Các bất đẳng thức về giá trị trung bình

Trongquá trình giảng dạy ở trường phổ thông, tôi phát hiện ra rằng thông thườngcác học sinh đều cảm thấy lúng túng khi giải các bài toán về bất đẳng thức.Chính vì vậy tôi muốn nghiên cứu

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS Cao Văn Nuôi

Phản biện 1: Phản biện 2:

Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm

Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày tháng năm 2011

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng.

- Thư viện trường Đại học sư phạm, Đại học Đà Nẵng.

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Có thể nói bất đẳng thức đóng một vai trò khá quan trọng trong việc học

và giảng dạy bộ môn toán Trong chương trình toán ở bậc phổ thông trunghọc thì phần kiến thức về bất đẳng thức cũng chiếm một tỷ lệ lớn Trongquá trình giảng dạy ở trường phổ thông, tôi phát hiện ra rằng thông thườngcác học sinh đều cảm thấy lúng túng khi giải các bài toán về bất đẳng thức.Chính vì vậy tôi muốn nghiên cứu một phần của bất đẳng thức nhằm gópphần phục vụ cho công việc giảng dạy ở trường phổ thông và tôi chọn đềtài để làm luận văn tốt nghiệp của mình là: Các bất đẳng thức về giá trịtrung bình

2 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

2.1 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng mà chúng tôi tập trung nghiên cứu là các bất đẳng thức về giátrị trung bình và sự ứng dụng của chúng để giải toán ở bậc phổ thông trunghọc Ngoài ra chúng tôi có mở rộng một vài trường hợp để chứng tỏ lĩnhvực này có thể phát triển xa hơn về mặt lý thuyết cũng như ứng dụng.2.2 Phạm vi nghiên cứu

Nội dung nghiên cứu của luận văn này được giới hạn trong phạm vi về một

số bất đẳng thức có liên quan đến các giá trị trung bình Sau đó chúng tôiđưa ra một số ví dụ cụ thể trong chương cuối để minh họa cho việc ứngdụng của chúng đến việc giải toán ở bậc trung học

3 Mục đích nghiên cứu

Nội dung của đề tài này là nghiên cứu một số bất đẳng thức về giá trị trungbình Ngoài việc nhắc lại bất đẳng thức cổ điển nổi tiếng và quen thuộc màchúng ta đã biết đó là bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bìnhnhân, đề tài còn trình bày về hai bất đẳng thức hiện đại mà việc ứng dụng

nó trong việc giải toán là khá rộng là bất đẳng thức Schur và bất đẳng thứcMuirhead

4 Tên đề tài

Đề tài "Các bất đẳng thức về giá trị trung bình"

5 Phương pháp nghiên cứu

Chúng tôi dựa vào sự ứng dụng sau này của đề tài nên chúng tôi sử dụngcác phương pháp giải quyết vấn đề thiên về cách chứng minh của toán sơcấp Mặc dù thế trong một vài tình huống đặc biệt chúng tôi cũng mạnhdạn mở rộng vấn đề theo hướng toán học hiện đại Phương pháp chủ yếuđược sử dụng trong luận văn này là kết hợp các kết quả đã có trong các tàiliệu chuyên khảo có liên quan đến đề tài và sự liên hệ đến các ứng dụng của

nó trong chương trình toán phổ thông

6 Nội dung nghiên cứu

Nội dung nghiên cứu của luận văn này được giới hạn trong phạm vi vềnhững bất đẳng thức có liên quan đến các giá trị trung bình Sau đó chúngtôi có đưa ra một số ví dụ cụ thể trong chương cuối để minh họa cho việcứng dụng của chúng đến việc giải toán ở bậc trung học

7 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia thành ba chương:Chương 1: Luận văn trình bày các kiến thức đại cương về bất đẳng thức

và các đại lượng trung bình mà các chương sau đề cập đến

Chương 2: Luận văn trình bày một số bất đẳng thức về giá trị trung bình

có nhiều ứng dụng khi giải toán ở trường phổ thông như: bất đẳng thứcgiữa trung bình cộng và trung bình nhân, bất đẳng thức giữa trung bìnhnhân và trung bình điều hòa; bất đẳng thức Schur và các hệ quả; đặc biệtluận văn trình bày bất đẳng thức Muirhead, qua đó cho ta thấy được mốiquan hệ giữa bất đẳng thức Muirhead với bất đẳng thức giữa trung bìnhcộng và trung bình nhân, giữa bất đẳng thức Muirhead với bất đẳng thứcSchur

