Phương pháp phương trình đạo hàm riêng trong mô hình hóa hình học

Kỹ thuật mô hình hóa hình học lập thể dạng tự do sử dụng các đường curves như B-splines, Hermite splines, và NURBS, để xác định các hình lập thể kết hợp với những ích lợi của các bề mặt

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG

LÊ VIỆT ĐỨC

PHƯƠNG PHÁP PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG

TRONG MÔ HÌNH HÓA HÌNH HỌC

LUẬN VĂN THẠ

Chuyên ngành: Khoa học máy tính

Mã số: 60.48.01

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS ĐẶNG QUANG Á

Thái Nguyên 2011

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan Luận văn “ Phương pháp phương trình đạo hàm riêng trong mô hình hóa hình học” là công trình nghiên cứu củ

.TS Đặng Quang Á Kết quả đạt được trong luận văn là sản phẩm của riêng cá nhân tôi, không sao chép lại của người khác Luận văn là kết quả của quá trình học tập, nghiên cứu và làm việc nghiêm túc trong suốt hơn hai năm học cao học Trong toàn bộ nội dung của luận văn, những điều được trình bày hoặc là kết quả nghiên cứu của cá nhân hoặc là kết quả tổng hợp từ nhiều nguồn tài liệu khác Các thông tin tổng hợp hay các kết quả lấy từ nhiều nguồn tài liệu khác thì được trích dẫn một cách đầy đủ và hợp lý Tất cả các tài liệu tham khảo đều có xuất xứ rõ ràng và được trích dẫn hợp pháp

Các số liệu và thông tin sử dụng trong luận văn này là trung thực

Thái Nguyên, ngày tháng năm 2011

Người cam đoan

Lê Việt Đức

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN i

MỤC LỤC ii

DANH MỤC HÌNH VẼ v

MỞ ĐẦU 1

Chương I 4

CƠ SỞ CỦA MÔ HÌNH HOÁ HÌNH HỌC 4

1.1 Hình học đường cong 4

1.1.1 Biểu diễn đường cong 4

1.1.2 Đặc tính của đường cong 5

1.2 Hình học mặt cong 8

1.2.1 Phương pháp biểu diễn mặt cong: 8

1.2.2 Tiếp tuyến và pháp tuyến của mặt cong 9

1.2.3 Độ cong 11

1.3 Phép biến đổi toạ độ 12

1.3.1 Phép biến đổi toạ độ 2D 12

1.3.2 Phép biến đổi toạ độ 3D 14

1.3.3 Phép ánh xạ 15

1.3.4 Khung toạ độ 16

Chương II 19

GIỚI THIỆU PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG TRONG THIẾT KẾ HÌNH HỌC 19

2.1 Tổng quan 19

2.1.1 Các kỹ thuật tạo bề mặt phổ biến trong thiết kế hình học 19

2.1.2 Phương trình vi phân đạo hàm riêng 22

2.2 Các bề mặt hình học PDE 23

2.3 Các bề mặt PDE dạng ẩn 25

2.4 Các bề mặt PDE dạng tham số 26

2.4.1 Phương pháp Bloor- Wilson PDE 27

2.4.2 Hiệu chỉnh phương pháp Bloor-wilson PDE 31

2.4.3 Các bề mặt PDE tham số thu được dựa trên các mô hình vật lý 32

2.5 Ứng dụng của các bề mặt PDE 33

2.5.1 Các thế hệ bề mặt 34

2.5.2 Xử lý bề mặt 34

2.5.3 Phân tích và tối ưu hóa thiết kế 35

2.5.4 Các ứng dụng khác 36

Chương III 38

CÁC PHƯƠNG PHÁP PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG TRONG THIẾT KẾ VÀ MÔ HÌNH HÓA HÌNH HỌC 38

3.1 Tổng quan về GPDE (Geometric partial differential equation) 38

3.1.1 Định nghĩa 38

3.1.2 Khái quát về GPDE 38

3.1.3 Nền tảng toán học của GPDE 39

3.2 Cấu trúc của GPDE 43

3.2.1 Xây dựng GPDE 43

3.2.2 Một số các đường thường được sử dụng để xây dựng GPDE: 46

3.3 Các giải pháp số cho việc xây dựng GPDE 46

3.3.1 Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) 47

3.3.2 Phương pháp sai phân hữu hạn (FDM) 48

3.3.3 Phương pháp tập mức (LSM-Level set method) 49

51

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 52

PHỤ LỤC 54

DANH MỤC HÌNH VẼ

Hình 1.1 : Tham số hoá đường tròn đơn vị 4

Hình 1.2 : Vectơ pháp tuyến chính và đường tròn mật tiếp 7

Hình 1.3 : Hình học mặt cong 9

Hình 1.4 - Đường cong trên mặt cong và mặt phẳng tiếp tuyến 9

Hình 1.5 - Phép biến đổi toạ độ 2D 13

Hình 1.6 - Phép biến đổi toạ độ dưới hình thức hệ toạ độ chuyển động 17

Hình 2.1 Các đường cong biên, Hình 2.2 Bề mặt PDE tương ứng 28

Hình 2.3: Mặt PDE tương ứng với một vỏ sò 29

Hình 2.4: Mặt PDE tương ứng với một chai Klein 29

Hình 2.5 Mặt PDE tương ứng với mặt Werner Boy 30

Hình 2.6 Các mặt PDE tương ứng với bề mặt dạng ống xoắn vào nhau 30

mô hình hóa hình học Các kỹ thuật mô hình hóa hình học lập thể phổ biến bao gồm: xây dựng hình học lập thể (constructive solid geometry, CSG), biểu diễn biên (boundary representation, B-rep), và các khối lập thể dạng tự do tham số(free-form parametric solids), v.v Phương pháp CSG khai thác các tập nửa đại số và các phép toán Boolean nguyên thủy giản đơn, chẳng hạn như hình lập phương, hình cầu, hình trụ, v.v… để xây dựng các mô hình lập thể phức tạp Các kỹ thuật B-rep thường định nghĩa một đối tượng hình học lập thể thông qua một tập hợp các bề mặt biên với các thông tin hình dạng mở rộng Kỹ thuật mô hình hóa hình học lập thể dạng tự

do sử dụng các đường (curves) như B-splines, Hermite splines, và NURBS, để xác định các hình lập thể kết hợp với những ích lợi của các bề mặt biên tự do và hình học nội suy trong một khuôn khổ thống nhất Mặt khác, mô hình tham số PDE(Partial Differential Equation) xác định đối tượng hình học sử dụng các phương trình đạo hàm riêng nhất định với chỉ một vài điều kiện biên Đặc biệt các biến thể của PDE cũng có thể được sử dụng để xác định tham số của các đối tượng lập thể

