\ Z hitp://onthi.soLin TRUNG HOC COSO Thường tâm lí của các bạn học sinh khi Ì gặp những bài toán bất đẳng thức BĐT Ì hay bài toán cực trị thì.. Dễ đàng ching minh dugc chiing ban
Trang 1\
Z
hitp://onthi.soLin
TRUNG HOC COSO
Thường tâm lí của các bạn học sinh khi Ì
gặp những bài toán bất đẳng thức (BĐT) Ì
hay bài toán cực trị thì cảm thấy bất an |
và te hỏi: Liệu mình có làm được không?Bài |
viết này muốn Irao đổi với các bạn cách Ì
giải một số bài toán cùng dạng mà có thể Ì
nhữn theo hướng của mét BOT quen thuge |
rong chương trình phổ thông
Trong chương trình phỏ thông t
đẳng thức cơ bản sau:
i
biết các bất
* Với hai số dương
ely ©
i
1; luôn có
* Với ba số đương xị, xạ, vị tả có
3
Bo el ee Q)
xb bay
,.2 n) thì
Tổ
`
HX ere) @)
Cả ba BĐT trên đều có dấu "=" xảy ra khi và
chỉ khi x, = x, voi moi i, j (i # j Dễ đàng
ching minh dugc chiing bang céch 4p dung
BĐT Cauchy hoặc Bunhiacovski
Tổng quát hơn, với b, > 0 (
luôn có
„2 n) thì
(a, +4, + +a,)?
hị+b,+ +b,
a
b
Dấu
(4)
xây ra khi và chỉ khi
Bạn đọc có thể chứng minh BĐT (4) bằng
cách áp dụng BĐT Bunhiacovski (xem bài Một
bất dẳng thức có nhiều ứng dụng THTT số
328, tháng 10-2004)
"Ta có thể áp dụng các BĐT trên để giải một số bài toán sau đây
© Bai toan 1 Cho a, b, c là các số đương
Chứng mình rằng
a+3b` b+ầc c+ầa
Le 4*2b+c b+2c+a - c+2a+b Đẳng thức xảy ra khi nào ?
Lời giải Áp dụng BĐT (1) ta có
1 A 1 = 2
a+3B ` b+2c+a` a+2b+e
1 a 1 > 2
b$ậc ` c+2a+b ” bv2eta
Crẩa Ý a+2b+c ˆ c+2a+b
Cong theo từng vế ba BĐT trên, ta nhận được BĐT cần chứng minh Dấu "=" xy ra khi và
chỉ khi
(a+3b=b+2c+a b+3c=c+2a+b <> a=
|c+3a=a+2b+c
Trang 2
© Bài toán 2 Chứng mình rằng nếu a, b, c là
các số thực dương thoả mãn abC= ab+bc+ca
———'——'.—'~
d+2b+3c 2a+3b+c 3a+b+2c ` 16
Lai gic
thi
Tit abe = ab + be + ca suy ra bt
abe
thixt y+
Ap dung BĐT (3) ta có
a+2b+3ce=l„2 x „3 z x+2y+3z 36
“." -
a+2b+3c 36
“Tương tự, ta cũng có
Công theo từng về ba BĐT trên dẫn đến
a+2b+äc ` 2a+3b+c
L3
=<
© Bai ton 3 Tim gid trị nhỏ nhất của biểu thức
trong đó a, b, e là các số thực dương thỏa mãm
điều kiện a + b + c =1
Loi gidi Ap dung BĐT (4) ta có
g> (0t) +CẺ -a'+b tế -
ˆ 244`+b`+e`) 2
“Theo BĐT Bunhiacovski
9(a+b+c)(a`+b`+e')
a[a(a +o? + T= (a+b+c)`
ase rcat xà,
1 Vậy giá tị nhỏ nhất của 8 bằng dat duac
suy ra
khi a=
3
© Bai toan 4 Cho a, b, e là bạ số đương thoải
=1, Chung mink rang
Đẳng thức xảy ra khi nào?
Biến đổi vế trái của BĐT trên và áp dụng BĐT (4) ta có
ab+ac ` be+ba
“Từ đó ta suy ra BĐT cần chứng minh
Diu "=" xay ra khi và chỉ khi a =
© Bai toain 5 Ching minh rang
với 4, y, z là các số dương
Đẳng thức xảy ra khi nào?
Áp dụng BĐT (4), ta có
Cong theo từng vế ba BĐT trên ta được BĐT
cần chứng minh
Dấu
xây ra khi và chỉ khi x= y=z = 1.1
Có rất nhiều bài toán có thể giải bằng cách
nhìn theo hướng các BĐT (3), (4), các bạn thử tìm và giải nhé Còn bây giờ các bạn hãy thử luyện tập với một số bài sau
Bai 1 Cho hai số đương x, y thỏa mãn x+y =6 Tìm giá trị nhỏ nhất của A =
Bài 2.Chứng mình rằng
oe oe
—+—+—2a+bte boca
với a, b, c là các số thực dương
Bài 3 Cho các số thực đương x, y, z, f thoả
mãn xyz/ = 1 Chứng minh rằng
1 1
z(p+n) r(y‡yz) 3
Đẳng thức xảy ra khi nào?
Bai 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
(@+b) (0+) (c? +0")
trong d6 a, b, c là các sổ thực dương thỏa mãn
điều kiện ab + be + ca=l
Bài 5 Cho x, y, z là các số đương thỏa mãn
oe ey 2
Chứng minh rằng