Ebook Bài tập Vật lý đại cương (tập ba): Phần 2

DIỄN ĐÀN TOÁN - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN.. Nguyên tử hiđrô chuyển động phát xạ phôtôn.. Tính bước sóng Đơbrơi có xác suất ỉớn nhất của phân tử.. 5.9. Thiết lập b[r]

Trang 1

THUYẾT NGUYỄN ĩử CỦA BO (BOHR)

(Nguyên tử hiđrô)

TÓM TẮT Lí THUYẾT

1 Bấn kính quỹ đạo Bo thứ n

rn = n2r:,

* 2 với ĨỊ = (4 t is 0) ——y = 0,53.10'^m ,

2 Mômen động lượng của electron trên quỹ đạo Bo thứ n

3 Năng lượng của electron trên quỹ đạo Bo thứ n

C h ư ơ n g m ở đ ầ u

và

Ln = n h.

Rh

n “ 2

n

R là hằng số Rytbe

DIỄN ĐÀN TOÁN - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Trang 2

lượng Em thì nguyên tử phát ra một phôtôn ; tần số của bức xạ tương ứna ìà :

4 Khi electron chuyển từ mức năng lượng En xuống mức năng

E n - E m R R

h m2 „2

Ưng với một m nhất định, ta có một dãy vạch quang phổ, chẳng hạn với :

.m = 1 (n = 2, 3, 4 , ) : dãy Layman,

m = 2 (n = 3, 4, 5,

m = 3 (n = 4, 5y.6,

m = 4 (n “ 5, 6, 7 ,

m = 5 (n = 6, 7, 8,

.): dãy Banme, .): dãy Pasen, ) : dãy Bracket, .) : dẫy Pfun

Bài tập thí dụ 1

Giả t h iế t e le c t r o n t r o n g n g u y ê n tử h iđ r ô c h u y ể n đ ộ n g t r ê n q u ỹ đạo

Bo thứ n

1 Hãy tính vận tốc và gia tốc cửa êlectrôn

2 Hãy tính mômen từ của êlectrôn và tỉ số của mômen từ đó với

Bài giải

i Gọi V là vận tốc của êlecưồn trên quỹ đạo thứ n, mômen động lượng của electron (đối với tâm quỹ đạo) theo định nghĩa bằng :

Theo thuyết Bo

Ỉ-TI m ev nr i r

rn = n2ĩỊ và Ln = Tíh.

9

Vậy mevn(n ĨỊ) = nK do đó vận tốc của êlectrôn là :

=

m e rl n

Trang 3

V2 t?

rn mjrj R X n ĨỊ Gia tốc của electron chính là gia tốc hướng tâm, cho bởi công thức :

hay

Yn 2 3 4 "

meĩỊ n

Gia tốc tỉ ỉệ nghịch với luỹ thừa 4 của những số nguyên.

2 Electron (điện tích -e ) chuyển động trên quỹ đạo Bo thứ n tương đương với một dòng điện (chiều ngược với chiều chuyển động

của êiectrôn) có cường đô ỉà i = e -~n— (trong đó —— là tần số của

27trn 2ĩĩrn

êlectrôn trên quỹ đạo)

Khi đó, mômèn từ của dòng điện ấy bằng tích của cường độ với diện tích quỹ đạo

M n = iS = e 7ZTỈ - ^ •

Thay rn - n Tị ; vn =

m e rl n

ta được : M n - e — - n ĩ] = n ——

2 m e r ịĩi 2 m e

với P-B = = 10_2 2Am2 là môt hằng số gọi là manhêtôn Bo

2 m e Cuối cùng tính được tỉ số

th

n

-M n _ 2me _ e

L n ĩứi 2mẾ

Trang 4

Bài tập thí dụ 2

Bước sóng của vạch đầu tiên của dãy Layman và của vạch giới hạn của dãy Banme trong quang phổ nguyên tử hiđrô lần lượt ỉà

A,ị = 12Ỉ5Â và = 3650Â Biết ưị số của e và h, tính nãĩig lượng iôn hoá của nguyên tử hiđrô

Nàng lư ợ n g iôn hoá có trị số bằng | E ị ị, Eị là mức năng lượng của electron trên quỹ đạo Bo thứ 1

