The journal published by HEXAGON Volume 2009/ / Bất đẳng thức lượng trung bình Phạm Văn Thuận Tóm tắt Trong viết này, chúng tơi giới thiệu bất đẳng thức liên hệ đại lượng trung bình cho nhiều số Chúng tơi trình bày ý nghĩa hình học trung bình cộng, trung bình nhân, ứng dụng bất đẳng thức vào số toán thực tế Các kỹ thuật quan trọng việc áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân minh họa thí dụ đa dạng Mở đầu Ngồi số tính chất, quy tắc chứng minh bất đẳng thức tập số thực nhân, chia hai vế bất đẳng thức với số, bình phương, nghịch đảo, nâng lũy thừa, lấy bậc n hai vế bất đẳng thức, lưu ý số tính chất sau: i) Nếu a j số lớn số a1 , a2 , , an thỏa mãn điều kiện a1 + a2 + · · · + an = k, k với k số, a j ≥ n ii) Nếu hai số x, y thỏa mãn bất đẳng thức x ≥ y tồn số t ≥ thỏa mãn x = ty, x = t2 y, x = t3 y Bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân cho hai số √ x+ y Định lý Với hai số thực không âm x, y, ta gọi a = g = xy trung bình cộng trung bình nhân hai số Khi ta có bất đẳng thức a ≥ g Đẳng thức xảy x = y Chứng minh Ta chứng minh bất đẳng thức cách biến đổi đại số sau Ta viết bất đẳng thức dạng x+y √ √ √ − xy = ( x − y)2 ≥ 2 Điều hiển nhiên Phép chứng minh hoàn tất Đẳng thức xảy √ √ x = y hay x = y Chứng minh Bây ta "diễn đạt" ý tưởng theo cách khác, mà từ ta sử dụng cho tổng quát hoá Thực vậy, với hai số x, y cho trước, ta ln chọn số nhỏ (hoặc bằng) số Không tổng quát, giả sử x ≥ y Nên tồn số thực dương t, t2 ≥ 1, cho x = yt2 Thay, x = yt2 vào bất đẳng thức ta bất đẳng thức tương đương yt2 + y ≥ yt2 y, Copyright © HEXAGON y(t − 1)2 ≥ Điều hiển nhiên với y ≥ Phép chứng minh hoàn tất Từ bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân, ta xây dựng chuỗi bất đẳng thức sau cho cặp số thực không âm x, y Định lý Cho hai số thực không âm x, y Chứng minh ( x, y) ≤ x + y ≤ √ xy ≤ x+y ≤ x2 + y2 ≤ max ( x, y) Chứng minh Trước hết, ta chứng minh bất đẳng thức sau gọi bất đẳng thức trung bình điều hịa trung bình nhân x Lượng 1 x+y + y ≤ √ xy (1) gọi trung bình điều hịa hai số x, y Ta viết lại (1) dạng √ 2xy ≤ xy, x+y √ x+ y bất đẳng thức tương đương với ≥ xy Đây điều chứng minh Tiếp theo, ta chứng minh bất đẳng thức trung bình cộng trung bình bậc hai sau x2 + y2 x+y ≤ x2 + y2 gọi trung bình bậc hai hai số x, y Vì hai vế bất đẳng thức Lượng dương, bình phương hai vế cho ta x2 + y2 ( x + y) ≤ Lại áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân cho hai số x2 , y2 , ta có xy ≤ x2 + y2 Do x2 + 2xy + y2 x2 + x2 + y2 + y2 x2 + y2 ( x + y) = ≤ = 4 Phép chứng minh hoàn tất Làm tương tự, ta thu bất đẳng thức trung bình cộng trung bình bậc hai cho ba số không âm x, y, z Với toán bất đẳng thức hai số, chẳng hạn x, y, mà vai trị biến số bình đẳng, ta ln đưa bất đẳng thức biến số với phép biến đổi x/y = t2 Bài toán Giả sử x, y, z ba số thực Chứng minh 2 x+y+z ≤ x2 + y2 + z2 Bây ta mở rộng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân cho ba số Ta phát biểu