Phương trình đạo hàm riêng

N h ữ n g p h à n dổi mới bổ sung này n h ằ m giúp độc già nấm vững chắc hơn các nội dung cơ bàn dã trinh bày trong quyển sách, dòng thời giúp các dộc giả có nhu càu hiểu biết nhiêu hơn

NGUYỀN MINH CHƯONG (chú biên) - HÀ TlẾN NGOẠN

NGUYỄN MINH TRÍ - LÊ QUANG TRUNG

P H Ư O N S T R Ì N H

DẠO HÀM RIÊNG

NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC - 2000

G D - 0 0

L Ó I N Ó I Đ A U

Bộ môn phương trĩnh dạo hàm riêng hay phương trinh Vật lý toán lầ một bộ mòn toán học cơ bản vừa m ang tin h lý thuyết cao vừa mang tỉn h ứng d ụ n g rộng, dược dạy ỏ các trường Đại học Khoa học, Sư phạm, Kỹ thuật^*^ và dược nghiên cứu dào tạo nghiên cứu sinh ỏ các trương áy và ỏ nhiầu Viện chuyên ngành

N gành toán học này dã góp p h ầ n xây dựng lý thuyết chung cho các ngành toán học và khoa học khác R á t nhiêu ngành khoa học (kể cả xá hội), công nghệ dầu phải sử d ụ n g nó Nó có m ặ t và góp phần nãng cao t í n h hấp dẫn lý thú, tính dầy dù sảu sắc, tính hiệu quả giá trị của nhiêu ngành như tối ưu, dieu khiển tối

ưUy t r ò c h ơ i v i p h â n , giải t í c h số, t í n h t o á n k h o a học, k ể c ả c á c

lý thuyết như lý thuyết kỳ dị, tai biến, rẽ nhảnh, hỗn loạn (chaos), .

Ay vậy m à cho dến nay, sách bằng tiếng Việt v'ẻ bộ môn này hãy còn quá ít vĩ vậy quyển sách này đã được N h à x u ấ t bản Giáo dục đưa vào danh sách các ẩn p h ẩ m năm 1999 Quyển sách này so với sách "Lý thuyết phương trĩnh dạo h à m riêng" năm

1995 của N h à xuất bản Khoa học Kỹ thuật có nhiều phhĩi dổi mói, bổ sung N h ữ n g p h à n dổi mới bổ sung này n h ằ m giúp độc già nấm vững chắc hơn các nội dung cơ bàn dã trinh bày trong quyển sách, dòng thời giúp các dộc giả có nhu càu hiểu biết nhiêu hơn về một số hướng nghiên cứu hiện đại ve phương trĩnh dạo hàm riêng tuyến tính.

toán Caucỉiy, bài toán biên, m ậ t dặc trưng, tính dặt đúng của bài toán, phân loại phương trinh, và dặc biệt dã lưu ý giúp dộc giả tiếp xúc ngay vói một số phư ơng trinh cơ bản nhất trong vặi

lý qua dó phan nào dộc già thấy dược vai trò rất quan trọng, rát cãn thiết của lý thuyết phương trinh dạo hàm riêng.

Chương II giói thiệu không gian Lp, không gian Sobolev wị, các tính chát, các định lý nhúng Đây là các không gian rát thường gặp trong ìiãu hét các khoa học, công nghệ, dặc biệt, vói p = 2 Chương III, IV, V đe cập đến các phương trĩnh elliptic, hyperboỉic, parabolic cấp hai đơn giản nhát, gần như chỉ mỏ rộng chút it các phương trĩnh Laplace, p h ư ơ n g trĩnh sóng và phương trinh truyền nhiệt Một giáo trĩnh ban đàu nào u'ê phương trinh dạo hàm riêng củng dê cập đến ba loại phương trĩnh này ơ đăy có nâng cao hơn một ít, dặc hiệt, có xét dến nghiệm suy rộng trong không gian Sobolev.

