên của Ω.

Định lí 1.12 ([2, Tr 351] Phương trình nhiệt) Giả sử u(x, y, t) là nghiệmcủa bài toán (1.4.1) − (1.4.3) sao cho nó khả vi liên tục hai lần đối với (x, y),một lần đối với t trên V Khi đó nghiệm u(x, y, t) được xác định một cáchduy nhất trên V

Chứng minh Để tiện cho việc trình bày, chúng ta xét a = 1 Để chứng minhđịnh lí ta chứng minh rằng nếu u1(x, y, t), u2(x, y, t) là hai nghiệm bất kỳcủa (1.4.1) − (1.4.3) thì hiệu

u(x, y, t) = u1(x, y, t) − u2(x, y, t) = 0trong V Thực vậy, hiệu u(x, y, t) thỏa mãn:

Áp dụng công thức Green ta được

Mặt khác từ (1.4.5) suy ra ux(x, y, 0) = uy(x, y, 0) = 0, (x, y) ∈ Ω, do đóI(0) = 0, và nhận thấy rằng I(t) ≥ 0 Như vậy I(t) = 0, ∀t ≥ 0, hay

Xét bài toán truyền sóng Giả sử Ω ⊂ R2 là một miền giới nội, ta kí hiệu

V = {(x, y, t) | (x, y) ∈ Ω, t > 0}, tìm nghiệm u(x, y, t) của phương trình

với điều kiện ban đầu

Định lí 1.13 ([2, Tr 294] Phương trình sóng) Giả sử u(x, y, t) là nghiệmcủa bài toán (1.4.7) − (1.4.10) sao cho nó và các đạo hàm riêng của nó chotới cấp hai liên tục trên V Khi đó nghiệm u(x, y, t) được xác định một cáchduy nhất trên V

Chứng minh Để tiện cho việc trình bày, chúng ta xét a = 1 Để chứng minhđịnh lí ta chứng minh rằng nếu u1(x, y, t), u2(x, y, t) là hai nghiệm bất kỳcủa (1.4.7) − (1.4.10) thì hiệu

u(x, y, t) = u1(x, y, t) − u2(x, y, t) = 0

trong V Thực vậy, hiệu u(x, y, t) thỏa mãn:

u(x, y, 0) = 0, (x, y) ∈ Ω, (1.4.12)

∂u

∂t(x, y, 0) = 0, (x, y) ∈ Ω, (1.4.13)u(x, y, t) = 0, (x, y) ∈ S, t > 0, (1.4.14)Gọi t là một giá trị sao cho t ≥ 0 Xét tích phân:

Áp dụng công thức Green ta được

Hình 1.1: Hình dạng ban đầu của dây bi kéo ra, u(x, 0).

1.5 Phương trình sóng một chiều: Phương pháp

tách biến

Giả sử một đoạn dây đàn hồi được kéo dài trên trục thực với các đầumút được gắn chặt tại x = 0 và x = L (Hình 1.1) Cho u(x; t) biểu thị vị trítại thời điểm t của điểm x trên dây Thế thì u(x; t) thỏa mãn phương trìnhsóng một chiều

∂2u

∂t2 = c2∂

2u

∂x2, 0 < x < L, t > 0 (1.5.1)

Để tìm u(x; t) Chúng ta sẽ giải phương trình với điều kiện biên

u(0; t) = 0 và u(L; t) = 0 với mọi t > 0, (1.5.2)

và điều kiện ban đầu

u(x, 0) = f (x) và ∂u

∂t(x, 0) = g(x) với 0 < x < L. (1.5.3)Điều kiện biên là trạng thái ở hai đầu dây bị giữ chặt trong mọi thờiđiểm.Trong điều kiện ban đầu cho hình dáng ban đầu của dây là f (x) và vậntốc ban đầu là g(x)

Chúng ta sẽ giải bài toán bằng phương pháp tách biến Để làm nổi bật ýtưởng của phương pháp này chúng ta chia ra làm ba bước cơ bản

Bước 1: Tách biến trong (1.5.1) và (1.5.2)

