Lịch sử hình học

LỜI N Ó I BẦU Nhà xuất bản khoa học và kỹ thuật có ý định cho ra mắt độc giả một bộ sách về lịch sứ toán học, theo từng bộ môn: hình học, đại sò, số học, giải tích toán học,.... Đó là m

LỜI N Ó I BẦU

Nhà xuất bản khoa học và kỹ thuật có ý định cho

ra mắt độc giả một bộ sách về lịch sứ toán học, theo từng bộ môn: hình học, đại sò, số học, giải tích toán học,

Đó là một ý định rất phù hợp với thực tề, vì hiện nav nhầng^tài liệu về lịch sứ toán học bằng tiếng Việt hầu như- chưa cỏ (nói đúng hơn mái chi có một cuồn địcli « Lịch sư toán học » cùa Nhà xuất bản Giáo đục, dịch từ nguyên bản tiếng Nga của tác giả Rvpnhicôp) Sự ít ỏi đó là một thiều sót, mà ta nin nhanh chóng khắc phục, bài vì nó sẽ ánh hưởng không

it đến việc học tập, tìm hiếu và nghiên cứu toán học cùa các tầng lớp thanh niên

Tác giả nhận viết cuồn «Lịch sư hình học» vái một nỗi lo lắng băn khoăn xuất phát từ sự hiếu biềt còn ít ỏi của mình cá về mặt hình học lần về mặt lịch sư toán học

Bời vậy, viết cuốn sách nhỏ này, tác giả không có tham vọng lởn, mà chi tự dặt cho mình mút mục tiêu khiềtìt (Ồn Đó là, nêu lên một cách khái quát, trên nhầng phương hướng chính, lịch sử phát triền hình học, từ khi mới hình thành cho dền nhầng năm đần tiên của thế kỷ chúng m

Do đó, tác giả không thề dề cập đền mọi sự kiện

của hình học (chẳng hạn nhít- lịch sư phát triển l úa môn lượng giác dược nói tới rất ít tron? cuốn sách này) Tác già cồ gắng tập trung vào những môn chả vèa nhít : hình học giải tích, hình học vi phân, hình Mbc xạ ảnh, hình học hypecbôờic, hình học Riman, một

ít về hình học họa hình và tôpô học Tron? những

vấn đề được nói đèn, tác giá cũng không thế nêu lên kết các nhà hình học và những tác phẩm của họ Tác giả chí có thế nói chi tiết về một số nhà hình học lớn (như ơcờit, Acsimet, Apôờôni, Ođôcx, Đêcac, Pecma,

Niutơn, ơờe, Đedac, Lôbasepxki, Riman, Gaux, V.V J

mà cóng trình của họ đóng một vai trò lớn trong toàn

Mong rằng cuồn sách nhỏ này thỏa mãn được phẩn nào sự tờm hiểu của độc giả

T á c g i ả

đ ố i tổng q u á t về thời kỳ SO" khai cùệ hình h ọ c M ặ c

m ậ t t h i ế t v ớ i / h o ạ t đ ộ n g t h ự c t i ễ n phong p h ú c ù a loài

n g ư ờ i T ừ k h i con người k h ô n g c ò n đ i h á i , l ư ợ m

n h ữ n g t h ứ c ăn có sẵn t r á n g t h i ê n n h i ê n , mà t ự m ì n h sản x u ấ t đ ề tạo ra n h ữ n g đ i ề u k i ệ n sống cỏn t h i ế t c h õ

q u ậ t đ ư ợ c , đ ã c h ứ n g tỏ đ i ề u đ ó N h ữ n g trang t r í đ ó

t h ư ờ n g g ồ m n h ữ n g h ì n h h ì n h học b ằ n g nhau, đ ố i x ứ n g , hoặc đ ố n g d ạ n g , đ W c sắp x ế p m ộ t c á c h hài h ò a ,

đ ẹ p m ắ t N h ư v ậ y là loài n g ư ơ i t h ờ i bấy g i ờ đ ã n ắ m

đ ư ợ c đ ề n m ộ t m ứ c đ ộ n à o đ ó c á c h ì n h dạng h ì n h học và c á c quy tắc đ ề d ự n g c h ú n g

