TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ trßn xoay ®îc t¹o thµnh khi ta quay (D) quanh trôc Oyb. TÝnh diÖn tÝch mçi phÇn..[r]
Trang 1284 bµi tËp tÝch ph©n vµ nguyªn hµm.
TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:
1.(A2004): T1 =
2
1
x
2.(B2004): T2 =
1 3ln ln 1
x
3.(D2004): T3 = 3ln 2
2 x x dx
4.(A2005): T4 =
2 sin 2 sin
1 3cos 0
x
5.(B2005): T5 =
2 sin 2 cos
1 cos 0
x
6.(D2005):
0
x
7 T7 =
8 T8 =
2 cos sin 2 0
x
9 T9 =
4
2 4 0
x
10 T10 =
0
x dx x
11 T11 =
0
x
12 T12 =
2 ln 1
e
13 T13 =
1x x m dx
a TÝnh T13 víi m = 1
b TÝnh T13 theo m víi m < -3
14.(C§SPA04) T14 =
2
x
15.(C§SP B¾c Ninh 2004)
T15 =
2
4
16 (C§SP B×nh Phíc 2004)
T16 =
2
1 cos 0
x
17 (C§SP Kon Tum 2004)
T17 =
1 1 0
dx x e
18 (C§SP Hµ Nam A2004)
T18 = 1 x dx
x
19 (C§SP Hµ Nam A2004)
T19 =
tan
20 (C§ GTVT 2004)
T20 =
5
3 x x dx
21 (C§ KTKT I A2004)
T21 =
4 2 5
x
22 (C§ A2004)
T22 =
1 2
0
dx
23 (C§ KTKH §µ N½ng 2004)
T23 =
.
1
24 (C§ 2005) T24 =
0x x dx
25 (C§ XD sè 3- 2005)
T25 =
1
26 (C§ GTVT 2005)
Trang 2T26 =
0x x dx
27 (CĐ KTKT I - 2005)
T27 =
2 3 sin5 0
x
28 (CĐ TCKT IV - 2005)
T28 =
1
0 x x dx
29 (CĐ Truyền hình A2005)
T29 =
2
4 1 2sin
1 sin 2
x
30 (CĐ SP TP HCM 2005)
T30 =
0
2 2 4 1
dx
31 (CĐ KTKT Cần Thơ A2005)
T31 =
ln 2 1
e
x dx x
32 (CĐ Sp Vĩnh Long 2005)
T32 =
7
3 3 1 0
x
33 (CĐ SP Bến Tre 2005)
T33 =
2 cos3
x
34 (CĐ SP Sóc Trăng A2005)
T34 =
2
xdx
x
35 (CĐ SP Sóc Trăng 2005)
T35 =
2
2 sin 2 cos 0
36.(CĐ Cộng đồng Vĩnh Long A05)
T36 =
ln 1
e
x xdx
37 (CĐ Công Nghiệp Hà Nội 2005)
T37 =
2 4 cos
38 (CĐ SP Hà Nam 2005)
T38 =
2 4 0
x
39 (CĐ KT TC 2005)
T39 =
1
3
0
xdx x
40 (CĐ SP Vĩnh Phúc 2005)
T40 = 1 1 ln2
41 (CĐ SP Hà Nội 2005)
T41 =
2004
0
42 (CĐ SP Kon Tum 2005)
T42 =
3
2 4sin
1 cos 0
x dx x
43 (CĐ KTKH Đà Nẵng 2005)
T43 =
4 (sin cos )cos 0
dx
44 (CĐ SP Quảng Nam 2005)
T44 =
1
0
45 (CĐ Y tế Thanh Hoá 2005)
T45 =
0
x
x e dx
46 (CĐ SP Quảng Bình 2005)
T46 =
2 1
2 3
dx x
47 (CĐ SP Quảng Ngãi 2005)
T47 =
4
0
(1 tan tan )sin
2
x
Trang 348 T48 =
3
3 1
dx
x x
49 T49 =
1
ln3
50 T50 =
2 sin
51 T51 =
1 1
0x xdx
52 T52 =
3 ln2
1
dx
53 T53 =
54 (2002) T54 =
3 1 2
x dx x
55 (2002) T55 =
ln3
3
x
