Ánh xạ nghiệm của bất đẳng thức biến phân phụ thuộc tham số

NGÔ VĂN TIẾN ÁNH XẠ NGHIỆM CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội-2016... NGÔ VĂN TIẾN ÁNH XẠ NGHIỆM CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ

NGÔ VĂN TIẾN

ÁNH XẠ NGHIỆM CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN

PHỤ THUỘC THAM SỐ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội-2016

NGÔ VĂN TIẾN

ÁNH XẠ NGHIỆM CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN

PHỤ THUỘC THAM SỐ

Chuyên nghành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH.Nguyễn Xuân Tấn

Hà Nội-2016

Lời cảm ơn

Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn GS.TSKH.NguyễnXuân Tấn Thầy đã giao đề tài và tận tình hướng dẫn em trong quá trìnhhoàn thành luận văn này

Nhân dịp này em xin gửi lời cám ơn của mình tới toàn bộ các thầy

cô giáo trong Khoa Toán và Phòng Sau Đại học đã giảng dạy và giúp đỡchúng em trong suốt quá trình học tập tại đây đồng thời, tôi xin cảm

ơn các bạn trong lớp cao học K18 Toán Giải Tích đợt 1 đã nhiệt tìnhgiúp đỡ tôi trong quá trình học tập tại lớp

Hà Nội, tháng 6, năm 2016

Tác giả

Ngô Văn Tiến

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan Luận văn là kết quả nghiên cứu của riêng tôi dưới

sự hướng dẫn trực tiếp của GS.TSKH.Nguyễn Xuân Tấn

Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã hiểu được thành quả khoa học củacác nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 6, năm 2016

Tác giả

Ngô Văn Tiến

Lời cảm ơn i

Lời cam đoan ii

Mục lục iii

Mở đầu 3

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 6

1.1 Các không gian thường dùng 6

1.1.1 Không gian Metric 6

1.1.2 Không gian định chuẩn 9

1.1.3 Không gian Hilbert 10

1.1.4 Không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdoff 12

1.1.5 Không gian đối ngẫu 13

1.2 Ánh xạ đa trị 13

1.3 Bài toán tối ưu 15

Chương 2 Ánh xạ nghiệm của bất đẳng thức biến phân suy rộng 17

2.1 Các khái niệm cơ bản 17

2.2 Các kết quả bổ trợ 19

2.3 Các tính chất liên tục của nghiệm bất đẳng thức biến phân suy rộng phụ thuộc tham số 21

iii

2.4 Các trường hợp đặc biệt 29

2.5 Một vài ứng dụng 31

Chương 3 Tính liên tục Holder của nghiệm bài toán biến phân phụ thuộc tham số 35

3.1 Tính chất liên tục Holder của nghiệm của P (θ, λ) 36

3.2 Các kết quả bổ trợ 38

3.3 Chứng minh Định lý 3.1 41

Kết luận 48

Tài liệu tham khảo 49

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Bất đẳng thức biến phân ra đời cách đây hơn 50 năm với các công trìnhquan trọng của G.Stampacchia,P.Hartman,J.L.Lions và F.E.Browder.Hiệnnay có rất nhiều bài báo ,cuốn sách đề cập đến các bất đẳng thức biếnphân và ứng dụng của chúng.Bài toán bất đẳng thức biến phân phụthuộc tham số đang được các nhà toán học quan tâm nghiên cứu rấtnhiều và có những ứng dụng quan trong trong nhiều lĩnh vực

Giả sử H là không gian Hilbert thực ,M và Λ là hai tập tham số khácrỗng lấy trong hai không gian định chuẩn nào đó,f : H × M → H làánh xạ đơn trị ,K : Λ → 2H là ánh xạ đa trị nhận giá trị là các tập lồi,đóng,khác rỗng.Xét bất đẳng thức biến phân suy rộng phụ thuộc thamsố:

Tìm x ∈ K(λ) : hf (x, µ), y − xi ≥ 0, ∀y ∈ K(λ), (1)

ở đó (µ, λ) ∈ M × Λ là cặp tham số của bài toán và h., i là ký hiệu tích

vô hướng trong H.Với cặp tham số (¯µ, ¯λ) ∈ M × Λ cho trước ta có thểxem bài toán (1) như một bài toán nhiễu của bất đẳng thức biến phân

