Tìm nghiệm của bất đẳng thức biến phân là bất động chung của một họ vô hạn ánh xạ không giãn

21.1.2 Phương pháp nguyên lý bài toán phụ tìm nghiệm bất đẳng thức biến phân.. 41.2 Một số phương pháp lặp để tìm điểm bất động chung cho một họ ánh xạ không giãn.. 11 2 Phương pháp nguy

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

GS.TS NGUYỄN BƯỜNG

Thái Nguyên - 2013

Mục lục

1 Một số khái niệm và kiến thức chuẩn bị 21.1 Bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert 21.1.1 Bất đẳng thức biến phân cổ điển 21.1.2 Phương pháp nguyên lý bài toán phụ tìm nghiệm

bất đẳng thức biến phân 41.2 Một số phương pháp lặp để tìm điểm bất động chung cho

một họ ánh xạ không giãn 81.2.1 Phương pháp lặp Halpern 91.2.2 Phương pháp lặp Mann 11

2 Phương pháp nguyên lý bài toán phụ hiệu chỉnh tìmnghiệm của bất đẳng thức biến phân là điểm bất độngchung cho một họ vô hạn các ánh xạ không giãn 132.1 Phương pháp nguyên lý bài toán phụ hiệu chỉnh bất đẳng

thức biến phân 132.2 Phương pháp nguyên lý bài toán phụ hiệu chỉnh giải bài

toán đặt ra 17

Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học, Đại họcThái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của GS.TS Nguyễn Bường.Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc về sự tận tâm vànhiệt tình của thầy trong suốt quá trình tác giả thực hiện luận văn.Trong quá trình học tập và làm luận văn, từ bài giảng của các Giáo

sư, Phó giáo sư công tác tại Viện Toán học và các Thầy, các cô trongĐại học Thái Nguyên, tác giả đã trau dồi thêm rất nhiều kiến thức phục

vụ cho việc nghiên cứu và công tác của bản thân Từ đáy lòng mình,tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các Thầy và các cô

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Đào tạo Khoahọc và Quan hệ quốc tế, Khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học,Đại học Thái Nguyên đã quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thờigian học tập tại trường

Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, lãnh đạo đơn

vị công tác và đồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện tốtnhất cho tôi khi học tập và nghiên cứu

Tác giả

Phạm Thanh Tùng

Bảng ký hiệu

R Tập hợp số thực

N Tập hợp số tự nhiên

H Không gian Hilbret H

E Không gian Banach E

hx, yi Tích vô hướng của x và y

kxkX Chuẩn của x trong không gian X

J Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J của không gian Banach E

A∗ Toán tử liên hợp của toán tử tuyến tính A

D(A) Miền xác định của toán tử A

xk → x Dãy {xk} hội tụ mạnh tới x

xk * x Dãy {xk} hội tụ yếu tới x

F ix(T ) Tập điểm bất động của ánh xạ T

Mở đầu

Bài toán tìm nghiệm của bất đẳng thức biến phân và tìm điểm bấtđộng cho lớp ánh xạ không giãn đã được nhiều tác giả nghiên cứu Chođến nay các bài toán này vẫn là một trong những vấn đề được sự quantâm của nhiều nhà toán học ở trong nước cũng như trên thế giới

Trong phạm vi đề tài luận văn chúng tôi sử dụng một số phương pháphiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân cũng như phương pháp tìm điểmbất động để kết hợp giữa thuật toán hiệu chỉnh nguyên lý bài toán phụcho bất đẳng thức biến phân nhằm giải quyết bài toán: Tìm nghiệm củabất đẳng thức biến phân là điểm bất động chung cho họ vô hạn các ánh

xạ không giãn trong không gian Hilbert

1.1.1 Bất đẳng thức biến phân cổ điển

Trong luận văn chúng ta luôn giả thiết H là không gian Hilbert thựcvới tích vô hướng và chuẩn được ký hiệu tương ứng là h., i và k.k Cho

C là một tập con lồi đóng trong H Ánh xạ F từ C vào H là một ánh

xạ liên tục Bất đẳng thức biến phân cổ điển của ánh xạ đơn trị đượcphát biểu như sau:

• Bài toán điểm bất động

Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert H và

T : C → C là một ánh xạ liên tục Bài toán điểm bất động của ánh xạđơn trị được phát biểu như sau:

Tìm x∗ ∈ C sao cho:

x∗ = T (x∗) (1.2)

Mệnh đề sau đây cho biết mối quan hệ giữa bài toán điểm bất độngvới bất đẳng thức biến phân cổ điển

