Tập mờ và một số ứng dụng của nó

TR×ÍNG „I HÅC QUƒNG BœNHKHOA KHOA HÅC TÜ NHI–N... Ngo i ra, chóng tæi công ÷a ra mët sè ùng döng cõa tªp mítrong ph¥n t½ch h» thèng nh÷ tü ëng mí, ngæn ngú mí v quy¸t ành trongmæi tr÷íng

TR×ÍNG „I HÅC QUƒNG BœNHKHOA KHOA HÅC TÜ NHI–N

LÍI CƒM ÌN

Khâa luªn ÷ñc ho n th nh d÷îi sü h÷îng d¨n tªn t¼nh, nghi¶m tóc cõa cægi¡o h÷îng d¨n TS Ho ng Thà Duy¶n Em xin ÷ñc b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c

¸n cæ, ng÷íi ¢ ch¿ d¤y cho em nhúng ki¸n thùc, kinh nghi»m trong håc tªp

v  nghi¶n cùu khoa håc, ¢ ëng vi¶n em trong suèt thíi gian håc tªp, °c bi»t

l  trong qu¡ tr¼nh l m khâa luªn Em xin ch¥n th nh c£m ìn c¡c Quþ th¦y cæKhoa Khoa håc Tü nhi¶n, Tr÷íng ¤i håc Qu£ng B¼nh ¢ gi£ng d¤y trong qu¡tr¼nh em håc tªp, t¤o måi i·u ki»n thuªn lñi º ho n th nh cæng vi»c nghi¶ncùu cõa m¼nh

Cuèi còng, em xin gûi líi c£m ìn s¥u s­c ¸n nhúng ng÷íi th¥n, b¤n b±,gia ¼nh ¢ quan t¥m, gióp ï v  ëng vi¶n em trong suèt thíi gian håc tªp vøaqua

Sinh vi¶n

TRANG PHÖ BœA i

1.1 M¤ng l÷îi c¡c tªp con mí 4

1.2 nh x¤ mí 7

1.3 Tªp F l v  tªp L 13

1.4 Tªp mí v  x¡c su§t 15

CH×ÌNG 2 MËT SÈ ÙNG DÖNG CÕA TŠP MÍ 19 2.1 Ma trªn tr¶n mët l÷îi ¦y õ 19

2.2 Tü ëng mí 26

2.3 Ch÷ìng tr¼nh mí 30

1

MÐ †U

Kh¡i ni»m tªp mí ÷ñc giîi thi»u bði Zadeh v o n«m 1965 Kº tø â ¸nnay, lþ thuy¸t tªp mí ¢ ÷ñc nhi·u nh  nghi¶n cùu quan t¥m v  câ nhi·u ùngdöng trong nhúng l¾nh vüc khoa håc kh¡c nhau nh÷ nhªn d¤ng, ph¥n t½ch h»thèng, tr½ tu» nh¥n t¤o, kÿ thuªt i·u khiºn, lþ thuy¸t quy¸t ành, qu£n lþ,thèng k¶,

Do y¶u c¦u cõa thüc ti¹n, lþ thuy¸t tªp mí còng vîi nhúng ùng döng cõa

nâ ¢ trð th nh mët trong nhúng h÷îng mîi v  ÷ñc nghi¶n cùu sæi nêi trongnhi·u l¾nh vüc khoa håc kh¡c nhau, ch¯ng h¤n, Negoita v  Ralescu (n«m 1975)

¢ ÷a ra mët sè ùng döng cõa tªp mí trong ph¥n t½ch h» thèng, Klir v  Yuan(n«m 1996) ¢ nghi¶n cùu tªp mí v  mët sè ùng döng cõa nâ trong logic mí

v  h» thèng mí, G Bojadziev v  M Bojadziev (n«m 1996) ¢ nghi¶n cùu mët

sè ùng döng cõa tªp mí v  logic mí, G Bojadziev v  M Bojadziev (n«m 1997)

¢ nghi¶n cùu ùng döng cõa tªp mí trong t i ch½nh, kinh doanh v  qu£n lþ, Nh÷ vªy, vi»c nghi¶n cùu tªp mí v  mët sè ùng döng cõa nâ l  v§n · ÷ñcquan t¥m v  câ nhi·u þ ngh¾a