Bài giải

Vỉ n J

Vạch đầu tiên ứng với n = 2

(a) Tần số các vạch của dãy Banme

Vạch giới hạn ứng với n = 0 0

R

(b)

R

- y - V ị + v2-

ì 2

Từ đó tính được :

lEl | = ^ - = h(v l + v2

>-í

72

Trang 5

B l Hãy xác định thế năng, động năng và cơ năng của electron trên quỹ đạo Bo thứ nhất

B.2 Xác định bước sóng của vạch quang phổ' thứ ba trong dãy Banme

B.3 Xác định bước sóng lớn nhất và bước sóng nhỏ nhất trong dãy hổng ngoại thứ nhất của quang phổ hiđrô (dãy Pasen)

B.4 Electron trong nguyên tử hiđrô chuyển từ mức năng lưựng thứ

ba về mức năng lượng thứ nhất Tính năng lượng phôtôn phát ra

B-5 Xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của năng lượng

p h ô t ô n p h á t r a t r o n g q u a n g p h ổ tử n g o ạ i c ủ a n g ú y ê n tử h i đ r ô ( d ă y

Layman)

BỊ.6 Nguyên tự hiđrồ ở trạng thái cơ bản (n = 1) được kích thích bởi một ánh sáng đơn sắc có bước sống A xác định Kết quả, nguyên

tử hiđrô đó chỉ phát ra ba vạch sáng quang phổ Xác định bước sóng

của ba vạch sáng đó và nói rõ chúng thuộc dãy vạch quang phổ nào

B.7 Nguyên từ hiđrô đang à trạng thái kích thích ứng với mức năng lượng thứ n (n > 1) Tính số vạch quang phổ nó có thể phát ra ị

B.8 Phôtôn có năng ỉượng 16,5eV làm bật* êlectrôn ra khỏi nguyên tử hiđrô đang ở trạng thái cơ bản Tính vận tốc của electron

khi bật ra khỏi nguyên tử

B.9 Nguyên tử hiđrô ở trạng thái cơ bản (n = 1) hấp thụ phôi ôn ứng với bức xạ có bước sóng Ằ = 1215Ả Tính bán kính quỹ đạo

êlectrôn của nguyên tử ở trạng thái kích thích

B.10 Xác định thế năng electron ở trạng thái kích thích đầu tiên.

Trang 6

B ll Tính độ thay đổi của bước sóng phôtôn gây ra do sự giật lùi của nguyên tử hiđrô khi êỉectrôn chuyển từ mức E2 về mức Ej, ngayén tử ban đầu coi như đứng yến

B.1 2 Nguyên tử hiđrô chuyển động phát xạ phôtôn Dùng các định luật bảo toàn động lượng và bảo toàn nãng lượng, thiết lập công thức của hiệu ứng Doppler ưong trường hợp phi tương đối tính

B.13 Nguyên tử hiđrô chuyển động, phát xạ phôtôn theo hướng hợp với hướng chuyển động của nguyên tử một góc 0 = 45° Bức xạ tha được ứng với sự chuyển mức năng lượng từ E2 xuống Ej của electron, có bước sóng 1215, Ỉ8Ả Tính vận tốc chuyển động của nguyên tử

I Hệ thức Đơ Brơi (de Brogỉie) Hạt vi mô có năng, lượng xác định E, động lượng xác định p tương ứng với một sóng phẳng đơn sắc có tần số dao động V (hay tần

số góc co = 2 t z v ) và có bước sóng A (hay có vectơ sóng

C h ư ơ n g 5

c ơ HỌC LƯỢNG TỬ

TÓM TẮT LÍ THUYẾT

(5 - lb)

p = -f ; p = Sk ;

Trang 7

2 Hệ thức b ất định Haizenbec (Heisenberg) a) Hệ thức giữa độ bất định về toạ độ và độ bất định về động lượng của vi hạt

b) Hệ thức giữa độ bất định ,về năng lượng và thời gian sống của vi hạt

3 Hàm sóng y (r , í)

a) Hàm sóng phẳng đơn sắc Vị/(r, t) = \ụ0 exp{"i(cot) - k.r)} = \ụ0 e x p |- - ^ ( E t — P -r ) ị (5-4)

b) Ý nghĩa của hàm sóng

Xác suất tìm vi hạt trong vi phân thể tích dxdydz = dV là :