Chương VI trinh bày một lớp bài toán biên tồng quát nhầm dẫn dến một số kết quả nghiên cứu gan dây Đảy la chương dành cho những độc giả muốn tiếp xúc với m ột số hướng nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng tuyến ti n h hiện dại Thông qua một

só kết quả mói nhát trong mỗi hướng nghiên cứu và một số sách báo có liên quan mà chúng tôi dã giới thiệu trong danh sách các tài liệu tham khảo, dộc giả có thể tự thấy những bài toán, những vấn d'ê còn mỏ d ể tiếp tục p h á t triển và di sảu nghiên cứu.

Chúng tôi tập trung giói thiệu các hướng nghiên cứu v'ê toán

tủ giả ui phân (tổng quát hơĩi là toán tử tích phân Fourier), là một lóp toán tử bao trủm rất nhiầu lóp các phương trình vi phân tích phăn, kỳ dị dạo hàm riêng tuyến tính, bản thân nó mang một giá trị khoa học tổng hợp rát cao, đồng thời lại là một công

cụ cực kỳ m ạnh mẽ và uyền chuyền trong việc nghiên cứu các bài toán tuyển tính và phi tuyến N ếu gắn vói nó lý thuyết sóng nhỏ,

lý thuyết xáp xỉ sóng nhò và lý thuyết p h ổ thì giả trị lý thuyết củng như giả trị thực tiễn càng cao vĩ rát nhiều lỉnh vực nghiên

cứu, thực tiễn, dặc biệt các lỉĩiỉi vực có Liên quan dến xử lý tin hiệu, hình ảnh, v.v dềỉi CÕ-ÌI dến các lý thuyết này, nỉmt là dối với các hướng nghiên cứu khoa học công nghệ mủi nhọn kiện nay của dát nưóc như khai thác d'ầu khi, khai thác khoảng sản, ỉiải sàn, hài dương học, kh í tượng tliùy vãn, địa chấn học, sinh học, v.v

So VÓI sách "Li thuyết phương trinh dạo hàm riêng" năm 1995, chúng tôi dưa thêm vào 2 hưóng : phương trinh giả vi phân trẽn trường số p-adic và trên da tạp với mục tiêu như đã nói bên trên Trừ cỉiương VI m ang nhiều tinh chát giói thiệu tổng quan, ỏ mỗi chương dều có đe ra nhieu bài tập vừa dể ứng dụng lý thuyết, vừa đ ể bổ sung lý thuyết, n h ầ m giúp dộc giả nắm vững chắc và dầy dủ hơn các nội dung đã trình bày Sau cũng trưóc khi giới thiệu cấc tài liệu tham khảo chúng tôi cũng dã cho đáp số các bài iập dã ra, hoặc hướng dản lời gidí, hoặc CỈIO lời giải một aó bàỉ tập.

Chúng tôi tràn trọng cảm ơn N h à xuất hản Giáo dục dã cổ

vũ và tạo diêu kiện đ ể quyển sách được ra dời phục vụ sớm, dặc biệt là Tiến sỉ Phạm Phu dã giúp các tác giả rất nỉiieu trong quả trinh làm sách.

Hà nộiy Xuân 1999

C Á C T Ả C GIÀ

Partial differential equations (PDE) or Equations o f Mathematical Physics form one o f basic domain o f research o f Mathematics, which has luiderange o f application, both in tỉieory and practice This subfect has been taught in various uniưerties, colleges and many other institutinos I t is very helpful and indis- pensable in many other areas not only o f mathematics, physics and other natural sciences and technology but also in social studies ỉ t appears and plays an important role in optimization, optimaỉ controỉ, dfferential games, numerỉcal analysis, scientific computing, and also in such theories, as singularity, catastrophe, bifurcation, chaos,

Hoỉvever up to now there is uerỵ few books on PDE in Vietnamese

so the Education Publishing House is pỉaning to pubỉish this book

by the year 1999 the present book differs from the 1995 one "theory

o f PDE" pubỉished by the Science and Technics Publishing House

by many revisioĩis and expansions, the latter aims to help the readers to have a thorough understanding o f concepts introduced

in the book, and also, regarding more advanced readers, to provide some current research in linear PDE.