Vîi nhúng lþ do tr¶n, chóng tæi ¢ chån · t i

"Tªp mí v  mët sè ùng döng cõa nâ"

l m · t i cho khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc cõa m¼nh nh¬m tªp trung nghi¶ncùu v· lþ thuy¸t tªp mí bao gçm tªp mí, tªp -mùc, tªp F l v  tªp L, khænggian x¡c su§t mí Ngo i ra, chóng tæi công ÷a ra mët sè ùng döng cõa tªp mítrong ph¥n t½ch h» thèng nh÷ tü ëng mí, ngæn ngú mí v  quy¸t ành trongmæi tr÷íng mí

Ngo i ph¦n mð ¦u, k¸t luªn v  t i li»u tham kh£o, khâa luªn ÷ñc chia

th nh hai ch÷ìng

Trong Ch÷ìng 1, chóng tæi tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m cì b£n v· tªp míbao gçm m¤ng l÷îi c¡c tªp con mí, ¡nh x¤ mí, tªp F l v  tªp L, x¡c su§t mí

li¶n quan trüc ti¸p ¸n vi»c nghi¶n cùu cho c¡c ch÷ìng sau.

Ch÷ìng 2 ÷a ra mët sè ùng döng cõa tªp mí trong ph¥n t½ch h» thèngnh÷ tü ëng mí, ch÷ìng tr¼nh mí, quy¸t ành trong mæi tr÷íng mí

Chóng tæi ¢ r§t cè g­ng, nh÷ng vîi thíi gian, ki¸n thùc v  kinh nghi»mcõa b£n th¥n cán khi¶m tèn n¶n c¡c thi¸u sât cán tçn t¤i trong b i nghi¶n cùu

l  i·u khâ tr¡nh khäi Chóng tæi r§t mong nhªn ÷ñc sü thæng c£m, gâp þch¥n th nh cõa c¡c th¦y gi¡o, cæ gi¡o v  c¡c b¤n º · t i ÷ñc ho n thi»n v 

câ hi»u qu£ cao hìn

TŠP MÍ

Trong ch÷ìng n y, chóng tæi tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m cì b£n v· tªp mí,

¡nh x¤ mí, tªp F l v  tªp L, tªp mí v  x¡c su§t l m cì sð º nghi¶n cùu Ch÷ìng

2 cõa · t i C¡c ki¸n thùc ð ch÷ìng n y ÷ñc chóng tæi tr½ch d¨n tø c¡c t ili»u [1]-[4]

Ta k½ hi»u Ch(X) = f : X ! f0; 1gg Khi â Ch(X) l  ¤i sè Booleanvîi c¡c ph²p to¡n _; ^; nh÷ sau:

Khi â ta câ c¡c ¯ng thùc sau:

  = 1Ch(X);

  = 1P(X);trong â 1M : M ! M k½ hi»u l  ¡nh x¤ çng nh§t, 1M(x) = x

Do â thay v¼ nghi¶n cùu tr¶n mæ h¼nh trüc quan P(X) n y ta s³ nghi¶ncùu tr¶n mæ h¼nh to¡n håc Ch(X)

Ta x²t mæ h¼nh tªp hñp cê iºn (1.1) Chó þ r¬ng, nhúng gi£ thi¸t cì b£ncõa mæ h¼nh n y l  mët èi t÷ñng thuëc ho°c khæng thuëc mët tªp ¢ cho Tuynhi¶n mæ h¼nh n y khæng phò hñp khi mæ t£ nhúng m»nh · khæng ch½nh x¡c,v½ dö: "77 l  mët sè lîn" Theo quan iºm cõa lþ thuy¸t tªp hñp th¼ ta c¦n ph£i

câ ành ngh¾a tèt cho mët tªp hñp gçm c¡c sè lîn º gi£i quy¸t v§n · n y th¼chóng ta ÷a ra kh¡i ni»m tªp mí Trong v½ dö tr¶n, tªp c¡c sè lîn l  mët tªpcon mí cõa tªp hñp sè thüc Trong tr÷íng hñp n y, vai trá cõa P(X) b¥y gií