So với các kỹ thuật thông thường được sử dụng trong mô hình hóa hình học các mô hình PDE có rất nhiều lợi thế:

- Sự tác động của một đối tượng PDE được quy định bởi giá trị biên của các phương trình vi phân do đó các mô hình hình học phức tạp có thể dễ dàng được xác định thông qua các phương trình vi phân bậc cao

- Về nguyên tắc các đối tượng PDE có thể được tái tạo lại từ một tập nhỏ các điều kiện biên Thông tin nội bộ của chúng sẽ được tự động thu hồi thông qua việc giải

các phương trình vi phân Do đó các mô hình PDE yêu cầu ít tham số hơn các mô hình lập thể dạng tự do tham số

- Đặc biệt mô hình PDE có rất nhiều lợi thế so với các kỹ thuật mô hình hóa hình khối thông thường, chẳng hạn như các hoạt động dựa trên các đường, biểu diễn các

bề mặt biên Vì vậy phương pháp PDE có tiềm năng để tích hợp các phương pháp CSG, B-rep v.v vào một khung duy nhất

- Tham số của mô hình PDE cung cấp sự ánh xạ giữa chúng và không gian vật lý

Do đó các mô hình PDE và đặc biệt là các dạng biến thể của chúng có thể cung cấp nguyên dạng tự do biến dạng(free-form deformation, FFD) cho các đối tượng nhúng bên trong các mô hình PDE

- Các đối tượng PDE có thể thống nhất ở cả hai khía cạnh hình học và vật lý trong các mô hình thế giới thực, bởi vậy các yêu cầu không đồng nhất và khác nhau có thể được thi hành và thỏa mãn một cách đồng thời

Ngoài ra phương pháp PDE cũng được sử dụng cho các mô hình dạng ẩn bởi

vì các mô hình dạng ẩn có lợi thế trong việc biểu diễn các đối tượng có hình dạng tùy ý Tuy nhiên, cả hai mô hình sử dụng tham số và mô hình ẩn đều có những mặt mạnh và những hạn chế của riêng chúng Ví dụ các mô hình tham số cung cấp các

mô tả hình dạng tường minh trong khi đó mô hình ẩn lại không có được điều này ngược lại các mô hình tham số gặp khó khăn với việc pha trộn hình ảnh và phát hiện các va chạm mà các mô hình ẩn dễ dàng thực hiện điều này nhờ các hàm ẩn

Do đó, việc cung cấp một cách tiếp cận thống nhất sẽ có nhiều lợi thế của cả hai loại

và dễ dàng đạt mục đích mong muốn trong việc mô hình hóa hình học Hơn nữa, các kỹ thuật đã đề cập ở trên chủ yếu tập trung vào các mô hình hình học thuần túy

Để mô phỏng các đối tượng trong thế giới thực, phương pháp này tốt hơn trong việc kết hợp vật thể và các tính chất vật lý chẳng hạn như mật độ trong biểu diễn hình học Bởi vì nhiều thuộc tính của vật thể có thể được tổng hợp bởi các giá trị vô hướng, các hàm ẩn sẽ là ứng viên lý tưởng trong việc mô hình hóa các tính chất vật

lý này Do đó bằng cách tích hợp các mô hình ẩn với các biểu diễn hình học có thể đạt được các mô phỏng gần với các mô hình trong thế giới thực

Nhận thấy tính thiết thực của vấn đề này và được sự gợi ý của giảng viên hướng dẫn, tôi đã chọn đề tài “ ạo hàm riêng trong

mô hình hóa hình học” làm đề tài cho luận văn tốt nghiệp của mình Luận văn cấu

trúc gồm 3 chương:

Chương 1: Chương này trình bày tóm tắt các kết quả cơ bản của hình học vi phân và phép biến đổi toạ độ sử dụng trong mô hình hoá hình học

Chương 2: Chương này trình bày tóm tắt các kỹ thuật tạo bề mặt trong thiết

kế bề mặt, những ứng dụng của phương trình vi phân đạo hàm riêng (PDE - Partial differential equations) trong các lĩnh vực liên quan đến thiết kế và mô hình hóa hình học

Chương 3: Chương này trình bày về hình học phương trình vi phân đạo hàm

riêng(GPDE- Geometric partial differential equation) định nghĩa, tầm quan trọng, ứng dụng, cấu trúc, nền tảng toán học, các bước xây dựng GPDE và các giải pháp

số trong việc xây dựng GPDE

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS Đặng Quang Á, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành của mình đối với thầy Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo Viện Công nghệ thông tin, Trường Đại học Công nghệ thông tin và Truyền thông - Đại học Thái Nguyên đã tham gia giảng dạy, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập nâng cao trình độ kiến thức Tuy nhiên vì điều kiện thời gian và khả năng có hạn nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót Tác giả kính mong các thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp đóng

góp ý kiến để đề tài được hoàn thiện hơn

Chương I

CƠ SỞ CỦA MÔ HÌNH HOÁ HÌNH HỌC

Trong chương này trình bày tóm tắt các kết quả cơ bản của hình học vi phân

và phép biến đổi toạ độ sử dụng trong mô hình hoá hình học

1.1 Hình học đường cong

Về mặt trực quan, đường cong được định nghĩa như là quĩ đạo điểm thoả mãn một số điều kiện

1.1.1 Biểu diễn đường cong

Về toán học, đường cong có thể dược biểu diễn dưới các dạng:

y = g(x) = (1− x)1/2 : Phương trình tường minh (1.2) Nếu đặt góc θ giữa đoạn thẳng PO và trục x là tham số của đường tròn,ta có:

x = x(θ ) = cosθ ; y = y(θ ) = sinθ : Phương trình tham số (1.3)

Hình 1.1 : Tham số hoá đường tròn đơn vị

Trường hợp đặt góc α tạo bởi PQ và trục x là tham số, thì t = tgα = y /(x +1)

Kết hợp với phương trình (1.1) ta có:

x = x(t) = (1− t 2 ) /(1+ t 2 ) ; y = y(t) = 2t /(1+ t2) (1.4)