e dx x e
56.(2002)T56 =
1
x
57.T57 =
2 61 cos3 .sin cos5
58 (2002) T58 =
2 3
2
dx
x x
59 T59 =
4
1 cos2 0
x dx x
60 T60 =
0x x dx
61 (B2003) T61 =
2
4 1 2sin
1 sin 2 0
x dx x
62 T62 =
2 ln5
1 ln2
x
e dx x e
63.T63 =
1 3
cos
1
Dục hành viễn, tất tự nhĩ
64 T64 =
0
x
x e dx
65 (D2003) T65 =
2 2
0x x dx
66 T66 =
2 1
0
x
dx
67 (CĐ SP Vĩnh Phúc A2002)
T67 =
2 sin sin 2 sin 3
68 (CĐ SP Hà Tĩnh A, B2002)
T68 =
69 (CĐ SP Hà Tĩnh AB2002)
T69 =
cos
70 (CĐ SP KT I 2002)
Cho In =
1 2(1 2) 0
n
và
Jn =
0
n
Với n nguyên dơng
a Tính Jn và chứng minh bất đẳng thức In
1 2(n 1)
b Tính In+1 theo In và tìm
1 lim In
71 (CĐ SP Quảng Ngãi 2002)
Trang 4T71 = 2 3 cos 3sin
72 (CĐ SP Nha Trang 2002)
T72 =
7 3
x
dx
73 (CĐ KTKT Hải Dơng A2002)
T73 =
2 2ln 1
e
74 (CĐ KT Hà Tây 2002)
T74 =
ln 3 1
x
75 (CĐ KTKT Thái Bình 2002)
T75 =
3
2 2 1 0
76 (CĐ SP KT Vinh 2002)
T76 =
0
77.(CĐ A, D2003) T77 =
9 3 1
1x xdx
78 (CĐ M, T 2003)
T78 =
3 3 2 0
x
79 (CĐ GTVT 2003)
T79 = 1 2 2
0
x
80.(CĐ GTVT2003)T80 =
6 sin 2
81 (CĐ GTVT II 2003)
Cho hai hàm số f(x), g(x) xác định, liên
tục và cùng nhận giá trị trên đoạn [0 ; 1]
Chứng minh:
2
f x g x dx f x dx g x dx
82 (CĐ GTVT II 2003, tham khảo)
T82 =
2
dx
83 (CĐ TCKT IV 2003) Cho 2 số
nguyên dơng m, n với m là số lẻ Tính theo m, n tích phân:
T83 =
2 0
sin cosn x m xdx
84 (CĐ TCKT IV tham khảo 2003)
a Cho f(x) là hàm liên tục trên đoạn [0 ; 1] Chứng minh rằng:
b Bằng cách đặt x 2 t
, hãy tính các tích phân:
2003 2
0
sin
xdx I
và
2003 2
0
cos
xdx J
85 (CĐ Khí tợng thuỷ văn A2003)
T85 =
3
0
1
86 (CĐ Nông - Lâm 2003)
T86 =
2
x
dx
87 (CĐ SP Phú Thọ A2003)
T87 =
1
2 0
ln(1 ) 1
x dx x
88 (CĐ SP KonTum A2003) Bằng
cách đặt x 2 t
, hãy tích tích phân:
T88 =
2
0
sin
x dx
89 (CĐ SP Tây Ninh 2003)
a Tính tích phân: T89= 1
cos(ln )
e
x dx
Trang 5b Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
hàm số F(t) định bởi:
F(t) =
2 0
cos
t
90 (CĐ SP Trà Vinh D2003)
a
90
0
sin
b
2
90
0
91.(CĐ Cộng đồng Tiền Giang 2003)
Chứng minh rằng nếu:
y lnx x2 4
1 '
4
y
x
Sử dụng kết quả này, tính tích phân:
2 2 91
0
4
92 (ĐH Quốc Gia Hà Nội & HV Ngân
Hàng A2001- 2002) Tìm họ nguyên
hàm:
2
1
x
93 (ĐH Quốc Gia Hà Nội & HV Ngân
