Một số ứng dụng của giải tích phi tuyến vào phương trình vi phân

3 1 Một số kiến thức chuẩn bị 5 1.1 Khái niệm đạo hàm Gâteaux, đạo hàm Fréchet của phiếm hàm khả vi trong không gian Banach.. 17 2 Ứng dụng trong phương trình vi phân 20 2.1 Sự tồn tại d

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN THỊ OANH

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA GIẢI TÍCH PHI TUYẾN VÀO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Chuyên ngành: Toán Giải tích

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

1 TS NGUYỄN THÀNH CHUNG

2 PGS TS HOÀNG QUỐC TOÀN

HÀ NỘI−2016

Mục lục

Lời nói đầu 3

1 Một số kiến thức chuẩn bị 5 1.1 Khái niệm đạo hàm Gâteaux, đạo hàm Fréchet của phiếm hàm khả vi trong không gian Banach 5

1.2 Không gian Sobolev và định lý nhúng 6

1.2.1 Không gian Lp 7

1.2.2 Không gian H ¨older 8

1.2.3 Không gian Sobolev và định lý nhúng 9

1.3 Sự hội tụ mạnh, hội tụ yếu trong không gian Banach 12

1.4 Tính nửa liên tục dưới yếu của phiếm hàm khả vi trong không gian Banach Điều kiện Coercive của phiếm hàm 14

1.5 Cực trị của phiếm hàm Điều kiện tồn tại cực trị của phiếm hàm 16

1.6 Điều kiện Palais - Smale và định lý qua núi 17

2 Ứng dụng trong phương trình vi phân 20 2.1 Sự tồn tại duy nhất nghiệm yếu của bài toán biên đối với phương trình vi phân 20

2.2 Bài toán giá trị riêng 30

2.3 Áp dụng định lý qua núi 32

Kết luận 40

LỜI NÓI ĐẦU

Trước hết ta có một nhận xét rằng: Trong giải tích cổ điển, một trongnhững ứng dụng quan trọng nhất của khái niệm đạo hàm là khảo sát bài toáncực trị Mà bài toán cực trị thường xuất hiện khi nghiên cứu các lớp bài toánquan trọng khác của toán học, trong đó bao gồm cả những mô hình toán họccủa các bài toán vật lý và cơ học Để thấy được mối liên hệ này, ta hãy lấymột ví dụ đơn giản sau đây:

Ta xét phương trình f (x) = 0 trong khoảng I ⊂ R, trong đó f (x) là hàmliên tục trong I Để giải quyết bài toán này người ta có thể đưa về tìm cựctrị địa phương của một hàm khả vi F (x), x ∈ I thoả mãn

F0(x) = f (x), x ∈ I

Tuy nhiên việc tìm cực trị địa phương của một hàm khả vi F (x) như vậy

là một bài toán không tầm thường Vì vậy để tìm nghiệm của phương trình

f (x) = 0 trong khoảng I người ta có thể tìm các điểm tới hạn của hàm F (x)trong I, tức là các điểm x0 mà tại đó F0(x0) = 0 Đây cũng chính là ý tưởngcủa phương pháp biến phân

Trong nhiều phương pháp của giải tích phi tuyến ứng dụng vào phươngtrình vi phân không tuyến tính thì phương pháp biến phân tỏ ra có hiệu quảhơn cả

Ý tưởng của phương pháp biến phân áp dụng vào phương trình vi phândựa trên cơ sở lý thuyết điểm tới hạn của phiếm hàm khả vi trong khônggian Banach, mà nội dung của nó là đưa bài toán đang xét về việc nghiêncứu một phiếm hàm F khả vi liên tục theo một nghĩa nào đó trong không

gian Banach được chọn thích hợp (gọi là phiếm hàm năng lượng liên kết vớibài toán) sao cho điểm tới hạn của phiếm hàm F là nghiệm yếu của bài toánđang xét Một phương pháp thông thường để tìm điểm tới hạn của phiếmhàm là tìm điểm cực tiểu của phiếm hàm đó Tuy nhiên việc tìm điểm cựctiểu của một phiếm hàm không hề đơn giản Vì vậy, trong nhiều trường hợpngười ta quan tâm đến các điểm yên ngựa (không phải là điểm cực tiểu) củacác phiếm hàm năng lượng Việc tìm các điểm yên ngựa của một phiếm hàmđược dựa vào các nguyên lý biến phân.

