Ôn tập Chương V. Đạo hàm

Tìm tất cả các điểm thuộc trục tung sao cho từ đó có thể kẻ được ba tiếp tuyến với đồ thị   C.. ĐẠO HÀM CẤP CAO.[r]

ĐẠO HÀM

Trăm năm trong cõi người ta

Đạo hàm lười học khéo là lơ mơ

X mà có mũ (en) n Đạo hàm ta hạ mũ n đầu tiên

Rồi thì số mũ ở trên

Ta trừ đi 1 ra liền đấy thôi

(𝑥𝑛)′ = 𝑛 𝑥𝑛−1 Đạo hàm căn x bạn ơi

Bằng thương đấy nhé bạn thời chớ quên

Tử là số 1 còn nguyên

Mẫu 2 căn x viết liền cho nhanh

(√𝑥 )′ = 1

2√𝑥 Đạo hàm của tích hai anh

Ta đạo anh trước, để dành anh sau

Rồi thêm dấu cộng cho mau

Giữ nguyên anh trước, anh sau đạo hàm

(uv)′ = u′v + uv′

Nếu thương, khó mấy cũng cam

Tử ta đạo hàm nhân mẫu giữ nguyên

Dấu trừ thì chớ có quên

Tử nguyên, mẫu đạo đi liền đằng sau

Bình phương mẫu chạy đi đâu

Ta mang xuống dưới cho mau thuộc bài

(𝑢

𝑣)

′

= 𝑢

′𝑣 − 𝑣′𝑢

𝑣2 Đạo hàm sin thật là tài

Lại ra là cos có sai bao giờ

(sinx)′ = cosx

Cos đạo hàm đẹp như mơ Trừ sin để bạn ngẩn ngơ một mình

(cosx)′= − sinx

Cần cù bù lại thông minh Một chia cos bình là đạo hàm tang

(𝑡𝑎𝑛𝑥)′ = 1

𝑐𝑜𝑠2𝑥

Có chăm học mới vẻ vang

Cô tang dẫu khó cũng mang đạo hàm

Tử trừ 1 nhớ mà làm Mẫu sin bình nhé chớ ham chơi bời

(𝑐𝑜𝑡𝑥)′ = −1

𝑠𝑖𝑛2𝑥

E mũ x thật lạ đời Đạo hàm của nó, ta thời giữ nguyên

(𝑒𝑥)′ = 𝑒𝑥

Hàm số mũ ta để yên Nêpe cơ số chạy liền theo sau

(𝑎𝑥)′ = 𝑎𝑥.lna Nepe x đạo hàm mau Bằng 1 chia x chứ đâu khó gì

(𝑙𝑛𝑥)′ =1

𝑥 Lôga x có khác chi?

Nepe cơ số ta thì chớ quên (log𝑎𝑥)′ = 1

𝑥 𝑙𝑛𝑎

I ĐẠO HÀM TẠI 1 ĐIỂM

 Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) và điểm x0 thuộc khoảng đó Giới hạn hữu hạn của

0

( ) ( )



 Khi x  x0 được gọi là đạo hàm của hàm số tại điểm x0, kí hiệu là f ’(𝒙𝟎)

Nhận xét:

 Nếu đặt x – x0 =  x là số gia của biến số tại điểm x0 và ∆y = f(x0 + ∆𝑥 ) – f(x0) là số gia của hàm

số ứng với ∆𝑥 tại điểm x0 thì ta có:      

0

0

0 0

 Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại điểm x0 thì f(x) liên tục tại x0 Tuy nhiên đều ngc lại chưa chắc đúng

II ĐẠO HÀM BÊN TRÁI, BÊN PHẢI

o

0

0 0

0

( ) ( ) '( ) lim

x x

f x f x

f x

x x













o

0

0 0

0

( ) ( ) '( ) lim

x x

f x f x

f x

x x













 Hệ quả: Hàm f(x) có đạo hàm tại x0 khi ∃ f x'( 0), f x'( 0)đồng thời f x'( 0) = f x'( 0)

III ĐẠO HÀM TRÊN KHOẢNG, TRÊN ĐOẠN

 Hàm số f(x) có đạo hàm trên (a,b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc khoảng (a,b)

 Hàm số f(x) có đạo hàm trên [a,b] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc khoảng (a,b) đồng thời tồn tại f ’(𝑎+) và f ‘(𝑏−)