Hình I

N g h ệ t h u ậ t trang t r í ờ v ù n g l ư u v ự c s ô n g T i g r ơ v à E p h ơ r t i l

2 Phương đông (trong đ ó c h ù y ế u là A i cập v à B a b i í o n )

đ ư ợ c xem là c á i n ô i c ù a h ì n h h ọ c N h ữ n g t à i l i ệ a p h á t

h i ệ n đ ư ợ c trong; n h ữ n g n ă m gần đ â y đ ã cho p h é p c h ú n g

ta x á c đ ị n h đ ư ợ c t r ì n h đ ộ v ề h ì n h học cùa n g ư ờ i A i cập và Babilon c á c h đ â y 3, 4 n g à n n ă m t r ư ớ c c ô n g

n g u y ê n Đ ó là t h ờ i kỳ p h á t t r i ề n n h ấ t của h a i n ề n văn

hóa P h ư ơ n g Đ ô n g : nền văn hóa Ai cập ( v ù n g l ư u v ự c

s ô n g N i n ) và nền vãn hóa Babiỉon ( v ù n g l ư u v ự c s ô n g

T i g r ơ v à s ô n g E p h ơ r a t ) Đ ồ n g t h ờ i v ớ i hai n ề n v ă n hóa

đ ó c ò n có nền văn hóa Ân độ ( v ù n g l ư u v ự c s ô n g A n

v à s ô n g H ằ n g ) , nền văn hóa Trung hoa ( v ù n g s ô n g H o à n g

và sồng D ư ơ n g t ứ ) , và m u ộ n h ơ n m ộ t ít, có c á c nền văn hóa Trung Á, Đông Dương và Inđônêxia Ta k h ô n g

b i ế t gì n h i ề u l ắ m v ề h ì n h học t h u ộ c c á c n ề n v ă n hóa

n à y v ì c h ư a t ỉ m t h ấ y n h ữ n g t à i l i ệ u có c ă n c ứ N h ư n g ,

d ự a v à o t r ì n h đ ộ c h u n g , có t h ề chắc chắn r ằ n g t o á n học ỏ- v ù n g n à y so v ớ i A i Cập và Babilon t h ì k h ô n g

8

9

v ậ y , mặc d ầ u đ ã t í c h l ũ y đ ư ợ c m ộ t số k h á l ớ n k h á i

n i ệ m và m ộ t số l ớ n c ô n g t h ứ c « p h ứ c t ậ p , n h ư n g sự

l i ê n h ệ l ô g i c g i ặ a c h ú n g v ẫ n c h ư a h ì n h t h à n h , v à do

đ ó c á c b à i t o á n r i ê n g l ẻ c h ư a đ ư ợ c t h ố n g n h ấ t l ạ i trong m ộ t h ệ t h ố n g c h u n g

A n s t ô t e n - đ ẵ xây đựng viện hàn lâm nổi tiêng, hình

ảnh t ư ơ n g lai của các t r ư ờ n g đại học

2 Hỉnh học Hy lạp t ừ thê kỳ I V t r ư ớ c CN đã có

nhiều biến chuyển sâu sắc T r ư ớ c đó n g ư ờ i Hy lạp

đã tícn lũy đ ư ợ c mỷt số kiến thức t ư ơ n g t ự n h ư

n g ư ờ i P h ư ơ n g Đông N h ư n g t ừ thế kỷ I V t r ư ớ c CN trỏ" đi, hình học nhanh chóng t r ớ thành mỷt khoa học suy diễn và t r ừ u t ư ợ n g Sự chứng minh bằng lôgic

đã trỏ1

thành p h ư ơ n g pháp cơ bản đề khẳng định tính chân thật cùa mỷt mệnh đề toán học T r ư ớ c kia các nhà toán học đặt câu hỏi "làm thế nào ? » t r ư ớ c mỷt bài thì bây giờ họ đặt thêm câu hỏi «tại sao ? ».\