Mục đích của luận văn này là làm quen với một số vấn đề của giải tíchphi tuyến, cụ thể là phương pháp biến phân và ứng dụng để khảo sát sự tồntại nghiệm của một vài lớp phương trình vi phân thường không tuyến tính.Nội dung chính của luận văn gồm có 2 chương:

Chương 1 Dành cho việc trình bày lại một số khái niệm, nội dung quantrọng được sử dụng trong luận văn

Chương 2 Trình bày ứng dụng của phương pháp giải tích phi tuyến vàophương trình vi phân

Hà Nội, ngày 09 tháng 10 năm 2016

Nguyễn Thị Oanh

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng tôi trích dẫn các khái niệm, định lý và một sốkiến thức bổ trợ được sử dụng trong luận văn

của phiếm hàm khả vi trong không gian Banach

Mục tiêu chính của phần này là trình bày lại các khái niệm đạo hàm trongkhông gian Banach và các tính chất quan trọng của chúng

Định nghĩa 1.1.1 (Đạo hàm Gâteaux) Giả sử X là không gian Banach,

x ∈ X, f : X → R (hoặc C) là một phiếm hàm xác định trên X Ta nói fkhả vi Gâteaux tại điểm x nếu tồn tại ánh xạ δf (x) tuyến tính và liên tụcsao cho

trên tập X.

Định nghĩa 1.1.2 (Đạo hàm Fréchet) Cho X là không gian Banach, f làphiếm hàm xác định trên X Ta nói phiếm hàm f khả vi mạnh hay khả viFréchet tại điểm u ∈ X nếu tồn tại một ánh xạ tuyến tính liên tục, ký hiệu

là f0(u) ∈ X∗ (X∗ là không gian đối ngẫu của X) và được gọi là đạo hàmFréchet của f tại u sao cho

f0 : X → X∗,

là đạo hàm Fréchet của f

Nếu f : X → R khả vi Fréchet tại x thì f khả vi Gâteaux tại x Nếu

f : X → R có đạo hàm Gâteaux δf liên tục trong X thì f khả vi Fréchet và

f ∈ C1(X, R)

Điểm u ∈ X thỏa mãn phương trình f0(u) = 0 được gọi là điểm tới hạn,ngược lại nếu f0(u) 6= 0 thì u được gọi là điểm đều ( hay điểm chính quy)của f Số β ∈ R được gọi là giá trị tới hạn của f nếu tồn tại một điểm tớihạn u ∈ X sao cho

f (u) = β, f0(u) = 0

Trong phần này ta nhắc lại một số định nghĩa, tính chất quan trọng củakhông gian Lp(Ω), không gian H ¨older , không gian Sobolev và định lý nhúng

Khi đó Lp(Ω) là không gian Banach với chuẩn

kf kp = kf kLp (Ω) =



Z

Định nghĩa 1.2.2 Với p ∈ [1, +∞) ta định nghĩa

L1loc(Ω) = {f : f ∈ Lp(K) , ∀K ⊂⊂ Ω}

Kí hiệu (K ⊂⊂ Ω) nghĩa là K là tập compact trong Ω

Nhận xét 1.2.1 • Nếu Ω là tập hợp mở trong Rn và p ∈ [1, +∞) thì

C0∞(Ω) trù mật trong Lp(Ω)

• Nếu meas(Ω) < +∞ (meas(Ω) ký hiệu độ đo Lebesgue của Ω) và

1 ≤ q < p ≤ ∞ thì không gian Lp(Ω) nhúng liên tục vào Lq(Ω), được

kí hiệu là Lp(Ω) ,→ Lq(Ω) và ta có

kf kq ≤ (meas(Ω))1p − 1

q.kf kp, ∀f ∈ Lp(Ω) Mệnh đề 1.2.1 • Giả sử dãy {fn} hội tụ đến f trong Lp(Ω) Khi đó

tồn tại dãy con {fnk} hội tụ đến f hầu khắp nơi và tồn tại g(x) ∈

Lp(Ω), g(x) ≥ 0 sao cho

|fnk (x)| ≤ g (x) hầu khắp nơi trong Ω

• (Định lý hội tụ trội) Giả sử {fn} là dãy các hàm khả tích trên Ω,

fn → f hầu khắp nơi và giả sử tồn tại g(x) ∈ L1(Ω) , |fn(x)| ≤ g (x).Khi đó

Trước hết, ta có định nghĩa không gian H ¨older

Định nghĩa 1.2.3 (Không gian H ¨older) Hàm f : Ω → R (hoặc C) đượcgọi là liên tục H ¨older với chỉ số γ (0 < γ ≤ 1) nếu tồn tại hằng số c > 0 saocho bất đẳng thức

