Sức bền vật liệu tập 2

Vectơ trang thái Vectơ trạng thái được xác định bởi các thành phần sau đây : - độ võng tại điểm A của dầm đang xét.. Đó là các thành phần cột của vectơ trạng thái 8^ Như chúng ta đã biết

Chương 17

§ 1 7 -1 Đ ỊN H N G H ĨA V Ể M A T R Ậ N C H U Y Ể N

1 Vectơ trang thái

Vectơ trạng thái được xác định bởi các thành phần sau đây :

- độ võng tại điểm A của dầm đang xét

- góc xoay của mặt cắt ngang tại A

- mômen uốn trên mặt cắt ngang tại A

Qạ - lực cắt trên mặt cắt tại A

1 - một đơn vị không thứ nguyên

Đó là các thành phần cột của vectơ trạng thái 8^

Như chúng ta đã biết giữa các thành phần đó có mối tương quan toán học cụ thể

và

Trong đó y là phưofng trình của đườiig đàn

hổi ơ đây để thuận tiện cho việc tính toán,

ta chọn lại dấu cho tương quan giữa y" và Mx-

Quy ước các chiều trục tọa độ như hình 17-1, với

chiều trục tọa độ đó y" và Mx luôn luôn phù

hợp với nhau Vậy tương quan (1) được viết lại

Một đoạn thanh được xác định bởi hai mặt cắt A, B, vectơ trạng thái ở A và vectơ

như sau :

(17-1)

là một ma trận làm chuyên hóa các phần tử của vectơ trạng thái thành các thành phần của vectơ 8*^, vì vậy được gọi là ma trận chuyển

§ 1 7 -2 Đ O Ạ N T H A N H CHỊU L ự c PH Â N BÔ Đ ỂU

Giả sử có đoạn thanh AB chịu lực phân bố đều

như hình vẽ (h.17-2) Lấy gốc tọa độ ở A Gọi các

(4)

(5)Lấy X - I thì ta sẽ có các trị số độ võng, góc xoay, mômen uốn và lực cắt tại B Từ đó ta

viết lại như sau :

Ta dã xác dịnh được ma trận chuyển klii có tải trọng phân bố đều với J là hằng số

Tronu iriròìig hợp lực pliân bố q bằng khóng thì ma trận chuyên sẽ có dạng :

/-2EJ/EJ

6EJ

r-2EJ/10

-b

§ 1 7 -3 D Ầ M CÓ BƯỚC N H Ả Y

Ta xét trường hợp tại một mặt cắt nào đó có bước nhảy về độ võng, về góc xoay, về mômen uốn hay về lực cắt Ví dụ tại mặt cắt c chẳng hạn Từ điểm c bên trái sang C" bên phải của c ta có

V(- = V(-' + AVq

0)C" = (00 + AcoqMc" = M c + AMcQc' = Qc + < ^ 0 0

Tương quan đó có thể viết dưới dạng ma trận như sau ;

§ 1 7 -4 X ÉT Đ O Ạ N D ẦM c h ị u L ự c T Ậ P TR U N G

Gia sứ có đoạn dầm chiều dài / chịu một lực tập trung tại điểm c cách gốc tọa độ A

một khoáiiíí cách a như hinh 17-4 Viết ma trận chuyển X® để xác định vectơ trạng thái tại

B từ các thành phần vectơ trạng thái A với biểu thức :

00

00

10

- p1

Viết liêiì tiếp ba ma trận :

EJ100

(/ - ạ )' 2EJ

- ạ )EJ

(/ - ạ )' 6EJ

02EJ

( 2 / ) - {H Ý q ì ụ ỷ

' 2 E 7 6 E J 6 E J

2/

100

(2/ r _ q A r

2 E J 2 E J

- q /0

Các thành phần của vectơ trạns thái 8*" là :

Để thuận tiện cho cách viết ta đưa vào các hệ số mềm dẻo của dầm AB với các định

nghĩa như sau :

/công thức :

' du í*F(u,t)dt = í/dt Í^F(u,t)du

J() J(j ' ’ ^ Jo ^

dược cho bởi hai biểu thức tích phân kép của hàm F(u, t)

trải trong tam giác được gạch (hình 17-6)

Vậy ma trận chuyển trong đoạn AB với lực phân bố là :

■t u - a

a EJ(u) đu =

-r/ (/ - u)(u - a )

biểu thức cuối cùng b |( a ) là tích phân kép của hàm

trải trong tam giác được gạch, hình 17-7

u - aẼĨÕI)