Tìm x ∈ K(¯λ) : hf (x, ¯µ), y − xi ≥ 0, ∀y ∈ K(¯λ) (2)Giả sử ¯x là một nghiệm của (2) Chúng ta đi nghiên cứu xem (1) cóthể có nghiệm x = x(µ, λ) ở gần ¯x khi (µ, λ) ở gần (¯µ, ¯λ) hay không vàhàm x(µ, λ) có dáng điệu như thế nào hay ta cần nghiên cứu về ánh xạnghiệm ¯x với sự thay đổi của (µ, λ) Với mong muốn được nghiên cứu vàtìm hiểu sâu sắc hơn về vấn đề này,cùng với sự giúp đỡ tận tình của thầygiáo hướng dẫn GS.TSKH.Nguyễn Xuân Tấn,tôi đã chọn đề tài "Ánh

xạ nghiệm của bất đẳng thức biến phân phụ thuộc tham số"làm luận văn Thạc sĩ của mình

2.Mục đích nghiên cứu

Trình bày một số kết quả về ánh xạ nghiệm của bất đẳng thức biếnphân suy rộng phụ thuộc tham số trong không gian Banach phản xạ vàmột số áp dụng để khảo sát ánh xạ nghiệm của bài toán quy hoạch lồiphụ thuộc tham số

3.Nhiệm vụ nghiên cứu

Trình bày kiến thức cơ bản,ánh xạ nghiệm của bất đẳng thức biếnphân suy rộng

Trình bày tính liên tục Holder của nghiệm bài toán biến phân phụthuộc tham số

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Sự tồn tại nghiệm ,tính liên tục của tập nghiệmtheo tham số và các thuật toán tìm nghiệm của bài toán bất đẳng thứcbiến phân suy rộng phụ thuộc tham số

Phạm vi nghiên cứu: Các cuốn sách và tài liệu liên quan đến đối tượngnghiên cứu

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng kiến thức cơ bản của lý thuyết bất đẳng thức biến phân

6 Dự kiến kết quả nghiên cứu

Luận văn trình bày một cách tổng quan về ánh xạ nghiệm của bấtđẳng thức biến phân suy rộng phụ thuộc tham số

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này chúng ta nhắc lại một số kiến thức cơ bản để sửdụng trong suốt luận văn này

1.1 Các không gian thường dùng

1.1.1 Không gian Metric

Định nghĩa 1.1 ([4],p.33) Một tập hợp X được gọi là một không gianMetric nếu:

• Với mỗi cặp phần tử x, y của X xác định theo quy tắc nào đó một

số thực ρ(x, y)

• Quy tắc nói trên thỏa mãn các điều kiện sau

1 ρ(x, y) > 0 nếu x 6= y ;

ρ(x, y) = 0 nếu x = y (tính tự phản xạ);

2 ρ(x, y) = ρ(y, x) với mọi x, y (tính đối xứng);

3 ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y) với mọi x, y, z(bất đẳng thức tam giác)

Hàm số ρ(x, y) gọi là Metric của không gian và cặp (X, ρ)được gọi làkhông gian Metric.

k

X

i=1

(xi− yi)2

là không gian Metric

Trong không gian Metric ,nhờ có khoảng cách nên ta có thể địnhnghĩa

1 Lân cận:Một hình cầu tâm a ,bán kính r với 0 < r < +∞ trongmột không gian Metric X là tập

B(a, r) = {x : ρ(x, a) < r}

Hình cầu tâm a bán kính r gọi là một r- lân cận của điểm a và mọitập con của X bao hàm một r-lân cận nào đó của điểm a gọi là mộtlân cận của điểm a

2 Điểm trong : Điểm x gọi là một điểm trong của tập A nếu có mộtlân cận của x nằm trong A

