Độ nhạy nghiệm của bất đẳng thức biến phân

Các tính chất liên tục của nghiệm bất đẳng thức biến phân suy rộng phụ thuộc tham số .... Khi toán tử f F phụ thuộc tham số    và tập hạn chế K phụ thuộc tham số  nào đó thì bài toá

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

–––––––––––––––––––

LÊ THANH SƠN

ĐỘ NHẠY NGHIỆM CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN

Chuyên ngành: Toán giải tích

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan: Bài luận văn tốt nghiệp này là công trình nghiên cứu thực sự của cá nhân tôi, được thực hiện trên cơ sở nghiên cứu lý thuyết, nghiên cứu khảo sát và phân tích từ thực tiễn dưới sự hướng dẫn khoa học của GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn

Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu được trình bày trong luận văn là hoàn toàn trung thực và chưa được sử dụng để bảo vệ cho một học

vị nào, phần trích dẫn và tài liệu tham khảo đều được ghi rõ nguồn gốc

Thái Nguyên, ngày tháng năm 2013

Tác giả

Lê Thanh Sơn

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình và nghiêm khắc của thầy giáo GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn, nhân dịp này em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong quá trình học tập và nghiên cứu

Em xin bày tỏ lòng biết ơn đối với các thầy giáo, cô giáo ở Viện Toán học và Phòng quản lý đào tạo sau đại học cùng toàn thể các thầy giáo, cô giáo của trường ĐHSP Thái Nguyên

Tôi xin chân thành cảm ơn Phòng GD&ĐT Sông Lô, Trường THCS Lãng Công đã tạo điều kiện về thời gian để có thể hoàn thành luận văn này

Tôi xin chân thành cảm ơn các bạn học viên đã chia sẻ cùng tôi những khó khăn trong những năm tháng học tập xa nhà

Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN i

LỜI CẢM ƠN ii

MỤC LỤC iii

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2

3 Bố cục luận văn 3

Chương I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4

1.1 Các không gian thường dùng 4

1.1.1 Không gian Metric 4

1.1.2 Không gian tuyến tính định chuẩn 6

1.1.3 Không gian Hilbert 8

1.1.4 Không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdoff 10

1.1.5 Không gian đối ngẫu 11

1.2 Ánh xạ đa trị 11

1.3 Bài toán tối ưu 12

1.4 Kết luận 14

Chương II ĐỘ NHẠY NGHIỆM CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN SUY RỘNG 15

2.1 Khái niệm cơ bản 15

2.2 Các kết quả bổ trợ 17

2.3 Các tính chất liên tục của nghiệm bất đẳng thức biến phân suy rộng phụ thuộc tham số 19

2.4 Các trường hợp đặc biệt 32

2.5 Một vài ứng dụng 34

2.6 Kết luận 37

Chương III TÍNH LIÊN TỤC HOLDER CỦA NGHIỆM BÀI TOÁN BIẾN PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ 38

3.1 Tính chất liên tục Holder của nghiệm của P ,  39

3.2 Các kết quả bổ trợ 41

3.3 Chứng minh định lý 3.1.1 48

3.4 Kết luận 54

KẾT LUẬN CHUNG 55

TÀI LIỆU THAM KHẢO 56

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết bất đẳng thức biến phân ra đời cách đây hơn 50 năm với các công trình quan trọng của G Stampacchia, P hartman, G Fichera, J L Lions

và F E Browder Trong suốt hơn 50 năm qua, lý thuyết này đã thu hút được

sự quan tâm của nhiều tác giả trong và ngoài nước Có rất nhiều bài báo, rất nhiều cuốn sách đề cập đến các bất đẳng thức biến phân và ứng dụng của chúng Hiện nay những bài toán phụ thuộc tham số đang được các nhà toán học và các nhà khoa học khác quan tâm nghiên cứu rất nhiều và có những ứng

dụng quan trọng trong nhiều lĩnh vực

Giả sử K là một tập lồi đóng trong không gian định chuẩn X ,

*

:

f KX là ánh xạ đơn trị từ K vào không gian đối ngẫu X của X Bài *

toán “ Tìm xK sao cho f x ,xx 0 với mọi xK” được gọi là bất đẳng thức biến phân xác định bởi toán tử f trên tập K Nếu F K: 2X* là

một ánh xạ đa trị từ K vào X thì bài toán “ Tìm * xK sao cho tồn tại

 