IV MỐI LIÊN HỆ GIỮA ĐẠO HÀM VÀ TÍNH LIÊN TỤC

 Định lí: Nếu hàm f (x) có đạo hàm tại x0 thì f (x) liên tục tại x0

Chú ý: Một hàm có thể liên tục tại x0 nhưng chưa chắc có đạo hàm tại x0 VD: f (x) = |𝑥| liên tục tại x = 0 nhưng không có đạo hàm vì

0

( ) (0)

x

f x f x





, còn

0

( ) (0)

x

x





I PHƯƠNG PHÁP

 Để tính số gia của hàm số y = f(x) tại điểm x0 tương ứng với số gia ∆x cho trước ta áp dụng công thức: ∆y = f(x0 + ∆x) – f(x0)

BÀI 1 KHÁI NIỆM VỀ ĐẠO HÀM

0

0 0

0

'( ) lim

x x

f x









DẠNG 1: Tính SỐ GIA của hàm số

II BÀI TẬP

Bài 1: Tìm số gia của hàm số 2

y x  x , tương ứng với sự biến thiên của đối số:

a) Từ 𝑥0= 1 đến 𝑥0+ ∆𝑥 = 2 b) từ 𝑥0 = 2 đến 𝑥0+ ∆𝑥 = 9 10⁄

Bài 2: Tính ∆𝑦 và y

x



 của các hàm số sau theo x và ∆𝑥:

c) y  2 x3 4 x  1 d) y  cos 2 x

I PHƯƠNG PHÁP



0

0 0

0

'( ) lim

x x

f x







0 0

0

( ) ( ) '( ) lim

x x

f x f x

f x

x x











0 0

0

( ) ( ) '( ) lim

x x

f x f x

f x

x x













 Hàm số f(x) có đạo hàm tại x = x0 khi f x'( 0) f x'( 0)

II BÀI TẬP

Bài 1: Tính đạo hàm (bằng định nghĩa) của mỗi hàm số sau tại 𝑥0

a) f x ( )  2 x2  6 x  3 tại 𝑥0 = 2

b) f x ( )  x3   x 2 tại 𝑥0 = −2

c) f x ( )  5 2  x tại 𝑥0 = −2

d) f x ( )  x2  x 1 tại 𝑥0 = 2

e) f x ( )  sin2 x tại

2

o

x  

f)   3 2

4

f x  x  x tại 𝑥0= 2

g)   1

sin

f x

x

 tại

2

o

x  

Bài 2: Tính đạo hàm (bằng định nghĩa) của mỗi hàm số sau tại 𝑥0

a)

2 7 4

1

x





tại 𝑥0 = 1

b)

2

2

sin

0 ( )

0

x x

x x x







 



tại 𝑥0 = 0

c)

2

1 ( ) x x

f x

x

 

khi

f x







DẠNG 2: Tính đạo hàm bằng định nghĩa

I CÁC QUI TẮC TÍNH ĐẠO HÀM

1 Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của hàm số:

  u v   w '     u ' v ' w '

   u v '  u v v u '  '

  k u 'k u '

 u ' u v v u' 2 '



  

 

 

 1 ' v2'



  

 

 

2 Đạo hàm của hàm số hợp:

 Cho hàm số y = f (u) với u = u (x) khi đó y 'x  y ' 'u u x

  C '  0



,

2

  



2 2

2







2

2

2

a a x a b x

a b

ax bx c



   



  x ' 1 

  1

x   x

' '

u   u u

  1

'

2

x

x



  1

2

u



1 12

'

   

 

' ' u

   

 

 

 sin x  '  cos x

 sin u  '  u '.cos u

 cos x     sin x cosu  u'.sinu

  12

tan

cos

x

x

2

tan

cos

u u

u



 

  12

cot

sin

x

x

2

cot

sin

u u

u



  

II BÀI TẬP

1 Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) y  x3 3 x2 2 x  1

y  x  x x  x  x

BÀI 2 CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM

c) 1 1 2 4

0,5

4 3

y   x x  x

3

y  x  x  x 

e)

4 3 2

f) y  x5  4 x3  2 x  3 x

2 Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) y   x2 3 x   2  x 

y x x  x

1 5 3

y x   x

2 1 5 3

yx x  x

x

f) y2 x1 4 x3

3 Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a)

1

x

y

x







y

x





1 3

x

y

x







2 5

y

x





e)

2

1

y

x





f)

2 2

1

1

x x

y

 



 

g)

2

1 1

y

x

 



 h)

2

y

x





1

1

x

  



1

x y





 

k)

