Thủy lực môi trường

- Lực khối: là lực tác dụng lên những phần tử ở trong mặt ω, tỷ lệ với những yếu tố thể tích ví dụ: trọng lực, lực quán tính.. Trên mặt phẳng ABCD, xung quanh một điểm O tuỳ ý ta lấy một

LỜI NÓI ĐẦU

MỤC LỤC

CHƯƠNG 1 1

MỞ ĐẦU 1

1.1 Định nghĩa môn học 1

1.2 Lịch sử phát triển 1

1.3 Những đặc tính vật lý cơ bản của chất lỏng 2

1.4 Các loại lực tác dụng 6

1.5 Ứng suất tại một điểm 7

1.6 Chất lỏng lí tưởng và chất lỏng thực 9

CHƯƠNG 2 10

THỦY TĨNH HỌC 10

2.1 Áp suất thủy tĩnh – Áp lực 10

2.2 Hai tính chất cơ bản của áp suất thủy tĩnh 10

2.3 Phương trình vi phân cơ bản của chất lỏng cân bằng 11

2.4 Mặt đẳng áp 13

2.5 Sự cân bằng của chất lỏng trọng lực 13

2.6 Sự cân bằng của chất lỏng trong bình chứa chuyển động 20

2.7 Áp lực của chất lỏng lên thành phẳng có hình dạng bất kỳ 23

2.8 Áp lực chất lỏng lên thành phẳng hình chữ nhật có đáy nằm ngang 25

2.9 Áp lực chất lỏng lên thành cong 27

2.10 Định luật Ácsimét, Sự cân bằng của vật rắn ngập hoàn toàn và nổi trên mặt tự do của chất lỏng 32

CHƯƠNG 3 37

CƠ SỞ ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT LỎNG 37

3.1 Những khái niệm chung 37

3.2 Các định nghĩa liên quan đến dòng chảy và các yếu tố thủy lực cơ bản của dòng chảy 37

3.3 Phương trình liên tục của chất lỏng chuyển động ổn định 40

3.4 Phương trình Bernoulli của dòng nguyên tố chất lỏng lí tưởng chảy ổn định 42

3.5 Phương trình Bernoulli của dòng nguyên tố chất lỏng thực chảy ổn định 43

3.6 Ý nghĩa năng lượng và thủy lực của phương trình Bernoulli viết cho dòng nguyên tố chảy ổn định 44

3.7 Độ dốc thủy lực và độ dốc đo áp của dòng nguyên tố 46

3.8 Phương trình Bernoulli của toàn dòng chất lỏng thực, chảy ổn định 47

3.9 Ứng dụng của phương trình Bernoulli trong việc đo lưu tốc và lưu lượng 52

3.10 Phương trình động lượng của toàn dòng chảy ổn định 54

3.11 Phân loại dòng chảy 57

CHƯƠNG 4 59

TỔN THẤT CỘT NƯỚC TRONG DÒNG CHẢY 59

4.1 Những dạng tổn thất cột nước 59

4.2 Phương trình cơ bản của dòng chất lỏng chảy đều 59

4.3 Hai trạng thái chuyển động của chất lỏng 61

4.4 Trạng thái chảy tầng trong ống 65

4.5 Trạng thái chảy rối trong ống 68

4.6 Công thức tổng quát Đácxy tính tổn thất cột nước hd trong dòng chảy đều Hệ số tổn thất dọc đường λ Thí nghiệm Nicurátsơ 71

4.7 Công thức Sedi Công thức xác định những hệ số λ và C để tính tổn thất cột nước dọc đường của dòng chảy đều trong các ống và kênh hở 74

4.8 Tổn thất cột nước cục bộ Những đặc điểm chung 79

CHƯƠNG 5 85

DÒNG CHẢY ỔN ĐỊNH TRONG ỐNG CÓ ÁP 85

5.1 Những khái niệm cơ bản về đường ống, những công thức tính toán cơ bản 85

5.2 Tính toán thủy lực về ống dài 88

5.3 Tính toán thủy lực về ống ngắn Tính toán thủy lực về đường ống của máy bơm li tâm 99

DANH MỤC BẢNG

Bảng 1.1 Trị số hệ số nhớt μ của một vài chất lỏng 5

Bảng 1.2 Trị số hệ số nhớt động ν của nước dưới áp suất khí quyển 6

Bảng 1.3 Các thành phần ứng suất 8

Bảng 4.1 Trị số độ nhám Δ của một số vật liệu 76

Bảng 5.1 Trị số θ1 và θ2 87

Bảng 5.2 Trị số đường kính d tương ứng với lưu tốc kinh tế vkt 96

BẢNG KÍ HIỆU

BẢNG VIẾT TẮT

CHƯƠNG 1

MỞ ĐẦU

1.1 ĐỊNH NGHĨA MÔN HỌC

Thủy lực học còn được gọi là Cơ học chất lỏng ứng dụng, là một môn khoa học ứng dụng