Ta tìm nghiệm khác không của (1.5.1) có dạng

u(x; t) = X(x)T (t), (1.5.4)trong đó X(x) là hàm chỉ phụ thuộc vào x và T (t) chỉ phụ thuộc vào t Bàitoán bây giờ là tìm X và T nên đơn giản hơn Lấy vi phân (1.5.4) đối với x

T00

c2T =

X00

(Ta sẽ không quan tâm về XT bằng 0 ) Trong phương trình (1.5.5) vế trái

là một hàm chỉ phụ thuộc vào t, và vế phải là một hàm chỉ phụ thuộc vào

x Do các biến t và x là độc lập, nên cả hai vế của (1.5.5) phải bằng hằng

ta viết lại các phương trình tách ra như hai phương trình vi phân thôngthường

và

T00− c2kT = 0 (1.5.7)Tiếp theo là tách biến trong điều kiện biên (1.5.2) Sử dụng (1.5.4) và điềukiện biên, ta có

X(0)T (t) = 0, X(L)T (t) = 0 ∀t > 0,

Nếu X(0) 6= 0 hoặc X(L) 6= 0, thì T (t) = 0 với mọi t > 0, và như vậy, từ(1.5.4), u đồng nhất không Để tránh nghiệm tầm thường, ta xét

X(0) = 0 và X(L) = 0

Như vậy chúng ta đi đến bài toán giá trị biên trong X:

X00− kX = 0, X(0) = 0 và X(L) = 0

Bước 2: Giải các phương trình độc lập

Nếu k dương, lấy k = µ2 với µ > 0, lúc này phương trình ẩn X trở thành

X00− µ2X = 0,với nghiệm tổng quát

u = 0 Khả năng cuối cùng cần kiểm tra là

Điều kiện X(0) = 0 kéo theo c1 = 0, và do đó X = c2sin µx Điều kiệnX(L) = 0 kéo theo

sự thay đổi về dấu; do đó các nghiệm tương ứng với các n âm có thể bỏ đi.Bây giờ chúng ta quay trở lại (1.5.7) và thế k = −µ2 = − nπL
2 ta được

λn = nπ

L , n = 1, 2, Kết hợp nghiệm X và T mô tả bởi (1.5.4), ta thu được tập vô hạn nghiệmtích của (1.5.1), thỏa mãn tất cả các điều kiện biên (1.5.2):

hợp tuyến tính cũng sẽ thỏa mãn (1.5.1) và (1.5.2) Tuy nhiên không khó đểthấy rằng nói chung, một sự kết hợp tuyến tính như vậy có thể không thỏamãn các điều kiện ban đầu (1.5.3) Vì vậy, thúc đẩy bởi nguyên lý chồngchất, coi tổ hợp tuyến tính ”vô cùng”

như là một nghiệm của bài toán giá trị biên (1.5.1) − (1.5.3)

Bước 3: Chuỗi Fourier nghiệm của toàn bộ bài toán

Để giải quyết vấn đề một cách trọn vẹn Chúng ta cần phải xác định rõcác hệ số chưa biết bn và b∗n để hàm u(x; t) thỏa mãn điều kiện ban đầu(1.5.3) Bắt đầu với điều kiện thứ nhất trong (1.5.3), tại thời điểm ban đầu

t = 0 thay vào chuỗi vô hạn u, ta được

Z L

0

f (x) sin nπ

L xdx, n = 1, 2, Tương tự, ta xác định bn từ điều kiện ban đầu thứ hai trong (1.5.3) Đạohàm riêng chuỗi u theo biến t, và thay t = 0, ta được

b∗n = 2cnπ

Z L

0

g(x) sinnπ

L xdx, n = 1, 2,

Ta đã xác định được tất cả các hệ số trong chuỗi đại diện cho nghiệm u Tatóm tắt lai kết quả như sau.

