Các bất đẳng thức về giá trị trung bình của hàm lồi

Chính vì vậy tôimuốn nghiên cứu một phần của bất đẳng thức nhằm góp phần phục vụ chocông việc giảng dạy ở trường phổ thông và tôi chọn đề tài để làm luận văntốt nghiệp của mình là: "Các

MAI THỊ KIM OANH

Người hướng dẫn khoa học: TS Cao Văn Nuôi

Phản biện 1: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến

Phản biện 2: PGS.TS Huỳnh Thế Phùng

Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm

Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ khoa học họp tại Đại học Đà Nẵngvào ngày 17 tháng 8 năm 2011

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học sư phạm, Đại học Đà Nẵng

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Chúng ta đều biết rằng trong toán học, bất đẳng thức được sử dụngnhiều hơn đẳng thức, nhiều định lý quan trọng là hệ quả trực tiếp hoặcgián tiếp của một số bất đẳng thức nào đó Nó có mặt trong tất cả các bộmôn của Toán học cao cấp nói chung và Toán học sơ cấp nói riêng Tronghầu hết các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, thi Olympic Toán khu vực vàquốc tế, thi Olympic Toán sinh viên giữa các trường đại học và cao đẳng,các bài toán liên quan đến bất đẳng thức cũng hay được đề cập và thườngthuộc loại khó hoặc rất khó Có thể nói bất đẳng thức đóng một vai trò kháquan trọng trong việc học và giảng dạy bộ môn toán Trong quá trình giảngdạy ở trường phổ thông, tôi phát hiện ra rằng thông thường các học sinhđều thấy lúng túng khi giải các bài toán về bất đẳng thức Chính vì vậy tôimuốn nghiên cứu một phần của bất đẳng thức nhằm góp phần phục vụ chocông việc giảng dạy ở trường phổ thông và tôi chọn đề tài để làm luận văntốt nghiệp của mình là:

"Các bất đẳng thức về giá trị trung bình của hàm lồi"

2 Mục đích nghiên cứu

Đề tài tập trung nghiên cứu hàm lồi theo nghĩa Jensen, bất đẳng thứcJensen và các ứng dụng của bất đẳng thức Jensen đối với lớp hàm hai lầnkhả vi Dùng lý thuyết hàm lồi mở rộng bất đẳng thức H¨older và mở rộngbất đẳng thức Minkowski

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng mà chúng tôi tập trung nghiên cứu là các bất đẳng thức vềgiá trị trung bình của hàm lồi và sự ứng dụng của chúng để giải toán ở bậctrung học phổ thông Ngoài ra chúng tôi có mở rộng một vài trường hợp đểnội dung luận văn thêm phong phú

Phạm vi mà chúng tôi nghiên cứu là những bất đẳng thức có liên quanđến các giá trị trung bình của hàm lồi

4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu tư liệu: Các tài liệu mà giáo viên hướng dẫnđưa, trên các trang web và các bài báo khoa học gần đây có liên quan đến

đề tài, sách giáo khoa phổ thông trung học, các tài liệu tham khảo dànhcho giáo viên, tạp chí toán học tuổi trẻ, các đề tài nghiên cứu giáo dục cóliên quan

5 Ý nghĩa khoa học

Luận văn với đề tài "Các bất đẳng thức về giá trị trung bình của hàmlồi" sẽ trình bày và chứng minh bất đẳng thức Jensen, bất đẳng thức đặctrưng cho hàm lồi, rất quan trọng trong toán học Từ đó đưa ra một sốứng dụng của bất đẳng thức quan trọng này Hơn nữa, luận văn sẽ dùng lýthuyết hàm lồi mở rộng bất đẳng thức H¨older và mở rộng bất đẳng thứcMinkowski Đây là một đề tài có nhiều ứng dụng trong giảng dạy ở các bậcTHPT, trong các trường Cao đẳng, Đại học cho các ngành sư phạm toán

và cũng là công cụ để học sinh, sinh viên tham khảo trong quá trình tự rènluyện trau dồi kiến thức toán học về lĩnh vực bất đẳng thức

6 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia thành ba chương:Chương 1: Các kiến thức cơ sở

- Trình bày định nghĩa các giá trị trung bình thông thường và địnhnghĩa giá trị trung bình với hàm tuỳ ý.