Mỏ' đầu t h ờ i kỳ mới này của hình học chúng ta thấy nổi lên tên t u ổ i của Thales ố thành Milê, mỷt nhà buôn, nhà hoạt đỷng chính'trị, nhà triế t học, toán học,

thiên văn họCj n g ư ờ i đặt n ề n y

m ố n g cho khoa học và

t r i ế t học Hy lạp, sống ^ ^ " k h o ả n g 624 t r ư ớ c CN đến

548 t r ư ớ c CN Ông và các học trò n h ư Anaximan và Anaximen thuỷc vào t r ư ờ n g phái duy vật t h ô sơ, cho rằng những hiện t ư ợ n g t ự nhiên đểu là vật chất và đểu bắt nguồn t ừ mỷt «nguyên thể)) duy n h á t Thales cho rằng «nguyên thế)) cùa vật chất là n ư ớ c , còn Anaximen thì cho đó là không khí

Trong phạm v i hình học,"^hales đã chứng minh đ ư ợ c : góc n ỷ i t i ế p trong nưa đ ư ờ n g tròn là góc v u ô n g ; các góc ờ đáy của tam giác cân bằng nhau; eác góc vuông

đều bảng nhau Thales cũng biệt cách xác định mỷt

tam giác bửi mỷt cạnh và hai góc kề v ớ i n ó , t ừ đó

ỏng*tó thẻ tính đ ư ợ c chiểu cao cùa mỷt vật biết bóng của nó trên mặt đất, hoặc tính đ ư ợ c khoảng cách đến mỷt vật không t ớ i gần đ ư ợ c

14

Đ á n g t i ế c ià c h ú n g ta k h ô n g h ề b i ề t gì vè c á c c h ử n g

m i n h củạ Thales C ó l ẽ ó n g cũng s ử dụng r ộ n g r ã i

g i ư ơ n g p h á p £ằp và chốxiỉ; c á c h ì n h , vì theo n h ư l ờ i cùa P r ô c ( t h ế ký V sau C N , n h à b ì n h l u ậ n n ổ i t i ê n g

đ ư ợ c v ề cuộc đ ờ i của Pythago, con n g ư ờ i gần n h ư t r ờ

kỳ X X ) ;

6 C ó n ă m l o ạ i k h ố i đa d i ệ n đ ề u ( p h á t m i n h n à y

c h ứ n g t ò c á c kiên t h ứ c về h ì n h học k h ô n g gian t h ờ i bầy g i ờ đ ã k h á phong p h ú ) ;

7 Đ ị n h lý Pythago ( t r ư ớ c đ â y c h ỉ m ớ i b i ế t m ộ t số

t r ư ờ n g h ợ p r i ê n g cùa đ ị n h lý n à y T h ậ t k h ó m à đ á n h giá h ế t t ầ m quan t r ọ n g của đ ị n h lý n ế u ta k h ô n g n h ớ

(ì) Không gian metric là những không gian mà trong đó có thè

đo được khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ Các số đo này phải thỏa mãn một số tiên để nào dó gọi là tiên đê của không gian metric-

16

đ o ạ n tài l i ệ u q u ý giá về h ì n h học của H y p ô c r a t ó

n g u y ệ t h ì n h

Suy l u ậ n t o á n học của H y p ô c r a t đ ạ t đ ế n t r ì n h đ ộ cao, t r o n g đ ó đ ã áp d ụ n g m ộ t c á c h t r i ệ t đ ể c á c quy tắc suy d i ễ n c h ặ t chẽ đ ề t ừ k ế t q u ả n à y suy ra k ế t

không thề bằng một số hữu hạn phép dựng bằng t h ư ớ c

và compa tìm thầy đ ư ợ c hình đòi h ỏ i : Tuy vậy việc

nghiên cứu các bài toán đó đã giúp các nhà toán học

Hy lạp tìm ra giao tuyên côníc ( ì ) , các đ ư ờ n g cong bậc 3, bậc 4, v.v

H y p ô c r a t đã đưa bài toán t h ứ nhất về việc tìm hai

đ ạ i l ư ợ n g trung bình nhân k é p , tức là hai đại l ư ợ n g X

Ngay sau đ ó , Ackhit (khoảng năm 428-7365 t r ư ớ c CN)

chi ra răng đ ạ i lượng X n h ư vậy có thề tìm thấy bằng cách xét giao tuyền cùa ba mặt : mặt nón, mặt trụ và