*

x F x thỏa mãn x x*, x 0 với mọi xK” được gọi là bất đẳng

thức biến phân suy rộng xác định bởi tập K và toán tử F

Khi toán tử f F phụ thuộc tham số    và tập hạn chế K phụ thuộc

tham số  nào đó thì bài toán trên được gọi là bất đẳng thức biến phân phụ thuộc tham số ( bất đẳng thức biến phân suy rộng phụ thuộc tham số, tương ứng) Ở đây  ,  là cặp tham số của bài toán

Bất đẳng thức biến phân phụ thuộc tham số và bất đẳng thức biến phân suy rộng phụ thuộc tham số, cùng với các ứng dụng khác nhau của chúng là nội dung chính của luận văn này Tương tự như trong nhiều lĩnh vực toán học khác, các vấn đề chủ yếu được nghiên cứu trong lý thuyết bất đẳng thức biến

phân là sự tồn tại nghiệm, tính liên tục của tập nghiệm theo tham số, và các thuật toán tìm nghiệm

Để tiện theo dõi luận văn này, ta nhắc lại kết quả trong  14 :

Giả sử H là không gian Hilbert thực, M và  là hai tập tham số khác rỗng lấy trong hai không gian định chuẩn nào đó, f H: M H là ánh xạ đơn trị, K: 2H là ánh xạ đa trị nhận giá trị là các tập lồi, đóng, khác rỗng Xét bất đẳng thức biến phân phụ thuộc tham số:

ở đó  ,   M là cặp tham số của bài toán và ,  là ký hiệu tích vô

hướng trong H Với cặp tham số   , M   cho trước, ta có thể xem

 0.1 như một bài toán nhiễu của bất đẳng thức biến phân sau đây:

x   có dáng điệu như thế nào Nói cách khác là ta cần nghiên cứu độ

nhạy của nghiệm x đối với sự thay đổi của  , 

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

2.1 Mục đích nghiên cứu

Mục đích chính của luận văn này là trình bày một số kết quả về độ nhạy nghiệm của bất đẳng thức biến phân suy rộng có phụ thuộc tham số trong không gian Banch phản xạ và một số áp dụng để khảo sát độ nhạy

nghiệm của bài toán quy hoạch lồi phụ thuộc tham số

2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu

Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ sau đây:

Trình bày kiến thức cơ bản

Trình bày độ nhạy nghiệm của bất đẳng thức biến phân suy rộng

Trình bày tính liên tục Holder của nghiệm bài toán biến phân phụ thuộc tham số

3 Bố cục luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm 3 chương

Chương 1 kiến thức chuẩn bị Trong đó mục 1.1 trình bày các không gian thường dùng Mục 1.2 trình bày ánh xạ đa trị Mục 1.3 nhắc lại bài toán tối ưu

Chương 2 nghiên cứu độ nhạy nghiệm của bất đẳng thức biến phân suy rộng Trong đó, Mục 2.1 trình bày các ký hiệu và khái niệm liên quan đến bất đẳng thức biến phân Mục 2.2 trình bày một số sự kiện về toán tử đơn điệu cực đại Mục 2.3 thiết lập các điều kiện đủ cho tính liên tục tựa Holder của ánh xạ nghiệm của bất đẳng thức biến phân suy rộng, Mục 2.4 đề cập tới một

số trường hợp riêng Mục 2.5 được dành cho việc áp dụng các kết quả thu được trong các mục trước để nghiên cứu độ nhạy nghiệm của bài toán quy hoạch lồi có tham số

Chương 3 nghiên cứu các tính chất liên tục kiểu Lipschitz-Holder của nghiệm các bài toán biến phân phụ thuộc tham số Mục 3.1 trình bày bài toán

và các bổ đề bổ trợ Mục 3.2 thiết lập một số kết quả về tính liên tục Lipschitz

và tính đơn điệu mạnh của toán tử đạo hàm Mục 3.3 trình bày chứng minh định lý chính của chương này Bằng cách sử dụng các kết quả của chương 2

và các mục 3.1 và 3.2, chúng ta có được kết quả về tính chất liên tục kiểu Lipschitz-Holder của ánh xạ nghiệm theo tham số