3 Tập mở:Một tập là mở nếu mọi điểm thuộc nó đều là điểm trong

4 Tập đóng:Một tập là đóng nếu mọi điểm không thuộc nó là điểmtrong của phần bù của nó.

Bốn khái niệm trên có mối quan hệ mật thiết với nhau,ba khái niệmcòn lại đều suy ra từ một khái niệm cho trước và chúng cùng sinh

ra trên tập X một cấu trúc,cấu trúc này được gọi là cấu trúc tôpô

• Dãy {xn} ⊂ X được gọi là dãy Cauchy nếu ρ(xn, xm) → 0 khi

n, m → 0

• Không gian Metric mà mọi dãy Cauchy đều hội tụ thì đươc gọi

là không gian Metric đủ

• Giả sử A là tập con của X ,khi đó giao của tất cả các tập hợpđóng chứa A gọi là bao đóng của tập hợp A và ký hiệu ¯A

Từ định nghĩa lân cận ta có các định nghĩa sau

• Hình cầu đơn vị đóng trong X được ký hiệu là ¯BX

5 Sự hội tụ:Ta nói một dãy điểm x1, x2, của một không gian Metric

X hội tụ tới điểm x của không gian đó nếu lim

x→∞ρ(xnx) = 0 Ta viết

xn → x hoặc lim xn = x và điểm x gọi là giới hạn của dãy{xn}

6 Ánh xạ liên tục :Cho hai không gian Metric X và Y (Metric trên

X ký hiệu là ρX,Metric trên Y ký hiệu là ρY)

Ánh xạ f : X → Y gọi là liên tục tại điểm x0 ∈ X nếu V là tập mởchứa f (x0) thì

V = {x ∈ X|f (x) ∈ V }

là tập mở của x0 Ánh xạ f được gọi là liên tục nếu nó liên tục tạimọi điểm x ∈ X

1.1.2 Không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.2 ([4],p.180)Một tập X được gọi là một không gianvector nếu :

• Trên X có hai phép toán,phép (+) giữa hai phần tử và phép (.) giữamột số thực (phức) với một phần tử.Các phép toán đó thỏa mãncác tiên đề sau

1 x + y = y + x;

2 (x + y) + z = x + (y + z);

3 Tồn tại một phần tử 0 sao cho : x + 0 = x, ∀x ∈ X;

4 Ứng với mỗi phần tử x ∈ X ta có một phần tử −x ∈ X saocho:x + (−x) = 0;

5 1.x = x;

6 Với α, β ta có:α(βx) = (αβ)x;

7 (α + β)x = αx + βx;

8 α(x + y) = αx + αy

Trong luận văn này ta chỉ xét không gian định chuẩn thực.

Định nghĩa 1.3 ([4],p.186)Cho X là một không gian tuyến tính trêntrường R,hàm số k.k : X → R+ thỏa mãn

1.1.3 Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.4 ([4],p.315) Một không gian vector thực X được gọi làkhông gian tiền Hilbert ,nếu trong đó có một hàm hai biến (x, y) gọi làtích vô hướng của hai vector (x, y) với các tính chất:

1 (x, y) = (y, x);

Trên không gian Hilbert,ta có

• Với mỗi vector a cố định thuộc vào không gian Hilbert X ,hệthức:f (x) = (a, x) Xác định một phiếm hàm tuyến tính liên tục

f (x) trên không gian X với:kf k = kak

Ngược lại ,bất kỳ phiếm hàm tuyến tính liên tục f (x) nào trên mộtkhông gian Hilbert X cũng có thể biểu diễn một cách duy nhấtdưới dạng :f (x) = (a, x) Trong đó a là một vector của X thỏa mãn

kf k = kak

• Mỗi toán tử tuyến tính liên tục A trong không gian Hilbert X xácđịnh theo f (x, y) = (Ax, y) một phiếm hàm song tuyến tính liêntục f (x, y) nghiệm đúng kf k = kAk

Ngược lại bất kỳ phiếm hàm song tuyến tính liên tục f (x, y) nàotrên X cũng có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng f (x, y) = (Ax, y)trong đó A là một toán tử tuyến tính liên tục trên X thỏa mãn

kf k = kAk

1.1.4 Không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương HausdoffĐịnh nghĩa 1.5 ([4],p.372) Cho một tập X bất kỳ Ta nói một họ τnhững tập con của X là một tôpô (hay xác định một cấu trúc tôpô )trên X nếu:

1 Hai tập ∅ và X đều thuộc họ τ

2 τ kín đối với phép giao hữu hạn tức là giao của một số hữu hạn tậpthuộc họ τ thì cũng thuộc nó

3 τ kín đối với phép hợp bất kỳ tức là hợp của một số bất kỳ (hữuhạn hay vô hạn) tập thuộc họ τ thì cũng thuộc họ đó

Một tập X cùng với tôpô τ trên X gọi là không gian tôpô (X, τ )

• Họ các tập mở trong không gian Metric thỏa mãn các điều kiện trênnên các không gian Metric đều là không gian tôpô

• Lân cận của một điểm x trong một không gian tôpô X là bất cứtập hợp nào bao hàm một tập mở chứa x.Nói cách khác V là lâncận của x nếu có một tập mở G sao cho x ∈ G ⊂ V

• Nếu X là không gian tôpô và X là không gian tuyến tính mà haiphép tính liên tục trong tôpô của X,ta nói rằng cấu trúc tôpô vàcấu trúc đại số tương thích với nhau (cùng phù hợp nhau).Khi ấy

X được gọi là không gian tôpô tuyến tính

• Nếu X có họ cơ sở lân cận gốc gồm các tập lồi thì X được gọi làkhông gian tôpô lồi địa phương

• Không gian tôpô (X, τ ) được gọi là không gian Hausdoff nếu vớihai điểm x1 6= x2, x1, x2 ∈ X luôn tồn tại hai tập mở U, V ∈ τ saocho : x1 ∈ U, x2 ∈ V ; U ∩ V = ∅

1.1.5 Không gian đối ngẫu

Định nghĩa 1.6 ([4],p.404) Khi X là một không gian vector tôpô thìtập các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X gọi là không gian đốingẫu của X ký hiệu X∗.Đó là một không gian vector với các phép toán

1.2 Ánh xạ đa trị

Ký hiệu :2Y là họ các tập con của Y

Định nghĩa 1.7 Cho tập hợp X, Y Ánh xạ F : X → Y được gọi làánh xạ đa trị nếu F chuyển x ∈ X thành một tập hợp F (x) ⊂ Y, F (x)

là ảnh của x.Ta có

1 A ⊂ X, F (A) = S F (X), x ∈ A là ảnh của tập hợp A

2 y ∈ Y, F−1(y) = {x ∈ X : y ∈ F (y)} là tiền ảnh của y.

3 B ⊂ Y, F−1(B) = S F−1(y) ⊂ X, y ∈ B là tiền ảnh của B

4 DomF = {x ∈ X : F (x) 6= ∅} là miền định nghĩa của F

5 Graf F = {(x, y) ∈ X × Y : y ∈ F (x)} đồ thị của F

• Cho X, Y là các không gian tôpô F : X → 2Y là ánh xạ đa trị đi

từ X → Y Nếu Graf F ⊂ X × Y là tập đóng thì F được gọi là ánh

xạ đa trị đóng ⇔ (xn, yn) ∈ Graf F, (xn, yn) → (x, y) ∈ Graf F tức

là yn ∈ Graf F (xn) ⇒ y ∈ F (x)

• Cho F : X → 2Y là ánh xạ đa trị ,ta có

(i) F là nửa liên tục trên tại x ∈ domF nếu B là tập mở trong Y

F (x) ⊂ B thì tồn tại lân cận Ux của x : F (x0) ⊂ B, ∀x0 ∈ U

(ii) F là nửa liên tục dưới tại x ∈ domF nếu B là tập mở B ∩F (x) 6=

∅ thì tồn tại lân cận Ux của x :B ∩ F (x0) 6= ∅, ∀x0 ∈ Ux∩ domF

• Cho X là không gian định chuẩn.Ta nói rằng f là hàm Lipshitz trêntập D ⊂ X nếu tồn tại l > 0 sao cho

|f (x) − f (x0)| ≤ l |x − x0| , ∀x, x0 ∈ D

1 Hàm f được gọi là Lipshitz địa phương tại x ∈ X nếu tồn tại

số ε > 0 sao cho f là hàm -Lipshitz trên hình cầu B(x, ε) ∩ D

2 Hàm f được gọi là Lipshitz địa phương trên tập D nếu nóLipshitz địa phương tại mọi điểm của D

1.3 Bài toán tối ưu

([3],p.10) Cho D là một tập khác rỗng của không gian X.Bài toántìm điểm x0 ∈ D thỏa mãn:

F (x0) ≤ F (x), ∀x ∈ D

Ta viết

F (x0) = min

x∈D F (x)

Khi đó nếu tìm được điểm x0 ∈ D sao cho tồn tại lân cận U của x0 để

F (x0) ≤ F (x), ∀x ∈ U ∩ D thì bài toán trên được gọi là bài toán tối ưuđịa phương và x0 được gọi là nghiệm tối ưu địa phương của bài toán.Trong lý thuyết tối ưu,bài toán trên có liên quan mật thiết với một số bàitoán sau:

1 Bài toán điểm cân bằng

Cho D là tập con khác rỗng của không gian X Ánh xạ f : D ×D →R.Tìm ¯x ∈ D sao cho :f (¯x, y) ≥ 0, ∀x ∈ D

2 Bài toán bất đẳng thức biến phân

Gọi X∗ là không gian đối ngẫu của X Lấy x ∈ X, f ∈ X∗ tađịnh nghĩa hx, f i = f (x) là giá trị của f tại x.Cho D ⊂ X là tậplồi,đóng,khác rỗng

∗

∅ : D → RTìm u ∈ D sao cho

hA(u), v − ui + ∅(v) − ∅(u) ≥ 0, ∀v ∈ D.

3 Bài toán điểm bất động

Cho X là không gian Hilbert ,D ⊂ X là tập hợp con khác rỗng

T : D → D là ánh xạ đơn trị Tìm ¯x ∈ D sao cho:T (¯x) = ¯x

4 Bài toán tựa tối ưu loại I

Cho K là tập khác rỗng của không gian Y nào đó Ánh xạ S : D ×

(b) F (y, ¯x, x) ≥ F (y, ¯x, x), ∀x ∈ S2, y ∈ T (¯x, x)

Chương 2

Ánh xạ nghiệm của bất đẳng thức biến phân suy rộng

Chương này được viết dựa trên bài báo [8].Trong chương này chúng

ta sẽ thiết lập một số kết quả về ánh xạ nghiệm của bất đẳng thức biếnphân suy rộng có tham số trong không gian Banach phản xạ

2.1 Các khái niệm cơ bản

Ta ký hiệu X là không gian Banach phản xạ với không gian đối ngẫu

X∗ Chuẩn trong X và X∗ được ký hiệu bởi k.k Ta nhắc lại một số kháiniệm cơ bản sau

• Khoảng cách từ điểm z ∈ X đến A được cho bởi công thức :d(z, A) =inf { kz − xk : x ∈ A} theo quy ước inf ∅ = +∞ và A + ∅ = ∅

• Tập hợp A ⊂ X được gọi là tập lồi nếu với mọi x1, x2 ∈ A, t ∈ [0, 1]thì tx1 − (1 − t)x2 ∈ A

• Vector x∗ ∈ X∗ được gọi là vector pháp tuyến của tập lồi A tại ¯x

• Cho X là không gian lồi địa phương D ⊂ X, f : D → R ∪ { ± ∞}

và epif = {(x, r) ∈ D × R : f (x) ≤ r} Hàm f được gọi là hàm lồinếu epif là tập lồi trong không gian tích X × R

• Cho ϕ : X → R ∪ { ± ∞} là một hàm lồi và x ∈ X sao choϕ(x) 6= +∞ Dưới vi phân của ϕ của x được ký hiệu bởi ∂ϕ(x) vàđược xác định bởi công thức:

∂ϕ(x) = {x∗ ∈ X : ϕ(y) − ϕ(x) ≥ hx∗, y − xi , ∀y ∈ X} (2.2)

• Giả sử F : X → 2X∗ là ánh xạ đa trị Bất đẳng thức biến phân suyrộng xác định bởi ánh xạ F và tập lồi K là là bài toán tìm x ∈ Kthỏa mãn bao hàm thức:

Từ công thức (2.1) suy ra x ∈ X thỏa mãn (2.3) khi và chỉ khi

x ∈ K và tồn tại x∗ ∈ F (x) sao cho:hx∗, y − xi ≥ 0 ∀y ∈ K

Nếu F (x) = {f (x)} trong đó f : X → X∗ là ánh xạ đơn trị thì(2.3) trở thành

Khi đó bài toán tương ứng gọi là bất đẳng thức biến phân xác địnhbởi ánh xạ f và K

• Giả sử (Λ, d) và (M, d) là các không gian Metric và x0 ∈ X, λ0 ∈

Chú ý:x ∈ X thỏa mãn (2.5) khi và chỉ khi x ∈ K(λ) và tồn tại

x∗ ∈ F (x, µ) sao cho :hx∗, y − xi ≥ 0 ∀y ∈ K(λ)

2.2 Các kết quả bổ trợ

Cho G : X → 2X∗ là ánh xạ đa trị Các tập domG := {x ∈ X :G(x) 6= ∅} và graf G := {(x, x∗) ∈ X : x∗ ∈ G(x)} tương ứng được gọi

là miền hữu hiệu và đồ thị của G

Định nghĩa 2.1 Ánh xạ G được gọi là nửa liên tục dưới theo nghĩaHausdoff tại x0 ∈ X nếu với mỗi ε > 0 tồn tại một lân cận U của

x0 trong X sao cho G(x0) ⊂ G(x) + εBX với mọi x ∈ U ,trong đó

BX∗ := {x∗ ∈ X∗ : kx∗k < 1}

Định nghĩa 2.2 Ánh xạ G được gọi là đê-mi liên tục tại x0 ∈ X nếuvới mỗi tập mở V ⊂ X∗ trong tôpô yếu * của X∗ thỏa mãn G(x0) ⊂ V

tồn tại một lân cận U của x0 trong X sao cho G(x) ⊂ V với mọi x ∈ U Gđược gọi là hê-mi liên tục tại x0 ∈ X nếu với mọi v ∈ X, ¯t ∈ [0, 1] vàvới mọi tập mở yếu *.V ⊂ X∗ thỏa mãn G(¯tx0 + (1 − ¯t)V ) ⊂ V tồn tại

δ > 0 sao cho G(tx0 + (1 − t)v) ⊂ V với mọi t ∈ [0, 1] mà |1 − ¯t| < δ.Định nghĩa 2.3 ([11],p.852)Ánh xạ G : X → 2X∗ được gọi là đơn điệunếu với mọi (x1, x∗1), (x2,x∗2) ∈ grG ta có

hx∗2 − x∗1, x2 − x1i ≥ 0 Ta nói G là đơn điệu cực đại nếu G là đơn điệu và không tồn tại ánh

xạ đơn điệu G0 : X → 2X∗ sao cho grG là tập con thực sự của grG0

Bổ đề 2.1 Giả sử G : X → 2X∗ là một toán tử hê-mi liên tục Nếu

U ⊂ domG là tập hợp sao cho với mọi x ∈ U ta có G(x) là tập lồi đóngkhi đó G là hê-mi liên tục tại mỗi điểm x0 ∈ U

Bổ đề 2.2 Giả sử G : X → 2X∗ là một toán tử đơn điệu đê-mi liên tục.Nếu với mọi x ∈ X tập G(x) là lồi đóng thì G là toán tử đơn điệu cựcđại

Bổ đề 2.3 Nếu G1, G2 : X → 2X∗ là các toán tử đơn điệu cực đại thỏamãn điều kiện int(domG1) ∩ domG2 6= ∅ trong đó intD ký hiệu phầntrong tôpô của tập D.Khi đó tổng G1 + G2 : X → 2X∗ xác định bởi côngthức (G1 + G2)(x) = G1(x) + G2(x) cũng là toán tử đơn điệu cực đại

Bổ đề 2.4 ([11],Corollary 35)Nếu G : X → 2X∗ là đơn điệu cực đại vàdomG là bị chặn thì G là toàn ánh ,nghĩa là Ux∈XG(x) = X∗

Định nghĩa 2.4 Ánh xạ G : X → 2X∗ được gọi là đơn điệu chặt nếucho bất kỳ (x1, x∗1), (x2, x∗2) ∈ grG, x1 6= x2.Ta có:hx∗2 − x∗1, x2 − x1i > 0