Thủy lực nghiên cứu:

- Các quy luật cân bằng và chuyển động của chất lỏng;

- Các biện pháp ứng dụng các quy luật đó vào thực tiễn

Thủy lực học được chia thành hai nội dung lớn:

- Thủy lực cơ sở: hình thành trên cơ sở các quy luật chung (phần nội dung này của môn học có

trong tất cả các chương trình đào tạo của tất cả các chuyên ngành kĩ thuật có liên quan đến chất lỏng)

- Thủy lực chuyên môn như: Thủy lực đường ống; Thủy lực lòng dẫn hở: Thủy lực công trình;

Thủy lực sông ngòi; Thủy lực dòng thấm v.v…

Hệ đo lường dùng trong thủy lực là: hệ đo lường kĩ thuật cũ (MKS – m, kG, s) và hệ đo lường quốc tế mới (SI – m, kg, s)

Trong tài liệu này chủ yếu dùng đơn vị mới, nhưng để thuận tiện cho việc chuyển đổi đơn vị cũ sang đơn vị mới, cũng nêu đơn vị cũ để nhận biết và so sánh giữa hai hệ đơn vị

Khối lượng: kí hiệu M (hay m), thứ nguyên [M], đơn vị thường dùng (kg)

Thời gian: kí hiệu t, thứ nguyên [T], đơn vị giờ (h), phút (ph) hay giây (s)

Chiều dài: kí hiệu L (hay l), thứ nguyên [L], đơn vị (m)

Nhiệt độ: kí hiệu T0, thứ nguyên [T0], đơn vị là độ Kevin (K) và độ (0C)

Quan hệ giữa các đơn vị:

- Lực: kí hiệu F hay P, thứ nguyên [F] = [MLT-2], đơn vị Niutơn (N): 1N = 1kg x 1m/s2 Hệ đơn

vị cũ là Kilôgam lực (kG): 1kG = 9,81N; 1kN = 103N

- Áp suất: kí hiệu p, thứ nguyên [p] = [ML-1T-2], đơn vị N/m2, kG/m2, N/cm2, trong kĩ thuật thường dùng átmốtphe (at), 1at = 98100 N/m2 = 9,81 N/cm2 Đơn vị cũ 1at = 1kG/cm2 Ngoài ra còn dùng 1Pa (Pascal) = 1 N/m2, 1KPa = 1000Pa

- Công: kí hiệu A, thứ nguyên [A] = [ML2T-2], đơn vị là Jun (J), 1J = 1N.m = 1kgm2s-2

- Công suất: kí hiệu N, thứ nguyên [N] = [ML2T-3], đơn vị là oát (W): 1W = 1J/s = 1kgm2s-3, ngoài ra còn dùng mã lực (ml): 1ml = 75 kGm/s

Giữa thế kỷ XV Leona de Vanhxi (1452 – 1519) đặt nền móng cho thực nghiệm thủy lực Ông

đã tiến hành nghiên cứu trong phòng thí nghiệm một số vấn đề về chuyển động của nước trong kênh, qua lỗ vòi và đập tràn Torixeli (1608 – 1647) đã đề xuất công thức nổi tiếng về vận tốc của chất lỏng chảy qua lỗ, còn Niutơn (1642 – 1724) đã phát biểu quy luật cơ bản về ma sát trong của chuyển động của chất lỏng

Trong thế kỷ XVIII Danien Becnuli (1700 – 1782) và Leona Ơle (1707 – 1783) đã đề xuất phương trình tổng quát về chuyển động của chất lỏng lý tưởng và có thể coi các ông là những người đặt nền móng cho cơ học chất lỏng lý thuyết