-Trình bày các định lí về giá trị trung bình với hàm tuỳ ý

Chương 2: Hàm lồi Bất đẳng thức Jensen

- Trình bày khái niệm hàm lồi, lõm theo nghĩa Jensen, mô tả ý nghĩahình học của nó đồng thời hệ thống các tính chất thường dùng của hàm lồi,lõm

- Trình bày bất đẳng thức Jensen và ứng dụng bất đẳng thức Jensenchứng minh các bất đẳng thức cổ điển, các bất đẳng thức đại số, các bấtđẳng thức lượng giác và các bất đẳng thức hình học

Chương 3: Mở rộng bất đẳng thức H¨older và mở rộng bất đẳng thứcMinkowski

Dùng lý thuyết hàm lồi mở rộng bất đẳng thức H¨older và mở rộng bấtđẳng thức Minkowski

Chương 1

CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.1.1 Nhắc lại định nghĩa các giá trị trung bình thông thường

Xét bộ n số dương tuỳ ý (a) := (a1, a2, , an) và bộ hệ số dương

được gọi là trung bình điều hoà của

các số dương ai, i = 1, 2, , n (theo trọng đơn vị (q))

A = A (a) = A (a, q) =

n

P

i=1

qiai được gọi là trung bình cộng của các

số dương ai, i = 1, 2, , n (theo trọng đơn vị (q))

i được gọi là trung bình nhân của các

số dương ai, i = 1, 2, , n (theo trọng đơn vị (q))

1.1.2 Giá trị trung bình với hàm tuỳ ý

Định nghĩa 1.1.7([9]) Các giá trị trung bình Mr (a) và G (a) có dạng

trong đó ϕ (x) tương ứng là xr, lnx và ϕ−1(x) là hàm ngược của ϕ (x)

Lẽ tự nhiên cần khảo sát những giá trị trung bình tổng quát hơn dạngnày, chúng được thành lập từ hàm tuỳ ý ϕ dưới những điều kiện nào đó.Những điều kiện như vậy rõ ràng nhất là tính liên tục và đơn điệu thực sự

của ϕ vì trong trường hợp đó ϕ−1 tồn tại và cũng thoả mãn các điều kiệnvừa nói.

có thể h = −∞ hoặc k = +∞; trường hợp đặc biệt quan trọng là h = 0,

của Mϕ ta sẽ giả thiết rằng ϕ (x) liên tục và đơn điệu thực sự trong đoạn

Định nghĩa 1.1.8([9]) Các giá trị trung bình của hàm ϕ (x) được xácđịnh theo công thức

1.2 Các giá trị trung bình tương đương

Giá trị trung bình Mϕ được xác định nếu cho trước hàm ϕ Vấn đề đặt

ra là mệnh đề ngược lại có đúng không: nếu Mψ = Mχ đối với mọi a và

q thì từ đó có thể suy ra ψ đồng nhất với χ không? Định lý sau đây trả lờicâu hỏi đó

Định lý 1.2.1([9]).Giả sử hai hàm số ψ (x) và χ (x) liên tục trên đoạn

đối với mọi a và q là

χ = αψ + β,

trong đó α và β là các hằng số và α 6= 0

Định lý 1.3.1([9]) Giả sử ϕ (x) liên tục trong khoảng (0; +∞) và giảsử

Ta nói các hàm f (a) = f (a1, a2, , an) , g (a) = g (a1, a2, , an)

là so sánh được nếu giữa hai hàm ấy có một bất đẳng thức đúng với mọigiá trị thực và không âm của a, tức là nếu với mọi số a như thế ta có

Định nghĩa này có thể mở rộng cho các hàm f (a, b, )phụ thuộc nhiềudãy biến

Từ định nghĩa trên dẫn tới vấn đề sau: Giả sử cho hai hàm ψ và χ liêntục và đơn điệu thực sự trong (h; k), khi đó các giá trị trung bình Mψ và

Mχ có so sánh được không, tức là bất đẳng thức

(hoặc ngược lại) có đúng không đối với mọi a và q?

Chương sau ta sẽ nghiên cứu lớp các hàm ϕ, đối với chúng bất đẳng thức(1.9) đúng

Định nghĩa 2.1.1([6]) Hàm số f (x) được gọi là hàm lồi trên tập

mọi cặp số dương α, β có tổng α + β = 1, ta đều có

Nếu dấu đẳng thức trong (2.1) xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 thì ta nóihàm số f (x) là hàm lồi thực sự (chặt) trên I (a; b)

Hàm số f (x) được gọi là hàm lõm trên tập I (a; b) nếu nó xác định

Nếu dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 thì ta nói hàm số

Về mặt hình học, bất đẳng thức (2.1) có ý nghĩa như sau:

(C) của hàm số y = f (x) đều có cung A1B1 của đồ thị (C) nằm ở phíadưới ở đoạn thẳng A1B1.

Định lý 2.1.1([6]) Nếu f (x) khả vi bậc hai trên I(a; b) thì f (x) lồi(lõm) trên I(a; b) khi và chỉ khi f00(x) ≥ 0 (f00(x) ≤ 0) trên I(a; b).