Chương I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này chúng ta sẽ nhắc lại một số kiến thức cơ bản để sử dụng trong suốt luận văn này

1.1 Các không gian thường dùng

1.1.1 Không gian Metric

Định nghĩa 1.1  4, 33p   Một tập hợp X được gọi là một không gian

metric nếu: a) Với mỗi cặp phần tử x y, của X đều có xác định, theo một quy

tắc nào đó, một số thực  x y, ; b) Qui tắc nói trên thỏa mãn các điều kiện sau đây:

1  x, y 0 nếu x y;

 x, y 0 nếu x y ( tính tự phản xạ),

2  x, y  y x, với mọi x y, (tính đối xứng),

3  x, y  x z,  z, y với mọi x y z, , (bất đẳng thức tam giác) Hàm số  x, y gọi là metric của không gian và cặp X, được gọi

là không gian metric

Ví dụ 1) Một tập M bất kỳ của đường thẳng R , có khoảng cách thông

thường  x, y  x y (độ dài đoạn nối x và y), là một không gian metric

2) Tổng quát hơn, trong không gian k chiều R , có thể xác định k

khoảng cách giữa hai điểm x 1, 2, ,k và y 1, 2, ,k là :

1,

k

i i i

x y



là không gian metric

Trong không gian metric, nhờ có khoảng cách, nên có thể định nghĩa:

1) Sự hội tụ Ta nói một dãy điểm x x1, 2, của một không gian metric

X hội tụ tới điểm x của không gian đó nếu lim  n,  0

n  x x

  Ta viết x n x

hoặc limx n x , và điểm x gọi là giới hạn của dãy  x n

2) Lân cận Một hình cầu tâm a , bán kính r0  r , trong một

không gian metric X , là tập: B a r , x: x a, r

Hình cầu tâm a , bán kinh r, cũng gọi là một r - lân cận của điểm a và mọi tập con của X bao hàm một r - lân cận nào đó của điểm a gọi là một lân cận của điểm a

Điểm trong: điểm x gọi là một điểm trong của tập A nếu có một lân cận của x nằm trong tập A

3) Tập mở Một tập là mở nếu mọi điểm thuộc nó đều là điểm trong 4) Tập đóng Một tập là đóng nếu mọi điểm không thuộc nó đều là

điểm trong của phần bù của nó

Bốn khái niệm trên có mối quan hệ mật thiết với nhau: ba khái niệm còn lại đều suy ra từ một khái niệm cho trước và chúng cùng sinh ra trên tập

X một cấu trúc, cấu trúc này được gọi là cấu trúc tôpô

Dãy  x n  X được gọi là dãy Cauchy nếu x x n, m0 khi ,

n m  Không gian metric mà mọi dãy Cauchy đều hội tụ thì được gọi là không gian metric đủ

Bao đóng: Giả sử A là tập con của X Giao của tất cả các tập hợp đóng chứa A gọi là bao đóng của tập hợp A và ký hiệu A

Từ định nghĩa lân cận ta có các định nghĩa sau: Với aX , 0,X Tập:B a( , )  x X: ( , ) a x , gọi là hình cầu mở tâm a , bán kính  Tập: B a( , ) xX : ( , ) a x , gọi là hình cầu đóng tâm a , bán kính 

5) Ánh xạ liên tục Cho hai không gian metric X và Y (metric trên X

ký hiệu là X , metric trên Y ký hiệu là Y) Một ánh xạ f từ X vào Y gọi

là liên tục tại điểm x0X nếu

f x  f x

Trong không gian metric ta cũng có khái niệm khoảng cách Hausdoff

giữa hai tập hợp: Cho một tập A trong không gian metric X, Với mỗi điểm xX ta đặt x A, inf x y, :yA và gọi x A,  là khoảng