mặt xuyến

N h ữ n g cố găng về sau cặa các nhà bác học nhằm

v à o việc tìm các p h ư ơ n g pháp dựng đoạn trung bình nhân k é p T ừ - đẳng thức Hypôcrat ta suy ra :

ay = X3

và xy = ab hay yz

= bx

Nêu đ ự n g đ ư ợ c tọa độ X, y cặa giao điềm hai đ ư ờ n g

cong có p h ư ơ n g trình n h ư vậy t h ì sẽ giải đ ư ợ c bài toán Chì mãi đến nửa sau thế kỹ I V t r ư ớ c CN, Menêc mới giải t h í c h đ ư ợ c rằng những đường cong đó là giao

tuyến cônic Õng xét ba loại hình nón tròn xoay với góc

ổ" đ i n h là vuông, tù, nhọn Bằng cách vẽ một mặt phảng

( ì ) Giao tuyên cônic là những đường có được bằng cách cắt mặt

nón b ổ i một mặt phắng không đi qua đinh mặt nón Đ ó là cịc đường

elip, parabôl hoặc hypecbôl

18

v u ô n g g ó c v ớ i m ộ t đ ư ờ n g sinh ô n g n h ậ n đượ'e- ba l o ạ i

đ ư ờ n g cong m à bầy g i ờ ta g ọ i là p.nrabôl, h y p e c b ô l

v à e l i p

6 C ù n g v ớ i l o ạ i p h á t m i n h ra các đ o ạ n t h ắ n g v ô ư ớ c ( t ứ c là c á c đ ạ i l ư ợ n g vô t ỉ ) cũn? n h ư v i ệ c x á c đ ị n h