Nhận xét 2.1 Nếu F : X → 2X∗ là đơn điệu chặt thì bài toán (2.3) có

nhiều nhất một nghiệm.Thật vậy

Giả sử x1, x2 ∈ K là hai nghiệm của bài toán (2.3) Khi đó tồn tại

x∗1 ∈ F (x1), x∗2 ∈ F (x2) thỏa mãn

hx∗1, x2 − x1i ≥ 0, hx∗2, x1 − x2i ≥ 0 Do đó hx∗2 − x∗1, x2 − x1i ≤ 0 Do tính đơn điệu của F ta có hx∗2 − x∗1, x2 − x1i ≥

0 Vì vậy hx∗2 − x∗1, x2 − x1i = 0 Từ tính đơn điệu chặt của F ta suy ra

x1 = x2

Định nghĩa 2.5 Giả sử ω là một hàm số không giảm trên R+ = {t ∈

R : t ≥ 0} sao cho ω(t) > 0 với mọi t > 0 Ánh xạ G được gọi là ω-đơn

điệu nếu với mọi (x1, x∗1) ∈ grG ta có

hx∗2 − x∗1, x2 − x1i ≥ ω(kx2 − x1k) kx2 − x1k (2.6)Nếu ω(t) = α(t), α > 0 thì (2.6) trở thành

hx∗2 − x∗1, x2 − x1i ≥ αkx2 − x1k2 (2.7)Trong trường hợp này G được gọi là đơn điệu mạnh

2.3 Các tính chất liên tục của nghiệm bất đẳng thức

biến phân suy rộng phụ thuộc tham số

Xét bất đẳng thức biến phân phụ thuộc tham số dạng (2.5) ,trong

đó F (x, µ), K(λ), M, Λ được định nghĩa như trong Mục (2.1).Giả sử

(x0, µ0, λ0) ∈ X × M × Λ là bộ ba thỏa mãn điều kiện

0 ∈ F (x0, µ0) + NK(λ )(x0) (2.8)

Kết quả đầu tiên về ánh xạ nghiệm của bài toán (2.5) đối với sự thayđổi của cặp tham số (µ, λ) được phát biểu như sau

Định lý 2.1 Giả sử rằng các điều kiện sau đây được thỏa mãn

(i) Với mọi µ ∈ M, F (., µ) là toán tử đơn điệu cực đại

(ii) Tồn tại lân cận U của x0 sao cho với mọi ε > 0 tồn tại δ > 0 để :Nếu (x1, x∗1), (x2, x∗2) ∈ grF (., µ) ∩ (U × X∗) với µ ∈ M nào đó và

(iv) Tồn tại hàm số β : R+ → R+ thỏa mãn lim

t→0β(t) = 0 lân cận U00của x0 và lân cận V của λ0 sao cho

đó ,do (iii) và (iv) tồn tại các hằng số s > 0, ¯δ > 0 sao cho

λ ∈ B(λ0, ¯δ) tồn tại zλ ∈ K(λ) thỏa mãn

kzλ − x0k ≤ β(d(λ, λ0) < s Do đó ta có K(λ) ∩ B(x0, s) 6= ∅ với mọi λ ∈ B(λ0, ¯δ) Cố định mộtcặp (µ, λ) ∈ W × B(λ0, ¯δ) và xét bao hàm thức

0 ∈ F (x, µ) + NK(λ)∩ ¯B(x0,x)(x) (2.15)

Vì K(λ) ∩ B(x0, s) là tập lồi đóng,toán tử nón pháp tuyến

là đơn điệu cực đại Do (i),F (., µ) cũng là đơn điệu cức đại.Do cách chọn

s ta có ¯B(x0, s) ⊂ int(domF(.,µ)) Vì miền hữu hiệu của toán tử (2.16)

là tập bị chặn và khác rỗng K(λ) ∩ ¯B(x0, s) nên theo Bổ đề 2.3 ,ánh xạ

đa trị

x 7→ F (x, µ) + NK(λ)∩ ¯B(x ,δ)(x) (2.17)