chứng minh bất đẳng thức sau Định lý Cho ba số thực không âm x, y, z Chứng minh x+y+z √ ≥ xyz (2) Chứng minh Vì vai trị số x, y, z bình đẳng, ta ln giả sử x = max ( x, y, z) Khi đó, hiển nhiên ta có y+z x≥ Tức là, tồn số dương k ≥ 1, cho y+z x= Bằng cách thay x = y+ z k3 k3 bất đẳng thức cần chứng minh trở thành y+ z k +y+z ≥ 3 y+z k3 yz Sử dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân cho hai số y, z ta có y+ z , tức yz ≤ y+ z 2 Suy ra, theo tính chất bắc cầu ta cần chứng minh y+ z k +y+z ≥ y+z k3 y+z √ yz ≤ Bất đẳng thức tương đương với y+ z k +y+z y+z ≥ k, 2 Sử dụng liên tiếp ý tưởng này, ta chứng minh bất đẳng thức trung bình cộng trung bình bậc hai tổng quát cho n số Tức ta có bất đẳng thức sau x1 + x2 + · · · + xn ≤ n x2 + x2 + · · · + x2 n n Đây coi phép chứng minh đơn giản cho bất đẳng thức y+z (k − 3k + 2) ≥ Lưu ý đa thức k3 − 3k + có nghiệm k = 1, điều gợi ý cho phép phân tích thành nhân tử Ta có bất đẳng thức tương đương ( k − 1) ( k + 2) y+z ≥ 0, bất đẳng thức hiển nhiên với y, z ≥ 0, k ≥ Phép chứng minh hoàn tất Sử dụng bất đẳng thức (2) cho 1/x, 1/y, 1/z ta bất đẳng thức trung bình nhân trung bình điều hòa cho ba số x, y, z Thật vậy, ta có x + y + z ≥ 1 , x y z √ xyz ≥ x + y + z Tiếp tục sử dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân cho hai số ta thu dãy bất đẳng thức cho ba số x, y, z Định lý Cho ba số thực không âm x, y, z Chứng minh dãy bất đẳng thức ( x, y, z) ≤ x + y + z ≤ √ xyz ≤ xy + yz + zx ≤ x+y+z ≤ x2 + y2 + z2 ≤ max ( x, y, z) Một cách tự nhiên, ta nghĩ đến bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân cho bốn số, năm số, nhiều Với trường hợp bốn số, ta sử dụng trực tiếp trường hợp hai số Trường hợp năm số, ta chứng minh tương tự cách làm với ba số Bài tập Chứng minh với số thực không âm x, y √ 1 √ √ x+y √ xy + | x − y| ≥ ≥ xy + ( x − y)2 2 Một cách chứng minh khác cho bất đẳng thức sử dụng đẳng thức x3 + y3 + z3 − xyz = ( x + y + z)( x2 + y2 + z2 − xy − yz − zx) 3 Bài tập Cho hai số thực không âm x, y Chứng minh bất đẳng thức x2 + y2 x+y ≤ + 2 √ 2−1 | x − y| Bài tập Cho hai số thực không âm x, y; gọi a g trung bình cộng trung bình nhân hai số Chứng minh (1 + g)2 ≤ (1 + x)(1 + y) ≤ (1 + a)2 Ý nghĩa hình học trung bình cộng, trung bình nhân x √ xy x+ y Giả sử ta có tập hình chữ nhật có diện tích A độ dài cạnh x, y Vì A = xy, nên √ √ x+ y bất đẳng thức ≥ xy có ý nghĩa hình vng có độ dài cạnh xy phải có chu vi nhỏ số hình chữ nhật có diện tích A Nói cách khác, số tất hình chữ nhật có chu vi p hình vng có cạnh p/4 hình vng có diện tích lớn y x Hai đường trịn bán kính tiếp xúc với Vẽ bán kính đường trịn vng góc với tiếp tuyến chung hai đường trịn Khi đó, đoạn thẳng nối tâm hai đường trịn có độ dài ( x + y), đoạn thẳng nối hai tiếp điểm đường thẳng với hai √ đường trịn có độ dài xy Tại sao? √ y y x xy Ta chứng minh điều cách sử dụng định lý Pythagore Chú ý đẳng thức x+y 2 √ = ( xy)2 + x−y 2 Một ý nghĩa hình học liên quan đến trung