Đây cũng là phương trình tham số của đường tròn và được gọi là phương trình tham số đa thức hữu tỷ Quá trình thiết lập phương trình tham số hữu tỷ của đường cong và mặt cong từ phương trình đa thức ẩn được gọi là tham số hoá

Nên biểu diễn đường cong 3D thích hợp dưới dạng phương trình tham số:

x = x(t) ; y = y(t) ; z = z(t)

hay dưới dạng vectơ: r(t) = [x(t), y(t), z(t)]

Theo dạng phương trình tham số, đường cong được định nghĩa một cách dễ dàng bằng cách xác định miền giới hạn của tham số Không thể xác định đường cong 3D bởi phương trình ẩn hay tường minh, bởi vì phương trình ẩn g(x,y,z)=0 biểu diễn mặt cong, do đó cần hai phương trình để xác định đường cong 3D Trong trường hợp này, đường cong được định nghĩa như giao tuyến giữa hai mặt cong

1.1.2 Đặc tính của đường cong

Trong phần này để biểu diễn đường cong, ta sử dụng phương trình tham số

chuẩn tắc: r = r(t) = [x(t), y(t), z(t)]

Đặc tính cơ bản của đường cong, bao gồm:

a Độ chảy của đường cong

b Vectơ tiếp tuyến đơn vị

Hãy tưởng tượng đường cong là con đường và tham số t tượng trưng cho thời gian Như vậy, độ chảy của đường cong tương ứng với tốc độ chạy xe Đại lượng này được sử dụng trong thuật toán nội suy hình học theo phương pháp quét hình

Nếu đặt quãng đường đi được là tham số s, phương trình đường cong dạng r(s) trở thành phương trình tham số tự nhiên với độ chảy bằng 1 Độ chảy của đường cong không phải là đặc tính riêng của đường cong, đó là kết quả của phép tham số hoá

1.1.2.2 Vectơ tiếp tuyến đơn vị:

Cho s là tham số tự nhiên của đường cong r(t), sao cho:

1.1.2.3 Vectơ pháp tuyến chính:

Lấy đạo hàm vectơ tiếp tuyến đơn vị T theo t và chuẩn hoá giá trị, chúng ta

có vectơ đơn vị N, được gọi là vectơ pháp tuyến chính của đường cong:

N = (dT /dt) / |dt/dt| ≡ (dT/ds) / |dT/ds| (1.8)

Vì T là vectơ đơn vị (T.T=1), do đó vectơ N vuông góc với vectơ T (Hình 1.2) Mặt phẳng định nghĩa bởi vectơ T và N được gọi là mặt phẳng mật tiếp Vectơ B vuông góc với vectơ N và T được gọi là vectơ pháp tuyến đôi xác định bởi quan hệ: B = TxN

Hình 1.2 : Vectơ pháp tuyến chính và đường tròn mật tiếp

1.1.2.4 Độ cong và bán kính cong:

Cho s là tham số tự hiên và T là vectơ tiếp tuyến đơn vị của đường cong r(t)

Độ cong được định nghĩa như sau: k = |dT/ds| (1.9)

hay dưới dạng vi phân: k = | ' r''|3

trong đó: y’ ≡ dy / dx ; y’’ ≡ dy’ / dx

Cho đường tròn trên mặt phẳng mật tiếp (Hình 1.2), đi qua điểm hiện thời r(t) và độ cong của nó bằng chính độ cong của đường cong tại điểm này Đường tròn này được gọi là đường tròn mật tiếp, bán kính của đường tròn mật tiếp được

gọi là bán kính cong và được xác định bởi: ρ =1/ k (1.11)

1.1.2.5 Độ xoắn của đường cong:

Độ xoắn của đường cong 3D được định nghĩa như sau: τ = −(dB/ ds).N

trong đó N là vectơ pháp tuyến chính; B là vectơ pháp tuyến đôi Phương trình cơ bản mô tả đặc tính của đường cong 3D được gọi là phương trình Serret-Frenet:

dr / ds = T; dT / ds = kN

dN / ds =τB − kT ; dB/ ds = −τN-1 (1.12)

1.2 Hình học mặt cong

1.2.1 Phương pháp biểu diễn mặt cong:

1 2.1.1 Mô hình mặt cong dạng phương trình ẩn

Cho mặt cầu đơn vị với tâm tại gốc toạ độ Đề các Các điểm phía trong mặt

cầu thoả bất đẳng thức: x 2 + y 2 + z2 -1 < 0 và phương trình: x2 + y2 + z2 -1 = 0 (1.13) biểu diễn các điểm thuộc mặt cầu

Xét một cách tổng quát, phương trình ẩn g(x,y,z) = 0 biểu diễn mặt cong giới hạn bởi hai nửa không gian g(x,y,z) > 0 và g(x,y,z) < 0

1.2.1.2 Mô hình mặt cong dạng phương trình tham số

Theo hình học vi phân, mặt cong được định nghĩa như là ảnh của phép ánh

xạ chính qui tập hợp điểm trong không gian 2D vào không gian 3D và được biểu diễn bởi phương trình: r(u,v) = [x(u,v), y(u,v), z(u,v)], (1.14)

trong đó: u và v là tham số của mặt cong

Đối với hình cầu đơn vị, ta có thể dễ dàng tham số hoá phương trình (1.13)

bằng cách đặt tham số u là vĩ tuyến và tham số v là kinh tuyến của mặt cầu:

r(u,v) = (cosvcosu, cosvsinu, sinv) (1.15) với: 0 ≤ u ≤ 2π và −π / 2 ≤ v ≤π / 2

Tương tự như đường tròn đơn vị có thể tham số hoá phương trình mặt cầu dưới hình thức khác, bằng cách sử dụng đa thức hữu tỷ

1.2.1.3 Mô hình mặt cong dạng phương trình phi tham số

Khi miền xác định của mặt cong là mặt phẳng x - y của hệ toạ độ Descarte (u≡ x,v ≡ y) , mô hình tham số (1.14) trở thành phi tham số:

r(u,v) = (u,v, z(u,v)) hay z = z(x, y) (1.16)

Nếu chỉ xét bán cầu trên của mặt cầu đơn vị thì phương trình (1.13) được biểu diễn dưới dạng tường minh: z = (1 - x2 – y2)1/2 với (x2 + y2) < 1 (1.17)