÷ñc coi nh÷ l  tªp hñp v  Pi(X) l  m»nh · khæng ch½nh x¡c v· c¡c ph¦n tû

cõa X C¥u häi ti¸p theo ÷ñc °t ra l  li»u câ c¡ch n o º mæ h¼nh to¡n håc

Pi(X) hay khæng? Þ t÷ðng ch½nh trong vi»c x¥y düng mæ h¼nh to¡n håc cho

Pi(X) l  li¶n k¸t méi ph¦n tû cõa X vîi mët h m th nh vi¶n cõa tªp con mícõa X Do â chóng ta thay th¸ Ch(X) bði F(X) = fj : X ! [0; 1]g l  tªpgçm c¡c h m th nh vi¶n

Tø nhúng nhªn x²t ð tr¶n, chóng tæi ành ngh¾a tªp mí nh÷ sau:

ành ngh¾a 1.1.1 Mët tªp con mí cõa X l  mët ¡nh x¤

 : X ! [0; 1]

º ph¥n bi»t vîi c¡c ph¦n tû cõa F(X), ta s³ k½ hi»u c¡c ph¦n tû cõa Pi(X)

l 

A ; B ; C ; ::: 2 Pi(X):

ành ngh¾a 1.1.2 Trong F(X) ta ành ngh¾a c¡c ph²p to¡n sau ¥y:

i2I

i)(x) = infi2Ii(x):

Cho hai tªp kh¡c réng X v  Y v  ¡nh x¤ f : F(X) ! F(Y), f() = 0:

ành ngh¾a 1.1.4 nh x¤ ng÷ñc f 1cõa f ÷ñc x¡c ành bði cæng thùc

v  Y l  tªp hñp (0; +1), khi â ta câ c¡c mèi li¶n h»:

"S¡ch hay" 7! "Gi¡ cao"

"S¡ch khæng hay" 7! "Gi¡ th§p"

mæ t£ mët ¡nh x¤ mí tø X v o Y

ành ngh¾a 1.2.3 Cho f : X Y v  g : Y Z l  hai ¡nh x¤ mí Khi â

B¥y gií chóng ta s³ nghi¶n cùu mët sè t½nh ch§t cõa quan h» mí.

K½ hi»u F(X; Y ) = ffjf : X Y g Ta th§y r¬ng F(X; Y ) l  mët l÷îi Tø

¯ng thùc F(X; Y ) = F(X  Y ), vîi måi x 2 X; y 2 Y ta câ

(f _ g)(x; y) = f(x; y) _ g(x; y);

(f ^ g)(x; y) = f(x; y) ^ g(x; y)

v  thù tü tr¶n F(X; Y ) ÷ñc cho bði

f 6 g , f(x; y) 6 g(x; y):

D÷îi ¥y l  mët sè t½nh ch§t cõa quan h» mí

M»nh · 1.2.6 N¸u f 2 F(X; Y ); g; g0 2 F(Y; Z) l  c¡c quan h» th¼ ta câ:

ành lþ 1.2.8 N¸u A

2 Pi(X) v  fNg2[0;1] l  hå c¡c tªp -mùc th¼

A =

ành ngh¾a 1.2.10 Cho X, Y l  hai tªp kh¡c réng v  A

2 Pi(X); B 2 Pi(Y).Mët ¡nh x¤ mí tø A

v o B , k½ hi»u l  f : A B l  ¡nh x¤ f : X ! Y sao cho

sì ç sau giao ho¡n

 ADD""D D

Cho C

2 Pi(Z) v  hai ¡nh x¤ mí f : A B ; g : B C vîi

B  f = A; C g = B:Khi â ¡nh x¤ mí g  f : A

B Do â ta i ¸n ành ngh¾a sau ¥y.