t h ề t í c h của h ì n h c h ó p , chu v i của đ ư ờ n g t r ò n l ầ n

m ộ t đa 'giác đ ề u có số c ạ n h gấp đ ô i , và đ ự n g hìni

chạy nhanh h ơ n con r ù a n h ư n g k h ô n g bao g i ờ có t h ế

đ u ổ i k ị p con r ù a , n ê u ban đ ầ u con r ù a c á c h Asin m ộ t

k h o ả n g là a e

T h ậ t v ậ y g i ả sử t ố c đ ộ cùa A s i n l ớ n gấp k l ầ n t ố c đ ộ

r ù a t h ì k h i A s i n chạy đ ư ợ c khoảng a, r ù a chạy đ ư ơ c

m ộ t k h o ả n g a k, k h i Asin chạy đ ư ợ c khoảng đ ó , t h ì

của đoạn AB, sau đó l ạ i phải đến đ ư ợ c các trong điềm

A2, Aa-» của các đoạn A j , B, A2, B , N h ư vậy không

bao giờ nó đến đ ư ợ c B

8 Các nghịch lý của Zênông đã làm các nhà toán

học hoang mang Prôtâgo (năm 480 — 411 t r ư ớ c CN) lên

tiếng chống l ạ i tính chất t r ừ u t ư ợ n g của toán học

Theo ông, không nên nói rằng điếm không có thành

phần đ ư ờ n g không có bề dày, bề rộng v v bồ-i vì

chưa hề ai trông thấy chúng Ông còn nói đ ư ờ n g thẳng

VÀ đường tròn tiếp xúc v ớ i nhau không thề chi ớ một

điềm mà là & một đoạn thẳng hữu hạn N h ư n g các

nhà toán học Hy lạp đã hiếu rất Trô rằng t ừ bỏ tính

t r ừ u t ư ợ n g của toán học là t ừ bỏ toàn bộ toán học

Con đường của Prôtagô không đ ư ợ c thừa nhận

Đêmôcrit (khoảng nam 46c — 38c t r ư ớ c CN), "nhà

t r i ế t học nguyên t ử luận, nhà toán học đã để nghị một

p h ư ơ n g pháp xây dựng toán học thoát khò những

"khó khăn gây ra b ớ i khái niệm vô hạn Õng là một

con n g ư ờ i toàn diện đến ngạc nhiên, ông viết về tát

cả mọi vằn đề : triế t học, toán học, vật lý, kỹ thuật,

khí tượng, động vật học, thấm mỹ học

Đêigôcrit xem nguyên t ử và các khoảng trống trong

đó các nguyên t ử chuyển động là cơ sỏ- đẩu tiên cùa

' v ũ trụ Nguyên t ử , tức là những cái không chia đ ư ợ c í

của Đêmôcrit là những phần t ử của vật chất không

chứa phần nhỏ hơn n h ư n g đồng t h ố i l ạ i có một độ

đo có thể biết đ ư ợ c N h ư vậy nếu cái không chia đ ư ợ c

CÙA, t r ư ờ n g phái Pythago không có độ dài, thì cái không

chia đ ư ợ c cùa Đêmôcrit l ạ i đo đ ư ợ c Lịch sử toán học

đã chửng tỏ rằng quan điểm của Đêmôcrit đã đóng

một vai t r ò tích cực trong sự phát t r i ể n cùa toán học'

22 ' * ị

đ i ề m cùa ô n g chứa đ ự n g m ộ t p h ư ơ n g p h á p qụan t r ọ n g

m à Acsimet là n g ư ờ i đ ầ u t i ê n đ ã đ á n h giá cao và p h á t

còn làm cả những con n g ư ờ i cùa t h ờ i đ ạ i nậy phải khâm phục, một nhà thiên văn, địa chất, t r i ế t học và một thầy thuốc có uy tín

Công lao lớn nhất cùa ông trong toán học là đã xây đựng đ ư ợ c một lý thuyết tồng quát về tí lệ.và xây đựng

p h ư ơ n g pháp «lấy hết» đế chuyền qua g i ớ i hạn Có thế

nói ơ đ ô c x là n g ư ờ i đa đặt nền móng cho giải tích vô

cùng bé

Ở đây chúng tôi không trình bày lý thuyết về tỉ l ệ cùa (Tđôcx, vả l ạ i nó không thuộc phạm v i hỉnh học

Tuy vậy, cũng cần phải nói rằng toàn bộ công trình

sâu sắc đó của ông, mặc dầu vẫn đ ư ợ c áp dụng cho tó-i cuối thế kỳ t r ư ớ c , chi đ ư ợ c đánh giá một cách đúng mức sau khi xuất hiện cóng trình cùa Đêđêkin, trong

đó định nghĩa số thực n h ư là một nhát cắt trong phạm

vi số hữu t i Giữa lý thuyết cùa ơctôcx và cùa Đêđêkin

có sự giống nhau nhiều đến nỗi Lipsit có viết t h ư h ỏ i

Đêđêkin rằng ông đã làm đ ư ợ c gì ĩaới so Với thời cồ

Ta sẽ nói kỹ hơn về p h ư ơ n g pháp <1 lấy hết)) của

ơ đ ô c x Phường pháp này dựa trên bổ đề c ơ bản sau đây

(Ì Nếu cho hai đ ạ i lượng a, h, a > b, thì bằng cách lấy

đi t ừ a hơn một nửa, r ồ i t ừ phần còn l ạ i ta l ạ i lấy đi

hơn một nửa, cuối cùng sau một số h ữ u hạn lẩn ta

sẽ còầ lai đ ạ i lượng <xn < 6 Chứng minh bổ đề đó dựa trên tiên đề (mà sau này ta gọi là tiên đề Ac si met) : cho

a, b, a > 6 thì có thể gấp b lên N lần sao cho Nb > í ỉ

Áp dụng bồ dị đ ó , ta có thề nêu lên sơ đồ tính diện

tích 5 (A) cùa một hình A nào đó Ta sẽ tìm một loạt các hình i4|, Ao, An, n ộ i tiếp trong hình A, sao cho diện tịch s (Ai) có thể tính được, và thỏa mãn các

điều kiện :

24

lo Năm 404 trưó-c CN, cuộc chiền tranh Pêlôpône

kéo dặi 27 năm giữa hai đồng minh đứng đầu là Aten

và Xpac đã kết thúc b ờ i sự thất bại của Aten

Cuộc chiến tranh đó đã làm cho nhân dân Hy lạp lâm vào cảnh n ư ó r mất nhà tan, đô thị điêu tàn, ruộng đồng hoang phế, các công trình văn hóa bị thiêu hủy T ừ đó cho đ ế n giữa thế kỷ I V t r ư ớ c công nguyên, *các thành bang Hy lạp, kề cả Aten bước"vào con đ ư ờ n g t à n t ạ Những mâu thuẫn trong n ộ i bộ xã hội nô l ẩ đã đ ư a toàn b ộ nước Hy lạp vào một cuộc khủng hoảng vô cùng

t r ầ m trọng Trong hoàn cảnh đó viẩc nghiên cứu khoa học bị đình trễ Aten dẩn dần mất vai trò trung tâm văn hóa và khoa học đề nhường chỗ cho những thành phố khác nổi lên trong t h ờ i kỳ Hy lạp hóa (thế kỷ V I