Hình học mặt cong được minh hoạ trên hình 1.3 Ta thường gọi phần mặt cong trong miền tham số giới hạn là mặt lưới Các mặt lưới liên kết theo điều kiện kết nối liên tục tạo thành mặt cong phức hợp

Hình 1.3 : Hình học mặt cong

1.2.2 Tiếp tuyến và pháp tuyến của mặt cong

Xét đường cong tham số 2D: q(t) trên miền (u,v) của mặt cong tham số

Vectơ tiếp tuyến

Đạo hàm riêng của mặt cong r(u,v) được định nghĩa như sau:

tuyến của đường cong đẳng tham số u = u* , v = v* Ba vectơ tiếp tuyến r’, ru , rv

xác định mặt phẳng tiếp tuyến với mặt cong (Hình 1.4)

Vectơ pháp tuyến

Vectơ pháp tuyến đơn vị n của mặt phẳng tiếp tuyến được gọi là vectơ pháp

tuyến đơn vị của mặt cong tại điểm cho trước và được xác định bởi:

trong đó: Λ = |r u ,r v | ; q’ = dq(t) / dt = (du / dt, dv / dt) = [u’ v’]T Giá trị

vectơ tiếp tuyến được tính như sau:

Áp dụng ma trận cơ sở thứ nhất, ta có thể tính diện tích mặt cong và diện tích

mặt cắt theo công thức đơn giản sau:

S=∬|ruxrv|dudv=∬|G|1/2dudv (1.27)

1.2.3 Độ cong

Ma trận cơ sở thứ hai

Xét đường cong r(t) trên mặt cong r(u,v) (Hình 1.4) từ (1.21), đạo hàm bậc hai của r(t) theo t có giá trị như sau:

r’’ = u’(u’r uu + v’r uv ) + u’’r u + v’(v’r vv + u’r uv ) + v’’r v (1.28)

Thực hiện phép nhân vô hướng với vectơ pháp tuyến đơn vị n của mặt cong với chú ý rằng ru.n = rv.n = 0, ta có:

r’’.n= (u’)2ruun + 2u’v’ruvn + (v’)2rvvn =q’TDq’, (1.29a)

trong đó: q’ = '

'

u v

r’’.n=(s’)2kN.n (1.29b)

Giá trị kN.n ở biểu thức trên được gọi là độ cong pháp tuyến k n Từ các công

thức (1.29) và (1.25), chú ý rằng s’ = |r’| , độ cong pháp tuyến được xác dịnh bởi

Ý nghĩa vật lý của độ cong pháp tuyến như sau:

Tại điểm hiện thời r(u(t),v(t)) trên mặt cong r(u,v), dựng mặt phẳng π đi qua

vectơ tiếp tuyến đơn vị T và vectơ pháp tuyến đơn vị n của mặt cong Độ cong của

đường cong với mặt phẳng π là độ cong pháp tuyến của mặt cong tại điểm r(t) theo phương vectơ q’

; kn2=

2

b b ac a

g

− eh

Với: g1, g2, h, d1, d2, e là các số hạng tương ứng của ma trận cơ sở G và D

Tích giá trị hai độ cong chính được gọi là độ cong Gauss được sử dụng để

biểu diễn độ trơn láng của mặt cong

1.3 Phép biến đổi toạ độ

Mọi phép biến hình trong đồ hoạ điện toán và mô hình hoá hình học đều dựa trên 3 hình thức biến đổi toạ độ cơ bản là dịch chuyển tịnh tiến, lấy tỷ lệ và quay

1.3.1 Phép biến đổi toạ độ 2D

Giả sử điểm P’(x’,y’) là vị trí của điểm P(x,y) sau phép biến đổi toạ độ Toạ

độ (x’,y’) của điểm P’ tương ứng với vectơ dịch chuyển t (tx,ty) (Hình 1.5a); hệ số tỷ

lệ s(sx,sy) (Hình 1.5b); góc xoay θ ngược chiều quya kim đồng hồ (Hình 1.5c) được xác định như sau:

x’ = x + tx ; y’ = y + ty (1.33) x’ = sx.x ; y’ = sy.y (1.34) x’ = xcosθ - ysinθ ; y’ = xsinθ + ycosθ (1.35)

Hình 1.5 - Phép biến đổi toạ độ 2D

Phép biến đổi đồng nhất

Biểu diễn điểm dưới dạng toạ độ đồng nhất cho phép đơn giản hoá và thống nhất hoá biểu diễn các phép biến đổi hình học như phép nhân ma trận Theo toạ độ đồng nhất, điểm trong không gian n chiều được ánh xạ vào không gian (n+1) chiều

Thí dụ điểm P(x,y) trong hệ toạ độ Đề các 3 chiều được biểu diễn dưới dạng toạ độ đồng nhất 4 chiều P’(x’,y’,z’,h) theo mối quan hệ:

P’h = Ph M, (1.37)

trong đó: Ph = (x y 1) ; P’h = (x’ y’ 1)

Ma trận biến đổi toạ độ M tương ứng với phép dịch chuyển (T), phép lấy tỷ

lệ (S) và phép quay (R) có giá trị như sau:

1.3.2 Phép biến đổi toạ độ 3D

Phép biến đổi toạ độ 3D là mở rộng của phép biến đổi toạ độ 2D Toạ độ (x’,y’,z’) của điểm P(x,y,z) sau phép biến đổi toạ độ, tương ứng với vectơ dịch chuyển t (tx,ty, tz); hệ số tỷ lệ s (sx, sy, sz) được xác định như sau:

x’ = x + tx ; y’ = y + ty ; z’ = z + tz (1.38) x’ = sx.x ; y’ = sy.y ; z’ = sz.z (1.39)

Tương tự như đối với trường hợp biến đổi 2D, có thể biểu diễn phép dịch chuyển 3D (1.38) và phép lấy tỷ lệ (1.39) dưới hình thức tích ma trận bởi vectơ toạ độ đồng nhất Ph, P’h, ma trận biến đổi T(S):

P’h = Ph T (1.40a) P’h = Ph S, (1.40b)

quanh trục x x’ = x y’ = ycosθ - zsinθ z’ = ysinθ + zcosθ

quanh trục y x’ = zsinθ + xcosθ y’ = y z’ = zcosθ + xsinθ

quanh trục z x’ = xcosθ + ysinθ y’ = xsinθ + ycosθ z’ = z

Bảng 1.1

Có thể thấy rằng ma trận biến đổi đồng nhất đối với phép quay (Bảng 1.1) có giá trị như sau (C = cosθ ; S = sinθ):