Cuối thế kỷ XVIII nhiều bác học và kỹ sư (Sedi, Đacxi, Badanh, Vetsbat) trong các trường hợp

cụ thể khác nhau và họ đã nhận được một số lượng lớn các công thức kinh nghiệm Sự hình thành thủy lực "thực dụng" cứ như vậy càng ngày càng rời xa cơ học chất lỏng lý thuyết

Thế kỷ XX với sự phát triển mạnh mẽ của kĩ thuật hàng không, thủy lợi, nhiệt năng, máy thủy lực đã phát triển như vũ bão của cơ học chất lỏng kĩ thuật được dựa trên các tiền đề lý thuyết và các phương pháp nghiên cứu thực nghiệm

1.3 NHỮNG ĐẶC TÍNH VẬT LÝ CƠ BẢN CỦA CHẤT LỎNG

1.3.1 Tính di động

Dưới tác dụng của lực, mọi vật chất đều biến dạng Biến dạng được gọi là đàn hồi nếu biến dạng

đó mất đi sau khi bỏ lực tác dụng, biến dạng được gọi là dẻo nếu biến dạng được giữ nguyên sau khi

bỏ lực, biến dạng được gọi là chảy nếu biến dạng tăng lên một cách liên tục, không có giới hạn dưới tác dụng của lực nhỏ tùy ý

Chất lỏng là loại chất chảy Tính di động là đặc tính nổi bật của chúng Nó không có hình dạng riêng ban đầu mà luôn luôn theo hình dạng của vật thể chứa đựng nó hoặc bao quanh nó Tính chảy còn thể hiện ở chỗ các phần tử chất lỏng và chất khí có chuyển động tương đối với nhau khi chất lỏng

và chất khí chuyển động

1.3.2 Tính liên tục

Chất lỏng được coi như môi trường liên tục, tức là những phần tử chất lỏng chiếm đầy không gian mà không có chỗ nào trống Với tính chất liên tục này, ta có thể coi những đặc trưng cơ bản của chất lỏng như vận tốc, mật độ, áp suất v.v… là hàm số của tọa độ điểm và thời gian, những hàm số

đó được coi là liên tục và khả vi

1.3.3 Khối lượng riêng ρ – Khối lượng đơn vị

Đối với chất lỏng đồng chất, khối lượng riêng ρ bằng tỉ số giữa khối lượng M và thể tích V của khối lượng đó của chất lỏng, tức là:

Đơn vị của ρ là kg/m3 hoặc

2 4

N.s

m Theo hệ MKS, đơn vị của ρ là

2 4

kG.s

Đối với nước, đơn vị khối lượng của nước lấy bằng khối lượng của đơn vị thể tích nước cất ở nhiệt độ +4 oC; ρ = 1.000 kg/m3

1.3.4 Trọng lượng riêng γ – Trọng lượng đơn vị

Đối với chất lỏng đồng chất, trọng lượng riêng γ bằng tích số của khối lượng riêng ρ với gia tốc trọng trường g (g = 9,81 m/s2)

3 Theo hệ MKS, đơn vị của γ là kG/m3

Đối với nước ở nhiệt độ +4oC, γ = 9.810 N/m3 = 1.000 kG/m3; với thủy ngân

γ = 133.500 N/m3 = 13.600 kG/m3

Tỉ trọng δ là một đại lượng không có độ đo và bằng tỉ số giữa trọng lượng của vật thể đã cho ở

nhiệt độ t với trọng lượng của cùng một thể tích nước ở t = 4 oC Tỉ trọng δ phụ thuộc vào nhiệt độ

và áp suất

1.3.5 Tính nén được của chất lỏng

Chất lỏng khác chất khí ở chỗ, khoảng cách giữa các phân tử trong chất lỏng so với chất khí rất nhỏ, nên sinh ra lực dính phân tử rất lớn Lực dính phân tử này có tác dụng làm cho chất lỏng giữ được thể tích hầu như rất ít thay đổi, mặc dù bị thay đổi về áp suất, nhiệt độ v.v… tức là chất lỏng khó bị nén, trong khi đó chất khí dễ dàng co lại khi nén Vì thế thường coi chất lỏng có tính không chịu nén (ρ = const), còn chất khí là chất lỏng chịu nén được (ρ ≠ const)