đến thế kỳ ì trước CN)

26

Thịnh và trỏ- thành một quốc gia nô l ệ có l ự c l ư ợ n g

quân sự hùng mạnh nhất ờ bán đảo Hy lạp Hoàng

đế Philip cùa Makêđônia đã tiến hành một cuộc chiến tranh chinh phục n g ư ờ i Hy lạp và năm 338 t r ư ớ c

CN và đã hoàn toan thẳng l ồ i Makêđônia cùng các

quốc gia ờ Hy lạp lập thành một « K h ố i đồng minh

Hy lạp » d ư ớ i sự lãnh đạo cùa Makíđônia T ừ đó nền độc lập của các thành bang Hy lạp hoàn toàn chấm d ứ t Năm 336 t r ư ớ c CN, Philip chết đề l ạ i sự nghiệp

cho con là Alêxanđr, môtu thanh niên 20 t u ồ i , t h ô n g

minh, có tài thao lưồc và tài tổ chức Lập tức Alêxanđr thống lĩnh quân đ ộ i , tiền hành một cuộc chiến tranh xâm lưồc A i cập, Babilon, Ba t ư , các quốc gia ồ"

ì • — *** '

Trung A và cả một phấn An đ ộ Cuộc chiến tranh

nổi tiêng này kéo dài trong 10 năm

Cuộc viễn chinh cùa Aỉềxànđr 'đã xúc t i ế n sự đi

l ạ i buôn bán và trao đqi văn hóa giữa Hy lạp và p h ư ơ n g

Đ ô n g Trên đường viễn chinh Alêxanđr đã lập nên

đ ó đ ã sồng h ơ n 2 0 0 0 n ă m cho đ ế n n g à y nay giá t r ị khoa học cựa' n ó v ẫ n k h ô n g hề bị g i â m s ú t T ấ t cả c á c

( T c l i t v i ế t t ậ p « C ơ bản » n h ằ m mục đ í c h h ệ t h ố n g

c á c k i ế n t h ứ c h ì n h học đ ã b i ế t t h à n h m ộ t lý t h u y ế t

toán học hoàn chỉnh, dựa trên một số tiên đ ề , và các định lý đều đ ư ợ c chứng minh bằng suy diễn một cách

chặt chẽ N h ư vậy ơclit c h í n hll à thủy tổ cùa p h ư ơ n g pháp tiên đề hiện đ ạ i

M ầ i cuốn trong tập «Cơ bản» đều bắt đầu bằng những định nghĩa Ngoài ra trong cuốn t h ứ nhất có

5 định đề và 5 tiên đ ề Sau đây là một sổ định nghĩa

trong số 35 định nghĩa cùa tập ít Cơ b ả n j ) :

ì Điềm là cái gì không có thành phần

Ta có thể chia các định nghĩa của ơ"đít thành hai loại : loại có việc làm, tực là những định nghĩa đưọx sử dụng

đề xây đựng lý thuyết (ví dụ định nghĩa về góc vuông,

về hai đường thẳng song song), loại t h ứ hai là loại mô

tả, gồm những định nghĩa về sau không sử dụng (ví dụ định nghĩa điềm, đường )

Ngày nay chúng ta đã rõ rằng trong p h ư ơ n g pháp tiên đề hiện đ ạ i , các khái niệm ((điềm )), ((đường thảng ))

đ ư ợ c xem là nhũng khái niệm cơ bản không đ ư ợ c định nghĩa trực t i ế p Chúng đ ư ợ c định nghĩa một cách gián tiếp bằng cách buôc chúng phải thỏa mãn một hệ tiên đ ề

Các định đề cùa tập «cơ bản» là :