Một cách tổng quát, có thể biểu diễn phép biến đổi toạ độ 3D (chỉ gồm phép

dịch chuyển t và phép quay cơ bản R) bởi ma trận biến đổi đồng nhất H như sau:

(x’ y’ z’ 1) = (x y z 1)H, (1.42)

trong đó: H=

11 12 13

21 22 23 32

31 33

0 0 0 1

y

r r r

r r r r

hay biểu diễn dưới dạng khác: (x’ y’ z’) = (x y z)R + t (1.43)

Ta thấy rằng ma trận xoay R (1.41) là ma trận trực giao, tức là nếu định nghĩa các vectơ hàng của R:

n = (r11 r12 r13); o = (r21 r22 r23); a = (r31 r32 r33) (1.44)

thành phần của các vectơ này chính là cosin chỉ hướng của vectơ đơn vị i, j,

k và thoả điều kiện:

n x o = a; o x a = n; a x n = o và |n| = |o| = |a| =1 (1.45)

1.3.3 Phép ánh xạ

Ta đã xét các phép biến đổi toạ độ trong cùng một hệ toạ độ mà hoàn toàn không có sự thay đổi hệ toạ độ tham chiếu về vị trí cũng như phương chiều Trong

phần này ta sẽ xét tới phép ánh xạ đối tượng hình học giữa 2 hệ toạ độ khác nhau Phép ánh xạ đối tượng hình học từ một hệ toạ độ sang hệ toạ độ thứ hai được định nghĩa như sự thay đổi mô tả đối tượng hình học từ hệ toạ độ thứ nhất sang hệ toạ độ thứ hai Do đó, không có sự thay đổi về vị trí và phương chiều của đối tượng hình học so với cả 2 hệ toạ độ.Phép ánh xạ này tương đương với phép biến đổi hệ toạ độ thứ nhất sang hệ toạ độ thứ hai và được sử dụng rất phổ biến trong thiết kế Thông

thường, người ta sử dụng định nghĩa hệ toạ độ làm việc (còn được gọi là hệ toạ độ

địa phương hay hệ toạ độ đối tượng) gắn liền với đối tượng thiết kế để đơn giản hoá việc thiết lập và nhập dữ liệu hình học Phần mềm thiết kế sẽ ánh xạ (chuyển đổi)

toạ độ được đo trong hệ toạ độ làm việc sang hệ toạ độ hệ thống trước khi lưu trữ

trong hệ cơ sở dữ liệu hệ thống Phép ánh xạ đóng vai trò quan trọng đối với cấu trục lắp ghép, khi mỗi đối tượng ( chi tiết hay bộ phận) được định nghĩa theo hệ toạ

độ hệ thống riêng và chúng cần được kết nối và quản lý trong hệ toạ độ hệ thống chủ

Ví dụ, có thể đặt bài toán ánh xạ điểm từ một hệ toạ độ sang hệ toạ độ thứ hai như sau: Cho trước toạ độ của điểm P xác định theo hệ toạ độ (X, Y, Z), hãy xác định toạ độ của điểm P theo hệ toạ độ (X’, Y’, Z’), sao cho thoả điều kiện:

P’ = f(P, thông số ánh xạ) hay P’ = P.H, trong đó:

P : Vectơ vị trí của điểm P theo hệ toạ độ (X, Y, Z)

P’: Vectơ vị trí của điểm P theo hệ toạ độ (X’, Y’, Z’)

H : Ma trận ánh xạ (2.42) mô tả vị trí tương đối của hệ toạ độ (X, Y, Z) so với hệ toạ độ (X’, Y’, Z’)

1.3.4 Khung toạ độ

Trên đây ta đã đề cập tới phép ánh xạ như sự thay đổi mô tả đối tượng hình học từ một hệ toạ độ sang hệ toạ độ thứ hai Bây giờ ta sẽ đề cập đến phép ánh xạ như sự thay đổi hệ toạ độ

Có thể mô tả phép biến đổi toạ độ (1.42) dưới hình thức hệ toạ độ chuyển động (Hình 1.6) Cho ih, jh và kh là các vectơ chỉ hướng đồng nhất của hệ toạ độ tham chiếu: ih= (1 0 0 1) ; jh= (0 1 0 1) ; kh= (0 0 1 1) (2.46)

Áp dụng phép biến đổi (2.4) với các vectơ đồng nhất:

i’h= ihH = (1 0 0 1) H = (n 1) (1.47a) j’h= jhH= (0 1 0 1) H = (o 1) (1.47b) k’h= khH=(0 0 1 1) H = (a 1) (1.47c)

Kết quả trên nói lên rằng các vectơ trực giao n, o, a của ma trận biến đổi đồng nhất H trở thành vectơ trục của hệ toạ độ chuyển động (Hình 1.6) biến đổi theo (1.42)

Gốc hệ toạ độ chuyển động được xác định tương tự:

P’h= (0 0 0 1) H = (txtytz1) = (t 1) (1.48)

Vì lý do này, ma trận biến đổi đồng nhất H được gọi là khung toạ độ

Như vậy, phép biến đổi (1.42) chính là phép ánh xạ từ hệ toạ độ làm việc (hệ

toạ độ địa phương hay hệ toạ độ chuyển động) sang hệ toạ độ hệ thống ( hệ toạ độ

cố định)

Hình 1.6 - Phép biến đổi toạ độ dưới hình thức hệ toạ độ chuyển động

Viết lại biểu thức (1.42) ta có: P’h = Ph H hay: Ph = P’h H-1,

trong đó:

Ph = (r 1) = (x y z 1)

P’h = (r’ 1) = (x’ y’ z’ 1)

r(x, y, z): vectơ toạ độ tương đối của điểm P so với hệ toạ độ làm việc

r’(x’, y’, z’); vectơ toạ độ tuyệt đối của điểm P so với hệ toạ độ tham chiếu (hệ toạ độ hệ thống)

H=

0001

cả 2 dạng đường cong 2D và 3D, nhằm đạt được phương trình biểu diễn đơn giản, thích hợp cho lập trình

Chương II GIỚI THIỆU PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG TRONG THIẾT