Kết quả 1.1 Nghiệm của phương trình truyền sóng một chiều

∂2u

∂t2 = c2∂

2u

∂x2, 0 < x < L, t > 0,với điều kiện biên

u(0; t) = 0 và u(L; t) = 0 với mọi t > 0

và điều kiện ban đầu

u(x, 0) = f (x) và ∂u

∂t(x, 0) = g(x) với 0 < x < L,(giả thiết thêm rằng f , g có thể khai triển thành chuỗi Fourier và thỏa mãnđiều kiện tương thích f (0) = f (L) = g(0) = g(L) = 0)

Z L

0

g(x) sinnπ

L xdx, (1.5.9)và

λn = cnπ

L , n = 1, 2, (1.5.10)

Chương 2

Phương trình đạo hàm

riêng hai chiều

2.1 Bài toán giá trị riêng của phép biến đổi

u(x, 0) = 0, u(x, b) = 0 với 0 < x < a,u(0, y) = 0, u(a, y) = 0 với 0 < y < b

(2.1.2)

Giả sử u(x, y) = X(x)Y (y) thay vào (2.1.1), tách biến, và sử dụng điều kiệnbiên, chúng ta nhận được các phương trình

X00 + µ2X = 0, X(0) = X(a) = 0, (2.1.3)

Y00 + v2Y = 0, Y (0) = Y (b) = 0, (2.1.4)trong đó µ2+ v2 = k

Nghiệm của phương trình (2.1.3) là X = c1cos µx + c2sin µx Thế vàođiều kiện biên của X suy ra c1 = 0, µ = µm = mπa , m = 1, 2, , và do đó

Xm(x) = sinmπ

a x, m = 1, 2, Hoàn toàn tương tự với phương trình (2.1.4), ta nhận được

v = vn = nπ

b , Yn(y) = sin

nπ

b y; n = 1, 2, Như vậy chúng ta nhận được nghiệm của (2.1.1)-(2.1.2) có dạng

a x sin

nπ

b y,trong đó m, n = 1, 2, Chúng ta tóm tắt lại kết quả như sau

Kết quả 2.1 Giá trị riêng của bài toán (2.1.1) − (2.1.2) là

với điều kiện biên

φ(a, θ) = 0, 0 < θ < 2π (2.1.8)Giải quyết bài toán này có nghĩa là xác định giá trị của k (giá trị riêng) để

có nghiệm không tầm thường và tìm các nghiệm không tầm thường đó (hoặcnghiệm riêng)

Giả sử φ(r, θ) = R(r)Θ(θ) thay vào (2.1.7), tách biến, và sử dụng Θ tuầnhoàn chu kỳ 2π, chúng ta dẫn đến các phương trình

Θ00 + m2Θ = 0, m = 0, 1, 2, , (2.1.9)

r2R00+ rR0+ (kr2− m2)R = 0, R(a) = 0 (2.1.10)Nghiệm của phương trình (2.1.9) là

cos mθ, và sin mθ, m = 0, 1, 2, Nếu k < 0, phương trình (2.1.10) trở thành phương trình Bessel chỉnh sửabậc m, và có thể chỉ ra rằng trong trường hợp nghiệm bị chặn và R(a) = 0chỉ có thể là nghiệm tầm thường Vậy chúng ta xét k ≥ 0 và (2.1.10) trởthành phương trình Bessel bậc m dạng tham biến Theo Định lí 1.8, nghiệmkhông tầm thường của (2.1.10) là bội hằng số của Jm(λmnr), đó là nghiệmtương ứng với giá trị riêng k = λ2mn Chúng ta có được kết quả như sau.Kết quả 2.2 Giá trị riêng của bài toán (2.1.7) − (2.1.8) là

k = λ2mn =αmn

a

2

, m = 0, 1, 2, , n = 1, 2, (2.1.11)trong đó αmn là không điểm dương thứ n của hàm Bessel Jm Mỗi giá trịriêng λ2mn tương ứng các hàm riêng

cos mθ Jm(λmnr) và sin mθ Jm(λmnr) (2.1.12)(Chú ý rằng với m = 1, 2, chúng ta có hai hàm riêng khác biệt cho mộtgiá trị riêng.)

Nói cách khác, nếu φmn(r, θ) = cos mθ Jm(λmnr) hoặc φmn(r, θ) =sin mθ Jm(λmnr) thì ∆φmn = −λ2mnφmn và φmn(a, θ) = 0.