bình cộng trung bình nhân coi ( x + y) √ bán kính đường tròn xy đường cao xuất phát từ đỉnh góc vng chắn nửa đường trịn Một số câu hỏi tự nhiên đặt là: liệu cịn cách mơ tả ý nghĩa hình học hai đại lượng trung bình khơng?; ý nghĩa hình học trung bình điều hịa hai số gì? Ứng dụng bất đẳng thức lượng trung bình Bài tốn Một nhơm hình vng có cạnh 50 cm Người ta cắt bốn góc bốn hình vng nhau, gấp nhơm lại để hộp khơng nắp Tính cạnh hình vng bị cắt cho thể tích khối hộp lớn 50 50 Chứng minh Gọi x (cm) độ dài cạnh hình vuông bị cắt, x phải số dương nhỏ 25 Thể tích khối hộp V tính theo x V = x(50 − 2x)2 = 4x(25 − x)2 Ta cần tìm x cho V đạt giá trị lớn Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân cho tam V = 4x(25 − x)2 = 4x(25 − x)(25 − x) ≤2 Từ suy V ≤ 50 3 2x + 25 − x + 25 − x Dấu đẳng thức xảy 2x = 25 − x = 25 − x Tức là, x = 25 Nghĩa là, hình vng bị cắt có cạnh 25 (cm) Bài tốn Từ mảnh giấy bìa có dạng hình chữ nhật kích thước 15 × cm, người ta cắt từ bốn góc hình chữ nhật bốn hình vng Mảnh giấy cịn lại trông giống chữ thập, gấp làm hộp (khơng nắp) Hỏi cạnh bốn hình vng để thể tích hộp thu lớn 15 Chứng minh Gọi x độ dài cạnh hình vng Khi hộp có kích thước 15 − x − x, − x − x, x Thể tích hộp V tính theo x sau V = x(15 − 2x)(8 − 2x) Ta cần tìm x cho V đạt giá trị lớn Khi chưa có cơng cụ đạo hàm, ta tìm giá trị lớn V cách sử dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân Thực vậy, ta cần phải tìm k, kx(15 − 2x) (8 − 2x) cho 15 − 2x = (8 − 2x) = kx, + − k = Từ đây, biểu diễn x theo k, , ta tìm k, cách giải hệ phương trình 15 − = , 2( − ) k+2 + − k = Giải hệ cho ta = , k = Bây ta áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân cho ba số, 7x(15 − 2x)(20 − 5x) 35 7x + 15 − 2x + 20 − 5x ≤ 35 V = x(15 − 2x)(8 − 2x) = Từ đó, 35 V≤ 35 3 = 2450 27 Đẳng thức xảy 7x = 15 − 2x = 20 − 5x Giải hệ phương trình cho ta x = Vậy cạnh hình vng cm Bài tốn Tìm tất giá trị x ≥ cho − x = −2x2 + 3x + (3x + 1) Giải Điều kiện để phương trình có nghĩa x ≤ Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân, ta có −x=2 4 −x ≤ + − x 4 Suy ra, 3x + ≥ 0, ta có (3x + 1) − x ≤ (3x + 1) −x Từ đây, ta có −2x2 + 3x + ≤ (3x + 1) −x Khai triển vế phải rút gọn cho ta −2x2 + x + ≥ 0, (1 − x)(1 + 2x) ≤ Đẳng thức xảy x = x = − Từ suy x = giá trị cần tìm Bài tốn (Bất đẳng thức Nesbitt) Cho ba số thực dương a, b, c Chứng minh b c a + + ≥ b+c c+a a+b Chứng minh Ta chứng minh bất đẳng thức sau cho ba số thực dương a, b, c √ a+b+c ≥ abc ≥ 3 a +1+ b c Từ suy bất đẳng thức ( a + b + c) 1 + + a b c ≥ Trở lại bất đẳng thức Nesbitt Lưu ý a b c +1 + +1 + +1 −3 b+c c+a a+b 1 = ( a + b + c) + + −3 b+c c+a a+b 1 1 = ( a + b + b + c + c + a) + + −3 a+b b+c c+a ≥ − = 2 a b c + + = b+c c+a a+b Phép chứng minh hoàn tất Bài tốn Với x số thực dương, tìm giá trị nhỏ f ( x) = x3 + x Chứng minh Ta viết lại f ( x) dạng f ( x) = 1 + x2 = + + x2 x 2x 2x Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân cho ba số dương 