|f (x) − f (y)| ≤ ckx − ykγ

Ω

thỏa mãn với mọi x, y ∈ Ω

Tập hợp tất cả các hàm liên tục H ¨older với chỉ số γ được ký hiệu là

C0,γ Ω

C0,γ Ω
là không gian Banach theo chuẩn

kf kC0,γ(Ω) = sup

x∈Ω

|f (x)| + sup

x,y∈Ω x6=y

|f (x) − f (y)|

kx − ykγ .

Định nghĩa 1.2.4 (Không gian Sobolev) Giả sử Ω = (a, b) là một khoảng

Trong không gian W1,p(Ω) ta xác định chuẩn

kukW1,p = kukLp + ku0kLp,trong đó u0 là đạo hàm yếu của u Đôi khi, nếu 1 < p < ∞ thì không gianđược trang bị với chuẩn

kukW1,p = kukpLp + ku0kpLp

1/p

Không gian W1,2(Ω) được trang bị với chuẩn

kukW1,2 (Ω) =kuk2L2 + ku0k2L2

1/2,

Khi đó W1,p là không gian Banach và W1,2(Ω) là không gian Hilbert

Mệnh đề 1.2.2 (Xem [3] Bổ đề 8.1) Giả sử f ∈ L1loc(Ω) thỏa mãn

Z

Ω

f ϕ0dx = 0, ∀ϕ ∈ C0∞(Ω) Khi đó tồn tại một hằng số C sao cho f = C trên Ω

Mệnh đề 1.2.3 (Xem [3] Mệnh đề 8.3) Giả sử u ∈ Lp, trong đó 1 < p < ∞.Khi đó các khẳng định sau là tương đương

u ∈ W01,p(Ω) khi và chỉ khi u = 0 trên ∂Ω

Bổ đề 1.2.1 (Bất đẳng thức Poincaré, xem [3] Mệnh đề 8.13) Giả sử Ω làkhoảng bị chặn Khi đó sẽ tồn tại một hằng số C sao cho

kukW1,p (Ω) ≤ Cku0kLp (Ω), ∀u ∈ W1,p0 (Ω) Mệnh đề 1.2.6 (Định lý nhúng Sobolev)(Xem [6] Định lý 1.2.26) Cho k ∈

N+, p ∈ [1, +∞)

Ở đây X ,→,→ Y có nghĩa là phép nhúng X vào Y là compact.

Nhận xét 1.2.2 Trong luận văn này ta áp dụng hai định lý trên trongtrường hợp Ω là khoảng hữu hạn và số chiều n = 1

1.3 Sự hội tụ mạnh, hội tụ yếu trong không

gian Banach

Phần này giới thiệu về sự hội tụ mạnh, hội tụ yếu trong không gianBanach, một trong những khái niệm quan trọng được dùng trong chương 2.Định nghĩa 1.3.1 Cho X là không gian Banach Kí hiệu X∗ là tập tất cảcác phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X Dãy {xn} trong X được gọi là hội

tụ yếu đến x, (kí hiệu xn * x trong X) nếu f (xn) → f (x) ∀f ∈ X∗

Định nghĩa 1.3.2 Sự hội tụ theo chuẩn trong không gian Banach được gọi

là sự hội tụ mạnh

Bổ đề 1.3.1 Nếu xn → x thì xn * x

Chứng minh Giả sử xn → x trong X, tức là lim

n→+∞kxn− xkX = 0 Khi đó[|f (xn) − f (x)| = |f (xn− x)| ≤ kf k kxn− xkX → 0 khi n → +∞

Từ đó f (xn) → f (x) khi n → +∞, với mọi phiếm hàm f ∈ X∗

Theo định nghĩa về sự hội tụ yếu nêu trên ta được xn * x

Mệnh đề 1.3.1 Giả sử A : X → Y là compact và xn * x trong X Khi đó

Axn → Ax trong Y

Chứng minh Đầu tiên ta chứng minh Axn * Ax trong Y , tức là cần chứngminh với mọi hàm f ∈ Y∗ thì f (Axn) → f (Ax) Ta có g = foA là ánh xạtuyến tính từ X vào R và bị chặn

|g (x)| ≤ kf kY∗.kAkL(X,Y ).kxkX.Khi đó g ∈ X∗, mà xn * x nên theo định nghĩa về sự hội tụ yếu trong khônggian Banach ta có

thỏa mãn

Axn

kj → z nào đó

Do sự hội tụ mạnh dẫn đến sự hội tụ yếu và giới hạn yếu là duy nhất nên

z = Ax Điều này mâu thuẫn với Axn 9 Ax.