2 2

1 1

y

 



 

4 Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) y  (2 x3  3 x2  6 x  1)2

y  x  x

1 2

y   x

d)  232

y  x  x

e)

3

2 1 1

x y

x



     

( 1)

y



 

1

y  x   x

h) y  ( x2   x 1) (3 x2  x 1)2

5 Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) y  2 x2  5 x  2

b) y  ( x  2) x2 3

1 1 2

d) y  1 2  x  x2

e) y  x2   1 1  x2

f)

2 1

x y

x





g) y  x  x  x

h) y 3 x3 3 x  1

i)

2

3 2 1

3

x y

x



   

2

1

y x x 

6 Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) y  x cos x

b)

3

sin

1 cos

x y

x

sin 2 1

d) y  sin 2  x2

e) y  sin x  2 x

f) y2sin 42 x3cos 53 x

2 sin 2

sin cos tan

i)

j) y  4 sin cos 5 sin 6 x x x

k) sin 2 cos 2

sin 2 cos 2

y







cos sin

y







tan 2

x

 n) y  tan 3xcot 3x

o)

2 2

1 tan

1 tan

x y

x





 p) ycot x2 1

q) ycos4 xsin4 x

r) s) t) ysin cos3 x

sin cos cos3

v)

2

cot cos

2

x y

x



7 a) Cho hàm số  

x

x x

f

sin 1

cos

























4 '

; 2 '

; '

; 0

f f

f

b) Cho hàm số  

x

x x

f

2

sin 1

cos





f   f  

x x

x x

y

2 cos 2

sin

2

2 cos 2

sin







3 ) cos

x x

ysin32 cos32

8 Tìm đạo hàm của các hàm số sau :

a) y3 sin 4xcos4x 2 sin6xcos6x

d)

y



f)

tan 1 sin

4 2 sin

x

x y

x



g) sin sin 2 sin 3 sin 4

cos cos 2 cos3 cos 4

y



2

  

9 Cho hàm số chứng minh :

a) xy2y' sin x x 2cosxy0

cos

y

x  

10 Cho các hàm số : f   x  sin4 x  cos4 x , g   x  sin6 x  cos6 x Chứng minh :

  2 '  0

'

3f x  g x 

11 a) Cho hàm số y  x  1 x  2 Chứng minh : 2 1  x2 y '  y

b) Cho hàm số y  cot 2 x Chứng minh : 2

y  y  

12 Giải phương trình y '  0biết :

a) y sin 2x2 cosx b) y cos2 xsinx

c) y3sin 2x4 cos 2x10x d) ym1 sin 2 x2cosx2mx

13 Cho hàm số 1 3   2

3

y x  m x mx Tìm m để :

a) y '  0 có hai nghiệm phân biệt ;

b) y ' có thể viết được thành bình phương của nhị thức ;

c) y'0 , x

d) y'0 , x 1 ; 2

e) y'0 , x 0

x x

y sin

14 Cho hàm số 1 3   2

3

y  mx  m x mx Xác định mđể : a) y '  0 ,   x

b) y '  0 có hai nghiệm phân biệt cùng âm ;

c) y '  0 có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện : x12  x22  3

15 Cho hàm số

2

6 2 2

y

x



 Xác định m để hàm số có y '  0, x 1 ; 

16 Tìm các giá trị của tham số để hàm số: có y'0 trên một đoạn có độ

dài bằng 1

17 Cho hàm số 4  2  2    

ymx  m  x  m Xác định m để hàm số có y'0 có 3

nghiệm phân biệt

I LÝ THUYẾT:

 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C :y f x tại M x 0 ; y0, có phương trình là :

Trong đó: k  f '   x0 là hệ số góc của tiếp tuyến

 Điều kiện cần và đủ để 2 đường (𝐶1): y f x  và (𝐶2): y g x  tiếp xúc nhau tại điểm có hoàng

độ x0 là hệ phương trình 0 0

( ) ( ) '( ) '( )





II PHƯƠNG PHÁP:

Dạng 1: Tiếp tuyến tại điểm M x 0 ; y0

 Tiếp tuyến của đồ thị  C :y  f x tại M x 0 ; y0, có phương trình là:

Dạng 2: Tiếp tuyến song song với đường thẳng ( ∆ )

 Tiếp tuyến (d) // (∆)kd  k

 Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm ta có : f ' x0 k d (1)