Chương 3: Trong phần này, luận văn trình bày một số ứng dụng của bấtđẳng thức về giá trị trung bình trong việc giải toán phổ thông

Đại cương về bất đẳng thức

1.1 Quan hệ thứ tự trên một tập hợp

1.1.1 Tích Descartes

Định nghĩa 1.1.[1] Cho các tập X1, X2, , Xn Ta gọi tập hợp {(x1, x2, , xn) :

xi ∈ Xi, i = 1, n} là tích Descartes của các tập X1, X2, , Xn và kí hiệu

Cho tập X 6= ∅ Một tập con R của tích Descartes R× R được gọi là một

quan hệ hai ngôi trên tập X nếu (x, y) ∈ R thì ta viết xRy

Quan hệ R trên tập hợp X được gọi là có tính đối xứng nếu với mọi

a, b ∈ X sao cho aRb kéo theo bRa

* Tính chất phản đối xứng

Quan hệ R trên tập hợp X được gọi là có tính phản đối xứng nếu với

mọi a, b ∈ X sao cho aRb và bRa kéo theo a = b

* Tính chất bắc cầu

Quan hệ R trên tập hợp X được gọi là có tính bắc cầu nếu với mọi

a, b, c ∈ X sao cho aRb và bRc kéo theo aRc

1.1.2.2 Quan hệ tương đương

Định nghĩa 1.2.[1] Một quan hệ trên tập hợp A được gọi là quan hệ

tương đương nếu nó có các tính chất phản xạ, đối xứng và bắc cầu

Định nghĩa 1.3.[1] Cho R là một quan hệ tương đương trên tập A và

a ∈ A Tập hợp {x ∈ A | xRa} được gọi là lớp tương đương của phần tử

a, kí hiệu a hoặc [a] hoặc C(a).

Mệnh đề 1.1 [7] Cho R là một quan hệ tương đương trên tập hợp A

hệ tương đương R và kí hiệu là A/R Như vậy

A/R = {a | a ∈ A}

Định nghĩa 1.5.[1] Một quan hệ trên tập hợp A được gọi là quan hệ thứ

tự nếu nó có các tính chất phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu Người tathường kí hiệu một quan hệ thứ tự bởi kí hiệu ≤

Nếu tập hợp A có một quan hệ thứ tự ≤ thì ta nói A là một tập hợp đượcsắp thứ tự

Với hai phần tử a, b ∈ A (trong đó A được sắp thứ tự bởi quan hệ thứ tự

so sánh được với nhau

Tập hợp được sắp thứ tự A gọi là tập hợp được sắp thứ tự toàn phần nếuhai phần tử a , b bất kì luôn có thể so sánh được với nhau Khi đó quan hệthứ tự ≤ là một quan hệ thứ tự toàn phần

Trong trường hợp ngược lại, nếu tồn tại hai phần tử a và b không so sánhđược với nhau thì ta gọi A là một tập hợp được sắp thứ tự bộ phận và quan

hệ thứ tự ≤ là một quan hệ thứ tự bộ phận

Định nghĩa 1.7.[1] Cho tập hợp được sắp thứ tự A bởi quan hệ ≤ và X

là một tập con khác rỗng của A Phần tử a ∈ A được gọi là phần tử lớnnhất (tương ứng nhỏ nhất) của X nếu ∀x ∈ X ta có x ≤ a (tương ứng

x ≥ a)

Nhận xét 1.1 Phần tử lớn nhất (tương ứng nhỏ nhất) của X nếu tồntại là duy nhất

Định nghĩa 1.8.[1] Cho tập hợp được sắp thứ tự A bởi quan hệ ≤ và

X là tập con khác rỗng của A Phần tử c ∈ A được gọi là một chặn trên(tương ứng chặn dưới) của X nếu ∀x ∈ X ta có x ≤ c (tương ứng x ≥ c).Nếu X có ít nhất một chặn trên (tương ứng chặn dưới) thì ta gọi X là tậpcon bị chặn trên (tương ứng chặn dưới)

Nhận xét 1.2 1 Một tập con X của tập được sắp thứ tự A có thểkhông có chặn trên (tương ứng chặn dưới), cũng có thể có một haynhiều chặn trên (tương ứng chặn dưới)