Hàng D2001 - 2002) Tìm họ nguyên
hàm:
93
94 (ĐH SP Hà Nội B, M, T ; HV CTQG
HCM; PV BC & TT 01 - 02)
1
94
0
1
95 (ĐH SP Hà Nội II A2001- 2002)
Chứng minh bất đẳng thức:
1
0
sin
1 ln 2
dx
96.(ĐHSP Vinh D, M, T2001-2002)
2 96 0
1 sin 2
97 (ĐH SP Vinh A, B 2001- 2002)
a
2 97 0
1 sin ln
1 cos
x
x
x
b
3
3
sin cos
x
98 (ĐH Ngoại Ngữ 2001- 2002)
1
2 2 98
0
1
99 (ĐH BK Hà Nội A2001- 2002)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng có phơng trình:
2
4
y x và x2 3y0
100 (ĐH GTVT 2001 - 2002)
2
0
101 (ĐH Xây Dựng 2001 - 2002)
1
x
102 (ĐH Kiến Trúc Hà Nội 01- 02)
3 2
3 102
0
sin
103 (ĐH Mỏ- Địa Chất 2001-2002)
103
4
6x 1
104 (ĐH Thuỷ Lợi 2001 - 2002)
4 104 0
ln(1 tan )
"Ti dĩ tự mục Khiêm nhi dũ quang
Tiến đức tu nghiệp"
Trang 6105 (ĐH Nông Nghiệp I A01 - 02)
4
cos sin
x
x
106 (ĐH Nông Nghiệp I B01 - 02)
a
1
2
1 1
dx T
x
b
2 106
0
cos
x
107 (ĐH Luật, Dợc Hà Nội 01-02)
10 2 107
1
lg
108 (ĐH Thái Nguyên T 01- 02)
1 5
1
1 1
x
109 (HV CN BC VT 2001- 2002)
Tính diện tích hình phẳng hữu hạn giới
hạn bởi các đờng:
y xe y x, 0, x 1, x 2
110 (ĐH KTQD 2001- 2002)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
đờng Parabol
2
4
y x x và các đờng
tiếp tuyến với Parabol này, biết rằng các
tiếp tuyến đó đi qua điểm
5
;6 2
M
111 (ĐH Ngoại Thơng A01- 02)
4
0
sin 4
x
112 (ĐH TCKT Hà Nội 01- 02)
Tính diện tích của hình phẳng giới hạn
bởi các đờng y 2 sinx và
2
1 cos
y x với x0 ;
Khai quyển hữu ích (Minh Đạo gia huấn)
113 (ĐH Thơng Mại 01- 02) Cho:
2
01
nx
e
e
với n = 0, 1, 2,
a Tính T n.
b Tính T n T n1.
114 (ĐH Công Đoàn 2001- 2002)
a Tìm họ nguyên hàm của hàm số:
2
( ) cot 2
4
f x x
b Cho a > 0, tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng có
ph-ơng trình:
4
1
y
a
2 4
1
y
a
Tìm giá trị của a để diện tích trên
đạt giá trị lớn nhất
115 (ĐH An Ninh A2001- 2002)
1
xdx T
x
116 (HV KTQS 2001- 2002)
2
2 0
b
a x
a x
(a, b là các tham số dơng cho trớc)
117 (ĐH Y Hà Nội 2001- 2002)
a
3 2 117
2
1
b Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng:
2
2,
8
x
và
27
y x
upload.123doc.net (ĐH Y Thái
Bình 2002- 2002) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng:
2
và y 3 x.