ỊvựỊ2 dV - \y*\ịrdV

4 Phương trìn h Srôđinghe (Schrổđinger) Phương trình Srôdinghe tổng quát (đối với một vi hạt)

n ế u h à m t h ế n ã ĩ ig Ư c h ỉ p h ụ th u ộ c r , h à m s ó n g VỊ/ c ó d ạ n g h à m s ó n g

cùa trạng thái dừng :

trong đó hàm Vịi(r) thoả mãn phương trình Srôđinghe đối VỚI trạng

thái dừng :

Hvị/ = Ị —— A + U(r) U /, (5-7)

hay

Ay + ^ (E - Ư)IỊ/ = 0 (5-7a)

h2

Trang 8

Hàm \Ị/(r) phải là hàm đơn trị, ỉiến tục (nhiều khi cả đạo hàm cấp

1 cũng liên tục) và dần tới 0 khi r —> 0 0

5 Hạt vi mô írong giếng thê năng một chiểu bể cao vô hạn

Hạt c h u y ể n đ ộ n g th e o p h ư ơ n g X t r o n g g iế n g t h ế n ă n g đ ịn h

n g h ĩa b ở i :

tương ứng với năng lượng

- 2*2

2 ma trong đó n = 1, 2, 3,

6 Hiệu ứng đường ngầm

Hệ số t r u y ề n q u a h à n g r à o t h ế n ă n g h ìn h c h ữ n h ậ t bề d à y a, c h i ề u

cao Ưc

7 Dao tử điều hoà (một chiều)

Hạt vi mô chuyển động theo phương X dưới tác dụng của trưcmg thế

Hàm sóng có dạng

(5-8)

(5-10)

T T _ 1 J 2 _ * 2 2

Ư = — k x = m<0 X

Nãng lượng của dao tử điều hoà

(5 -1 1 )

trong đó n = 0, 1,2, 3

76DIỄN ĐÀN TOÁN - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Trang 9

Hạt electron vận tốc đầu bằng 0, được gia tốc qua một hiệu điện'*

thế Ư Xác định bước sóng Đơbrơi của êlectrôn sau khi gia tốc trong

b) Ư = 510kV

Bài giải

(coi như đã biết e, me)

Ta biết rằng công của lực điện trường :

e ư = động năng của êỉectrôn I

a) Trường hợp Ư = 5 IV

Vì u không lớn nên vận tốc của electron thu được khộng lớn lắm,

t a c ó th ể sử d ụ n g cấc công th ứ c t r o n g c ơ h ọ c p h i't ư ơ n g đ ố i (c ơ h ọ c

N íutơn):

e u B ^ - E L ,

Suy ra : p = *j2mceU

Bước sóng Đơbrơi

p ^/2 meeU

Tính toán cụ thể :

Ư = 51V => e ư = 51eV - 0,51.1Cf4MeV

Chú ý rằng 0,51MeV = Năng lượng nghi của electron = mec ,

77

Trang 10

ta có ĩhể v iế t:

— — = A c (Bước sóng Kômtôm = 0,0243Â)

mec

1 0 2

Vậy À, - — =■ A c = 1,72Ả

b) Trường hợp Ư - 510kV

e ư = 510keV = 0,51MeV, nghĩa là : động năng của êlectrôn = năng lượng nghỉ của êlectrôn

Vậy, phải áp dụng cơ học tương đối tính, động nãng electron bằng

.2 ỉ _ 1 1'= Í»ĨT

suy r a :

c2 eư + mec2

eư + mec2

Từ đó tính được động lượng của êlectrôn :

„ _ mev

mecJeƯ(eƯ + 2 mec2) eư

- - X —

eU + mec2

+ mec,2 mec2

(5-13) c

Trang 11

Bước sóng Đ ơb rơi:

p ^eU(eU + 2 mec2) Theo đầu bài e ư = 0,51 MeV = mec2

^ m ec2 (m ec2 + 2m ec2)

Động năng của electron trong nguyên tử hiđrô có giá trị vào cỡ lOeV Dùng hệ thức bất định hãy đánh giá kích thước nhỏ nhất của nguyên tử