This book consists o f 6 chapters.

ỉn chapter ĩ we give some preliminary definitions and concepts, usually treated in PDE, such as Cauchy problem, boundary value problems, characteristic surfaces, weỉl “ posedness o f the probỉem, classification o f equations, and especially we in troduce the readers ivitỉi most basic equations in theoritical Physics, tuhich shoius the important character o f PDE.

In chapter I I we introduce L^-spaces, Soboỉev w^^-spaces, embedding theorems and various properties These are very common spaces Lvhich appear in many areas o f S c i e n c e and technology, especially for p =2.

In chapters IIĨ, w , V the simplest equations of elliptic, hyperbolic

an parbolic o f second order are considered, which generalize a little bit the Laplace equation, ivaưe equation and equation o f heat conduction A n y introductory course on PDE should incldude the reatment of these three equations Here we give it a niore advanced consideration, namely by discassing generaỉized solutions in Sobolev spaces.

Chapter VI deals ivith a class o f boundary value problems in general case luhich aims toward some recent researchs This chapter

is intended for readers who loish to he fam iliar loith some current rasearch in linear PDE The readers may, through the bibliography

at the end o f this book, fin d appropriate open poblems and research

to study deeper We make emphasis on the study o f pseudodifferential operators O-VDO) (more general, the Fourier integraỉ operators), ivhich couer a wide class o f ordinary differential equations, singular integraỉ equations, PDE This theory is itself

o f great valuabole synthetic one and at the same time is very powerfuỉ and fĩexible tool to study linear and nonlinear boundary value problems ỉ t will be of great importance, both in theory and practice, i f one makes use o f ỉvith spectral theory, luavelets and their approximations, since they seem to be very useful in

i n v e s t i g a t i n g m any areas of Science and t e c h n o l o g y e s p c i a ỉ l y the areas, concerning signal and image P r o c e s s i n g and the asreas of the main research directions of our country.

We introduce Ếwo ĩteu) directions o f reseasch (which differs from the 1995 book "Theory o f DPE" :

^^DO over p-adics and 071 manifolds Except for ckapter Vĩ which has an overvỉeiv character there are given many exercices and problems after each chapter or the* readers to check their under- standing o f the concepts introduced, we give aỉso ansiuers

or hints to these probỉems and exercices before introducing the References.

We'd like to thank Education Publishing House luhich encouraged and made all possibỉe for the book to see the ligỉit in

a short period o f time, especialỉy Dr Pham Phu for great help in preparing for publishing.

Hanoiy Sprỉng 1999

T H E AƯTỈỈORS

C h u ơ n g I

MỘT SỐ VẤN ĐÊ C ơ BẢN

1 Đ ịn h n g h ỉa p h ư ơ n g trìn h đ ào hàm r iê n g tu y ến tín h

Trong nhiều vấn đề khoa học và kỹ th u ậ t quá trình nghiên cứu thường dẫn đến việc khảo sát các phương trìn h co dạng sau đây :

tro n g đd f là m ột hàm (hoặc một vectơ hàm) đã biết trong miền

Q c A là m ột toán tử vi phân tuyến tính tác dụng trong Q,

tức là toán tử có dạng

\a với a = (ap và ơị là những số nguyên khồng âm ;