 Giải (1) ta được x0 Từ đó suy ra y0

 Phương trình tiếp tuyến cần lập là yy0  f '  x0 xx0

BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN

∆: yy0  f '  x0 xx0

yy  f x xx

Dạng 3: Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ( ∆ )

 Tiếp tuyến (d)(∆) kd 1

k





 Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm ta có : f ' x0 k d (1)

 Giải (1) ta được x0 Từ đó suy ra y0

 Phương trình tiếp tuyến cần lập là yy0  f '  x0 xx0

Dạng 4: Tiếp tuyến qua điểm A cho trước

 Gọi (d) là tiếp tuyến cần tìm và M x 0 ; y0 là tiếp điểm Ta có: (d): yy0  f '  x0 xx0

 Vì (d) qua A nên y Ay0  f '  x0 x Ax0 ( )

 Giải ( ) ta được x0 Từ đó suy ra y0

 Phương trình tiếp tuyến cần lập là yy0  f '  x0 xx0

III BÀI TẬP:

Bài 1: Cho hàm số   2

C yx  x Viết phương trình tiếp với  C : a) Tại điểm có hoành độ x02

b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng : 4x  y 9 0

c) Vuông góc với đường thẳng : 2x4y2011 0

d) Biết tiếp tuyến đi qua điểm A1 ; 0

Bài 2: Cho đường cong     3 2

C y f x x  x Viết phương trình tiếp tuyến của  C trong các trường hợp sau :

a) Tại điểm M01 ;2

b) Tại điểm thuộc  C và có hoành độ x0 1

c) Tại giao điểm của  C với trục hoành

d) Biết tiếp tuyến đi qua điểmA 1 ; 4

Bài 3: Cho hàm số : 3 1  

1

x

x





a) Viết phương trình tiếp tuyến của  C tại điểm M 1 ; 1

b) Vết phương trình tiếp tuyến của  C tại giao điểm của  C với trục hoành

c) Viết phương trình tiếp tuyến của  C tại giao điểm của  C với trục tung

d) Viết phương trình tiếp tuyến của  C bết tiếp tuyến song song với đường thẳng  d : 4x  y 1 0 e) Viết phương trình tiếp tuyến của  C biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

  : 4x  y 8 0

Bài 4: Cho đường cong   3 1

: 1

x

x







a) Viết phương trình tiếp tuyến của  C biết tiếp tuyến song song với đường thẳng

 d :x4y21 0

b) Viết phương trình tiếp tuyến của  C biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

  : 2x2y 9 0

c) Viết phương trình tiếp tuyến của  C biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng :

x2y 5 0 một góc 300

Bài 5: Cho hàm số : 3 2  

3

yx  x C

a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C tại điểm I1 ;2

b) Chứng minh rằng các tiếp tuyến khác của đồ thị  C không đi qua I

Bài 6: Cho hàm số 3 2  

yx  x  x C Trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị  C , hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất

Bài 7: Cho hàm số 2  

1

y  x x C Tìm phương trình tiếp tuyến với  C : a) Tại điểm có hoành độ 0 1

2

x  b) Song song với đường thẳng :  d :x2y0

Bài 8: Cho hàm số 2  

1

x y x





 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp

tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc

tọa độ O (Khối A – 2009)

Bài 9: Cho hàm số 3 2  

y  x x  C Tìm các điểm thuộc đồ thị C mà qua đó kẻ được một và chỉ một tiếp tuyến với đồ thị  C

(Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông, 1999)

Bài 10: Cho hàm số 3 2    

yx  mx  m x , m là tham số thực Tìm các giá trị của mđể tiếp tuyến của đồ thị của hàm số (1) tại điểm có hoành độ x 1 đi qua

điểm A 1 ; 2

(Dự bị A 1 - 2008)

Bài 11: Cho hàm số 3 1  

1 1

x y x





 Tính diện tích của tam giác tạo bởi các trục tọa độ và tiếp tuyến

của đồ thị của hàm số (1) tại điểm M2 ; 5

(Dự bị D 1 - 2008)

Bài 12 Cho hàm số 3  

y x  C Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng  d : 3y  x 6 0 góc 300

Bài 13 Cho hàm số 3 2  

y  x x  x C Trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị  C , hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất

Bài 14 Cho hàm số 2 1  

1

x

x





 Gọi I1 ; 2 Tìm điểm M C sao cho tiếp tuyến của  C

tại M vuông góc với đường thẳng IM

Bài 15 (*) Cho hàm số 2  

1





x

x Tìm điểm M C , biết tiếp tuyến của  C tại M cắt hai trục tọa

độ tại ,A B và tam giác OAB có diện tích bằng 1

2

Bài 16 (*) Cho hàm số :  