BAB = ZPrBAB(a,)+ í “ q (a)B A B (a)da

Số hạng đầu biểu diễn cho mômen của các lực tập trung đối với mặt cắt B trên đoạn

AB Hệ số B^g(a|) để chỉ khoảng cách từ các lực tập trung đó đến B

Số hạng thứ hai là mômen của các lực phân bố Ta dễ dàng thấy :

•/

'0b| = g(0 = £ q ( a ) b | ( a ) d a b2 = g'(/)= jýq(a)b2(a)da b^ = f(/)= í | q ( a ) b3( a ) d a

b4 = g(0 = jý q (a )b 4(a ) d a

(17-15)

'IVone đó b |(a ), b2(a), b3(a), b4(a) là độ dài cụ thể

của những lực phân bố cần thực hiện tích phân trên

dầm AB

Ví dụ có đoạn dầm chịu tải trọng phân bố bất kl

như hình 17-8 Xét trên phân tố dx nhưng đổi biến

thành dt Lực lác động trên phân tố đó là q(t)dt Mômen

của lực đó đối với B sẽ là :

q(t)dt(/-t)Tổng môinen sẽ là :

Hình 17-8

u r ^ A _ f/q(Ll)(/ - ll)(u - g )^

Một cách viết tương tự đối với bnía), b3(a) và b4(cx)

Đ iể ii kiẹ n biên

Với p h ư aig pháp ma trận chuyển ta có thể đề cập đến các điểu kiện biên sau đây ;

k' và h' là các hằng số đàn hồi đãc trưng cuii liên kết

Ví dụ 2 Clìo dầm chịu lực có mặt cắt ngang thay đổi như hình 17-9 Viêì các ma Irận chuyến cứa các đoạn khấc nhau của dầm, từ đó xác định các phán lực và các độ võng tại B, c.

Ta chia dầm thành ba đoạn AB, BC và CD

Chiều rộng b* của mặt cắt bất kì trên đoạn AB có phương trìnli là :

a + 2b + c = ỊỈ dx

0E J(x)

u đóng vai trò của \ v a a = ịr vì lực đặt ở giữa đoạn

Viết lại theo X và a = ^ , sau khi khai triển ta có ;

f/ dx/_

f/ X dx

7 Ẽ Ĩ12/

Eh-'(b2 - b , ) “ CÍ3* = a + 2b + c =

Đưa trị số của M(- và Q q thay vào đây ta có :

('liốì CÙIIÍ? chuyên từ c sang D Ta có :

0)^J = coq + (l^ỉvl(^ + CÍ^IQ q + s'(/)Hay viết gọn lại

0)^ = CO^ + At + A4

Từ dó la có ;

V[J = (Vạ + /<1)ạ + A|) + (ũ)ạ + A7 )/ + A3 + /(Wạ + At + A4) + A5 (Oj3 = 0)ạ + At + A4 + A5

Từ điều kiện biên Vj3 = Vạ = 0 ta tìm thấy :

A| + A-^ + Aị^ + lA ị + 2/Ao

Đặc điểm của bài toán là độ vông tại B, c, K luôn luôn bằng 0 Các lực cắt tại đây luôn

có bước nhảy bằng trị số của phản lực Do đó vectơ trạng thái chỉ cần để ý đến hai thành phần là co và M Dùng íỹ để kí hiệu các vectơ này Ta có ;

Tương quan giữa hai vectơ trạng thái là :

Ta có ;

e* = ĩhvới

Vì độ võng tại i và j luôn luôn bằng không, vậy ta có :

ơ = C0ịa|2 + Miai3 + Qia,4 + bi

P(/ - a)2 2EJ

1 _ ^12^24 = 2aj4

6EJ6EJ ■ 2EJ ■ /3

6EJ

/EJ

- 20

h) Nhịp của dãìii chịu ì ực phân bô' đều

Ta thấy chúng chỉ khác nhau ở bộ phân B Ì Ta có :

q/

EJ6EJ

/0

23EJ 0

- 20

17.3 Một dầm AB có mặt cắt ngang bề rỏiii: b Iha> đoi Ixic nhai (liình 17-16) chióu cao h

là hằng số Gọi b| và 02 là chiều rộng của mặt cắt ở đđu và ớ ngàm Viết ma trận chuyển từ mặt cắt A sang B, từ đó tính độ võng góc xoay tại A và các phản ỉực

ở ngàm

17.4 Viết ma trận chuyển của dầm chịu lực

như hình vẽ (h 17-17) Tính độ võng

và góc xoay tại đầu tự do A

17.5 Cho dầm liên tục như hình vẽ (h.l7 - 18)