Bài giải

Theo hệ thức bất định Haizenbec ;

AxApx > Ỹì,

Giả sử kích thước của nguyên tử bằng /, vậy vị trí của êlectrôn theo phương X xác định b ở i:

0 < X < /

/

Từ hệ thức bất định suy ra :

— ApY > h

APx

Rõ ràng độ bất định Apx không thể vượt quá giá trị đông ỉượng p

Apx < p, trong đó động lượng p liên hệ với động năng T bởi hệ thức :

p = J 2 meĩ , vậy : Apx < y/2meT

Trang 12

Trong (*) ta thay Apx bằng giá trị lớn nhất của nó, vậy giá trị nhỏ nhất của / cho bởi :

2 h

min

Tính ra /min = 1,24.10 1 0m

Dòng hạt electron có năng lượng xác định (năng lượng mỗi hạt

b ằ n g E) c h u y ể n đ ộ n g th e o p h ư ơ n g X từ t r á i s a n g p h ả i đ ế n g ặ p m ộ t

hàng rào thế nàng xác định b ở i:

ư 0 ( ư0 < E)

X < 0

X > 0

Hãy xác định hệ số phản xạ và hệ số truyền qua hàng rào thế đối với dòng electron đó

Bài giải

Trước hết ta hãy giải phương trình Srôđinghe để xác định hàm sóng của êlectrôn

Vì hàm thế năng u có hai giá trị khác nhau nên ta

sẽ tìm hàm sóng \ị/(x) của electron ở hai miền khác nhau đó

-I

k E

n

»-Uo

o

Hình 5 ỉ

m iề n I : X < 0 ; Ư = 0 ,

miền II : X > 0 ; u = ư 0

Trong miền I, hàm sóng vị / ị ( x ) thoả mãn phương trình :

2 mf

X

dx2 80

Trang 13

phương trình trên có nghiệm tổng quát là :

¥ [ (x) = Aelkx + Be-ikx

SỐ hạng Aelkx mô tả sóng phẳng truyền từ trái sang phải (sóng tới) o còn số hạng B'e lkx mô tả sóng truyền từ phải sang trái (sóng phản xạ trong miền I)

Trong miền ĨI hàm sóng Iị/Ịi(x) thóả mãn phương trình :

VI E > u nên có thể đặt.:

Ỉ ^ - ( E - U0 ) - (kị : là số thực và dương)

Phương trình trên có nghiệm tổng q u á t:

= CeiklX + D e 'iki Y

vì trong miền II chỉ có sóng ưuyền từ trái sang phải (sóng truyền qua) nên ta phải cho D = 0 nghĩa là :

VlI(x) = Ceik"x

Để tìm những liên hệ giữa các hệ số A, B, c ta viết điều kiện liên

tụ c c ủ a h à m s ó n g v à c ủ a đ ạ o h à m c ấ p 1 c ủ a h ậ m s ó n g t ạ i X = 0 :

VĩCO) = \Ị/n (0), -d\ị/x(0> _ d\Ị/n (0 )

Ta được những hệ thức :

A + B = c ,

k ( A - B ) = k Ị C

Trang 14

Từ đó suy ra :

A + B k

A - B ” 3 q ’

B k - k}

A k + k | , Tính hệ số phản xạ R : theo định nghía

Mật độ dòng.hạt p h ản xạ

nghĩa l à :

Suy ra :

Cuối cùng

R

R =:

Mật độ dòng hạt tới

IbP

Ia I2 ’

f k - k , f = 1 _ Ỉ Lk

\2

1 +

1 2

Hệ số truyền qua D được tính bởi công thức

Ị r - k - , ' 2

D = 1 - R = 1 - k - k Ị

k + ki

( k + k i ỹ

(5-14)

(5-15)

BÀÍ T Ậ P

5.1 Tính bước sóng Đơbrơi của electron và prôtôn chuyển động với vạn tốc 1 0ốm/s

Trang 15

5.2 Hạt electron tương đối tính chuyển động với vận tốc 2.108m/s Tính bước sóng Đơbrơi của nó

5.3 Hạt electron không vận tốc đầu được gia tốc qua một hiệu điện thC.Ư Tính u biết rằng sau khi gia tốc, hạt electron chuyển động ứng với bước sóng Đơbrơi 1Ả