1/(2x), 1/(2x), x2 , ta có 2x + 2x + x2 ≥ 1 x = √ 2x 2x Từ suy f ( x) ≥ √ Đẳng thức đạt 1 = = x2 2x 2x Tức x = √ Bài tập Giải phương trình x− x + = Bài tập Chứng minh với số thực khơng âm a, b, c, d, ta có a b c d + + + ≥ b+c c+d d+a a+b Bất đẳng thức lượng trung bình Bây ta phát biểu chứng minh toán bất đẳng thức lượng trung bình cho dãy số thực a1 , a2 , · · · an Định lý Với n số thực không âm a1 , a2 , · · · , an , ta có √ a1 + a2 + · · · + an ≥ n a1 a2 · · · an n (3) Chứng minh Nhận xét ta cần chứng minh bất đẳng thức với n số thực dương bất đẳng thức trở nên tầm thường hay nhiều số không Phép chứng minh gọi quy nạp kiểu Cauchy đề xuất năm 1821 Với n = 2, bất đẳng thức đúng, theo chứng minh trình bày Giả thiết bất đẳng thức với n, ta chứng minh bất đẳng thức với n = 2k , k ≥ nguyên Áp dụng kết trường hợp n = 2, ta có √ a1 a2 a3 a4 ≤ √ a1 a2 + √ a3 a4 ≤ a1 + a2 + a3 + a4 Vậy bất đẳng thức (3) với n = Lại áp dụng kết (3) trường hợp n = 2, ta có √ √ a a a a + a a a a √ a + a2 + · · · + a8 8 ≤ a1 a2 · · · a8 ≤ Giả thiết bất đẳng thức (3) với n, ta chứng minh với 2n Xét 2n số không âm a1 , a2 , , an , an+1 , an+2 , , a2n Ta có 1 a1 + a2 + · · · + an a + an+2 + · · · + a2n ( a1 + a2 + · · · + a2n ) = + n+1 2n n n √ √ ≥ ( n a1 a2 · · · an + n an+1 an+2 · · · a2n ) √ √ √ n a1 a2 an n an+1 an+2 a2n = 2n a1 a2 a2n ≥ Dấu đẳng thức xảy a1 = a2 = · · · = a2n Tiếp theo, ta giả thiết bất đẳng thức (3) với n, từ chứng minh với n − Bước lùi để lấp chỗ trống lũy thừa hai Đặt an = a1 + a2 + · · · + an− n−1 Ta có n a1 + · · · + an− + a1 + · · · + an− n−1 ≥ n a1 an− a1 + · · · + an− , n−1 hay a1 + a2 + · · · + an− ≥ n−1 n a1 an− a1 + · · · + an− n−1 Nâng lũy thừa bậc n hai vế cho ta a1 + a2 + · · · + an− n−1 Chia hai vế cho an = a1 + a2 + ···+ an −1 n−1 n ≥ a1 a2 an− a1 + · · · an− n−1 lấy bậc n − hai vế vừa thu cho ta a1 + a2 + · · · + an− ≥ n−1 √ n −1 a1 a2 an− Dấu đẳng thức xảy a1 = a2 = · · · = an = a1 + a2 + · · · + an− , n−1 a1 = a2 = · · · = an−1 Phép chứng minh hồn tất Bài tốn Chứng minh dãy số un = + 10 n n , n = 1, 2, , dãy số tăng Chứng minh Ta cần chứng minh 1+ n+1 n+1 > 1+ n n Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân cho n + số, có n số + n số 1, ta có  n +1         ( + ) + · · · + ( + ) + 1 ≥ ( + ) · · · ( + )     n+1 n n n n  n số + 1/n , n số + 1/n n+2 ≥ n+1 n +1 1+ n n n+2 n+1 Lấy bậc n + hai vế bất đẳng thức lưu ý chứng minh = 1+ n+1 cho ta điều phải Bài toán Chứng minh x ∈ R p, q ∈ N, p p sin x cos x ≤ q p2 q2 q ( p + q) p+q Chứng minh Vế trái bất đẳng thức hai nhân tử sin x cos x Ta biết sin2 x + cos2 x = Quan hệ hai nhân tử có tổng bình phương số gợi ý cho ta áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân Để rõ hơn, ta viết lại bất đẳng thức dạng p p qq (sin2 x) p (cos2 x)q ≤ ( p + q) p+q Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân cho p số sin2 x/p q số cos2 x/p, ta thu sin2 x cos2 x cos2 x sin x +···+ + +···+ p p q q ≥ p+q p+q Bây sử dụng đẳng