ì T ừ một điềm bất kỳ này t ớ i một điển) bất kỳ khác có thề vẽ một đ ư ờ n g thẳng

30

c á c t i ê n đ ề v ề d ờ i h ì n h (mà h ì n h học của ô n g t h ự c

c h ấ t là n g h i ê n cứa b ấ t b i ế n "qua pịiép d ờ i ) và c á c t i ê n

đ ự liên t ụ c

T h i ề u s ó t của ơ c l i t k h ô n g p h ả i là đ i ể u k h ó h i ể u

n ế u ta n h ớ rằng khoảng 2 2 0 0 n ă m sau, H i n b e m ớ i n ê u

đ ư ợ c m ộ t h ệ t i ê n đ ề k h ô n g t h ừ a v à c ũ n g k h ô n g t h i ê u cho h ì n h học ( T c l i t

b ì n h h à n h , vế " d i ệ n t í c h " của c á c h ì n h p h ă n g và đ ị n h

lý Pythago C h ữ « d i ệ n tích)) c h ú n g ta "đề t r o n g d ầ u ngoặc k é p , vì d i ệ n t í c h c ù a ( T c l i t k h ô n g p h ả i là c á c

Cuồn 3 nói về các tính chất của đường tròn, tiếp tuyển

và giây cung Ở đây đặc biệt c ó định lý về phương tích

của một điềm đối với đường tròn

Cuốn 4 trình bày phép dựng các đa giác đểu với số cạnh là 3, 4, 5, lo, 15 Phương pháp dựng hình 15 cạnh

đều rất hay và có lẽ là cùa chính crclit

Cuốn 5 trình bày lý thuyết t i l ệ của (Tđôcx với sự chính xác cao và chặt chẽ về lập luận

Trong cuốn 6 chúng ta thấy lý thuyết về các hình đồng dạng và ứng dụng vào các bài toán tương đương với

b

việc giải phương trình bậc 2 dạng — (a + x) X = 5

Cuốn 7, 8 và 9 có nội dung là số học về các số nguyên

"được trình bày d ư ớ i dạng hình học Ở đây ta gặp thuật

tính crclit về việc tìm ước chung lớn nhất

Cuốn 10 gồm các phép đựng hình hình học đề tìm các căn bậc hai của các số nguyên Ta thầy có các phép

bậc hài và căn bậc 4 của chúng, v.v

Ba cuốn cuối cùng nói về hình học không gian Cuồn t h ứ l i gồm các định lý về vị trí t ư ơ n g đ ố i của đ ư ờ n g thẳng và mặt phàng, định lý về góc phang của góc đa điện, về sự song song và sự bằng nhau về thề tích cùa các hình chóp có đáy và chiểu cao t ư ơ n g

đ ư ơ n g

Cuốn t h ứ 12 nói về tỉ số diện tích các hình tròn và

t i số thể tích các hình đồng dạng Trong các định lý

về thể tích cùa hình chóp và hình nón, ơ c l i t đã sử đụng p h ư ơ n g pháp "lầy hết» cùa (Tđôcx

Cuối cùng cuồn 13 trình bày t i l ệ thề tích cùa các hình cầu và cách dựng 5 loại k h ố i đa diện đ ề u Mệnh

để cuối cùng khẳng định rằng ngoài 5 loại khối đa diệa đểu đó ra không còn một loại nào khác

Toàn bộ tác phẩm của ơclit thể hiện ý đồ muốn

xây dựng hình học một cách hết sức chặt chè Bỏ-i vậy ta thấy rằng ông đã không dùng trung điểm của fnột đoạn thẳng cho đến khi mà c h ư a chứng minh

đ ư ợ c sự tồn t ạ i cùa n ó Trong cuốn 3 ông đã chứng minh một cách thận trọng rằng «một đ ư ờ n g thẳng đi qua hai điểm của đ ư ờ n g tròn t h ì phải đi qua những điếm nằm trong đ ư ờ n g t r ò n » N h ư n g n h ư trên ta đã nói, ý đồ ấy không thực hiện đ ư ợ c một cách triệt đ ể

vì số tiên để cùa ơclit không đủ d ù n g

M ộ t nrtận xét khác : ta không hề gặp trong tập' «cơ bản» những ứng dụng thực tiễn của hình học Thậm chí không thấy nhắc đến t h ư ớ c và compa là những dụng cụ dựng hình để dựng đ ư ờ n g thẳng và đường tròn Điều đó không phải riêng gì trong tập «cơ bân)):