Hiếu học cận hồ trí Lực hành cận hồ nhân Tri sỉ cận hồ dũng
119.(ĐHDL Phơng Đông A01- 02)
1 2
0
x
120 (ĐH Hồng Đức A2001- 2002)
Trang 7
2
120
0
121 (ĐH SPKT TP HCM A01- 02)
Cho tích phân:
2 0
cosn
n
Với n là số nguyên dơng
a Tính T3 và T4.
b Thiết lập hệ thức giữa T n và T n2 với n
> 2 Từ đó, tính T11 và T12.
122 (ĐH S Phạm và ĐH Luật TP HCM
A2001- 2002)
1
122
0
1
123 (ĐH Ngoại Thơng TP.HCM A, B
2001- 2002)
123 9
cot
1 sin
x
x
124 (ĐH QG TP HCM A01- 02)
Đặt
0
sin
xdx I
và
0
cos
xdx J
a Tính I 3J và I J .
b Từ các kết quả trên hãy tính các giá
trị của I, J và:
T =
5 3
3 2
cos 2
xdx
Tử bất học, nhi sở nghi
125 (ĐH Y Dợc TP HCM 01- 02)
Gọi (D) là miền đợc giới hạn bởi các
đờng:
2
Và (D) nằm ngoài parabol y x 2 Tính
thể tích vật thể tròn xoay đợc tạo nên khi
(D) quay xung quanh trục Ox
126 (ĐH An Giang A, B 01- 02)
Tính thể tích của vật thể sinh ra bởi phép quay quanh trục Ox của hình giới hạn bởi các đờng:
y e y e x; x 2;x 0;x 2
127 (ĐH Đà Lạt A, B01- 02)
a Xác định các số A, B, C sao cho: ( 1)( 2)2
dx
dx
b Tính diện tích S(t) của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số
2
1
y
trên đoạn [0;t]
(t > 0) và trục hoành
c Tính lim ( )
t S t
128 (ĐHDL Bình Dơng A01- 02)
a
2 5 128
0
cos
b Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng:
129 (ĐH Cần Thơ A01- 02)
Cho hàm số f x( )ax b với
a b Chứng minh rằng:
ấu bất học, lão hà vi?
130 (CĐ SPKT Vinh 01- 02)
3 8
8
4 sin 2
dx T
x
131.(CĐSP Bà Rịa-Vũng Tàu01-02)
1
1 3
2
dx T
132 (CĐ Nông Lâm 01- 02)
Trang 8
1
ln
e
x
x
133 (CĐ SP Hà Nội 2001- 2002)
1
dx T
134 (ĐH Quốc Gia Hà Nội (khối A) HV
Ngân Hàng 2000- 2001)
134
sin
1 sin 2
xdx T
x
135 (ĐH Quốc Gia Hà Nội (khốiD) HV
Ngân Hàng D2000- 2001)
135
cos cos
4
dx T
136 (ĐH QG TP HCM A00- 01)
Cho D là miền kín giới hạn bởi các
đ-ờng y x y, 2 x y, 0
a Tính diện tích của miền D
b Tính thể tích vật thể tròn xoay đợc tạo
thành khi ta quay (D) quanh trục Oy
137 (ĐH BK Hà Nội A00- 01)
a Tìm họ nguyên hàm của hàm số:
1 ( )
g x
b Tính:
ln 2 2 137
x x
e
e
Nhân bất học, bất tri lí
(Tam tự kinh)
138 (ĐH SP Hà Nội A00- 01)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
các đờng
2 1
y x
và
5
yx
trong mặt phẳng toạ độ Oxy
139 (ĐH SP Hà Nội B, D00- 01)
a Tính:
139
0
a
b Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
các đờng
và y = 3 trong mặt phẳng toạ độ Oxy