cách từ điểm x đến tập A Hiển nhiênx A, 0 khi và chỉ khi có một dãy

A  xX  x A  gồm những điểm cách tập A không quá  , gọi là

 - bao của A Nếu , A B là hai tập trong không gian metric X, thì

BA có nghĩa là mọi điểm của B đều cách A không quá  Khi ấy số

d A B    AB B  Agọi là khoảng cách Hausdoff giữa hai tập A và B

1.1.2 Không gian tuyến tính định chuẩn

Trong mục 1.1.1 ta thấy trong không gian metric ta đã nghiên cứu các vấn đề liên quan tới khoảng cách nhƣ sự hội tụ và tính liên tục Trong giải tích

còn nhiều vấn đề khác liên quan tới các phép tính tuyến tính: cộng hai phần tử với nhau và nhân một phần tử với một số Để nghiên cứu vấn đề này, ta đƣa vào khái niệm không gian véc tơ

Định nghĩa 1.2  4, 180p   Một tập X đƣợc gọi là một không gian vectơ

nếu: a) Ứng với mỗi cặp phần tử x y, của X ta có, theo một quy tắc nào đó, một phần tử của X , gọi là tổng của x với y , và đƣợc ký hiệu x y ; ứng với mỗi phần tử xX và mỗi số thực  ta có, theo một quy tắc nào đó, một

phần tử của X gọi là tích của x với  và đƣợc ký hiệu x

b) Các qui tắc nói trên thỏa mãn 8 điều kiện sau đây:

1) x  y y x

2) x y  z x yz

3) Tồn tại một phần tử 0 sao cho x 0 x,  x X

4) Ứng với mỗi phần tử xX ta có một phần tử  x X sao cho

Khi đó  được gọi là một chuẩn trên X và ( X , ) được gọi là không gian

tuyến tính định chuẩn

Giả sử X và Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn, một toán tử A

từ X vào Y gọi là liên tục nếu x n x0 luôn luôn kéo theo Ax n Ax0 Ta có,

một toán tử tuyến tính A từ X vào Y là liên tục khi và chỉ khi nó bị chặn

Vì không gian định chuẩn là trường hợp riêng của không gian metric, trong mục 1.1.1 ta đã nghiên cứu về sự hội tụ trong không gian metric, vậy sự

hội tụ trong không gian định chuẩn như thế nào? Trong không gian véc tơ X

ta xác định một chuẩn, nghĩa là ứng với mỗi phần tử x một số x 0 thỏa mãn ba điều kiện trên, thì ta biến nó thành một không gian metric, với metric:

 x y, x y

   Khi đó ta phát biểu theo chuẩn sẽ có một số kết quả sau:

1.1.3 Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.4  4, 315p   Một không gian vectơ thực X được gọi

là không gian tiền Hilbert, nếu trong đó có xác định một hàm hai biến  x y , ,gọi là tích vô hướng của hai vectơ  x y , ký hiệu là , với các tính chất ,

1) x y,  y x,

định một chuẩn trong không gian X , nói cách khác không gian tiền Hilbert

định nghĩa như trên là một không gian định chuẩn và do đó cũng là một không gian metric

Mặt khác ta chứng minh được tích vô hướng x y là một hàm liên tục ,

đối với x và y

Một không gian tiền Hilbert đủ gọi là không gian Hilbert

Trên không gian Hilbert ta có: Với mỗi vectơ a cố định thuộc một không gian Hilbert X , hệ thức

f x  a x , xác định một phiếm hàm tuyến tính liên tục f x trên không gian X , với  

f  a Ngược lại, bất kỳ phiếm hàm tuyến tính liên tục f x nào trên một không  

gian Hilbert X cũng đều có thể biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng

f x  a x ,

trong đó a là một vectơ của X thỏa mãn f  a

Từ trên ta cũng có kết quả sau: Mỗi toán tử tuyến tính liên tục A trong không gian Hilbert X xác định theo f x y ,  Ax y, một phiếm hàm song tuyến tính liên tục f x y nghiệm đúng f ,  A Ngược lại bất kỳ phiếm hàm song tuyến tính liên tục f x y nào trên X cũng có thể biểu diễn một  ,

cách duy nhất dưới dạng f x y ,  Ax y, trong đó A là một toán tử tuyến tính liên tục trên X thỏa mãn f  A