thức sin x + cos x = 1, ta có (sin2 x) p (cos2 x)q ≤ từ ta có điều phải chứng minh 11 p p qq , ( p + q) p+q sin x p p cos2 x q q Bài tốn Cho hai số thực khơng âm a, b thỏa mãn điều kiện a2 + b2 = Chứng minh √ 3 ab + max {a, b} ≤ Chứng minh Gọi vế trái bất đẳng thức f ( a, b) Khơng tính tổng qt, ta giả sử a ≥ b Khi f ( a, b) = a2 (b + 1)2 Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân ta có f ( a, b) = (1 − b2 )(1 + b)2 = (3 − 3b)(1 + b)3 3 − 3b + + b + + b + + b 27 = ≤ 16 Từ suy điều phải chứng minh Đẳng thức xảy − 3b = + b √ a2 + b2 = Giải hệ cho ta b = , a = 23 , hoán vị Bài toán 10 Cho a1 , a2 , · · · , an số thực dương thỏa mãn ( a1 + a2 + · · · + an ) 1 + +···+ a1 a2 an ≤ +n 2 Chứng minh max ( a1 , a2 , · · · , an ) ≤ ( a1 , a2 , · · · , an ) Chứng minh Đặt m = ( a1 , a2 , , an ) M = max ( a1 , a2 , , an ) Khơng tính tổng qt, ta giả sử m = a1 ≤ a2 ≤ · · · ≤ an = M Đặt a = a2 +···+ an−1 ta có m ≤ a2 ≤ a ≤ n−2 an−1 ≤ M a2 + · · · + an−1 = (n − 2) a Theo bất đẳng thức trung bình cộng trung bình điều hịa 1 ( n − 2) n−2 +···+ ≥ = a2 an− a2 + · · · + an− a Suy +n 2 1 + +···+ a1 a2 an n−2 ≥ ( m + ( n − 2) a + M ) + + m a M 1 (n − 2)(m + M ) (m + M ) + + ( m − 2) + m M a 1 + + ( n − 2) a m M (n − 2)(m + M ) mM (m + M ) + ( n − 2) + +a = mM mM a ≥ ( a1 + a2 + · · · + an ) Theo bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân, ta có 12 mM a √ + a ≥ mM, có đẳng thức xảy m ≤ a = n+ Đặt t = m √+ M mM √ 2 ≥ mM ≤ M Ta suy (m + M )2 2(n − 2)(m + M ) √ + ( n − 2) + mM mM cho ta n+ 2 ≥ t2 + ( n − 2) + 2( n − 2) t = ( t + n − 2) , từ suy n+ ≥ t + n − 2 Nghĩa t ≤ Lưu ý, với n = 2, điều kiện bất đẳng thức có dạng (m + M ) 1 + m M ≤ 25 Từ suy (4M − m)( M − 4m) ≤ Vì 4M − m > 0, nên ta suy M − 4m ≤ 0, hay M ≤ 4m Phép chứng minh hoàn tất Một số kỹ thuật cân hệ số Ta tiếp tục nhấn mạnh đến số kỹ thuật điều chỉnh hệ số áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân, Bài toán 11 Chứng minh a, b, c, d > 0, √ a b2 + c2 + d2 +√ b c2 + d2 + a2 +√ c d2 + a2 + b2 +√ d a2 + b2 + c2 ≥ Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân, ta có ( x + √ 1) ≥ x Và 2 + b +c 2+d b2 + c2 + d2 a ≤ a2 Suy 2a2 a √ ≥ a + b2 + c2 + d2 b2 + c2 + d2 Cộng ba bất đẳng thức tương tự, ta suy điều phải chứng minh Bài toán 12 Cho ba số thực không âm x, y z thỏa mãn điều kiện x + y + z = Tìm giá 13 trị lớn biểu thức f = ( x2 − xy + y2 )( y2 − yz + z2 )( z2 − zx + x2 ) Chứng minh Khơng tính tổng qt, ta giả sử x ≥ y ≥ z ≥ Do x2 − xz + z2 ≤ x2 , y2 − yz + z2 ≤ y2 Thành thử, f ≤ x2 y2 ( x2 − xy + y2 ) = v2 (u2 − 3v), u = x + y, v = xy, s ≤ Theo bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân, ta có 4 3v 3v s2 + + − 3v = v2 (s2 − 3v) ≤ 2 243 Đẳng thức xảy  s   = 1, v 2 = − 3v,  z = Tức là, đẳng thức xảy với số ( x, y, z) hoán vị (0, , ) Bài toán 13 Chứng minh a, b, c, d ≥ 0, ( a2 + b2 + c2 )(b2 + c2 + d2 )(c2 + d2 + a2 )(d2 + a2 + b2 ) ≤ ( a + b + c + d) 64 Chứng minh Khơng tính tổng qt, ta giả sử