140 (ĐH SP TP HCM A, B00- 01)
a
1
0
x
b
4 140
0
cos
141 (ĐH SP TP HCM D, E00- 01)
Cho n là một số nguyên dơng
a Tính:
1 141 0
b Tính tổng số:
n
S
n
142.(ĐH Huế CPB A, B00- 01)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng: x = 1, x = e, y = 0 và
1 ln x y
x
143 (ĐH Huế phân ban A, B00- 01)
6 2
0
sin
x
144 (ĐH KTQD A00- 01) Parabol
y x chia hình phẳng giới hạn
bởi đờng tròn
x y thành hai
phần Tính diện tích mỗi phần
145 (ĐH Nông nghiệp I A00- 01)
2
dx T
x x
146 (ĐH Thuỷ Lợi CPB 00- 01)
2
0
147 (ĐH Thuỷ Lợi phân ban 00-01)
a
4
147 0
2
b Cho Parabol
2
y ax bx c với 0
a Gọi (d) là tiếp tuyến với
parabol tại điểm có hoành độ x 0 0
Chứng minh rằng diện tích hình
Trang 9phẳng giới hạn bởi parabol, đờng thẳng
(d) và trục Oy có diện tích là:
3 0
1 3
148 (ĐH Thuỷ Lợi Cơ sở II 00- 01)
1
dx T
149 (ĐH Y Hà Nội 00- 01)
a Tính tích phân sau bằng cách thêm
hoặc bớt vào tử số:
2
x
b Tính tích phân sau theo định nghĩa
(chia đều đoạn lấy tích phân)
3 2 2
Bx dx
c
3 4 4
tan
150 (ĐH Cần Thơ D00- 01)
4
0
sin 4
x
You are never too told to learn
151 (ĐH Y Dợc TP HCM 00- 01)
Cho tích phân:
1
2 0
n
a.Tìm hệ thức giữa T n vàT n1n 1
b Tính T n theo n.
152 (ĐH An Giang A00- 01) Trong mặt
phẳng xOy, hãy tính diện tích S của miền
giới hạn bởi các đờng:
, ln , 0, 1,
x
với a < 0
153 (ĐH Ngoại Thơng A00- 01)
a (Cha phân ban) Tính tích phân:
4
3 0
cos2
x
dx
b (Chuyên ban B) Tính tích phân:
4 0
cos 2
x
dx
154 (ĐH Ngoại Thơng D00- 01)
a (Cha phân ban) Tính tích phân:
2 0
dx
b (Chuyên ban B) Tính tích phân:
1 2 2 0
dx
155 (ĐH Thái Nguyên A, B00- 01)
1
0 1 n n1 n
dx
156 (ĐH Thái Nguyên D00- 01)
1 2
2 1
sin
157 (ĐH Thái Nguyên G00- 01)
Chứng minh rằng:
2 0
sin(sinx nx dx) 0
Với mọi n nguyên
158 (ĐH Cần Thơ A00- 01)
Cho
1
0
n
Và
1
2 0
n
, n = 0, 1, 2,
a Tính J n và chứng minh bất đẳng
thức
1
n
I
n
với mọi n= 0, 1,
b Tính I n1 theo I n và tìm
1
lim n
I I
159 (ĐH Cần Thơ B00- 01)
a
2 3 6
cos xdx
; b
3 0
2x 4dx
160 (ĐH Đà Lạt A00- 01)
Cho
1 0
I t e t dx t R
Trang 10a Tính I t( ).
b Tìm giá trị nhỏ nhất của I t( ) với t R
161 (ĐH Đà Lạt D, AV 00- 01)
0
sin
x
162 (ĐH Tây Nguyên A, B00- 01)
a Chứng minh rằng:
2
lnx dx lnxdx
b Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
các đờng
2, 4 2
y x y x và y = 4.
163 (ĐH Tây Nguyên D00- 01)
Tính tích phân:
2
0
max[ ( ), ( )]
trong đó
2
( )
f x x và g x( ) 3 x 2.