1

x

x



 Viết phương trình tiếp tuyến   của  C sao cho   và hai đường  d1 :x1 ; d2 :y1 cắt nhau tạo thành một tam giác cân (Dự bị D 2 - 2007)

Bài 17 Cho hàm số 1  

1

x

 

 Chứng minh rằng qua điểm A1; 1  kẻ được hai tiếp tuyến với

 C và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau

Bài 18.(*) Cho hàm số 1 3 2  

3

y x  x  x C Qua điểm 4 4;

9 3

  có thể kẻ được mấy tiếp tuyến đến đồ thị  C Viết phương trình các tiếp tuyến ấy

Bài 19 (*) Cho hàm số

2

( ) 1

x

 



 Gọi I1 ; 0.Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào

Bài 20:(*) Cho hàm số 4 2  

y  x x  C Tìm tất cả các điểm thuộc trục tung sao cho từ đó có thể kẻ được ba tiếp tuyến với đồ thị  C

I LÝ THUYẾT:

 Cho hàm số y  f x có đạo hàm tại x Gọi  xlà số gia của biến số tại x Ta gọi tích số

 

'

f x  x là vi phân của hàm số f x  tại điểm x ứng với số gia  x: df x( ) f x'( ).x

 Nếu lấy y = x thì ta có dy = dx = 1. x= x, vì vậy ta thường kí hiệu  x= dx , Vậy:

 Công thức tính gần đúng nhờ vi phân: f x( 0  x) f x( )0  f x'( ).0 x

BÀI 4 VI PHÂN

' x

dy  y dx

II PHƯƠNG PHÁP:

 Tính vi phân của hàm số f(x)

 Tính đạo hàm của hàm số

 Suy ra vi phân: dy  y ' x dx

III BÀI TẬP

Bài 1 Tìm vi phân của các hàm số sau :

x y





2

1

y

x

 





2

1

x y

x



2

1 cos 2

1 cos 2

x y

x







g) cot (23 )

4

h) ysin(cos )x cos(sin )x

i) sin

sin

y

2

y x x Bài 2 Cho hàm số

1 sin cos

y





 Chứng minh đẳng thức :y dy. cos 2 x dx0

Bài 3 Tính gần đúng các giá trị sau (lấy 4 chữ số thập phân trong kết quả) :

a) 8,99

b) cos 460

c) tan 59 45'0 d) 4,02

e) tan 44 30'0 f) 37,97

I PHƯƠNG PHÁP:

 Dựa theo các định nghĩa sau :

 Đạo hàm cấp 2 : y'' y' '

 Đạo hàm cấp 3 : y''' y'' '

 Đạo hàm cấp n : ( )  ( 1)

'

y  y 

Chú ý : Để tìm công thức tính đạo hàm cấp n của một hàm số ta tìm đạo hàm cấp 1 , 2 , 3 … sau

đó dự đoán công thức tính đạo hàm cấp n và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp

BÀI 5 ĐẠO HÀM CẤP CAO

II BÀI TẬP:

Bài 1: Tìm đạo hàm các cấp đã chỉ ra của các hàm số sau :

y x  x  x  x Tìm y, y

4

x

y

x





4

y y y

c) y 3xx3 Tìm y

d) y x.cos 3x tìm y

e) y  sin22 x tìm y ;

2 1

y  x  tìm  5

y

g)

2

3 1 2

x

 tìm  

4

y

Bài 2: Chứng minh các hệ thức sau với các hàm số được chỉ ra:

a) y y3   1 0khi y 2xx2

khi

c) xy2y' sin xxy"0 nếu y xsinx

d) 182y1 y"0 nếu y  cos23 x

e) y "  y  0 nếu

x x

x x

y

cos sin 1

cos sin3 3





f)  4

y  xy y nếu  2

2 1

g) 2y'2y1y" nếu

4

3







x

x

Bài 3: Tìm các đạo hàm cấp n của các hàm số sau :

a) 4 1

x

y

x







b)

2 3 5

1

y

x

 





c) 2 1

2

x

y

x







d)

2

3

2

y



 

e) 2 2

x

y





 

f)

2 2

y

 



 

g) ysin4 xcos4 x

h) y8sin cos3 cos 4x x x

i) ysin6xcos6x

j) y8sin sin 2 sin 3x x x