Dễ dàng thấy rằng khi các hệ số đủ trơn thì phương trình (1)

m tùy ý Tuy nhiên những bài toán x u ất hiện trong nhiều lỉnh

vực khoa học, đặc biệt là trong vật lý “ toán thư ờng dẫn đến phương trìn h đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2 (m = 2), do đó

việc nghiên cứu các phương trìn h đạo hàm riêng cấp 2 có ý

nghĩa khá quan trọ n g về m ặt ứng dụng Để làm ví dụ, dưới đây

ta sẽ nêu ra một số bài toán cụ thể

2 VÍ d ụ v ề p h ư ợ n g trìn h d ạ o hàm r iê n g tu y ế n tín h và

v a i trò c ủ a c h ú n g tr o n g k h o a h ọ c

Thế giới tự nhiên cũng như xã hội luôn biến đổi tro n g không gian và theo thời gian Ndi cách khác những đặc trư n g của các đối tượng khoa học là hàm của không gian và thời gian và những yếu tố khác Do vậy việc nghiên cứu quá trình động của tự nhiên cũng như xã hội thường dẫn đến việc khảo sá t m ột hay nhiểu phương trìn h đạo hàm riêng một khi các đặc trư n g của đối tượng nghiên cứu đã được định lượng hóa bằng các đại lượng toán học

Về m ặt lịch sử, việc mô hỉnh hốa một đối tượng nghiên cứu bằng toán học được thực hiện sớm n h ấ t trong vật lý lỹ thuyết

và hốa học lý thuyết Trong những năm gẩn đây xu hướng mô hình hóa bằng toán học được mở rộng sang nhiều lỉnh vực khoa học khác như sinh học, kinh t ế học, v.v Dưới đảy t a sẽ đưa

ra một số phương trìn h đạo hàm riêng xuất hiện tro n g vật lý

lý thuyết

Trong vật lý iý thuyết, các phương trỉn h đạo hàm riêng có

thể x u ấ t hiện như là hệ quả của các nguyên lý cơ bản của vật

lý m à cũng cd th ể đóng vai trò như là các định luật cơ bản

Các ví dụ trong các niục 2A, 2B và 2C thuộc loại thứ nhất Các

ví dụ tro n g các niục 2D, 2E và 2G thuộc loại thứ hai

2 A Lv thuyết dàn hòi Phương trinh mô tả dao dộng dàn hồi

cùa một thanh vật chát.

C hung ta xét một th an h đàn hồi th u ầ n n h ất với diện tích

thiết diện s và được làm từ vật liệu cd m ật độ p Tầ hướng trục

tọa độ X dọc theo thanh này (h.la) và sẽ coi rằng mỗi thiết diện

X+Ai

Hình 1

chuyển dịch chỉ theo phương của trục X Tầ xét thiết diện m à

tại thời điểm ban đấu tọa độ của nđ là X ta ký hiệu u(t, x) là

độ dịch chuyển theo chiều dọc tại thời điểm t của thiết diện đổcủa th a n h , v ì các điểm của thiết diện tạ i vị trí cân bằng cố tọa

theo dõi sự chuyển động của một mẩu th an h nằm ở vị trí cân

bằng trê n đoạn [x, X + của trục X Ta bỏ qua tấ t cả những

lực ngoài tác động trên nd trừ các lực đàn hổi xuất hiện trong

các th iế t diện nối m ẩu ấy với phẩn còn lại của thanh Ta sẽ tìm

các lực đàn hổi này Chú ý là tại thời điểm t mẩu được xét có

độ dài l — u(t, X A^) - u(t, x) + và nđ dãĩi ra so với vị

trí cân bằng \k ầ,Ị — u(t, X Ax) - u(t, x) nên độ dãn tương đôi

của nd cd dạng

u(Ế , X + Ax) ~ u(t, x)

Chuyển qua giới hạn khi 0 chúng ta sẽ n h ận được độdãn tương đối vô cùng bé của mẩu được đặt tại điểm cđ tọa độ