If you think you can… You can…
164 (ĐH ANND D, G00-01) Cho
f x A x B Tìm A, B để:
2 0
165 (ĐH Luật, Xây Dựng Hà Nội
00-01)
a Tính:
1
3 0
3 1
dx x
b Chứng minh rằng với hai số tự nhiên
m, n khác nhau:
cosmx.cosnxdx sinmx.sinnxdx
166 (HV QHQT A00- 01)
a (Cha phân ban) Tính:
cos3 sin
x dx x
b (Phân ban) Tính:
sin 3 sin
x dx x
167 (HV Hành Chính QG A00- 01)
a (CPB) Tính:
0
a
(a là hằng
số dơng)
b (Chuyên ban) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng:
trong mặt phẳng toạ độ Oxy
168 (ĐH TCKT Hà Nội 00- 01)
a (CPB) Tính:
1
x
dx
b (CB) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng:
y e y e x; x; x 1
169 (ĐH SP Hà Nội 2 A, B00- 01)
a (CPB)
2
0
cos x sin x cos sinx x dx
b (CB)
2
3
dx
170 (ĐH SP Vinh A, B, E00- 01)
Chứng minh rằng:
3
4
x dx x
171 (ĐH SP Vinh D, G, M00- 01)
2 0
3
x
dx
172 (HV KTQS 00- 01)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng:
173 (ĐH GTVT 00- 01)
2
2 2
cos
4 sin
dx x
174 (ĐH Mỏ Địa chất 00- 01)
a (CPB) Tính:
3
6
tan x cot x 2dx
Trang 11b (PB) Tính:
3
6 sin sin
6
dx
175 (ĐH Y Thái Bình 00- 01)
a 2 1
dx
x x
b
4
2
0 2 cos
dx x
176 (ĐH Hàng Hải 00- 01)
Cho hình phẳng (D) giới hạn bởi các
đ-ờng yx 22 và y = 4 Tính thể tích
của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình
phẳng (D) khi nó quay quanh:
a Trục Ox
b Trục Oy
177 (HV CNBCVT 00- 01)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
các đờng:
178 (ĐH Công Đoàn 00- 01)
a (CPB) - Tính:
1 2
dx
e
- Tính: x2 2 sin 2 xdx
b (CB) - Tính:
2 2 1
ln(x 1)
dx x
- Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
các đờng có phơng trình:
x y x y; 2 0; y0
179 (ĐH Kiến Trúc Hà Nội 00- 01)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
đờng cong (C), trục hoành Ox và các
đ-ờng thẳng x1, x 1.
180 (ĐH Thuỷ Sản 00- 01)
a (CPB) Tính diện tích hình phẳng giới
hạn bởi các đờng:
b (CB) Cho hình phẳng (G) giới hạn bởi
các đờng y 4 x y2; 2 x2
Quay hình phẳng (G) quanh trục
Ox ta đợc một vật thể Tính thể tích vật thể này
181 (CĐ A, B00- 01)
a (CPB) - Tìm nguyên hàm của hàm số:
( ) sin sin sin
- Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng
2
b (CB) Tìm các hệ số A, B để hàm
số f x( )Acosx B thoả mãn (1) 4
1 0
f x dx
182 (ĐH CSND A CPB 00- 01)
Tính:
1
* 0
1x dx n (n )
Từ đó chứng minh rằng:
1
n n
183 (ĐH CSND A CB 00- 01)
Tính:
1
0
Từ đó chứng minh rằng:
n n
C C C C C
184 (CĐ SP TP HCM 00- 01)
Cho hàm số 2
3
x y
có tập
xác định là D
a Tìm a, b R sao cho:
,
b Tính:
ln 2 2 2 0
3
dx
c Cho n là số tự nhiên khác 0 đặt
1 ( )
1
f x
x
tính đạo hàm cấp n của
f(x) Từ đó suy ra đạo hàm cấp n của y
185 (CĐSP Nhà Trẻ- Mẫu giáo
Trung Ương I - CPB 00- 01)