1.1.4 Không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdoff

Định nghĩa 1.5  4, 372p   Cho một tập X bất kỳ Ta nói một họ

T những tập con của X là một tôpô (hay xác định một cấu trúc tôpô) trên X

nếu:

 i Hai tập 0 và X đều thuộc họ T

 ii T kín đối với phép giao hữu hạn, tức là, giao của một số hữu hạn tập thuộc họ T thì cũng thuộc họ đó

 iii T kín đối với phép hợp bất kỳ, tức là, hợp của một số bất kỳ (hữu hạn hay vô hạn) tập thuộc họ T thì cũng thuộc họ đó

Một tập X , cùng với một tôpô T trên X , gọi là không gian tôpô X T , 

Vì họ các tập mở trong một không gian metric thỏa mãn các điều kiện trên, nên các không gian metric đều là không gian tôpô

Lân cận Lân cận của một điểm x trong một không gian tôpô X là bất

cứ tập hợp nào bao hàm một tập mở chứa x Nói cách khác V là lân cận của

x nếu có một tập mở G sao cho x G V

Tập đóng Một tập là đóng nếu nó chứa tất cả các điểm biên của nó Ánh xạ liên tục Cho X Y là hai không gian tôpô Một ánh xạ , f từ

X vào Y được gọi là liên tục tại x , nếu với mọi lân cận 0

Không gian Hausdoff: Không gian tôpô ( X , T ) được gọi là T - 2

không gian ( không gian Hausdoff) nếu với hai điểm x1 x2, x x1, 2X luôn tồn tại hai tập mở ,U V T sao cho: x1U x, 2V và U   V 0

1.1.5 Không gian đối ngẫu  4, 404p  

Khi X là một không gian vec tơ tô pô thì tập hợp các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X gọi là không gian đối ngẫu của X và được ký hiệu X *

Đó là một không gian véc tơ với các phép toán tự nhiên:

  1 1 2 1 1 2

,

Nếu X là không gian định chuẩn thì ta có thể đưa vào trong X một *

chuẩn để nó biến thành một không gian định chuẩn đủ ( Banach)

Với X là không gian Banach, có không gian đối ngẫu là X , gọi * X **

là không gian đối ngẫu của *

X Trong trường hợp X  X** thì X được gọi là

không gian Banach phản xạ

1.2 Ánh xạ đa trị

Ta có: 2Y là ký hiệu họ các tập con của tập Y

Định nghĩa 1.6 Cho ,X Y là các tập hợp, F X: Y được gọi là ánh xạ

đa trị nếu F chuyển xX thành một tập hợp F x Y, F x là ảnh của x  

Từ định nghĩa 1.6 ta có định nghĩa ánh xạ đa trị đóng như sau: Cho ,

X Y là các không gian tô pô, F X: 2Y, ký hiệu là ánh xạ đa trị từ X Y Nếu Graf F  X Y là tập đóng thì F được gọi là ánh xạ đa trị đóng

 i F là nửa liên tục trên tại xdom F nếu B là tập mở trong

Y , F x( ) B thì tồn tại lân cận U của x x F x:   B, x U

 ii F là nửa liên tục dưới tại xdom F nếu B là tập mở,

( ) 0

BF x   thì tồn tại lân cận U của x x B: F x     0, x U xdom F

Tính Lipshitz Cho X là không gian định chuẩn Ta nói rằng f là

hàm Lipshitz trên tập D  X, nếu tồn tại l0 sao cho:

1.3 Bài toán tối ưu  3, 10p  

Cho D là một tập khác rỗng của không gian X Bài toán: Tìm điểm

và gọi x là nghiệm tối ưu toàn cục của bài toán Và, nếu tìm được điểm 0

Trong lý thuyết tối ưu tổng quát, ta cũng cần lưu ý rằng, bài toán trên

có liên quan mật thiết với một số bài toán khác dưới đây:

1 Bài toán điểm cân bằng

Cho D là tập con khác rỗng của không gian X f D, :  D R Tìm

xD sao cho: f x y ,   0, x D

2 Bài toán bất đẳng thức biến phân

Gọi X là không gian đối ngẫu của X Nếu * xX f, X*, ta định nghĩa x f,  f x , là giá trị của f tại x Cho DX là tập hợp lồi, đóng, khác rỗng Cho ánh xạ A D:  X*, : D  R Tìm uD sao cho