2 Với X là tập hợp con của tập được sắp thứ tự A và a ∈ A Phần tử

a là phần tử lớn nhất (tương ứng nhỏ nhất) của X khi và chỉ khi a làmột chặn trên (tương ứng chặn dưới)

Định nghĩa 1.9.[1] Một tập hợp A được sắp thứ tự bởi quan hệ ≤ và

X ⊂ A, X 6= ∅ Phần tử nhỏ nhất (tương ứng lớn nhất) của tập hợp cácchặn trên (tương ứng chặn dưới) của X gọi là cận trên (tương ứng cận dưới)của X trong A, kí hiệu sup

A

X (tương ứng inf

A X)

Nhận xét 1.3 1 Phần tử a ∈ A là một cận trên (tương ứng cậndưới)của tập con X của A khi và chỉ khi a là một chặn trên (tương ứngchặn dưới) của A và a ≤ c (tương ứng a ≥ c) với mọi chặn trên (tươngứng chặn dưới) c của X

2 Cận trên (tương ứng cận dưới) của mỗi tập con X của tập hợp đượcsắp thứ tự A nếu tồn tại là duy nhất Ngoài ra, cận trên (tương ứng cậndưới) của X là thuộc X khi và chỉ khi nó là phần tử lớn nhất (tươngứng nhỏ nhất) của X

Định nghĩa 1.10.[7] Cho tập hợp được sắp thứ tự A bởi quan hệ ≤ và

X là một tập con khác rỗng của A Phần tử m ∈ X được gọi là phần tửtối đại (tương ứng tối tiểu) của X nếu ∀x ∈ X, ta có m ≤ x ⇒ x = m

(tương ứng x ≤ m ⇒ x = m) tức là không tồn tại phần tử x nào của Xsao cho x > m (tương ứng x < m).

Rõ ràng rằng phần tử tối đại (tương ứng tối tiểu) m của A sao cho m ∈ Xcũng là phần tử tối đại (tương ứng tối tiểu) của X Tuy nhiên, nếu m làphần tử tối đại (tương ứng tối tiểu) của X thì chưa chắc m là phần tử tốiđại (tương ứng tối tiểu) của A

Phần tử tối đại (tương ứng tối tiểu) của một tập hợp có thể không có vànếu tồn tại có thể có hơn 1

Mệnh đề 1.2 [1] Cho tập hợp được sắp thứ tự A bởi quan hệ ≤ và X

là một tập con khác rỗng của A Khi đó:

1 Nếu X có phần tử lớn nhất (tương ứng nhỏ nhất) là a thì a là phần

tử tối đại (tương ứng tối tiểu) duy nhất của X

2 Nếu X được sắp thứ tự toàn phần bởi quan hệ ≤ thì phần tử a ∈ X làphần tử lớn nhất (tương ứng nhỏ nhất) của X khi và chỉ khi a là phần

tử tối đại (tương ứng tối tiểu) của X

Định nghĩa 1.11.[1] Cho tập hợp được sắp thứ tự A bởi quan hệ ≤ Tanói A được sắp thứ tự tốt bởi quan hệ này nếu mọi tập con khác rỗng của

1 Luật lũy đẵng: a ∨ a = a, a ∧ a = a

2 Luật giao hoán: a ∨ b = b ∨ a, a ∧ b = b ∧ a

3 Luật kết hợp: (a ∨ b)∨ c = a ∨(b ∨ c),(a ∧ b)∧ c = a ∧(b ∧ c)

4 Luật hấp thụ: a ∨ (a ∧ b) = a, a ∧(a ∨ b) = a

1.2 Bất đẳng thức trên tập số thực

1.2.1 Các định nghĩa

Định nghĩa 1.13.[1] Một bất đẳng thức trên tập số thực là một mệnh đềtoán học dạng f(x1, x2, , xn) R g(x1, x2, , xn) trong đó R là một quan

a, b ∈ R được gọi là các bất đẳng thức trên tập số thực

*/ Trong các bất đẳng thức trên, a gọi là vế trái, b gọi là vế phải của bấtđẳng thức

*/ Các bất đẳng thức a > b và c > d (hoặc a < b và c < d) được gọi là haibất đẳng thức cùng chiều Các bất đẳng thức a > b và c < d được gọi làhai bất đẳng thức trái chiều