X ở vị trí cân bằng sẽ là x) = 9u(x, t)/ dx (trong lý thuyết

đàn hổi đại lượng này gọi là độ biến dạng), theo định luật Hook,

lực đàn hổi F tác dụng lên thiết điện xét trê n nửa trá i của thanh (h.lb) bằng ESUj^ (t, x)^ trong đđ hệ số E đặc trư n g cho tính

chất đàn hồi của vật chất tạo nên thanh, được gọi là môđun Young Như vậy, trên m ẩu đang xét của th a n h có các lực tác

dụng là ESu^ (t, X + (phải) và - ESu^(t, x) (trái) Do đố lực

ngoài toàn phần bằng ES[u^{t, X + A^) - x)]

x+Ax

Vì xung lượng toàn phần của mẩu này là J/>Sii^(t, Ệ)d| nên

X

theo phương trỉnh Newton ta có

— J / S u j ( t ,|) d | = ES[u^(t, x) + Aj^) - Ujjd(t, x)]

2B Nhiệt dộng lực và phương trinh truyền nhiệt

Ta xét một môi trường th u ầ n n h ấ t gồm niột chất có m ật độ p trong không gian ba chiều Giả sử u(t, x) là nhiệt độ của môi

trường này tại điểm X E R-^ tại thời điểm t Ta sẽ coi u ỉà hàm

đủ trơn của t và X Để tìm phương trình đối với u ta dựa trên

định luật tru y ẽn nhiệt Fourier : Nếu mảnh nhỏ có diện tích AS

đã được cho thì theo hướng pháp tuyến n đối với mảnh này sauthời gian At bé lượng nhiệt được truyền qua nó ìà

dn

trong đó k là hệ số, phụ thuộc vào chất đang xét và được gọi

là hệ số tru y ền nhiệt Giả sử Q là thể tích cùa môi trường đang

xét (miền bị chặn với biên trơn từng m ẩu trong R^) Định luật bảo toàn n ăn g lượng tro n g Q trên đoạn thời gian [t, t + At]

cđ dạng

t + A t

J C[u(t + A t , x) ~ u(t,x)pdx = / / k T— dSdt,

tro n g đó c là nhiệt dung của chất đang xét, 9Q là biên của miền

£2, n là pháp tuyến ngoài đối với 'ôQ, dx là phần tử th ể tích

thông thường trong R^ Theo công thức O strogratski thì vế phải của đẳng thức trên có th ể chuyển về dạng tích phân bội :

t + Al

J J kAudxdt,

^ Q

trong R^ Bây giờ, nếu chia cả hai vế cho At và cho th ể tích của miền Q, sau đđ chuyển qua giới hạn khi At -> 0 và miển Q

đ ư ợ c t h u v ề đ i ể m X t h ì t a s ẽ n h ậ n đ ư ợ c p h ư ơ n g t r ì n h t r u y ễ n n h i ệ t

trong đó a?- — kicp Với cách giải thích thích hợp hàm u và hệ

số a phương trình này cũng mô t ả quá trìn h khuếch tán trong

c h ấ t lỏng và chất khí

2C Phương trinh Laplace, phương trĩnh Poisson và p h ư ơ n g trình Heỉmhoỉtx.

Việc nghiên cứu các quá trìn h vật lý thường dẫn đến phương trìn h dạng

trong đó u = u{x), X G A = + Ỡ^/0X2 + + / 0X^ là

toán tử Laplace, f là niột hàm đã biết.

Phương trình (6) được gọi là phương trìn h Poisson Khi f “ 0 thì (6) được gọi là phương trìn h Laplace