a ≥ b ≥ c ≥ d Do đó, a2 + c2 + d2 ≤ a+ d c + 2 , b2 + c2 + d2 ≤ b+ c d + 2 , a2 + b2 + d2 ≤ a2 + b2 + c2 Gọi L vế trái bất đẳng thức cần chứng minh Vì vậy, L ≤ ( a2 + b2 + c2 ) a + c d + 2 b+ c d + 2 (4) Theo bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân, vế phải R of (4) đánh sau √ R≤ ≤ d c a + b2 + c2 + a + + 2 a+ c d + 2 + b+ c d + 2 14 b+ c d + 2 +2 a + c d + 2 b+ c d + 2 Chú ý x2 + y2 + 2xy = ( x + y)2 , ta thu điều phải chứng minh Bài toán 14 Cho số thực không âm x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = Tìm giá trị lớn f = 9xy + 10yz + 11zx Chứng minh Nhận xét tồn ba số thực không âm p, q, r cho f = px( y + z) + qy( z + x) + rz( x + y), = ( p + q) xy + (q + r) yz + ( p + r) zx Ta cần chọn p, q, r cho p + q = 9, q + r = 10, p + r = 11 Giải hệ phương trình cho ta p = 4, q = 5, r = Do ta viết f dạng f = 4x(1 − x) + 5y(1 − y) + 6z(1 − z) Lại viết f dạng f = 15 − x− 2 +5 y− 2 +6 z− 2 1 Đặt | x − | = a, | y − | = b | z − | = c, từ điều kiện x + y + z = ta có a + b + c ≥ 2 Bài tốn chuyển việc tìm giá trị nhỏ g = 4a2 + 5b2 + 6c2 , a, b, c số thực không âm thỏa mãn a + b + c ≥ Ta chọn số α , β, γ cho sau áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân, đẳng thức xảy với a, b, c Ta có a2 + α ≥ 2aα , b2 + β2 ≥ 2bβ, c2 + γ ≥ 2cγ Suy g + 4α + 5β2 + 6γ ≥ 2(4α a + 5βb + 6γ c) Ta cần chọn α , β, γ cho α = β = γ Do g + α + β2 + γ ≥ 2α ( a + b + c) ≥ α 4 15 Thành thử, f ≤ 15 − −α − β2 − γ + α 4 Đẳng thức xảy với a + b + c = α + β + γ = α + α + α = Do , α = 10 γ = 37 Dẫn đến 15 60 f ≤ + 152 + 122 − 150 − 1369 37 15 37 , β= 12 37 Tính tốn đơn giản cho ta f ≤ 582195 ≈ 2, 8735 202612 Phép chứng minh hoàn tất Bài tập Bốn số thực không âm x, y, z t thỏa mãn điều kiện x + y + z + t = Chứng minh bất đẳng thức yz zt tx ty zx xy + + + + + ≤ x+y+1 y+z+1 z+t+1 t+x+1 t+y+1 z+x+1 Bài tập Cho ba số thực không âm a, b, c, d Chứng minh √ √ a + b + c + ( − 1) a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca a2 + b2 + c2 ≤ 3 Bài tập Bốn số thực không âm x, y, z, w thỏa mãn x + y + z + w = Tìm giá trị lớn f = 17xy + 18xz + 19xw + 19yz + 20yw + 21zw Tài liệu [1] Phan Đức Chính (1993) Bất đẳng thức, Nhà xuất Giáo dục, Việt Nam [2] Phạm Văn Thuận, Lê Vĩ (2009) Olympiad Inequalities, Intuitive Mathematics Press, Canada [3] USAMO (2009) http://www.unl.edu/amc/e-exams/e8-usamo/usamo.shtml 16 ... bất đẳng thức sau gọi bất đẳng thức trung bình điều hịa trung bình nhân x Lượng 1 x+y + y ≤ √ xy (1) gọi trung bình điều hòa hai số x, y Ta viết lại (1) dạng √ 2xy ≤ xy, x+y √ x+ y bất đẳng thức. .. tự, ta thu bất đẳng thức trung bình cộng trung bình bậc hai cho ba số không âm x, y, z Với toán bất đẳng thức hai số, chẳng hạn x, y, mà vai trò biến số bình đẳng, ta ln đưa bất đẳng thức biến... bình phương số gợi ý cho ta áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân Để rõ hơn, ta viết lại bất đẳng thức dạng p p qq (sin2 x) p (cos2 x)q ≤ ( p + q) p+q Áp dụng bất đẳng thức trung