Mệnh đề 1.1 Cho C là một tập lồi khác rỗng trong không gian Hilbert

H và T : C → C là một ánh xạ liên tục Nếu ánh xạ F xác định bởi

F (x) := x−T (x) ∀x ∈ C thì bài toán điểm bất động (1.2) tương đươngvới bất đẳng thức biến phân cổ điển (1.1)

Sự tồn tại nghiệm của bất đẳng thức biến phân cổ điển (1.1) phụthuộc vào hàm F và miền ràng buộc C Định lý sau cho ta biết điềukiện tồn tại nghiệm của bài toán (1.1) trong không gian Hilbert

Định lý 1.1 Cho C là một tập lồi, compact của không gian Hilbert H

và F : C → H là một ánh xạ liên tục trên C Khi đó bài toán (1.1) tồntại ít nhất một nghiệm x∗ ∈ C

Trong Định lý 1.1 cần tập C phải là một tập compact Khi tập C

không phải là tập compact thì bài toán (1.1) vẫn tồn tại nghiệm khiđiều kiện bức sau được thỏa mãn Cụ thể ta có định lý sau

Định lý 1.2 Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng trong không gianHilbert H và F : C → H là một ánh xạ liên tục trên C Giả sử tồn tạimột tập compact U khác rỗng thuộc C sao cho: với mọi u ∈ C \ U, tồntại v ∈ U thỏa mãn hF (u), u − vi > 0 Khi đó, bất đẳng thức biến phân

cổ điển (1.1) có ít nhất một nghiệm

Thông thường nghiệm của bất đẳng thức không phải là duy nhất.Tuy nhiên vẫn có điều kiện để đảm bảo cho sự duy nhất của nghiệm

Ta giả sử rằng x1 và x2 là hai nghiệm khác nhau của bài toán (1.1) Khi

đó ta có:

x1 ∈ C : hF (x1), x − x1i ≥ 0, ∀x ∈ C và

x2 ∈ C : hF (x2), x − x2i ≥ 0, ∀x ∈ C

Trong bất đẳng thức thứ nhất ta chọn x = x2 và trong bất đẳng thứcthứ 2 ta chọn x = x1, sau đó cộng vế tương ứng của hai bất đẳng thức

• Ánh xạ F được gọi là đơn điệu trên C nếu với ∀x, y ∈ C ta có:

• Cho X là một tập con lồi đóng trong H Một ánh xạ T của X vào

H được gọi là không giãn trên X, nếu ánh xạ T : X → X thỏa mãnđiều kiện sau: kT (x) − T (y)k ≤ kx − yk ∀x, y ∈ C

• Ánh xạ F được gọi là a-đơn điệu mạnh trên C nếu tồn tại một hằng

số a > 0 sao cho với ∀x, y ∈ C ta có: hF (x) − F (y), x − yi ≥ akx − yk2

• Ánh xạ F được gọi là a-ngược đơn điệu mạnh trên C nếu tồn tại mộthằng số a > 0 sao cho với ∀x, y ∈ C ta có:

hF (x) − F (y), x − yi ≥ akF (x) − F (y)k2

Dễ dàng thấy rằng ánh xạ F là a-ngược đơn điệu mạnh thì ánh xạ F

là một ánh xạ đơn điệu và liên tục Lipschitz Sau đây là phương phápnguyên lý bài toán phụ để tìm nghiệm cho bất đẳng thức biến phân cổđiển trong không gian Hilbert

Phương pháp nguyên lý bài toán phụ được G.Cohen [5] giới thiệu lầnđầu vào năm 1980 khi nghiên cứu bài toán tối ưu Năm 1988, Cohen [5]vận dụng nguyên lý bài toán phụ để xác định nghiệm cho bất đẳng thứcbiến phân cổ điển Để trình bày kết quả đó trước hết chúng ta trình bàyphương pháp nguyên lý bài toán phụ tổng quát

Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert H và

J là một phiến hàm lồi trên H

Bổ đề 1.1 [5] Nếu phiếm hàm J thỏa mãn giả thiết 4 thì bài toán(1.4) tồn tại ít nhất một nghiệm u∗ Hơn nữa nghiệm u∗ là duy nhất nếu

J0 đơn điệu mạnh

Ta cho ϕ : H → R là một phiếm hàm lồi và khả vi Gâteaux Với mỗi

v ∈ C và ε > 0 xác định một phiếm hàm sau:

G : u 7−→ ϕ(u) + hεJ0(v) − ϕ0(v), ui (1.5)

Khi đó, G0(v) = εJ0(v) Do đó nếu v ∈ C là nghiệm bài toán (1.4) thì

v là nghiệm của bài toán:

min

u∈C{ϕ(u) + hεJ0(v) − ϕ0(v), ui} (1.6)