Định nghĩa 1.3.3 Một không gian Banach X được gọi là lồi đều nếu

∀ε > 0, ∃δ = δ (ε) > 0 : ∀x, y ∈ X, kxk = kyk = 1, kx − yk ≥ ε

thì ta có 1 − x+y2 ≥ δ

Một số tính chất

1 Không gian lồi đều là phản xạ, tức là (X∗)∗ = X.

2 Các không gian Hilbert, không gian Lp(Ω), không gian W1,p(Ω) với

1 < p < +∞ là những không gian lồi đều

3 Nếu X là không gian Banach lồi đều, xn * x và kxnk → kxk thì

xn → x trong X

khả vi trong không gian Banach Điều kiện Coercive của phiếm hàm

Một trong những công cụ quan trọng để nghiên cứu điểm cực trị toàn cục

là điều kiện Coercive và tính nửa liên tục dưới yếu của phiếm hàm

Định nghĩa 1.4.1 Ta xét phiếm hàm dạng tích phân

do đó không thể suy ra u là điểm cực tiểu, tức là không thể suy ra f (u) = m.Như vậy, nếu phiếm hàm f liên tục theo sự hội tụ yếu thì f (u) = m Nhưngđiều kiện này ấn định lên phiếm hàm f là một điều kiện khá mạnh mà dướiđây ta có thể thay bằng một điều kiện khác yếu hơn như sau.

Định nghĩa 1.4.2 Cho M ⊂ X := W01,p(Ω) Ta nói phiếm hàm f (u), u ∈ X

là nửa liên tục dưới yếu tại điểm u ∈ M nếu với bất kì dãy {uk}∞k=1 thỏa mãn

uk * u0,

ta có

f (u0) ≤ lim inf

k→∞ f (uk) Chúng ta nói f nửa liên tục dưới yếu trên M ⊂ X nếu nó nửa liên tục dướiyếu tại mọi điểm u ∈ M

Ta thấy rằng nếu dãy {uk} là dãy cực tiểu của phiếm hàm f và f là nửaliên tục dưới yếu thì

F (u0) = min

u∈MF (u) Chứng minh Giả sử {un}∞n=1 ⊂ M và F (un) & inf

u∈MF (u)

Do M là tập compact yếu nên tồn tại u0 ∈ M và dãy con {unk}∞k=1 ⊂{un}∞n=1 thỏa mãn

Ta nói rằng f đạt cực tiểu (tương ứng cực đại) địa phương tại điểm a ∈ Xnếu tồn tại một lân cận U của a sao cho ta có f (x) ≥ f (a) (tương ứng

f (x) ≤ f (a)) ∀x ∈ U

Nếu f đạt cực tiểu hoặc đạt cực đại địa phương tại a thì ta nói f đạt cựctrị địa phương tại a

Mệnh đề 1.5.1 (Điều kiện cần Euler) Giả sử f : X → R có cực trị địaphương tại a ∈ R Nếu đối với h ∈ X đạo hàm δf (a, h) tồn tại thì

δf (a, h) = 0

Mệnh đề 1.5.2 (Định lí Lagrange) Giả sử a ∈ X là điểm dừng của phiếmhàm f : X → R và tồn tại một lân cận U của a sao cho ánh xạ x 7→ δ2f (x)liên tục trong U Nếu tồn tại α > 0 sao cho δ2f (x) (a, h) ≥ αkhk2 (tươngứng δ2f (x) (a, h) ≤ −αkhk2) , ∀h ∈ X thì f có cực tiểu (tương ứng cực đại)địa phương tại a

Định nghĩa 1.5.2 Giả sử M ⊂ X là một tập lồi, tức là nếu u, v ∈ M thì

tu + (1 − t) v ∈ M với mọi t ∈ [0, 1] Phiếm hàm f : X → R gọi là lồi trên Mnếu với bất kì u, v ∈ M và t ∈ [0, 1], ta có

f (tu + (1 − t) v) ≤ tf (u) + (1 − t) f (v) Mệnh đề 1.5.3 Giả sử f : X → R là một phiếm hàm lồi trên không gianđịnh chuẩn X Khi đó mọi điểm dừng của f trong X là điểm cực tiểu của ftrên X