ành ngh¾a 1.2.11 Cho A

2 Pi(X); B 2 Pi(Y) nh x¤ mí f tø A v o B , k½hi»u f : A

ành ngh¾a 1.2.13 Cho A

2 Pi(X); B 2 Pi(Y ) Ta gåi A  B 2 Pi(X  Y ) l t½ch cõa hai tªp mí A

v  B , ÷ñc x¡c ành bði:

A B (x; y) = A(x) ^ B(y)Nhªn x²t 1.2.14 N¸u "
" l  ph²p to¡n trong [0,1] thäa:

1
1 = 1; 1
0 = 0
1 = 0
0 = 0chóng ta câ thº x¡c ành t½ch cõa hai tªp mí A

v  B nh÷ sau:

A B (x; y) = A(x)
B(y):

1.3 Tªp F l v  tªp L

Cho X l  tªp kh¡c réng v  E; F l  c¡c tªp con kh¡c réng cõa X

ành ngh¾a 1.3.1 Tªp F l l  c°p F = (E; F ), trong â E  F Tªp hñp t§tc£ c¡c tªp F l ÷ñc k½ hi»u l  Fl(X)

ành lþ 1.4.8 K½ hi»u Fb(Rn)  F(Rn) l  tªp hñp t§t c£ c¡c bi¸n cè mí trong

Rn Khi â bë ba (Rn; Fb(Rn); P ) l  khæng gian x¡c su§t mí

Chùng minh Tr÷îc ti¶n, ta ph£i chùng minh Fb(Rn) l  mët ¤i sè mí c¡c tªpcon cõa Rn Thªt vªy, vîi måi ; 0 2 Fb(Rn), ta câ:

fxj( _ 0)(x) > g = fxj(x) > g [ fxj0(x) > g

Do â Fb(Rn) l  mët ¤i sè mí c¡c tªp con cõa Rn:

Ti¸p theo, ta chùng minh P l  mët x¡c su§t mí Thªt vªy, ta câ:

a) P (Rn) = RRndp(x) = p(Rn) = 1

b) X²t E

v  F l  c¡c bi¸n cè mí trong Rn Khi â

P (E [ F ) + P (E \ F ) =

Nhªn x²t 1.4.9 (i) ành lþ 1.4.9 ch¿ ra r¬ng, méi khæng gian x¡c su§t(Rn; B; p) câ thº ÷ñc li¶n k¸t vîi mët khæng gian x¡c su§t mí (Rn; Fb(Rn); P )

R nE(x)dp(x):

MËT SÈ ÙNG DÖNG CÕA TŠP MÍ

Trong ch÷ìng n y, chóng tæi tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m cì b£n v· ma trªntr¶n mët l÷îi ¦y õ, mët sè ùng döng cõa tªp mí trong ph¥n t½ch h» thèng baogçm: Tü ëng mí, ch÷ìng tr¼nh mí v  ph¥n lîp mí C¡c k¸t qu£ cõa ch÷ìng

n y ÷ñc vi¸t tø t i li»u [1]-[4]

2.1 Ma trªn tr¶n mët l÷îi ¦y õ

Trong ph¦n n y chóng tæi ÷a ra ành ngh¾a v  mët sè t½nh ch§t cõa matrªn mí tr¶n mët l÷îi ¦y õ Ngo i ra chóng tæi công ành ngh¾a v  ÷a ramët sè ph²p to¡n tr¶n tªp c¡c ma trªn mí

ành ngh¾a 2.1.1 Nûa v nh S l  mët tªp hñp còng vîi 2 ph²p to¡n cëng "+"

v  nh¥n "
", (S; +;
) thäa c¡c i·u ki»n sau:

1) (S; +) l  mët nûa nhâm giao ho¡n

ành ngh¾a 2.1.2 Mët tªp s­p thù tü (S; 6) còng vîi hai ph²p to¡n cëng

2) Mët l÷îi èi ng¨u (N; _; ^) l  mët nûa v nh thù tü, tùc N l  mët nûa

S l  mët quan h» mí giúa hai tªp húu h¤n (ph¦n 1-2) Kþ hi»u F M(m; n) tªpc¡c ma trªn mí tr¶n S kiºu (m; n) tr¶n S v  F M(n; n) ÷ñc k½ hi»u gån l 

F M(n):

M»nh · 2.1.6 Tªp c¡c ma trªn mí F M(n) tr¶n S l  mët nûa v nh thù tü

Chùng minh Vîi A = (aij); B = (bij) 2 F M(n), ta ành ngh¾a hai ph²p to¡ncëng " + " v  nh¥n "
" nh÷ sau