Từ đó dẫn đến thuật toán sau: Cho {εn}n∈N là một dãy số thực dương.Thuật toán 1

(i) Tại bước k = 0, chọn tùy ý ε0 và u0 ∈ C;

(ii) Tại bước k = n, biết εn và un, giải bài toán phụ sau:

min

u∈C{ϕ(u) + hεnJ0(un) − ϕ0(un), ui} (1.7)

Gọi un+1 là nghiệm bài toán (1.7)

(iii) Dừng, nếu kun+1− unk nhỏ hơn một ngưỡng nào đó Ngược lại,

ta quay trở lại bước trước

Sự tồn tại nghiệm của bài toán (1.4) và (1.7) được trình bày trongđịnh lý sau:

Định lý 1.3 [5] Giả sử các điều kiện sau thỏa mãn:

(i) Phiếm hàm J thỏa mãn giả thiết 4;

(ii) J là một phiếm hàm lồi, với đạo hàm Gâteaux J0 là một ánh xạ

L-liên tục Lipschitz trên C;

(iii) ϕ là một hàm lồi, với đạo hàm Gâteaux ϕ0 là ánh xạ b-đơn điệumạnh và B-liên tục Lipschitz trên C

Khi đó, bài toán (1.4) tồn tại nghiệm u∗ và bài toán (1.7) có duynhất nghiệm un+1, với mọi n ∈ N.

Giả sử, nếu εn thỏa mãn điều kiện:

α < εn < 2b

L + β, α, β > 0 (1.8)

Thì dãy {J(un)} giảm nghiêm ngặt ( trừ khi un = u∗, ∀n ∈ N)và

hội tụ tới J (u∗) Hơn thế nữa, mọi điểm tụ yếu của dãy {un} là nghiệmcủa bài toán (1.4)

(iv) Nếu giả thiết thêm rằng J0 là một ánh xạ a-đơn điệu mạnh trên

C, thì dãy {un} hội tụ mạnh tới u∗ và u∗ là nghiệm duy nhất của bàitoán (1.4) và ta có:

Để tìm nghiệm cho bất đẳng thức biến phân cổ điển (1.1) Cohen [6]

đã tiến hành như sau Lấy tùy ý u0 ∈ C và ε0 > 0, xét bài toán phụ:

min

u∈C{ϕ(u) + hε0F (u0) − ϕ0(u0), ui} (1.10)

Gọi u1 là nghiệm của bài toán (1.10) Thay u0 và ε0 bởi u1 và ε1 để tìm

u2 Tiếp tục quá trình đó dẫn đến thuật toán sau:

Thuật toán 2

(i) Tại bước n = 0, bắt đầu với u0 và ε0;

(ii) Tại bước thứ n, giải bài toán phụ:

min

u∈C{ϕ(u) + hεnF (un) − ϕ0(un), ui} (1.11)

Ký hiệu un+1 là nghiệm bài toán (1.11)

(iii) Dừng, nếu kun+1− unk nhỏ hơn một ngưỡng nào đó, nếu không,

ta quay trở về bước trước

Chú ý 1.1 Tại mỗi bước lặp của thuật toán trên, un là nghiệm duynhất của bất đẳng thức biến phân:

hFn(un), u − uni ≥ 0 ∀u ∈ C,

ở đây, Fn là xấp xỉ của F, với

Fn(u) = εnF (un) + ϕ0(u) − ϕ0(un) ∀u ∈ C

Ta có định lý sau:

Định lý 1.4 [6] Cho H là một không gian Hilbert, C là một tập lồiđóng khác rỗng của H Giả sử ánh xạ F : C → H thỏa mãn các điềukiện sau:

(i) F là ánh xạ liên tục trên C;

(ii) F là ánh xạ a-đơn điệu mạnh trên C

Khi đó, bài toán (1.1) có nghiệm duy nhất u∗ Nếu giả thiết thêm rằng:(iii) ϕ : C → R là phiếm hàm lồi và khả vi Gâteaux;

(iv) ϕ0 là ánh xạ đơn điệu mạnh với hằng số b trên C

Thế thì bài toán phụ (1.11) có duy nhất một nghiệm un+1 Hơn nữa, nếu:(v) F là ánh xạ L-liên tục Lipschitz trên C và 0 < εn < 2abL2 thìdãy nghiệm {un} của bài toán phụ (1.11) hội tụ mạnh tới nghiệm u∗ củabài toán (1.1)

chung cho một họ ánh xạ không giãn

Trước khi trình bày một số phương pháp lặp để tìm điểm bất độngcủa lớp ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert, chúng ta sẽ giớithiệu ánh xạ không giãn và sự tồn tại điểm bất động của lớp ánh xạ nàytrong không gian Hilbert

• Cho X, Y là hai không gian Banach Ánh xạ T : X → Y đượcgọi là d-compact, nếu {xn} là một dãy bị chặn trong X sao cho dãy

{T (xn) − xn} hội tụ mạnh thì tồn tại một dãy con {xnk} của dãy {xn}

Định lý 1.5 Cho H là một không gian Hilbert, C là một tập đóng vàgiới nội của H, T : C → C là một ánh xạ không giãn Khi đó, T có ítnhất một điểm bất động trong C.