Định lý qua núi là một trong những định lý nổi tiếng trong phương phápbiến phân để khẳng định sự tồn tại điểm tới hạn của phiếm hàm trong khônggian Banach Định lý qua núi lần đầu được R Courant chứng minh vào năm

1950 cho các phiếm hàm xác định trong không gian hữu hạn chiều Sau đó,năm 1973, A Ambrossetti và P Rabinowitz (xem [1]) đã chứng minh định lýqua núi cho phiếm hàm khả vi liên tục Fréchet trong không gian Banach.Trước hết ta tìm hiểu điều kiện Palais - Smale, nó đảm bảo cho phiếmhàm khả vi trong không gian Banach X có điểm tới hạn

Định nghĩa 1.6.1 (Điều kiện Palais - Smale) Giả sử X là không gianBanach, f là một phiếm hàm xác định trên X Giả thiết f ∈ C1(X, R), tanói rằng dãy {un} ⊂ X là một dãy Palais - Smale tại c của f , ký hiệu (P S)cnếu

f (un) → c, f0(un) → 0 khi n → ∞,trong đó f0 là đạo hàm Fréchet của f trong X

Ta nói rằng f thỏa mãn điều kiện Palais - Smale tại c nếu mọi dãy (P S)cđều chứa một dãy con hội tụ

Ta nói rằng f thỏa mãn điều kiện Palais - Smale (P S) nếu nó thỏa mãnđiều kiện (P S)c với mọi c

Ta thấy định nghĩa về dãy (P S) như trên khá chặt chẽ vì đòi hỏi dãy{f (un)} hội tụ Trong nhiều trường hợp ta có thể áp dụng định nghĩa tổngquát hơn sau đây: Dãy {un} ⊂ X được gọi là dãy (P S) của f nếu

Γ = {γ ∈ C ([0, 1] , X) : γ (0) = o, γ (1) = e} Hơn nữa, F thỏa mãn điều kiện Plais - Smale tại c ( viết tắt là (P S)c ).Khi đó c là một giá trị tới hạn của F

Định lý qua núi cùng với lý thuyết điểm tới hạn đã góp phần quan trọngtrong việc nghiên cứu sự tồn tại nghiệm yếu cho một lớp các bài toán biên

đối với phương trình và hệ phương trình đạo hàm riêng không tuyến tính.Những cải tiến của định lý qua núi cùng với điều kiện Palais - Smale đã đượcnhiều nhà toán học lớn quan tâm.

toán biên đối với phương trình vi phân

Với n ∈ N và f ∈ L2(0, 1), xét bài toán biên

Định nghĩa 2.1.1 Nghiệm cổ điển của bài toán (2.1) là một hàm số x ∈

Nhận xét 2.1.1 Mọi nghiệm cổ điển đều là nghiệm yếu của bài toán (2.1)

Chứng minh Giả sử x(t) là nghiệm cổ điển của bài toán (2.1).Khi đó với

∀t ∈ (0, 1) ta có

−x (t) + x 2n+1(t) = f (t) Nhân cả hai vế với y(t) ∈ H rùi lấy tích phân ta được

Nhận xét 2.1.2 Nếu x(t) ∈ C02(0, 1), x(0) = x(1) = 0 sao cho

thì x(t) là nghiệm cổ điển của bài toán (2.1)

Chứng minh Thật vậy, áp dụng công thức tích phân từng phần ta có

Điều này có nghĩa rằng nếu nghiệm yếu của bài toán (2.1) là hàm thuộc

C02(0, 1) thì nó là một nghiệm cổ điển của bài toán (2.1)

Định lý 2.1.1 Bài toán biên (2.1) có duy nhất một nghiệm yếu không tầmthường.

Chứng minh Bước 1 Chứng minh bài toán biên (2.1) có nghiệm yếu

Để chứng minh sự tồn tại nghiệm yếu của bài toán (2.1) ta sẽ áp dụngnguyên lý cực tiểu của phiếm hàm khả vi

Xây dựng phiếm hàm Euler - Lagrange liên kết với bài toán

Áp dụng công thức số gia với phần dư dạng tích phân, ta có

.

y (t)

≤ 2

.

x (t)

.

y (t) + 2