KẾ HÌNH HỌC

Chương này trình bày tóm tắt các kỹ thuật tạo bề mặt trong thiết kế bề mặt, những ứng dụng của phương trình vi phân đạo hàm riêng (PDE - Partial differential equations) trong các lĩnh vực liên quan đến thiết kế và mô hình hóa hình học

2.1 Tổng quan

Sự đặc trưng hóa và hệ thống hóa các bề mặt nhất định đã xuất hiện từ thời

đế quốc La Mã Bắt nguồn từ những khát vọng xâm chiếm và nhu cầu sản xuất hàng loạt các chiếm hạm, người ta đã rất quan tâm tới việc tạo ra một khuôn mẫu cho các thân tàu Tuy nhiên,việc giới thiệu bản vẽ xác định hình dạng của một thân tàu chỉ thực sự trở nên phổ biến ở Anh vào thế kỷ 17 Ngày nay thiết kế hình học được hỗ trợ bởi các công cụ tính toán với một số lượng lớn các kỹ thuật tạo bề mặt sẵn có Phần lớn các phương pháp được sử dụng trong thiết kế hình học dưới sự hỗ trợ của máy tính đối với việc tạo ra các bề mặt chủ yếu dựa trên một loại bề mặt ẩn cụ thể

là các mặt đa giác Loại bề mặt này được đặc trưng bởi một số các điểm điều khiển

và trọng số Tuy nhiên việc thao tác đối với các bề mặt như vậy là không đơn giản khi mối quan hệ giữa những sự thay đổi trong hình học và các điểm điều khiển là không trực quan

Các bề mặt tham số nhìn chung dễ thao tác hơn các bề mặt ẩn bởi chúng chỉ cần sửa đổi một số các tham số để thu được một bề mặt khác

Các bề mặt tham số thông thường được biểu diễn bởi các đường cong trong việc thiết kế hình học thông qua sự hỗ trợ của máy tính do những lợi thế mà chúng đem lạị chủ yếu do sự đơn giản trong việc xây dựng và sự chính xác trong đánh giá

2.1.1 Các kỹ thuật tạo bề mặt phổ biến trong thiết kế hình học

Ngày nay trong các tài liệu thiết kế hình học có rất nhiều phương pháp thiết

kế bề mặt Đặc biệt các kỹ thuật sau đây được sử dụng thường xuyên nhất:

B-splines: là các đường cong được mô tả bởi một tập các điểm Kỹ thuật này

ban đầu được dựa trên các đa thức nội suy thông qua toàn bộ tập các điểm Tuy nhiên khi các đa thức bậc cao thu được từ một thủ tục thì các bề mặt kết quả thu được lại thiếu sự trơn mịn Để đạt được độ trơn mịn của những bề mặt như vậy người ta sử dụng phép nội suy phân đoạn De Casteljau và Bézier đã tập trung nghiên cứu việc thiết kế hình học một cách hoàn toàn tự động và trở thành những người tiên phong trong lĩnh vực này Các hàm phổ biến nhất được sử dụng để thực hiện phép nội suy phân đoạn là các đường conic và các đa thức bậc ba Sau đây là các loại đường được sử dụng phổ biến nhất trong thiết kế máy tính :

Các mặt Bézier: các mặt này là trường hợp đặc biệt của phép nội suy

Hermite Chúng được xây dựng như một chuỗi các phân đoạn bậc ba và được xác định bởi :

B-splines: Là sự tổng quát hóa của các đường cong Bézier trong đó mỗi

điểm điều khiển được nhân tương ứng với hàm cơ sở của nó Các hàm cơ sở này được xác định thông qua một quy tắc được thiết lập và phụ thuộc vào số lượng các nút (các điểm kết nối) được yêu cầu Do đó một mặt B-splines được định nghĩa bởi:

trong đó Pj.k là các điểm điều khiển; Ni,p và Ni,q là các hàm B-splines cơ bản bậc p

và q tương ứng Một hàm B-splines cơ bản bậc r được cho bởi:

NURBS(Non-uniform rational B-splines ): Khác với đường cong B-splines

và đường cong Bézier, NURBS bao gồm các trọng số của các điểm điều khiển không cách đều , đây cũng là lý do mà các bề mặt NURBS được coi là hữu tỷ Các

bề mặt này được mô tả về mặt toán học như sau :

trong đó ωj,k là trọng được gắn cho điểm điều khiển Pj,k

Các loại bề mặt tham số phổ biến nhất được sử dụng trong việc thiết kế hình học thông qua sự hỗ trợ của máy tính là các bề mặt hình chữ nhật và các mặt Coons (Coons patches) Mô tả ngắn gọn của những loại này được đưa ra dưới đây :

+ Các bề mặt hình chữ nhật phổ biến nhất là các bề mặt tích Tensor, dựa trên phép nội suy của các đường Bicubic, đây là loại bề mặt ánh xạ một miền hình chữ nhật vào một miền không gian ba chiều

+ Coons patches: Là bề mặt được tạo thành thông qua một tập bốn đường cong biên Điều kiện duy nhất đối với các đường cong biên được liên kết với nhau

để tạo thành một bề mặt Coons patches là những đường cong này phải cắt nhau tại các góc của mặt sao cho mặt được xác định là duy nhất

+ Các bề mặt tam giác: Các bề mặt này có được từ sự sắp xếp hình học của một tập các điểm mà ở đó các điểm của chúng đều được tính toán Miền này được chia thành các yếu tố hình tam giác và sau đó mỗi điểm của bề mặt được đánh giá tại các tọa độ Barycentic của yếu tố hình tam giác tương ứng trong miền Loại bề mặt này được sử dụng đầu tiên trong lý thuyết phần tử hữu hạn, tuy nhiên việc xây dựng chúng là rất phức tạp

+ Chia nhỏ bề mặt: là một kỹ thuật tạo bề mặt cho việc tìm kiếm một bề mặt nhẵn từ một bề mặt thô Kỹ thuật này bao gồm một quá trình lặp đi lặp lại sao cho các điểm mới trong bề mặt được tìm thấy theo một nguyên tắc phân chia và không giống như các bề mặt tham số chúng có thể đại diện cho các bề mặt có cấu trúc liên

kết tùy ý Tuy nhiên sự chia nhỏ các bề mặt lại cho thấy một số vấn đề liên quan đến sự thiếu một cơ chế phát hiện các va chạm xuất hiện bên trong của các bề mặt