Định lý sau đây cho ta biết tính chất tập điểm bất động của ánh xạkhông giãn trong không gian Hilbert

Định lý 1.6 Cho H là một không gian Hilbert, C là một tập lồi đóng

và giới nội của H Giả sử rằng T : C → C là một ánh xạ không giãn và

d-compact Khi đó, tập điểm bất động của ánh xạ T là một tập lồi khácrỗng

u ∈ C và dãy số thực {αn}∞n=0 ⊂ [0, 1] sao cho αn = n−θ, θ ∈ (0, 1) ,

thì dãy lặp {xn}∞n=0 xác định bởi (1.12) hội tụ mạnh đến điểm bất độngcủa T

Năm 1977, Lions [8] đã chứng minh sự hội tụ mạnh của dãy lặp(1.12) đến một điểm bất động của ánh xạ không giãn T trong khônggian Hilbert H, khi đó dãy số {αn}∞n=0 thỏa mãn các điều kiện: (L1) :lim

= 0

Năm 1992, Wittmann [12] cũng có kết quả cho sự hội tụ mạnh củadãy lặp (1.12) đến một điểm bất động của ánh xạ không giãn T trongkhông gian Hilbert Khi dãy số {αn}∞n=0 thỏa mãn các điều kiện : (L1),

Giả sử rằng {αn}∞n=0 là một dãy số thực thỏa mãn điều kiện (L1),(L2)

và (L5) Khi đó với u và x0 tùy ý thuộc C thì dãy {αn}∞n=0 xác định bởi:

xn+1 = αn+1u+(1−αn+1)T[n+1]xn, n ≥ 0 (1.13)

trong đó T[n] = Tn(modN ), hội tụ mạnh tới PFu

Từ kết quả của Bauschke [3], sau này lại có một kết quả khác bằngviệc thay đổi điều kiện (L5) bằng điều kiện (L6) : lim

n→∞

αn

αn+N = 1 hoặclim

và (L6), Khi đó với u và x0 tùy ý thuộc C thì dãy {xn}∞n=0 xác định bởi

Năm 1967, Browder và Petryshyn [4] là những người đầu tiên vậndụng phương pháp lặp Mann để đưa ra kết quả hội tụ mạnh cho dãylặp {xn}∞n=0 tới một điểm bất động của ánh xạ giả co chặt trong khônggian Hilbert Kết quả đó được trình bày trong định lý sau

Định lý 1.10 [4] Cho H là một không gian Hilbert, C là một tập lồiđóng bị chặn của H và T : C → C là một ánh xạ λ−giả co chặt Khi

đó với mỗi γ ∈ (1 − λ, 1), dãy {xn}∞n=0 xác định bởi:

Định lý 1.11 [11] Cho H là một không gian Hilbert, C là một tập lồi,compact của H và T : C → C là một ánh xạ λ−giả co chặt Giả sửrằng {αn}∞n=0 là một dãy các số thực thỏa mãn các điều kiện:

và phương pháp lặp Mann để tìm điểm bất động chung cho một họ vôhạn ánh xạ không giãn Trong chương 2 chúng tôi sẽ giới thiệu phươngpháp nguyên lý bài toán phụ hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân cùngmột số kết quả cơ bản đạt được trong phạm vi đề tài

chỉnh bất đẳng thức biến phân

• Bài toán

Cho H là một không gian Hilbert thực, tích vô hướng và chuẩn được

ký hiệu tương ứng bởi h., i và k.k Cho C là một tập con lồi đóng trong

H Ký hiệu hình chiếu của một điểm x ∈ H lên tập C bởi PC(x) Mộtánh xạ A của C vào H được gọi là đơn điệu, nếu

Cho {Ti}∞i=1 là một họ vô hạn các ánh xạ không giãn trên C Bàitoán được nghiên cứu là tìm phần tử

A, đó là bài toán đặt không chỉnh và được hiệu chỉnh bằng bài toánhiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân: Tìm uα ∈ C sao cho

hA(uα) + αuα, uα− vi ≤ 0 ∀v ∈ C, (2.3)