Ngoài ra còn cd một phương trìn h cũng thường gặp, đó là

phương trình Helmholtz có dạng

với à > 0

Vé m ặt toán học, phương trìn h Helmoholtz xuất hiện khi xét

các phương trình sdng (xem ở ví dụ 2A) với các nghiệm có dạng đặc biệt u(x)e^^^j với (O = (kịc) hoặc khi xét các bài to án phổ,

chẳng hạn bài toán về giá trị riêng của toán tử Laplace

2D Lý thuyết trường điện từ và các phương trĩnh Maxivelỉ

Trong các ví dụ ỏ mục trước, các phương trìn h đạo hàm riêng

đã được suy ra như là hệ quả của các định luật cơ sở của vật

lý, cụ th ể là các định luật của lý thuyết đàn hổi và lý thuyết

truyễn nhiệt Ngoài ra, như đã được nối ở trên, có nhiểu phương

trìn h đạo hàm riêng không phải được suy ra từ nguyên lý cơ sở nào m à chính chúng đóng vai trò của các nguyên lý cơ sở v í

dụ, ta hãy xét một trường điện từ cổ điển Nhiều thực nghiệm

cho thấy rằng một trường điện từ cổ điển bao giờ cũng có th ể

mô tả bằng hai vectơ E = (Ey Ẽ 2 E^) gọi là vectơ điện trư òng

và H — (H^, Ỉ Ỉ 2 , H ỷ gọi là vectơ từ trường Bài toán đ ặt ra như sau : Trong một môi trường có độ cảm điện môi E và độ

cảm từ ỊẦ co đặt m ột hệ điện tích với m ật độ p và m ột dòng

điện với cường độ Hãy tìm các vectơ điện trường và từ trường sinh ra Nhiểu thí nghiệm dẫn Maxwell đến kết luận rằn g cường

độ điện trư ờ n g và từ trường tuân theo các phương trình sau đây :

trong đó D = eE, B — ịiiH, j = ỡE + với c là tốc độ ánh

sáng tro n g chân không, õ là độ dẫn riêng.

2E Cơ học lượng tử không tương dối tính và phương trình Schrổdinger

Trong ví dụ ở mục trê n ta thấy rằn g để mô tả trường điện

từ cần hai đại lượng vectơ là cường độ điện trường E và cường

độ từ trư ờ n g H Trong cơ học cổ điển người ta thấy rằng trạn g

thái của m ột h ạ t vĩ mô hoàn toàn cd th ể mô tả bằng qũy đạo của nó, nghĩa là bằng cách tìm được sự phụ thuộc của tọa độ của h ạ t theo thời gian Để làm điều đo cần phải giải phương trìn h Newton, với lực tác dụng lên hạt và khối lượng của hạt xem như nh ữ n g đại lượng đã biết Khi tìm ra điện tử người ta nghĩ rằn g cũng cđ th ể mô tả chúng theo cách đó í t lâu sau người ta p h át hiện ra rằn g khi cho điện tử đi qua một m àng chắn cd m ột lỗ hẹp thì ảnh chụp cđ dạng giống như bức tranh giao thoa của các sổng N hững quan sá t đố dẫn các nhà vật lý đến kết luận rằ n g không th ể mô tả chuyển động của điện tử bằng qủy đạo như đối với các h ạt vĩ mô m à cẩn phải mô tả

chúng bằn g một hàm của tọa độ và thời gian ĩp(x, t), X G R^

H àm này gọi là hàm sóng với nghĩa rằn g : \\p(x, t)\'^ là m ậ t độ

xác su ất để tại thời điểm t ta tìm thấy nó tại X Vấn đề tiếp

theo là làm th ế nào tìm được ụ>(x, t) Cũng như Maxwell, sau

nhiều suy đoán Schrỏdinger cho rằ n g nếu điện tử chuyển động

tro n g m ột trư ờng V(x) thì hàm sống của ĩiđ phải là nghiệm của

phương trìn h có dạng

P hư ơ ng trìn h (8) được gọi là phương trình Schrỏdiner cho

điện tử chuyển động tro n g trư ờng V(x), với h là hằng số Plank,

m là khối lượng của điện tử.