5.4 Xác định bước sóng Đơbrơi của hạt êlectrôn có động năng bằng 1 keV

5.5 Xác định bước sóng Đơbrơi của hạt prôtõn được gia tốc

(không vận tốc đầu) qua một hiệu điện thế bằng lkV và 1MV

5.6 Hỏi phải cung cấp cho hạt electron thêm một năng lượng bằng

- 1?

bao nhiêu đế cho bước sóng Đơbrơi của nó giảm từ 100.ỈO m đến

5 0 1 (f 12m ? 5.7 Hạt nơtrôn động năng 25eV bay đến va chạm vào hạt đơtêri (hạt nhân cùa đồng vị nặng của hiđrô) Tính bước sóng Đơbrơi cùa hai hạt trong hệ quy chiếu khối tâm của chúng

5.8 Xét các phân tử khí hiđrô cân bằng nhiệt động ở nhiệt độ phòng Tính bước sóng Đơbrơi có xác suất ỉớn nhất của phân tử

5.9 Thiết lập biểu thức của bước sống Đơbrơi X của hạt tương đối

tính chuyển động vởi động năng T Với giá trị nào của T, sự sai khác

giữa X tương đối tính và X phí tương đối tính không quá ỉ % đối với

hạt êlectrôn và hạt prôtôn

5.10 Tính độ bất định về toạ độ Ax của hạt electron trong nguyên

tử hiđrô biết rằng vận tốc electron bằng V = 1,5.106m/s và độ bất định

về vận tốc Av = 10% của V So sánh kết quả tìm được với đường kính

d của quỹ đạo Bo thứ nhất và xét xem có thể áp dụng khái niệm quỹ đạo cho trường hợp kể trên được không

5.11 Hạt electron có động năng T = 15eV chuyển động ĩrong một giọt kim loại kích thước d = 10 6m Tính độ bất định về vận tốc

(ra %) cùa hạt đó.

Trang 16

5.12 Hạt vi mô có độ bất định về động lượng bằng 1% động lượng của nó Tính tỉ số giữa bước sóng Đơbrơi A và độ bất định về toạ độ

Ax của hạt dó

5.13 Cho biết độ bất định về toạ độ của hạt vi mô bằng bước sóng

À n

Đơbrơi của nó, tính — đối với động lượng p của vi hạt

p 5.ỉ 4 Dùng hệ thức bất định, hãy đánh giá Iiăng lượng nhỏ nhất Emin của electron

1) Chuyển động trong giếng thế năng một chiều bề rộng bằng /

2) Chuyển động trong nguyên tử hiđrô có kích thước / = 1Â

5.15 Hạt vi mô có độ bất định về vị trí cho bởi Ax = XỊ2% với X ỉà

bước sóng Đơbrơi của hạt Chứng minh rằng độ bất định về vận tốc của hạt Av « V.

5.16 Hạt vi mô khối lượng m chuyển động trong trường thế một

1 2

chiều Ư = — kx (dao tử điều hoà) Dùng hệ thức bất định, xác định

2

giá trị nhỏ nhấĩ khả dĩ của năng ỉượng

5.17 Dùng hệ thức bất định, xác định giá trị nhỏ nhất khả dĩ của năng lượng của electron trong nguyên tử hiđrô-và tính khoảng cách hiệu dụng từ electron đến hạt nhân

5.18 Hạt chuyển động trong giếng thế một chiều hình chữ nhật, chiều cao vô cùng, có năng lượng xác định Kết quả, động lượng của hạt có bình phương môđun xác định p = 2mE Mặt khác hạt chuyển động trong miền hữu hạn có kích thước a bằng bề rộng của giếng thế năng Nói cách khác : Ax < 00 Hỏi có gì mâu thuẫn với hệ thức bất định ?

5.19 Dùng hệ thức bất định AE.At h xác định độ rộng của mức

nâng lượng êlectrôn trong nguyên từ hiđrô ồ trạng th á i :

a) Cơ bản (n = 1)

b) Kích thích ứng với thời gian sống T » 10 8S.

84

Định dạng
Số trang	20
Dung lượng	0,93 MB