Định lý 2.1.2([6]) Nếu f (x) lồi trên (a; b) thì tồn tại các đạo hàmmột phía f−0 (x) và f+0 (x) với mọi x ∈ (a; b) và

f−0 (x) ≤ f+0 (x)

Nhận xét 2.1.1([6]) Các hàm số f−0 (x) và f+0 (x) là những hàm đơnđiệu tăng trong (a; b)

Định lý 2.1.3([6]) Nếu f (x) lồi trên I (a; b) thì f (x) liên tục trên

là hàm lồi trên [0; 1] nhưng không liên tục tại x = 1

Như vậy hàm lồi luôn là hàm liên tục trong khoảng đang xét.Về sau, taluôn luôn quan tâm đến các hàm số lồi và liên tục trên I (a; b) Tính chấtsau đây cho phép ta dễ dàng kiểm tra tính lồi (lõm) đối với một hàm số chotrước

Định lý 2.1.4([6](Jensen)) Giả sử f (x) liên tục trên [a; b] Khi đóđiều kiện cần và đủ để hàm số f (x) lồi trên I (a; b) là

f

 x1 + x22



≤ f (x1) + f (x2)

Tiếp theo, ta đặc biệt quan tâm đến lớp con của lớp các hàm lồi Đó làlớp các hàm lồi hai lần khả vi Đây là lớp hàm thông dụng nhất của giảitích gắn với nhiều bất đẳng thức cổ điển.

D được gọi là miền lồi trong mặt phẳng Oxy nếu D chứa toàn bộ đoạnthẳng nối hai điểm bất kỳ của nó

Định nghĩa 2.3.1([9]) Cho D là miền lồi trong mặt phẳng Oxy Hàm

ϕ  x1 + x2

y1 + y22



đối với mọi (x1, y1) và (x2, y2) của D

Thường thường để thuận tiện người ta sử dụng một dạng khác của địnhnghĩa 2.3.1

Định nghĩa 2.3.2([9]) Cho các bộ số x, y, u, v và những giá trị t sao

D nếu với mỗi x, y, u, v ta có

là hàm lồi của t trong khoảng (x + ut, y + vt)

Định lý 2.3.1([9]) Nếu α1, α2, , αn là các số thực không âm có tổngbằng 1 và với mọi (xi, yi) trong D thì với mọi hàm lồi liên tục ϕ (x, y)

Chú ý: Người ta hay dùng dạng đặc biệt của bất đẳng thức Jensen

Trong bất đẳng thức Jensen lấy α1 = α2 = · · · = αn = 1

Nhận xét rằng, bây giờ ta có thể mở rộng định lý 1.4.1 như sau:

Nếu ψ và χ là những hàm liên tục và đơn điệu thực sự và χ tăng thì

để Mψ ≤ Mχ với mọi a và q, cần và đủ là hàm ϕ = χψ−1 lồi

2.4.2 Ưng dụng bất đẳng thức Jensen´

2.4.2.1 Chứng minh các bất đẳng thức cổ điển và các bất đẳngthức đại số

Bài toán 2.4.1([3]Bất đẳng thức AM-GM) Cho n số thực không

âm a1, a2, , an. Khi đó ta có bất đẳng thức

a1 + a2 + · · · + an

a1a2 an.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = · · · = an.

Bài toán 2.4.2([4]Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz) Cho 2n sốthực a1, a2, , an và b1, b2, , bn. Khi đó ta có bất đẳng thức

a21 + a22 + · · · + a2n
b21 + b22 + · · · + b2n
≥ (a1b1 + a2b2 + · · · + anbn)2.

Bài toán 2.4.3([4]Bất đẳng thức Svác-xơ) Cho a1, a2, , an và

b1, b2, , bn là 2n số thực, trong đó bi > 0 với mọi i = 1, 2, , n Khi

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a =b =c

Bài toán 2.4.5([3]) Cho n số dương x1, x2, , xn Các số

x1x2 xn,

tương ứng gọi là trung bình cộng, trung bình nhân, trung bình bìnhphương và trung bình điều hoà của n số đã cho Chứng minh rằng

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ap = bq.