Ti¸p theo ta chùng minh c¡c ph²p to¡n tr¶n thäa c¡c i·u ki»n 1)-3) trong

ành ngh¾a 2.1.1 Thªt vªy,

(i) (F M(n); +) l  mët nûa nhâm giao ho¡n

Vîi måi A = (aij); B = (bij); C = (cij) 2 F M(n), ta câ

B + A = bij + aij:V¼ S l  nûa v nh thù tü n¶n vîi måi i; j = 1; :::; n

aij + bij = bij + aij:

Do â

A + B = B + A:

(ii) (F M(n); +) l  mët nûa nhâm

Vîi måi A = (aij); B = (bij); C = (cij) 2 F M(n), ta câ

Ta x²t S1 = (L; _; ^) v  S2 = (L; ^; _)) l  c¡c l÷îi ¦y õ vîi 0 v  1 Khi âT½ch trong F M(n) tr¶n S1 (t÷ìng ùng, tr¶n S2) ÷ñc k½ hi»u l  "  " (t÷ìngùng, "  ") ÷ñc x¡c ành bði

X²t (G; +; _; ^) l  nhâm s­p thù tü sao cho "+" câ t½nh giao ho¡n, (G; _; ^)

l  mët l÷îi ¦y õ v  L l  mët l÷îi con ¦y õ cõa G

L = fx 2 G : 0 6 x 6 1g;

trong â 0 l  ph¦n tû trung háa cõa G

Chó þ r¬ng, vîi måi x; y; z 2 G n¸u x 6 y th¼ ta câ x + z 6 y + z Tak½ hi»u MG(n) l  tªp c¡c ma trªn vîi c¡c ph¦n tû n¬m trong G Khi â ta câ

d = A"

d  B"

d

Chùng minh ¦u ti¶n ta chùng minh ¯ng thùc thù nh§t

Ta câ A + D; A D =2 F M(n), A + D; A D 2 MG(n) Ta câ thº kiºm tra

÷ñc c¡c ¯ng thùc sau

(M  N) ^ 1 = (M ^ 1)  (N ^ 1)

(A + D)  (B + D) = A  B + D:

V¼ (x + z) ^ (y + z) = x ^ y + z v  (x + z) _ (y + z) = x _ y + z vîi måi x; y; z 2 Gn¶n ta câ

A0dBd0 = [(A+D)^1][(B+D)^1] = [(A+D)(B+D)]^1 = (AB+D)^1 = (AB)0d:Chùng minh ¯ng thùc thù hai ho n to n t÷ìng tü

Chùng minh t÷ìng tü cho ph²p to¡n 

M»nh · 2.1.9 C¡c ¯ng thùc d÷îi ¥y x£y ra:

(A  B)0d = A0d Bd0(A  B)"d = A"d  Bd"

Chùng minh ¦u ti¶n ta chùng minh ¯ng thùc thù nh§t

Ta câ A + D; A D =2 F M(n), A + D; A D 2 MG(n) Ta câ thº kiºm tra

A0dBd0 = [(A+D)^1][(B+D)^1] = [(A+D)(B+D)]^1 = (AB+D)^1 = (AB)0d:Chùng minh ¯ng thùc thù hai ho n to n t÷ìng tü

V½ dö 2.1.10 Gi£ sû L = [0; 1], G = R Khi â

 : X  U  X ! [0; 1], : X  Y ! [0; 1] l  c¡c quan h» mí.

Gi¡ trà ban ¦u câ thº l  mët iºm x0 2 X ho°c l  mët tªp con mí 0 cõaF(X) ho°c l  mët vecto mí 0 = (i1; :::; in), trong â ij 2 [0; 1] l  gi¡ trà cõatªp mí t¤i tr¤ng th¡i ban ¦u xj 2 X:

Cho xi; xj 2 X, ta k½ hi»u x i ;x j(u) = (xi; u; xj) Khi â  câ thº ÷ñc xem

l  mët hå c¡c ma trªn mí tr¶n [0; 1]

u 2 U ) Tu 2 F M(n); Tu = (xi;xj(u))1i;jn:Ngo i ra, ¡nh x¤ 2 F M(n; p):

Ti¸p theo chóng ta ÷a ra ành ngh¾a têng qu¡t hìn b¬ng c¡ch thay th¸quan h» mí b¬ng quan h» L-mí nh÷ sau