3 Bài toán điểm bất động

Cho X là không gian Hilbert, DX là tập hợp con khác rỗng,

:

T DD là ánh xạ đơn trị Tìm xD sao cho: T x  x

4 Bài toán cân bằng Nash

Cho D iX i i, I là các tập con khác rỗng trong X (với I là tập hữu i

5 Bài toán điểm yên ngựa

Cho D D1, 2X và : D1D2 R Tìm x x1, 2 sao cho

7 Bài toán tựa tối ưu loại I

Cho K là tập hợp khác rỗng của không gian Y nào đó,

S D K  T D K  là các ánh xạ đa trị, F K:   D D R là hàm số Tìm điểm x y,  D K sao cho

1) xS x y , , 2) yT x y , ,

8 Bài toán tựa tối ưu loại II

Tiếp theo cho S D i: 2 ,i 1,2,D  T D: 2K là các ánh xạ đa trị,

:

F K  D D R là hàm số Tìm điểm x y,  D K sao cho

1) xS x1 , 2) F y x x , , F y x x , ,  x S2 x ,y T x x  ,

1.4 Kết luận

Trong chương 1 ta đã nhắc lại các kiến thức cơ bản về các không gian thường dùng, ánh xạ đa trị và bài toán tối ưu, những kiến thức này sẽ được sử dụng nhiều trong chương 2 và chương 3

Chương II

ĐỘ NHẠY NGHIỆM CỦA BẤT ĐẲNG THỨC

BIẾN PHÂN SUY RỘNG

Trong chương này chúng ta sẽ thiết lập một số kết quả về độ nhạy nghiệm của bất đẳng thức biến phân suy rộng có tham số trong không gian Banach phản xạ

Vì hệ điều kiện cần cực trị bậc nhất của một bài toán tối ưu bất kỳ có thể viết dưới dạng một bất đẳng thức biến phân hoặc bất đẳng thức biến phân suy rộng nên hầu hết các kết quả về bất đẳng thức biến phân và bất đẳng thức biến phân suy rộng đều có ứng dụng trong tối ưu hoá Nói riêng ra, các kết quả về tính ổn định và độ nhạy nghiệm của các bất đẳng thức biến phân suy rộng có những hệ quả trực tiếp đối với ánh xạ nghiệm của các bài toán quy hoạch lồi có tham số

2.1 Khái niệm cơ bản

Ta ký hiệu X là không gian Banach phản xạ với không gian đối ngẫu

*

X Chuẩn trong X và trong X đều được ký hiệu bởi * Ta nhắc lại một

số khái niệm cơ bản sau:

Khoảng cách từ điểm zX đến A được định nghĩa bằng công thức

d z A  zx xA Theo quy ước inf 0   và A   0 0

Tập lồi: Tập hợp A X được gọi là tập lồi nếu với mọi

 

1, 2 , 0,1 ,

x x A t thì tx1 1 t x 2A

Véc tơ pháp tuyến: Véc tơ x*X* được gọi là véc tơ pháp tuyến của

tập lồi A tại x nếu thoả mãn: x x*, x 0, với mọi xA

Nón pháp tuyến: Nón pháp tuyến của tập K tại x được định nghĩa bởi

Hàm lồi: Cho X là không gian lồi địa phương, DX, f D:   R  ,

ta có: epif =  x,r  D R f x:   r Hàm f được gọi là lồi, nếu epi f là

tập lồi trong không gian tích XR

Dưới vi phân: Cho : X   R   là một hàm lồi và xX sao cho

Giả sử F X: 2X* là một ánh xạ đa trị, bất đẳng thức biến phân suy rộng,

xác định bởi ánh xạ F và tập lồi K là bài toán tìm xK thoả mãn bao hàm

thức: 0F x N K x  2.3

Từ công thức  2.1 suy ra rằng xX thoả mãn  2.3 khi và chỉ khi xK

và tồn tại *  

x F x sao cho x y*, x 0 với mọi yK

Nếu F x      f x , trong đó f X: X* là ánh xạ đơn trị, thì  2.3

    