1.3.6 Hệ số co thể tích βv

Khi áp suất tăng, thể tích chất lỏng bị nén lại, khi áp suất giảm thì thể tích của nó tăng lên Dùng

hệ số co thể tích βv biểu thị sự giảm tương đối của thể tích chất lỏng V khi áp suất p tăng lên một đơn

dV: độ thay đổi thể tích V tương ứng với sự thay đổi áp suất dp

Thông thường đối với nước có thể coi βv ≈ 0, tức coi nước là không nén được

Trị số nghịch đảo của hệ số co thể tích được gọi là môđun đàn hồi K,

v

dV: thể tích biến đổi ứng với nhiệt độ thay đổi một trị số là dt

Thông thường đối với nước có thể coi βt ≈ 0, tức coi nước là không co dãn dưới tác dụng của nhiệt độ

1.3.8 Sức căng mặt ngoài

Tính chất này thể hiện khả năng chịu được ứng suất kéo không lớn lắm tác dụng lên mặt tự do phân chia chất lỏng với chất khí hoặc trên mặt tiếp xúc giữa chất lỏng với chất rắn Do đó, một thể tích nhỏ của chất lỏng đặt trong trường hợp lực sẽ có dạng từng hạt, điều mà chất khí không có được Hạt lỏng là chất điểm lỏng trong không gian, có khối lượng và có kích thước, ta thường gọi là phân tố chất lỏng

Trong đa số trường hợp, sức căng mặt ngoài có thể không cần xét đến vì nó nhỏ hơn nhiều so với những lực khác Trường hợp có hiện tượng mao dẫn, như dòng thấm dưới đất, có các dụng cụ đo bằng ống thủy tinh có đường kính rất bé thường phải tính sức căng mặt ngoài Với nước ở t = 200C

độ dâng cao h(mm) trong ống thủy tinh có đường kính d(mm) tính theo công thức: h.d = 30mm2 Còn với thủy ngân thì độ hạ thấp trong ống thủy tinh d(mm) tính theo: h.d = 10,15mm2

1.3.9 Tính nhớt

Tính làm nảy sinh ứng suất tiếp giữa các lớp chất lỏng chuyển động gọi là tính nhớt Nó biểu thị sức dính phân tử của chất lỏng Khi nhiệt độ tăng thì độ nhớt của chất lỏng giảm bớt đi Mọi chất lỏng đều có tính nhớt

Năm 1686, I Niutơn đã nêu lên giả thiết về quy luật sức ma sát trong xuất hiện khi các lớp chất

lỏng chuyển động: "Sức ma sát giữa các lớp của chất lỏng chuyển động tỉ lệ với diện tích tiếp xúc của các lớp ấy, không phụ thuộc áp lực, phụ thuộc vào gradien vận tốc theo chiều thẳng góc với phương chuyển động, và phụ thuộc vào loại chất lỏng" Định luật ma sát trong của Niutơn viết dưới

dn – gradien vận tốc theo phương n, tức đạo hàm của u đối với n;

 – hằng số tỉ lệ, phụ thuộc loại chất lỏng, được gọi là hệ số nhớt động lực

Gọi τ là ứng suất tiếp, τ = F

S, công thức (1.6) có thể viết dưới dạng:

du

τ = μ

dn , (N/m

Công thức (1.6) hoặc (1.7) dùng cho chuyển động tầng của chất lỏng

Tính nhớt của chất lỏng được đặc trưng bởi hệ số nhớt μ mà thứ nguyên là:

   F

μ =

duS

Công thức xác định hệ số nhớt có dạng tổng quát sau:

0 2

μ

μ =

trong đó:

μ0 – hệ số nhớt khi t = 00C;

a, b – hằng số phụ thuộc vào loại chất lỏng

Sau đây là bảng trị số của hệ số nhớt động học ν của nước, phụ thuộc nhiệt độ:

Bảng 1.2 Trị số hệ số nhớt động ν của nước dưới áp suất khí quyển 1.4 CÁC LOẠI LỰC TÁC DỤNG

Tại một thời điểm cho trước, người ta cô lập bằng trí tưởng tượng tất cả

những phần tử chất lỏng bên trong một mặt kín ω (hình 1.2) Những lực tác

dụng lên những phần tử bên trong ω chia làm hai loại sau:

1.4.1 Nội lực

Những phần tử bên trong ω tác dụng lên nhau những lực từng đôi một

cân bằng nhau (theo nguyên lí tác dụng và phản tác dụng), những lực đó tạo

thành một hệ lực tương đương với số không Ví dụ: lực ma sát trong, áp lực

trong nội bộ thể tích giới hạn bởi mặt ω

1.4.2 Ngoại lực

Ngoại lực là những lực tác động lẫn nhau giữa chất lỏng và vật thể tiếp xúc hoặc không tiếp xúc với khối chất lỏng đó Ví dụ: áp lực tác động lên mặt ngoài chất lỏng, trọng lực, lực quán tính Để

tiện nghiên cứu, có thể chia làm hai loại lực: lực mặt và lực khối (lực thể tích)

- Lực mặt: là lực do những phần tử ở ngoài mặt ω tác dụng lên những phần tử ở trên mặt bao

quanh khối chất lỏng ω (ví dụ: áp lực không khí lên mặt tự do của chất lỏng, phản lực của thành rắn, lực ma sát) Muốn tính lực mặt cần biết luật phân bố của nó lên mặt cần tính

- Lực khối: là lực tác dụng lên những phần tử ở trong mặt ω, tỷ lệ với những yếu tố thể tích (ví dụ: trọng lực, lực quán tính) Muốn tính lực khối cần phải biết luật phân bố của gia tốc lực khối trong

trong đó: m: khối lượng (kg);

X, Y, Z: hình chiếu của gia tốc lực khối lên 3 trục tọa độ

Ví dụ về lực khối:

Lực khối đơn vị là lực trọng trường G : Fx = 0 ; Fy = 0 ; Fz = - g

Lực khối đơn vị là G + Fqt (phương x) : Fx = - a ; Fy = 0 ; Fz = - g

Lực khối đơn vị là G + Fly tâm : Fx = ω2.x ; Fy = ω2.y ; Fz = - g

Hình 1.2

1.5 ỨNG SUẤT TẠI MỘT ĐIỂM

1 Xét một phân tố diện tích dω lấy trên một mặt ω, bao quanh một điểm I của mặt ω (hình 1.3)

Hệ lực mặt tác dụng lên dω thu về một lực duy nhất dF đặt tại I và một mômen dM Có thể coi

dF là vô cùng nhỏ bậc nhất so với dω và dM là vô cùng nhỏ bậc cao hơn

Khi dω tiến tới số không, xung quanh điểm I cố định, véc tơ dF

dω tiến tới

một véc tơ T gọi là ứng suất tại I trên phân tố dω

Như vậy ở giới hạn ta viết được:

dF = T dω Véc tơ T có thể có một hướng tùy ý đối với dω

2 Cũng bằng cách như vậy, ta có thể định nghĩa ứng suất trên một phân tố diện tích tuỳ ý bao quanh điểm I lấy trong chất lỏng (chỉ cần tưởng tượng một mặt ω chứa đựng phân tố đó)

Vì chất lỏng là môi trường liên tục, đẳng hướng ta chứng minh rằng muốn biết ứng suất tại I trên một phân tố diện tích dω chỉ cần biết những ứng suất trên ba phân tố diện tích đôi một vuông góc với nhau và đều đi qua I

Giả sử đã biết những ứng suất của phân tố diện tích đi qua I và đôi một vuông góc với nhau (hình 1.4) Cắt tam diện vuông góc đó bởi một mặt phẳng mà ta

muốn biết ứng suất, mặt này tạo nên mặt thứ tư ABC

Gọi F1, F2, F3và F là những lực mặt tác dụng riêng biệt

lên bốn mặt của tứ diện IABC Những lực đó đều tỉ lệ với

diện tích của những tam giác tương ứng Đó là những đại

lượng vô cùng nhỏ bậc hai so với những độ dài của tứ diện

Tứ diện phải được cân bằng dưới tác dụng của F1, F2 ,

3

F , F và dưới tác dụng của những lực thể tích

Nhưng những lực thể tích này là những lực vô cùng nhỏ

bậc ba so với những độ dài của tứ diện, chúng có thể bỏ đi

không tính đến so với những lực mặt Do đó chỉ tồn tại có một phương và một độ lớn cho lực F để cân bằng được với tập hợp ba lực F1, F2, F3 Lực F này chia cho diện tích tam giác tương ứng được ứng suất đặt lên mặt ABC mà ta phải tìm Đến giới hạn ta sẽ có ứng suất tác dụng lên một phân tố diện tích bất kỳ đi qua điểm I