Bài toán 2.4.7([6]) Với mỗi bộ n số dương (x) có trọng (α), xét bộcác số dương (h) với tổng

Bài toán 2.4.10([3]) Cho a, b, c là ba số dương Chứng minh rằng

Bài toán 2.4.13([3]) Cho ai > 0, bi > 0, i = 1, 2, , n

i) Cho k ≤ 0 hoặc k ≥ 1. Chứng minh rằng

2.4.2.2 Chứng minh các bất đẳng thức lượng giác

Bài toán 2.4.14([4]) Cho n là số nguyên dương

i) Giả sử αi ∈ [0; π] với mọi i = 1, 2, , n. Chứng minh rằng

sin α1 + sin α2 + · · · + sin αn

i

với mọi i = 1, 2, , n. Chứng minh rằng

iii) Giả sử αi ∈  0; π

2



với mọi i = 1, 2, , n. Chứng minh rằng

2.4.2.3 Chứng minh các bất đẳng thức hình học

Bài toán 2.4.21([4]) Cho đa giác lồi A1A2 An. Đặt AiAi+1 =

ai (quy ước An+1 = A1) với i = 1, 2, , n, M là một điểm bất

kì trong đa giác Gọi ri là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

Bài toán 2.4.22([4]) Cho tam giác ABC M là một điểm nằm trongtam giác Kí hiệu x, y, z lần lượt là khoảng cách từ M đến ba đỉnh

Chứng minh các bất đẳng thức sau

Chương 3

MỞ RỘNG BẤT ĐẲNG THỨC H ¨ OLDER VÀ

MỞ RỘNG BẤT ĐẲNG THỨC MINKOWSKI

3.1.1 Giới thiệu bất đẳng thức H¨ older

Bất đẳng thức H¨older : Với mọi bộ số không âm (ak),(bk),

Bài toán 3.1.1 Cho dãy số dương a1, a2, · · · , an, và p, q là hai sốdương sao cho p < q Chứng minh rằng

1 n

Bài toán 3.1.2 Cho a, b, c, u, v, w ≥ 0 và a1p+ c1p ≤ b1p, up+11 + wp+11 ≥

vp+11 với q là số dương Chứng minh rằng ubc − vca + wab ≥ 0.

3.1.2 Mở rộng bất đẳng thức H¨ older

Bất đẳng thức H¨older có thể viết dưới dạng sau:

Trường hợp đơn giản nhất của bất đẳng thức (3.4) là

nó chứng tỏ hàm ϕ (x) ψ (y) là hàm lõm của x và y Khi ϕ và ψ liên tụcnhư trong trường hợp này thì bất đẳng thức vừa rồi tương đương với bấtđẳng thức tổng quát hơn (3.4) Do đó, lặp lại lý luận (với ϕ và ψ tuỳ ý) tađược:

Định lý 3.1.1([9]) Nếu f và g liên tục và đơn điệu thực sự thì để A (ab)

là hàm lõm hoặc lồi của hai biến x và y; trong trường hợp thứ nhất cóbất đẳng thức A (ab) ≤ Mf (a) Mg(b), trong trường hợp thứ hai cóbất đẳng thức ngược lại

Ta đưa ra một ví dụ: Giả sử f (x) = xr, g (y) = ys

1 r

Bài toán 3.2.1 Cho các số thực a, b, c, chứng minh rằng

Bài toán 3.2.3 Cho n ∈ N \ {0, 1} , x1, x2, , xn > 0. Chứng minhrằng

Khi xét, ta giả sử rằng ϕ > 0, ϕ0 > 0 đối với x > 0. Bất đẳng thức (3.9)

là hàm lồi khi và chỉ khi χ00 (0) ≥ 0.

Bổ đề 3.2.2 Với các hàm λ (x) , χ (x) trong bổ đề 3.2.1 thì điều kiệncần và đủ để λ (x) là hàm lồi là

-Trình bày các định lí về giá trị trung bình với hàm tuỳ ý.

- Trình bày khái niệm hàm lồi, lõm theo nghĩa Jensen, mô tả ý nghĩahình học của nó đồng thời hệ thống các tính chất thường dùng của hàm lồi,lõm

- Trình bày bất đẳng thức Jensen và ứng dụng bất đẳng thức Jensenchứng minh các bất đẳng thức cổ điển, các bất đẳng thức đại số, các bấtđẳng thức lượng giác và các bất đẳng thức hình học

- Dùng lý thuyết hàm lồi mở rộng bất đẳng thức H¨older và mở rộngbất đẳng thức Minkowski

- Dùng lý thuyết hàm lồi mở rộng bất. .. lí giá trị trung bình với hàm tuỳ ý.

- Trình bày khái niệm hàm lồi, lõm theo nghĩa Jensen, mơ tả ý nghĩahình học đồng thời hệ thống tính chất thường dùng hàm lồi, lõm

- Trình bày bất. .. 0. Bất đẳng thức (3.9)

là hàm lồi χ00 (0) ≥ 0.

Bổ đề 3.2.2 Với hàm λ (x) , χ (x) bổ đề 3.2.1 điều kiệncần đủ để λ (x) hàm lồi