Các kỹ thuật tạo bề mặt truyền thống không có khả năng đảm bảo độ mịn của toàn bộ bề mặt Gần đây vấn đề này đã được khắc phục nhờ vào các phương trình đạo hàm riêng, chúng được coi như là một công cụ đối với việc thao tác trên các bề mặt

2.1.2 Phương trình vi phân đạo hàm riêng

Phương trình vi phân đạo hàm riêng ( PDE-Partial differential equations ) là phương trình mà trong đó các hàm chưa biết phụ thuộc vào một tập các đạo hàm riêng của chúng đối với hai hay nhiều biến độc lập Ví dụ đối với hàm U(x,y) phụ thuộc hai biến độc lập x, y Dạng tổng quát phương trình vi phân đạo hàm riêng được cho bởi:

AUxx + BUxy +CUyy + DUx + EUy + FU = G(x, y), (2.4) trong đó: A, B, C, D, E, F là các hàm tổng quát của U(x,y) Uxx, Uxy, Uyy, Ux, Uy là

kí hiệu của đạo hàm

Sở dĩ phương trình vi phân đạo hàm riêng có được tầm quan trọng của một công cụ toán học như thế bởi nó mô hình hóa được hầu hết các hiện tượng vật lý Ví

dụ phương trình nhiệt trong không gian một hay hai chiều mô tả nhiệt được phân bố như thế nào trong một đoạn dài hoặc một khu vực tương ứng Các ví dụ khác của các phương trình vi phân đạo hàm riêng mô tả hiện tượng vật lý là phương trình sóng và phương trình Laplace, v.v Các phương trình vi phân đạo hàm riêng cũng được mở rộng sang các lĩnh vực như tài chính mà tiêu biểu là các phương trình biểu diễn mô hình Black-Scholes với giá cổ phiếu biến đổi theo thời gian

Các phương trình vi phân đạo hàm riêng có thể được phân loại theo các đặc tính khác nhau như:

- Bậc: Được xác định dựa trên bậc cao nhất của đạo hàm riêng xuất hiện trong phương trình

- Tính đồng nhất: Đặc tính này phân loại các phương trình vi phân đạo hàm riêng là đồng nhất hay không đồng nhất theo G(x,y) Nếu G(x,y) =0 thì phương trình được gọi là đồng nhất, ngược lại là không đồng nhất

- Tính tuyến tính: Một phương trình vi phân đạo hàm riêng được gọi là tuyến tính khi các hệ số không phụ thuộc vào hàm U(x,y) và đạo hàm riêng của chúng, ngược lại là phương trình phi tuyến tính

Ngoài ra các phương trình vi phân đạo hàm riêng tuyến tính cũng được phân loại theo hệ số Theo cách này chúng được chia thành ba loại: phương trình Parabolic, Hyperbolic và Elliptic Ví dụ phương trình (2.4) có thể rơi vào bất kỳ các loại nào sau đây:

+ Parabolic: Phương trình vi phân đạo hàm riêng phải thỏa mãn B2-4AC=0 + Hyperpolic: Phương trình vi phân đạo hàm riêng rơi vào loại này nếu B2-4AC >0

+ Elliptic: Phương trình vi phân đạo hàm riêng rơi vào loại này nếu B24AC <0

-Sự phân loại này còn được mở rộng cho các phương trình vi phân đạo hàm riêng bậc cao hơn tuy nhiên tiêu chí phân loại khác nhau phụ thuộc vào bậc của phương trình Ngoài ra việc phân loại này rất có ích trong việc mô tả lại các hiện tượng vật lý của từng loại phương trình Việc giải các phương trình vi phân đạo hàm riêng nói chung là không dễ dàng Tuy nhiên một số phương pháp đã được phát triển trong quá trình đi tìm lời giải cho các phương trình vi phân đạo hàm riêng Những phương pháp này biến đổi từ việc phân tích các lược đồ cho tới các kỹ thuật số hoàn chỉnh Ngày nay các phương trình vi phân đạo hàm riêng đã được biết đến trong các lĩnh vực đồ họa máy tính và hoạt hình giúp giải quyết nhiều vấn đế rất hiệu quả

2.2 Các bề mặt hình học PDE

Thuật ngữ bề mặt PDE đề cập đến các bề mặt được tạo ra hoặc được sửa đổi thông qua việc giải phương trình vi phân đạo hàm riêng, những bề mặt này là sự

biểu diễn đồ họa của việc giải một phương trình PDE cho trước cùng với một tập các điều kiện biên

Các bề mặt PDE là một công cụ rất mạnh trong việc thiết kế hình học, bảo đảm độ mịn của bề mặt phụ thuộc vào bậc của phương trình PDE tạo ra hay sửa đổi

bề mặt Các bề mặt PDE chủ yếu được phân thành hai loại là bề mặt PDE dạng ẩn

và bề mặt PDE dạng tham số Thông thường các bề mặt dạng ẩn thu được từ các phương trình PDE Parabolic và bề mặt dạng tham số thu được từ các phương trình PDE elliptic

Những lợi thế của việc sử dụng các phương trình PDE để tạo ra các bề mặt

so với các kỹ thuật tạo bề mặt phổ biến khác như B-splines hay NURBS:

- Các kỹ thuật tạo bề mặt dựa trên các phương trình PDE chỉ yêu cầu một số lượng nhỏ các tham số so với B-splines hay NURBS để biểu diễn một bề mặt Các mặt PDE được đặc trưng bởi một tập các đường cong biên trong khi B-splines được xác định bởi một tập các điểm điều khiển Vì vậy, các kỹ thuật tạo bề mặt dựa trên các phương trình PDE có nhiều khả năng để thao tác dễ dàng hơn các kỹ thuật khác

- Các bề mặt PDE bảo đảm một cách tự động một độ trơn mịn nhất định trong suốt quá trình pha trộn các bề mặt trong khi điều này là không được đảm bảo đối với các bề mặt pha trộn thu được khi sử dụng kỹ thuật B-splines Độ trơn mịn thu được khi pha trộn các bề mặt PDE tăng lên khi bậc của phương trình PDE được cho cũng tăng lên

- Các kỹ thuật tạo bề mặt dựa trên phương trình PDE có khả năng thống nhất các khía cạnh hình học và vật lý của một bề mặt được mô hình hóa Kết quả này đặc biệt hữu ích đối với các thiết kế kỹ thuật