ành ngh¾a 2.2.2 Mët tü ëng mí (húu h¤n) l  mët phùc hñp

U = fU; X; Y; (Tu)u2U; 0; 1gtrong â U 6= ; l  tªp hñp húu h¤n gçm c¡c ¦u v o, X = fx1; x2; :::; xng l tªp c¡c tr¤ng th¡i ban ¦u, Y = fy1; y2; :::; yng l  tªp hñp c¡c ¦u ra, (Tu)u2U

l  hå c¡c ma trªn mí, trong â Tu = (xi;xj(u))1i;jn l  ma trªn chuyºn mí,

 : X  U  X ! L, 0 = (i1; :::; in) l  tr¤ng th¡i ban ¦u vîi ij 2 L;

N¸u ta kþ hi»u T = (x i ;x j())16i;j6n th¼ x i ;x j() = (xi; ; xj)

ành ngh¾a 2.2.4 H m tr£ k¸t qu£ cõa tü ëng mí U tø tr¤ng th¡i ban ¦u

0 l 

fU : U ! F M(1; p)

fU() = 0 T  1:V½ dö 2.2.5 X²t Y = fy0g ¦u ra duy nh§t v  1 x¡c ành bði

1 =

0 B B B B B B B B B

@

f1

:::

fn

1 C C C C C C C C C A

vîi fi l  bªc cõa ph²p chuyºn tø tr¤ng th¡i xj 2 X v o ¦u ra y0 Do â tü

ành lþ 2.2.6 N¸u u 2 U v  fTugii = 1; i = 1; :::; n th¼

I 6 Tu 6 Tu 2 6 ::: 6 Tu n 1 = Tu n = :::

V½ dö 2.2.7 Gi£ sû XF  X l  tªp gçm c¡c tr¤ng th¡i cuèi còng v  tr¤ng th¡i

mí cuèi còng 1 ÷ñc cho bði

1 =

0 B B B B B B B B B

@

f1

:::

fn

1 C C C C C C C C C A

Ta công k½ hi»u Aut(U) l  hå gçm t§t c£ c¡c tü ëng mí vîi tªp c¡c chú c¡i

U Khi â h m tr£ v· cõa ngæn ngú mí fU l  ¡nh x¤  : Aut(U) ! L(U) ÷ñcx¡c ành bði cæng thùc (U) = fU:

Ta ành ngh¾a trong Aut(U) ti·n thù tü

U1; U2 2 Aut(U); U1  U2 , fU 1 6 fU 2:

i·u ki»n õ º câ U1  U2 l 

M»nh · 2.2.9 N¸u Ui = fXi; (Ti

u)u2U; i

0; i

1 2 Aut(U)g; i = 1; 2 v  ta câ:a) cardX1 = cardX2,

b) u 2 U ) T1

u 6 T2

u,c) 1

ành lþ 2.2.10 Cho ¡nh x¤  : Aut(U) ! L(U); (U) = fU th¼ Im  =

ffUjU 2 Aut(U)g l  mët l÷îi ¦y õ

Chùng minh Cho fU 1; fU 2 2 Im , ta ph£i chùng minh fU 1 ^ fU 2 2 Im  v 

2 1

2 1

1 A

Nhªn x²t 2.2.11  thäa m¢n c¡c t½nh ch§t sau ¥y:

(i) (U1q U2) = (U1) _ (U2),

(ii) (U1 2) = (U1) ^ (U2)

Ti¸p theo chóng tæi ÷a ra mët sè mæ h¼nh cõa c¡c quy¸t ành trong mæitr÷íng mí Tr÷îc h¸t, chóng tæi tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m cì b£n li¶n quan

¸n ch÷ìng tr¼nh mí nh÷ möc ti¶u mí, r ng buëc mí, quy¸t ành mí Tø âchóng tæi x¥y düng mët sè mæ h¼nh li¶n quan ¸n tèi ÷u mí

2.3 Ch÷ìng tr¼nh mí

¦u ti¶n chóng tæi tr¼nh b y c¡c kh¡i ni»m cì b£n cõa qu¡ tr¼nh t¤o n¶nquy¸t ành trong mët mæi tr÷íng mí