Phư ơ ng trỉn h (8) có th ể viết dưới dạng

tro n g đố

ôt

được gọi là toán tử Schrodinger Về m ặ t vật lý no cổ ý nghĩa

là toán tử n ăn g lượng hạt

N hữ ng th à n h công tro n g việc dùng phương trìn h (8) đối với điện tử cho phép các n h à vật lý p h át triể n nguyên lý tổng quát

sau đây : Hệ N h ạ t không tương đối tính được mô tả bằng hàm sđng rp ( X j, , t) và hàm sống đ đ phải là lời giải của phương

trìn h Schròdinger (9), nhưng với H có dạng tổng q u át hơn (*) 2G Cơ học lượng tử tương đối tính, phương trinh sóng, phương trĩnh Klein ~ Gordon - Fok và phương trĩnh Dirac

Cho đến nay phương trỉnh Schròdinger vẫn được xem là phương trìn h cơ b ả n mô tả chuyển động của các hệ vi mô cd vận tốc r ấ t nhỏ so với vận tốc á n h sáng Đối với các h ạt hoặc

hệ h ạ t chuyển động với tốc độ cỡ tốc độ ánh sáng thỉ các phương trìn h mô tả chuyển động của chúng phải tu â n theo những nguyên

lý cơ bản của ỉý thuyết tư ơ n ^ đối Nói cách khác, các phươngtrìn h đó cần phải bất biến đối với các phép biến đổi của nhómPoincaỉ'e.

Một trong những phương trìn h thỏa m ãn điểu kiện đó là

(10)

trong dó u = u(t, x), t G R, X G R" và

A = / dxị + / dxị + 9^ / dxị

với c là tốc độ ánh sáng

Phương trìn h (10) được dùng để mô tả h ạ t cố khối lượng

m ~ 0 (photon), nd là dạng riêng của phương trìn h sóng quen biết, trong đó

là toán tử D alam bert (hoặc còn gọi là to á n tử sdng)

Đối với các h ạ t cố spin 1/2 và các p h ản h ạ t tư ơng ứng Dirac

đề nghị dùng phương trỉnh

mc\ip — 0

ờx ì ^

= 0trong đố (fi - 0, 1, 2, 3) được gọi là các m a tr ậ n D irac và

thòa m ãn hệ thức

ĨRUNG TẦM ĨHÓNG TÌN THƯ VIỆN

TÍNH ĐẶT ĐÚNG CỦA BÀI TOÁN

1 Đ iều k iện ban 'đẩu và d iều k iện b iê n

Thông thường các mô hình toán học được tạo ra đã phản ảnh các tính chất của các quá trình vật lý trong một phần nào đd của không gian Khi đố mối liên hệ với các quá trỉnh xảy ra ngoài phẩn được tách ra của không gian ta không th ể hoàn toàn không để ý m à cẩn được phản ảnh khi xây dựng mô hình toán học N hững hệ thức được thực hiện giữa các giá trị của các tham biến nghiên cứu và các đạo hàm cùa chúng trê n biên của miền

được gọi là các điầu kiện biên.

Chẳng hạn, nếu thanh được xét có độ dài / mà đầu mút cùa

nó ỏ vị tri cân bàng có tọa độ 0 và ỉ thì các điểu kiện biên trên

mút trái X = 0 có thể có dạng sau đây (h.2) ;

a) u

du

b)

dn

ÒQ.~ ^ (biên được giữ với nhiệt độ đã cho (f) ;

dQ ~ ^ dòng nhiệt qua biên)

Khi nghiên cứu quá trình trong một thời gian thỉ xuất phát của quá trình được xét bắt đầu từ một thời điểm nào đđ Khi

đđ điều cơ bản là việc khởi đầu của quá trỉn h được phản ảnh một phần nào dưới dạng hệ thức giữa các giá trị của các tham

số nghiên cứu và các đạo hàm của chúng tại thời điểm ban đẩu

Các hệ thức này được gọi là các dièu kiện ban đầu

Chẳng hạn, các điểu kiện ban đáu tự nhiên đối với phương trìn h sđng một chiểu cd được nếu cho vị trí ban đầu và tốc độ