ở đây α > 0 là một tham số hiệu chỉnh Xuất phát từ thuật toánhiệu chỉnh (2.3), tồn tại nhiều phương pháp khác nhau để giải (2.1)nếu ta thống nhất về một quy tắc được gọi là nguyên lý bài toán phụ.Nguyên lý này được xây dựng dựa trên việc sử dụng một hàm bổ trợ

ϕ : H → (−∞, ∞), có tính khả vi và lồi mạnh, và một dãy số dương

{εn}n≥1 Với mỗi x ∈ C, ta đưa vào bài toán phụ

• Thuật toán cơ bản

(i) Tại k = 1 xuất phát tại điểm z1 và số ε1

(ii) Tại bước k = n, biết zn, tìm zn+1 = z(zn) bằng giải bài toán phụ(2.4) với x thay bằng zn

Mặt khác để tìm điểm bất động chung của một họ vô hạn ánh xạkhông giãn Ti trên một tập con lồi đóng C, Takahashi đưa ra một ánh

xạ W, sinh bởi Tn, Tn−1, · · ·, T1 và γn, γn−1, · · ·, γ1, là những số thực,như sau:

Un,n+1 = I,

Un,n = γnTnUn,n+1 + (1 − γn)I,

Un,n−1 = γn−1Tn−1Un,n + (1 − γn−1)I,

Un,2 = γ2T2Un,3+ (1 − γ2)I,

Wn = Un,1 = γ1T1Un,2+ (1 − γ1)I

(2.6)

Dựa trên những kết quả nêu ở trên, ta sử dụng thuật toán bài toán phụhiệu chỉnh, để giải (2.2) Ta xét bài toán phụ kết hợp với một phươngpháp hiệu chỉnh, để giải (2.2) dưới dạng sau.

Ta bắt đầu với một điểm cho trước z1 ∈ C và tham số ε1 và α1, sau

đó giải bài toán

min

z∈C ϕ(z) + hε1(A1(z1) + α1z1) − ϕ0(z1), zi, A1 = A + αµ1A1,

ở đây A1 = I − W1, µ ∈ (0, 1), đó là số thực, và I ký hiệu là toán tửđồng nhất trong H Phiếm hàm ϕ được chọn sao cho bài toán trên tồntại nghiệm cực tiểu Chúng ta ký hiệu nghiệm đó bằng z2 tiếp tục thaytương ứng ε1, α1 và z1 bởi ε2, α2 và z2

• Thuật toán A

(i) Tại k = 1 bắt đầu với z1, ε1 và α1

(ii) Tại bước k = n ta giải bài toán: Tìm z ∈ C sao cho

min

z∈C ϕ(z) + hεn(An(zn) + αnzn) − ϕ0(zn), zi,

An = A + αµnAn, An = I − Wn

(2.7)

Gọi zn+1 là nghiệm bài toán

(iii) Dừng nếu kzn+1− znk nhỏ hơn một ngưỡng nào đó Nếu không,quay về bước trước

Đối với dãy {εn}∞n=1 và {αn}∞n=1, chúng ta đặt điều kiện sau

• Giả thiết A

Cho {αn} và {εn} là hai dãy số thực , thỏa mãn các điều kiện:(i) 0 < εn ≤ 1; 0 < αn+1 ≤ αn ≤ 1 : αn → 0 khi n → ∞ và

Sự hội tụ của thuật toán (2.7) được chứng minh ở phần tiếp theo.

chỉnh giải bài toán đặt ra

Đầu tiên, chúng ta xây dựng một nghiệm hiệu chỉnh un, bằng cáchgiải bài toán bất đẳng thức biến phân hiệu chỉnh sau: Tìm un ∈ C saocho

Giả thiết rằng song hàm F có các tính chất cơ bản sau

Điều kiện 2.1 Song hàm F cho bởi:

(A1) F (u, u) = 0 ∀u ∈ C

(A2) F (u, v) + F (v, u) ≤ 0 ∀(u, v) ∈ C × C

(A3) Với mỗi u ∈ K, F (u, ) : C → R là liên tục dưới và lồi

(A4) lim

t→+0F ((1 − t)u + tz, v) ≤ F (u, v) ∀(u, z, v) ∈ C × C × C

Mệnh đề 2.1

(i) Nếu F (., v) là h-liên tục với mọi v ∈ C và F là đơn điệu, có nghĩa

là thỏa mãn (A2) trong Điều kiện 2.1, thì U∗ = V∗, ở đây

U∗ là tập nghiệm của F (u∗, v) ≥ 0 ∀v ∈ C,