Với hệ toạ độ vuông góc Oxyz, ứng suất tại điểm I trên phân tố dS sẽ được xác định nếu ta biết:

Ta chỉ cần nghiên cứu những ứng suất tác dụng lên những phân tố diện tích vuông góc với những trục toạ độ (hình 1.5) Thí dụ, lên một phân tố diện tích vuông góc với Ox, ta có:

- Một thành phần σxx song song với trục Ox mà ta giả thiết là có trị số dương khi thành phần đấy hướng vào trong thể tích phân tố;

- Một thành phần σxy song song với Oy;

- Một thành phần σxz song song với Oz

σxy = σyx Như vậy 9 thành phần thu lại còn 6:

- 3 thành phần vuông góc mà ta gọi là σ1, σ2, σ3;

- 3 thành phần tiếp tuyến mà ta gọi là τ1, τ2, τ3

Vậy ta có bảng sau đây về những ứng suất, đối xứng đối với đường chéo thứ nhất:

Chất lỏng ở trạng thái tĩnh rất gần với chất lỏng lí tưởng

Ðể có kết quả chất lỏng lí tưởng phù hợp chất lỏng thực, người ta dùng thực nghiệm để rút ra hệ

số hiệu chỉnh

Ngoài ra một số vấn đề thủy lực, chưa có phương pháp lý luận giải quyết được, mà phải dùng phương pháp thực nghiệm

CHƯƠNG 2

THỦY TĨNH HỌC

Chương này nghiên cứu những vấn đề chất lỏng ở trạng thái cân bằng, tức là ở trạng thái không

có sự chuyển động tương đối giữa các phần tử chất lỏng

2.1 ÁP SUẤT THỦY TĨNH – ÁP LỰC

Lấy một khối chất lỏng W đứng cân bằng (hình 2.1) Nếu chia cắt khối đó bằng một mặt phẳng tuỳ ý ABCD và bỏ đi phần trên, thì muốn giữ phần dưới khối đó ở trạng thái cân bằng như cũ ta phải thay thế tác dụng của phần trên lên phần dưới bằng một hệ lực tương đương

Trên mặt phẳng ABCD, xung quanh một điểm O tuỳ ý ta lấy một diện

tích ω; gọi P là lực của phần trên tác dụng lên ω, tỉ số P = ptb

Trong thuỷ lực, lực P tác dụng lên diện tích ω gọi là áp lực thủy tĩnh lên diện tích ấy

Chú ý: người ta thường gọi trị số p của p là áp suất thủy tĩnh và trị số P của P là áp lực thủy tĩnh Áp suất có đơn vị là N/m2 hoặc kg2

Áp suất còn được đo bằng chiều cao cột nước

2.2 HAI TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA ÁP SUẤT THỦY TĨNH

Tính chất 1: Áp suất thủy tĩnh tác dụng thẳng góc với diện tích chịu

lực và hướng vào diện tích ấy

Áp suất thủy tĩnh tại điểm O lấy trên mặt phân chia ABCD (hình 2.2)

là một lực có thể chia làm hai thành phần: pn theo hướng pháp tuyến tại

điểm O của mặt ABCD và τ theo hướng tiếp tuyến Thành phần τ có tác

dụng làm mặt ABCD di chuyển, tức chất lỏng có thể chuyển động tương

Hình 2.1

Hình 2.2

đối, nhưng như đã giả thiết ban đầu, chất lỏng đang xét ở trạng thái tĩnh nên phải có τ = 0 và chỉ còn lại thành phần pháp tuyến pn Thành phần pn không thể hướng ra ngoài được vì chất lỏng không chống lại được sức kéo mà chỉ chịu được sức nén Vậy áp suất p tại điểm O chỉ có thành phần pháp tuyến

và hướng vào trong

Tính chất 2: Trị số áp suất thủy tĩnh tại một điểm bất kì không phụ thuộc hướng đặt của diện

tích chịu lực tại điểm này

Lấy một phân tố diện tích dS có tâm I và một

hình trụ vô cùng nhỏ có tiết diện thẳng dS (hình 2.3)