*/ Xét hai bất đẳng thức a > b và c > d

Nếu ta có a > b ⇒ c > d, ta nói bất đẳng thức c > d là bất đẳng thức hệquả của bất đẳng thức a > b

Nếu ta có a > b ⇔ c > d, ta nói hai bất đẳng thức a > b và c > d là haibất đẳng thức tương đương

1.2.2 Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức

Trong mục này, ta chứng minh một số tính chất cơ bản của bất đẳng thứcdạng a > b Các dạng bất đẳng thức khác (a < b, a ≥ b, a ≤ b) cũng cótính chất tương tự

Các số a, b, c, d dưới đây là các số thực bất kỳ

Tính chất 1.3 [4]

(a > b và b > c) ⇒ a > c (tính chất bắc cầu)

a > b > 0 ⇒ √n

a > √n

b (n nguyên dương.)

Trong trường hợp n là số chẵn, kết hợp tính chất 1.8 và 1.9 ta có:

Hệ quả 1.3 [4] Nếu a, b là hai số dương thì a > b ⇔ an > bn

Tổng quát hơn ta có: Nếu a, b là hai số không âm thì: a ≥ b ⇔ an ≥ bn

1.3.2 Sử dụng tính chất của bất đẳng thức biến đổi bất

đẳng thức cần chứng minh tương đương với một bất đẳng đúng hoặc từ một bất đẳng thức đúng để suy

1.4 Đại cương về các loại giá trị trung bình

1.4.1 Giá trị trung bình thông thường

Cho dãy gồm n số không âm:

a1, a2, , ai, an (ai ≥ 0) (1.23)

và tham số thực r, tạm thời giả sử r khác không Ta ký hiệu dãy (1.23) là

(a) Khi nói (a) tỉ lệ với (b) có nghĩa là trong hai số λ và µ có ít nhất một

số khác không sao cho

λai = µbi (i = 1,2, , n) (1.24)Chú ý rằng dãy không, tức là dãy (a) toàn số không, tỷ lệ với dãy (b) Tính

tỉ lệ như đã định nghĩa, là một quan hệ đối xứng giữa các dãy nhưng khôngphải là một quan hệ bắc cầu; nó sẽ là quan hệ bắc cầu nếu khi khảo sát ta

bỏ đi dãy không Nếu hai dãy (a) và (b) tỷ lệ và cả hai khác dãy không thì

bi = 0 nếu ai = 0, còn đối với những giá trị khác của chỉ số i, tỷ số ai/bikhông phụ thuộc i Ta đặt

Ở đây và sau này, ta sẽ bỏ qua các chỉ số và cận của phép lấy tổng, nếuviệc này không gây ra sự hiểu lầm nào.

Vì trung bình là hàm thuần nhất bậc không đối với p, ta có thể giả sử

P

p = 1 Lúc đó, ta có thể viết q thay cho p, chẳng hạn:

Mr(a, q) = ( Xqar)1/r ( Xq = 1)

G(a, q) = Yaq ( Xq = 1)

Ta thường xuyên sử dụng các công thức hiển nhiên sau:

A(a +b, q) = A(a, q) +A(b, q)

G(a · b, q) = G(a, q) · G(b, q)

Mr(b, q) = kMr(a, q) nếu (b) = k(a).(tức là nếu bi = kai trong đó k là một hằng số)

G(b, q) = kG(a, q) nếu (b) = k(a)

Mr(a, q) ≤ Mr(b, q) nếu ai < bi, ∀i

1.4.3 Trường hợp giới hạn của Mr(a)

Ta ký hiệu giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của {ai,1, n} là mina và

maxa

Mệnh đề 1.3 [2] Ta có mina < Mr(a) < maxa, trừ các trường hợphoặc tất cả ai bằng nhau, hoặc r < 0 và có ít nhất một ai bằng không.Mệnh đề 1.4 [2] Ta có: min(a) < G(a, q) < maxa trừ các trường hợptất cả ai bằng nhau hoặc có ít nhất một ai bằng không

Mệnh đề 1.5 [2] Ta luôn có

lim

r→0Mr(a, q) = G(a, q).Mệnh đề 1.6 [2] Ta luôn có:

Các bất đẳng thức liên quan đến các giá trị trung bình

2.1 Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 = · · · = xn

Trường hợp đăc biệt với p1 +p2 +· · ·+pn = n, ta có các hệ quả sau:

Hệ quả 2.1 [5] Bất đẳng thức trung bình cộng, trung bình nhân trườnghợp n số không âm x1, x2, , xn:

x1 +x2 +· · ·+xn

n ≥ √n

x1.x2 xn.Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 = · · · = xn

Hệ quả 2.2 [6] (Bất đẳng thức giữa trung bình nhân và trung bìnhđiều hòa hay viết tắt bất đẳng thức GH)

Giả sử cho trước hai cặp dãy số dương a1, a2, , an ; p1, p2, , pn Khiđó

Ví dụ 2.1 (Liên Xô cũ 1962) Cho các số thực dương a, b, c, d sao choabcd = 1 Chứng minh rằng

a2 +b2 +c2 +d2 +ab +ac+ad +bc+bd +cd ≥ 10

Ví dụ 2.2 Cho a, b, c là các số thực dương sao cho a2 + b2 + c2 = 3.Chứng minh rằng

1

1 + 2ab + 1

1 + 2bc + 1

1 + 2ca ≥ 1.Đẳng thức xảy ra khi nào?

Ví dụ 2.3 Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng

Ví dụ 2.4 (Chọn đội tuyển Việt Nam dự IMO 2001) Xét bộ 3 số dương

a, b, c thõa mãn điều kiện 21ab + 2bc + 12ca ≤ 12 Tìm giá trị nhỏ nhấtcủa

Ví dụ 2.5 (Olympic BaLan 2005) Cho 3 số dương a, b, c thỏa điều kiện

ab +bc +ca = 3 Chứng minh rằng

a3 +b3 +c3 + 6abc ≥ 9

Ví dụ 2.6 (Châu Á -TBD 2004) Cho 3 số dương a, b, c Chứng minh rằng

2.3.1 Các định nghĩa và ký hiệu

Giả sử các biến số a1, a2, , an và bộ số mũ α1, α2, , αn ∈ R

Ký hiệu: Tập biến số X = {a1, a2, , an}, tập số mũ α = {α1, α2, , αn}.Định nghĩa 2.16.[7] Đa thức đối xứng S với các biến số của tập X vàtập số mũ α là

SXα = Sα1 ,α2, ,αn

a 1 ,a 2 , ,a n = aα1

1 · Sα\{α1 } X\{a1} +· · · +aα1

n · Sα\{α1 } X\{an}.Nhận xét 2.1 Nếu nhân khai triển mà không ước lược các số hạngđồng dạng thì trong biểu thức khai triển của SXα có n! số hạng Nếugiao hoán bộ (α1, α2, , αn) hoặc bộ (a1, a2, , an) thì các SXα nhậnđược đều bằng nhau

Với a1, a2, , an ∈ R∗+, và α1, α2, , αn ∈ R, với α1 ≥ α2 ≥ · · · ≥ αn.Khi đó kí hiệu

là trung bình nhân của n số thực a1, a2, , an.

Định nghĩa 2.18.[7] Xét 2 bộ n số thực (α) và (β) Ta nói β bị làm trộibởi α hay bộ (α) trội hơn bộ (β), viết là (β) ≺ (α) nếu (α) và (β) có thểsắp xếp lại thỏa mãn ba điều kiện sau:

a1 +a2 +· · ·+an

n ≥ √n

a1 · a2· · · an.Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = · · · = an

2.3.4 Biểu diễn bất đẳng thức Schur dưới dạng Muirhead

Với các số thực dương a, b, c và r bất kỳ ta luôn có:

sym

ar+2 + 1

2 X

Ứng dụng của các bất đẳng thức về giá trị trung bình trong dạy toán phổ

thông trung học

Trong chương này, chúng tôi khảo sát và thảo luận về việc áp dụng một

số bất đẳng thức đã biết như bất đẳng thức AG, bất đẳng thức Schur, đểgiải một số bài toán về bất đẳng thức ở trường phổ thông trung học Sau

đó chúng tôi áp dụng chúng ở mức độ cao hơn để giải một số bài toán ở cấpthi học sinh giỏi quốc gia, hay thi olympiad trong và ngoài nước Làm việcnày để tạo niềm tin tốt cho học sinh và cảm nhận về sự hữu hiệu của cácbất đẳng thức cổ điển trong việc giải toán