đó là một tác phong chung của t h ờ i bầy giờ trong phạm

vi hình học Các vấn đề cùa toán học ứng dụng và nhất là kỹ thuật tính toán không đ ư ợ c coi trọng và

do đó thành t ự u trong lĩnh vực đó rất nghèo nàn so

v ớ i các vằn đề lý thuyết

Đề két thúc phần trình bày ngắn gọn này về nội dung của tập «Cơ bản», chúng ta nhắc l ạ i rằng t r ả i qua hàng

bao nhiêu thè hệ các nhà toán học tập í Cơ bản,, vẫn lĩ

một mẫu mực đáng noi theo về p h ư ơ n g pháp xây dựng, một lý thuyết toán học Nếu n h ư đến cuối thế ký 19

34

chúng ta đã đưa ra một hệ tiên đề đầy đù về hình học,

thì thắng l ợ i đó chính là đã bắt nguồn t ừ tập tí Cơ

bản >: cùa ơclit vậy !

4 Acsimet thuộc về một số ít các nhà bác học thiên tài mà tác phẩm của họ có tác dụng to lớn và quyết định đ ố i v ớ i lịch sử khoa học, và đo đó đ ố i v ớ i lịch

sử phát t r i ể n cùa loài n g ư ờ i , về mặt đó Acsimet có thề

sánh đ ư ợ c v a i Niutơn

Ổng sinh năm 287 t r ư ớ c CN trong một gia đình buôn bán giàu có ớ thành Xiracut (phía nam đảo X i x i n ) Do ảnh hưồ-ng của n g ư ờ i cha la nhà thiên văn Phiđin, t ừ nhỏ Acsimet đã có lòng mê say nghiên cứu toán học và co- học Acsimet đã sang Alêxanđri làm việc trong t h ư viện n ồ i tiếng ờ đó Õng đã làm quen v ớ i nhiều nhà toán học ỏ- Alêxanđri và khi t r ớ về Xiracut ông vẫn còn g i ữ

liên hệ t h ư ờ n g xuyên v ớ i h ọ Ông t h ư ờ n g viết thư cho

nhà thiên văn Kônông và sau khi ông này chết thì váết

t h ư cho Đôxiphe và Eratôsthen Những bức t h ư này là những công trình khoa học thực sự, mỗi bức t h ư nói

về một chủ đề toán học trong đó thông báo những kết quả m ớ i đ ư ợ c chứng minh chính xác và đầy đủ

K h i trỏ" về Xiracut quê h ư ơ n g , ông làm việc rất nhiều

và hăng say Nhưng Acsimet không chi giới hạn trong phạm v i lý thuyết Ông còn là một nhà thực nghiệm rất sáng tạo K h i còn ớ A i cập ông đã phát minh ra chẵn vịc ( m à sau này còn gọi là vít Acsimet) đề hút n ư ớ c hiện nay còn đ ư ợ c sử dụng ớ Bắc phi

Tài năng về mặt đó của Acsimet đ ư ợ c thề hiện rực

r ỡ trong t h ờ i gian thành Xiracut bị phong tỏa bời quân

đ ộ i xâm l ư ợ c La mã d ư ớ i sự chi huy cùa thống t ư ớ n g

nên t ừ đó ông kết luận s = a bằng cách chứng

đủ p h ư ơ n g t i ệ n đề nêu ra một khái niệm chung về tích

phân định hạn, mớc dầu ông hình dung rất r õ

Những két quả khác trong cuốn «về phỏng nón '.'à

phồng cầu t ư ơ n g đ ư ơ n g v ớ i cái công thức sau đây :

« 1 Trong những đường có chung 2 mút, đường thẳng

là đ ư ờ n g ngắn nhất

2 Hai đ ư ờ n g khác nhau cùng nằm trong một mớt

phàng và cùng có hai mút chung thì sẽ luôn luôn không bằng nhau nếu chúng cùng l ồ i về một phía, và một đ ư ờ n g

38