Đáy kia hình trụ có diện tích dS' và tâm I', đáy này có

hướng bất kì xác định bởi góc α Những kích thước

về chiều dài là những vô cùng nhỏ

Gọi p và p' là những áp suất, chúng vuông góc

với những mặt tương ứng

Theo định nghĩa, ta có các trị số áp lực dF và dF' như sau:

dF = p.dS dF' = p'.dS' Hình trụ này đứng cân bằng dưới tác dụng của những lực mặt là những lực vô cùng nhỏ bậc hai

và của những lực thể tích là những vô cùng nhỏ bậc ba Do đó trong phương trình cân bằng lực, ta có thể bỏ qua những lực thể tích Phương trình này chiếu lên trục I-I', cho ta:

vì những lực mặt tác dụng lên mặt bên và vuông góc với I-I', đã triệt tiêu nhau Vậy:

pdS = p’dS’cosα; vì dS = dS’cosα nên ta rút ra:

Vậy áp suất thủy tĩnh tại điểm I là một đại lượng vô hướng p, chỉ phụ thuộc vị trí của điểm I, nghĩa là trong hệ tọa độ vuông góc Oxyz thì:

Từ hai tính chất trên của áp suất thủy tĩnh, ta thấy rõ các thành phần tiếp tuyến đều bằng số không

và các thành phần pháp tuyến đều bằng nhau và bằng p Vì vậy tensơ ứng suất viết cho áp suất thủy tĩnh có dạng:

2.3 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CƠ BẢN CỦA CHẤT LỎNG CÂN BẰNG

Xét khối chất lỏng hình hộp vô cùng nhỏ ABCDEFGH có cạnh δx, δy, δz (hình 2.4) đứng cân bằng Điều kiện cân bằng là tổng số hình chiếu trên các trục của các lực mặt và lực thể tích tác dụng lên khối đó bằng không

Hình 2.3

Đó là hệ phương trình vi phân cơ bản của chất lỏng đứng cân bằng và còn gọi là hệ phương trình

Ơle (do Ơle tìm ra năm 1755) Phương trình này biểu thị quy luật chung về sự phụ thuộc áp suất thủy tĩnh đối với toạ độ:

p = f(x, y, z)

Hệ (2.5) có thể viết dưới dạng vi phân toàn phần của p như sau: nhân những phương trình trong

hệ (2.5) riêng biệt với dx, dy, dz rồi cộng vế đối vế, ta có:

(Fx.dx + Fy.dy + Fz.dz) – 1

ρ .dp = 0

dp = ρ.(Fx.dx + Fy.dy + Fz.dz) (2.7) Phương trình (2.7) gọi là phương trình vi phân cân bằng của chất lỏng

Fz = – g, trong đó g là gia tốc trọng trường (hình 2.5)

2.5.1 Phương trình cơ bản của chất lỏng ở trạng thái cân bằng

pp

Phương trình (2.11), (2.12) là phương trình cơ bản của thủy tĩnh học, biểu thị quy luật phân bố

áp suất thủy tĩnh trong chất lỏng đứng cân bằng Số hạng p

γ có thứ nguyên là độ dài

2.5.2 Mặt đẳng áp của chất lỏng trọng lực

Trong trường hợp đang xét lực khối là lực trọng trường, gia tốc là gia tốc rơi tự do g, vì vậy trong

hệ tọa độ đã chọn hình chiếu của lực khối đơn vị trên trục Ox, Oy, Oz sẽ là: Fx = 0, Fy = 0, Fz = – g, còn phương trình mặt đẳng áp được viết dưới dạng:

– g.dz = 0; do g ≠ 0 nên z = const

Do vậy mặt đẳng áp trong chất lỏng tĩnh đồng nhất sẽ là các mặt nằm ngang bất kỳ, trong đó có

cả mặt thoáng, không phụ thuộc vào hình dạng bình chứa chất lỏng Mặt nằm ngang cũng sẽ là mặt phân cách của hai loại chất lỏng cùng chứa trong một bình

Ví dụ 2.1: Tìm áp suất tại một điểm ở đáy bể đựng nước sâu 4 m, trọng lượng đơn vị của nước γ

= 9.810 N/m3 (γ = 1.000 kG/m3) Áp suất tại mặt thoáng po = 98.100 N/m2 (po = 10.000 kG/m2)