Cho X l  tªp hñp kh¡c réng Tr¶n thüc t¸, ta xem X l  tªp m  méi ph¦n

tû cõa nâ ÷ñc dòng º ÷a ra c¡c r ng buëc ho°c möc ti¶u Ta k½ hi»u F(X)

l  tªp hñp gçm c¡c tªp con mí cõa X

ành ngh¾a 2.3.1 Möc ti¶u mí trong X l  tªp con mí cõa X:

V½ dö 2.3.2 X²t h» thèng S v  xT tr¤ng th¡i cuèi còng cõa nâ, xT 2 Rn.Gi£ sû r¬ng ta c¦n gi¡ trà xT g¦n 0 Trong tr÷íng hñp n y, ta x²t tªp mí cõa

ành ngh¾a 2.3.3 R ng buëc mí trong X l  tªp con mí cõa X:

V½ dö 2.3.4 X²t h» thèng S trong V½ dö 2.3.2 v  ta k½ hi»u ut l  gi¡ trà ¦u

v o t¤i thíi iºm t, ut 2 Rn

Mët r ng buëc mí trong Rn câ thº x¡c ành nh÷ sau

0 = "gi¡ trà ut g¦n u0"; u0 2 Rn:Cæng thùc biºu di¹n cõa 0 l 

ành ngh¾a 2.3.5 Quy¸t ành mí trong X l  tªp con mí cõa X ÷ñc cho bði

çng thíi ta xem x²t c¡c r ng buëc mí d÷îi ¥y:

 0 0,1 0,4 0,7 0,8Vªy ta câ

Cho figpi=1; f0

jgqj=1 t÷ìng ùng l  c¡c möc ti¶u mí v  c¡c r ng buëc mí v c¡c ¡nh x¤ i; j : X ! [0; +1), i = 1; :::; p, q = 1; :::; q sao cho

(4i) Trong ngæn ngú cõa Pi(X) v  Pi(Y) thay v¼ F(X) v  F(Y), n¸u ta kþhi»u fG

ig

p i=1; fC

jg

q j=1 l  c¡c möc ti¶u v  c¡c r ng buëc t÷ìng ùng, quy¸t

ành mí l  D

2 Pi(X) sao choD

ành ngh¾a 2.3.11 Quy¸t ành mí lîn nh§t l  tªp

M= fx0 2 Xj(x0) = sup

x2X(x)g;

trong â  2 F(X) l  mët quy¸t ành mí

Ph¦n tû x0 2 M ÷ñc gåi l  quy¸t ành mí lîn nh§t N¸u X l  tªp húuh¤n th¼ ta câ

x0 2 M , (x0) = maxx2X (x)D÷îi ¥y chóng ta x²t mët sè mæ h¼nh li¶n quan ¸n c¡c quy¸t ành mí ¢

÷ñc ành ngh¾a ð tr¶n

X²t tü ëng mí húu h¤n U = fU; X; g; vîi U; X l  c¡c tªp húu h¤n v 

 : X  U ! X Ph÷ìng tr¼nh tr¤ng th¡i l  xt+1 = (xt; ut); t = 0; 1; :::; T 1,trong â T l  thíi gian cuèi còng cè ành v  x0 2 X l  tr¤ng th¡i ban ¦u.Gi£ sû c¡c r ng buëc mí l  f0; 1; :::; T 1g; i 2 F(U), trong â i ÷ñc

¡p °t cho ¦u v o ui, 0 6 i 6 T 1 Ngo i ra, ta gi£ sû möc ti¶u mí 0

T ¡p

°t cho tr¤ng th¡i cuèi còng xT

X²t c¡c ¦u v o gçm c¡c ph¦n tû cõa tªp fu0; u1; :::; uT 1g Gi£ sû quy¸t

Ti¸p theo chóng tổi ữa mởt số mổ hẳnh cừa cĂc quyát nh mổitrữớng mớ Trữợc hát, chúng tổi trẳnh by mởt số khĂi niằm cỡ bÊn liản quan

án chữỡng trẳnh mớ nhữ...

x0 M , (x0) = maxx2X (x)Dữợi Ơy xt mởt số mổ hẳnh liản quan án cĂc quyát nh mớ Â

ữủc nh nghắa trản

Xt tỹ ởng mớ hỳu