2.2 Phương trình Laplace

2.2.1 Phương trình Laplace trên hình chữ nhật

Bài toán 2.2.1 (Phương trình Laplace trên hình chữ nhật) Chúng ta xemxét phương trình

∂2u

∂x2 + ∂

2u

∂y2 = 0, 0 < x < a, 0 < y < b (2.2.1)Phương trình này được gọi là Phương trình Laplace hai biến Trong phầnnày, chúng ta giải (2.2.1) khi u là xác định trên biên của hình chữ nhật Để

rõ hơn, chúng ta thiết lập điều kiện biên Dirichlet

u(x, 0) = f1(x), u(x, b) = f2(x), 0 < x < a,u(0, y) = g1(y), u(a, y) = g2(y), 0 < y < b,được minh họa trong Hình 2.1

Hình 2.1: Bài toán Dirichlet tổng quát trên một hình chữ nhật

Một bài toán bao gồm phương trình Laplace trên một miền phẳng cùngvới giá trị xác định trên biên được gọi là bài toán Dirichlet Như vậy bài toánchúng ta vừa nêu là bài toán Dirichlet trên một hình chữ nhật Trước khi đi

vào bài toán tổng quát đầy đủ, chúng ta sẽ bắt đầu giải quyết trong trườnghợp đặc biệt khi f1, g1 và g2 bằng không.

Giải quyết bài toán biên được mô tả trong Hình 2.2 bằng sử dụng phươngpháp tách biến Chúng ta bắt đầu tìm nghiệm tích u(x, y) = X(x)Y (y) Thế

Hình 2.2: Bài toán Dirichlet trên hình chữ nhật

vào (2.2.1) và sử dụng phương pháp tách, chúng ta đi đến các phương trình

X00 + kX = 0, Y00− kY = 0,trong đó k là hằng số tách, với điều kiện biên

Yn = Bnsinh µny

Như vậy chúng ta tìm được các nghiệm tích

hệ số xác định bởi (2.2.3)

Bây giờ chúng ta quay trở lại bài toán tổng quát mô tả trong Hình 2.1.Đường lối là chia bài toán ban đầu thành bốn bài toán nhỏ, như mô tả bởiHình 2.3

Gọi u1, u2, u3, u4 là nghiệm của các bài toán nhỏ 1,2,3,4, tương ứng Bằngtính toán trực tiếp, chúng ta thấy rằng hàm

Hình 2.3: Tính chất tuyến tính được sử dụng chia bài toán Dirichlet thành

"tổng" bốn bài toán Dirichlet đơn giản

Các nghiệm khác được tìm tương tự Đặc biệt, u4 là như u2 ngoại trừ a và

b là đổi chỗ cho nhau, cũng vậy với x và y Như vậy

trong đó các hệ số An, Bn, Cn, và Dn được xác định bởi (2.2.4) − (2.2.7).Bài toán 2.2.2 (Phương trình Poisson trên hình chữ nhật: Phương pháphàm riêng) Tìm nghiệm của phương trình Poisson

u(x, 0) = 0, u(x, b) = 0 với 0 < x < a,u(0, y) = 0, u(a, y) = 0 với 0 < y < b

Thế u vào phương trình (2.2.9), chúng ta nhận được

u(x, 0) = f1(x), u(x, b) = f2(x), 0 < x < a,u(0, y) = g1(y), u(a, y) = g2(y), 0 < y < b,giả thiết rằng các hàm f1, f2, g1, g2 khai triển được thành chuỗi Fourier,

f (x, y) khai triển được thành chuỗi Fourier kép và thỏa mãn các điều kiệntương thích f1(a) = g2(0), g2(b) = f2(a), f2(0) = g1(b), g1(0) = f1(0)

Lời giải Nghiệm của bài toán hỗn hợp tổng quát là

u = u1+ u2,trong đó u1 là nghiệm của Bài toán 2.2.1 và u2 là nghiệm của Bài toán2.2.2

Ví dụ 2.1 Tìm nghiệm của phương trình

với điều kiện biên

u(x, 0) = x cos 2x, u(x, π) = sin x, 0 < x < π,u(0, y) = sin 3y, u(π, y) = π − y, 0 < y < π.Lời giải Nghiệm của bài toán là

u = v + ω,trong đó v là nghiệm của bài toán

và ω là nghiệm của bài toán