0F x, N K  x ,  2.5 trong đó  ,   M là một cặp tham số, được gọi là bất đẳng thức biến phân suy rộng phụ thuộc tham số Lưu ý rằng xX thoả mãn  2.5 khi và chỉ khi xK  và tồn tại *  

tương ứng đựơc gọi là miền hữu hiệu và đồ thị của G

Định nghĩa 2.1.1 Ánh xạ G được gọi là nửa liên tục dưới theo nghĩa

Hausdoff tại x0X nếu với mỗi  0 tồn tại một lân cận U của x trong X 0

sao cho G x 0 G x B X* với mọi x U , trong đó

được gọi là hê mi liên tục tại x0X nếu, với mọi vX t,  0,1 và với mọi tập mở yếu * V  X* thoả mãn G tx 0 1t  v V , tồn tại  0 sao cho G tx 0  1 t v V với mọi t 0,1 mà 1 t 

Định nghĩa 2.1.3  13, 852p   Ánh xạ G X: 2X* được gọi là đơn điệu nếu với mọi  *   * 

Ta nói G là đơn điệu cực đại nếu G là đơn điệu và không tồn tại ánh xạ đơn

: 2X

G X  sao cho gr G là tập con thực sự của gr G

Hai bổ đề sau cho phép ta kiểm tra tính đơn điệu cực đại của một ánh

xạ đa trị

Bổ đề 2.2.1 Giả sử G X: 2X* là một toán tử đơn điệu, hê-mi liên tục Nếu

U dom G là tập hợp sao cho với mọi x U ta có G x là tập lồi đóng thì  

khi đó G là đê- mi liên tục tại mỗi điểm x0U

Bổ đề 2.2.2 Giả sử G X: 2X*là một toán tử đơn điệu, đê-mi liên tục Nếu với mọi xX tập G x là lồi đóng thì   G là toán tử đơn điệu cực đại

Bổ đề sau cho ta tiêu chuẩn để kiểm tra tính đơn điệu cực đại của tổng hai toán tử đơn điệu cực đại

Bổ đề 2.2.3  R T Rockafellar 1970; 13, Theorem32.I Nếu G G1, 2:X 2X*

là các toán tử đơn điệu cực đại thoả mãn điều kiện intdomG1domG2  0, trong đó int D ký hiệu phần trong tôpô của tập D , thì khi đó tổng

*

1 2: 2X

G G X  , xác định bởi công thức G1G2 x G x1 G x2 , cũng

là toán tử đơn điệu cực đại

Bổ đề sau đây là một trong những kết quả chính của lý thuyết toán tử đơn điệu cực đại

Bổ đề 2.2.4  13, Corollary35  Nếu G X: 2X* là đơn điệu cực đại và

domG là bị chặn thì G là toàn ánh, nghĩa là   *

x X

Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ cần các khái niệm về tính đơn điệu chặt và đơn điệu đều ( theo hàm cỡ ) của ánh xạ đa trị G X: 2X*

Định nghĩa 2.2.4 Ánh xạ G X: 2X* được gọi là đơn điệu chặt nếu cho bất

Định nghĩa 2.2.5 Giả sử là một hàm số không giảm trên R  t R t: 0

sao cho  t 0 với mọi t0 Ánh xạ G được gọi là - đơn điệu đều nếu với mọi  * 

2

* *

2 1, 2 1 2 1

x x x x  x x  2.7 Trong trường hợp này G được gọi là đơn điệu mạnh

2.3 Các tính chất liên tục của nghiệm bất đẳng thức biến phân suy rộng phụ thuộc tham số

Xét bất đẳng thức biến phân phụ thuộc tham số dạng  2.5 , trong đó

 ,   , , ,

F x  K  M  được định nghĩa như trong mục 2.1 Giả sử

x0, 0, 0 XM  là bộ ba thoả mãn điều kiện:

 0 0  0  0

0F x , N K  x  2.8

Kết quả đầu tiên của chúng ta về độ nhạy nghiệm của bài toán  2.5 đối với sự thay đổi của cặp tham số  ,  đƣợc phát biểu nhƣ sau:

Định lý 2.3.1 Giả sử rằng các điều kiện sau đây đƣợc thoả mãn:

 a Với mọi 1 M ,F , là toán tử đơn điệu cực đại;

 a Tồn tại lân cận 2 U của x sao cho với mọi 0  0 tồn tại  0 để:

 a Tồn tại lân cận U3  của x , lân cận 0 W của 0 và hằng số  0

sao cho F x , 0 với mọi x, U W,

Hơn nữa, x 0,  x0, và hàm  , x ,  là liên tục trên W V

Các nhận xét sau đây giúp ta hiểu rõ hơn các giả thiết    a1  a4

Nhận xét 2.3.1 Nếu tồn tại một hằng số  0 sao cho, với mọi M và

1, 1 , 2, 2 ,

x x x x gr F   , bất đẳng thức  2.7 nghiệm đúng, thì  a 2đƣợc thoả mãn Chứng minh là hiển nhiên Cũng dễ thấy rằng nếu tồn tại một hàm không giảm  :R R, t 0 khi t0, sao cho với mọi M và với mọi

xạ đơn trị và liên tục, thì  a đƣợc thoả mãn 3

Nhận xét 2.3.4 Giả sử rằng  là một tập con trong không gian định chuẩn

Aubin” bởi cụm từ “ liên tục Aubin” Dễ thấy rằng nếu K  liên tục Aubin tại 0, x0 thì  a được thoả mãn 4

Nhận xét 2.3.5 Nếu với mọi M ánh xạ F , có giá trị lồi đóng, nó là

đơn điệu và hê- mi liên tục trên X , thì  a thoả mãn Để chứng minh điều 1

đó ta chỉ cần áp dụng Bổ đề 2.2.1 và Bổ đề 2.2.2

Nhận xét 2.3.6 Định lý 2.4.1 dưới đây, đó là trường hợp đặc biệt của Định lý

2.3.1, trong đó F là một ánh xạ đơn trị

Khái niệm đơn điệu đều ( theo một hàm cỡ  nào đó) của các toán tử

đã tỏ ra rất hữu ích trong Giải tích hàm phi tuyến ( xem  13 ) Trong  11 và

 9 đã chỉ ra rằng có thể đặc trưng tính lồi đều của các không gian Banach bằng cách sử dụng tính đơn điệu đều của các toán tử Lưu ý rằng lớp các toán

tử đơn điệu mạnh là khá hẹp và không thích hợp cho việc thiết lập những đặc trưng như thế

Dưới đây là một số ví dụ về các toán tử là - đơn điệu đều ( với một hàm cỡ  nào đó) mà không là đơn điệu mạnh

Ví dụ 2.3.1  13, pp 502 503   Xét ánh xạ :F R2R được xác định bởi công thức    p 2 

F u  u  u với mọi uR, trong đó p2 là một hằng số cho trước Khi đó tồn tại hằng số c0 sao cho

tử F này không đơn điệu mạnh

Ví dụ 2.3.3 Giả sử X L p  0,1 ,p2, là không gian Banach gồm các

hàm đo đƣợc xác định trên  0,1 , sao cho 1  

   Tuy nhiên, F không

là đơn điệu mạnh Thực vậy, giả sử ngƣợc lại rằng tồn tại  0 sao cho

Chứng minh định lý 2.3.1 Giả sử rằng các giả thiết    a1  a4 đƣợc thoả

mãn Khi đó, do  a và 3  a , tồn tại các hằng số 4 s0, 0 sao cho

là đơn điệu cực đại ( xem 13, 859p ) Do  a , 1 F , cũng là đơn điệu cực đại Do  a và do cách chọn s , ta có 3 B x s 0, int dom F  , Vì miền hữu hiệu của toán tử 2.16 là tập bị chặn và khác rỗng  K  B x s 0,  nên, theo Bổ đề 2.2.3 ánh xạ đa trị

0 ,, K B x s

xF x  N  x 2.17 

là đơn điệu cực đại với miền hữu hiệu bị chặn Theo Bổ đề 2.2.4 tồn tại véc tơ

xx   K  B x s thoả mãn bao hàm thức 2.15 Vì  F , là đơn điệu chặt ( theo nhận xét 2.3.2), véc tơ xx ,  là xác định duy nhất

yếu *

trong X Hơn nƣ̃a do *  a ta có 3 F x 0, 0 Vì X là không gian

Banach phản xạ nên tồn tại *  