Loại và bậc của PDE được sủ dụng nhìn chung là không bị giới hạn Mức độ trơn mịn của bề mặt được xác định bởi bậc của phương trình bao gồm cả các bề mặt dạng ẩn và dạng tham số Ngoài ra các bề mặt PDE còn được phân loại theo các vấn

đề mà chúng hướng tới để giải quyết trong phạm vi thiết kế hình học

2.3 Các bề mặt PDE dạng ẩn

Các bề mặt PDE dạng ẩn là kết quả thu được từ việc giải phương trình PDE

với miền ban đầu là một bề mặt được xác định trước Có nghĩa là các mặt này

thường được xem như một tập các điểm P thỏa mãn một đường hình học cho trước

Biểu diễn tổng quát của đường hình học được xác định bởi: p

t



 =V(p,t), (2.5)

trong đó V(p,t) là một trường tốc độ tùy ý

Điều quan trọng cần nhấn mạnh rằng các bề mặt ban đầu đối với đường hình

học được áp dụng phải là các bề mặt đóng và được định hướng Vì vậy phương

thường và vector của bề mặt tại p tương ứng; k1, k2 là độ cong chính của S(t)

Một số trường vận tốc đã được thực hiện để nghiên cứu các vấn đề khác

nhau trong thiết kế hình học với sự hỗ trợ của máy tính như pha trộn bề mặt, xây

dựng bề mặt dạng tự do, giảm nhiễu, v.v…

Một số các trường vận tốc phổ biến thường được sử dụng trong mô hình hóa

hình học:

Dòng độ cong trung bình (Mean curvature flow):

Vn= -1

2(k1+k2) Trung bình dòng độ cong trung bình(Averaged mean curvature flow):

Vn= 1

2 (k1+k2) + h(t) trong đó: h(t)=

1 2 ( )

Vn=∇21

2 (k1+k2) trong đó ∇2

là toán tử Laplace Các dòng hình học bậc cao hơn (Higher-order geometric flows): Dạng tổng quát của các dòng này là:

Vn=(-1)k+1∇2k 1

2 (k1+k2) trong đó k ≥2 Dòng nhiệt (Heat flow):

Vn=(-1)k+1∇2kp (t) trong đó k >0 và p(t) là một điểm thuộc S(t) Dòng Willmore (Willmore flow):

Vn=∇2(k1+k2) +2(k1+k2)((k1+k2)2-K) trong đó K là độ cong Gaussian Cách tiếp cận thông thường để giải quyết các bề mặt PDE liên quan đến các vấn đề trong thiết kế hình học với sự hỗ trợ của máy tính bao gồm việc sử dụng các sai phân hữu hạn Nhìn chung, các trường vận tốc là hình học nội tại nghĩa là chúng

có thể được áp dụng với các bề mặt có cấu trúc liên kết tuỳ ý Ngoài ra, các trường vận tốc này có giá trị được duy trì và trong phần lớn các trường hợp chúng có giá trị giảm Tuy nhiên giá trị của chúng được duy trì nếu và chỉ nếu bề mặt của chúng được áp dụng là các bề mặt đóng Vì vậy trong trường hợp áp dụng chúng vào một

bề mặt mở với một đường biên cố định thì giá trị duy trì không nhất thiết phải được xác định trạng thái trước

2.4 Các bề mặt PDE dạng tham số

Các bề mặt PDE dạng tham số được xem như việc giải phương trình PDE elliptic trong miền tham số Đây là một kỹ thuật tạo bề mặt rất hiệu quả bởi sự kết hợp giữa quá trình rời rạc hóa toán tử liên quan với các phương trình PDE elliptic

để đưa ra một giải pháp trung bình cho họ phương trình PDE, đảm bảo rằng bề mặt thu được sẽ có một độ trơn mịn nhất định phụ thuộc vào bậc của phương trình PDE Các bề mặt PDE dạng tham số đã được chứng minh là cực kỳ hữu ích trong các phương pháp tạo bề mặt để giải quyết các vấn đề chẳng hạn như: pha trộn hình dạng, tối ưu hóa, thiết kế tương tác và điêu khắc…

2.4.1 Phương pháp Bloor- Wilson PDE

Phương pháp Bloor- Wilson PDE ban đầu được sử dụng như một công cụ pha trộn và sau đó được mở rông sang một số lĩnh vực khác Phương pháp này là một kỹ thuật tạo bề mặt thông qua việc khắc phục một số vấn đề trong các bề mặt

đa thức Ngoài ra nó còn là một sự lựa chọn rất tốt cho dạng bề mặt tự do vì nó chỉ yêu cầu đầu vào là các đường cong biên được xác định một cách rất trực quan Về nguyên tắc không có giới hạn về loại và bậc của phương trình PDE được giải quyết Tuy nhiên các phương trình PDE elliptic được lựa chọn để phát triển kỹ thuật này bởi đây là loại phương trình PDE được coi là một phương pháp trung bình trên toàn

bộ bề mặt Bậc của phương trình PDE xác định độ mịn của bề mặt bởi vì các điều kiện biên được yêu cầu để giải quyết PDE thường được đưa ra dựa vào các yêu cầu

về vị trí và đạo hàm Quá trình xây dựng phương pháp PDE Bloor- Wilson bao gồm việc xây dựng một bề mặt tham số X(u,v) bằng cách tìm kiếm một lời giải cho phương trình PDE dạng:

Phương trình (2.7) là một phương trình PDE có bậc là 2r Tuy nhiên, hầu hết các tính toán có liên quan đến phương trình này đều dựa trên phương trình PDE bậc

4 tức là r = 2; Vì thế có 4 điều kiện biên được yêu cầu Những điều kiện biên này được cho bởi một tập của 2 vị trí điều kiện biên và giá trị đầu tiên của đạo hàm tại các vị trí tương tự Lưu ý rằng khi a = 1 và r = 2, phương trình (2.7) được gọi là phương trình song điều hòa mô tả một số hiện tượng xảy ra trong các lĩnh vực như

cơ học chất lỏng và cơ học chất rắn

Lời giải cho phương trình (2.7) có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng các cách tiếp cận khác nhau, khác nhau từ việc phân tích cho tới các phương pháp số hoàn chỉnh Tuy nhiên việc lựa chọn các phương pháp phân tích đầy đủ lại gây ra