Giải: Áp dụng công thức (2.12), ta có:

p = po + γ.h = 98.100 + 9.810 x 4 = 137.340 N/m2 (= 14.000 kG/m2)

2.5.3 Định luật bình thông nhau

Hai bình thông nhau chứa đựng chất lỏng khác nhau và có áp suất trên mặt thoáng bằng nhau, độ cao của chất lỏng ở mỗi bình tính từ mặt phân chia hai chất lỏng đến mặt thoáng sẽ tỷ lệ nghịch với trọng lượng đơn vị của chất lỏng, tức là:

Gọi po là áp suất tại mặt ngoài của một thể tích chất lỏng cho trước đứng cân bằng (hình 2.7a),

áp suất tại một điểm A ở độ sâu h trong chất lỏng đó là:

p = po + γ.h

Hình 2.7

Nếu tăng áp suất ở ngoài lên một trị số Δp thì áp suất mới p' tại A sẽ là:

p' = (po + Δp) + γ.h Vậy áp suất mới tại A sẽ tăng lên một lượng bằng p' – p = Δp

Như vậy, định luật Pascan được phát biểu như sau: "Độ biến thiên của áp suất thủy tĩnh trên mặt giới hạn một thể tích chất lỏng cho trước được truyền đi nguyên vẹn đến tất cả các điểm của thể tích chất lỏng đó"

Hình 2.8 Ứng dụng: Máy ép thủy lực gồm hai xi lanh có diện tích khác nhau, chứa cùng chất lỏng và có

píttông di chuyển (hình 2.8) Khi một lực F nhỏ tác dụng lên đòn bẩy thì lực tác dụng lên pittông nhỏ

sẽ được tăng lên thành P1, áp suất tại xi lanh nhỏ là 1

1 1

ω , trong đó η là hiệu suất máy ép thủy lực

2.5.5 Áp suất tuyệt đối – áp suất dư– áp suất chân không

Áp suất tuyệt đối ptuyệt hoặc áp suất toàn phần là áp suất p xác định bởi công thức cơ bản (2.12):

Áp suất tuyệt đối bao giờ cũng là một số dương, còn áp suất dư có thể dương hoặc âm:

pdư > 0 khi ptuyệt > pa

pdư < 0 khi ptuyệt < pa

Trong trường hợp áp suất dư âm thì hiệu số của áp suất không khí và áp suất tuyệt đối gọi là áp suất chân không pck, hoặc gọi tắt là chân không

Áp suất chân không là trị số áp suất còn thiếu để làm cho áp suất tuyệt đối bằng áp suất khí

quyển Do đó có thể gọi áp suất chân không là áp suất thiếu So sánh (2.15) và (2.17) thì thấy áp suất

chân không là trị số âm của áp suất dư, tức là:

Áp suất tại một điểm có thể đo bằng chiều cao cột chất lỏng Vậy có thể biểu thị các áp suất như sau:

tuyeä t tuyeä t tuyeä t

2.5.6 Ý nghĩa hình học và năng lượng của phương trình cơ bản của thủy tĩnh học

- Ý nghĩa hình học: Từ phương trình z + p= const

z và gọi là thế năng đơn

vị; z gọi là vị năng đơn vị;  

  

 

p

gọi là áp năng đơn vị

2.5.7 Đồ phân bố áp suất thủy tĩnh Đồ áp lực

Phương trình cơ bản của thủy tĩnh học (2.12) chứng tỏ rằng đối với một chất lỏng trọng lực nhất định, trong điều kiện áp suất mặt tự do po cho trước, áp suất p là hàm số bậc nhất của độ sâu h; như vậy trong hệ toạ độ (p, h) phương trình (2.12) được biểu diễn bằng một đường thẳng Để đơn giản ta giả thiết po = pa khi đó pdư = γ.h

Sự biểu diễn bằng đồ thị hàm số (2.12) trong hệ toạ độ nói trên gọi là đồ phân bố áp suất thuỷ tĩnh (hình 2.10a)

Sau khi xét đồ áp lực trên những đường thẳng đứng, ta có thể dễ dàng vẽ đồ áp lực trên đường thẳng nghiêng hoặc đường gãy khúc Trong trường hợp này đồ áp lực cũng là tam giác vuông hoặc hình thang vuông; hình 2.11 là ví dụ về vẽ đồ áp lực trên đường thẳng gãy OAB:

Hình 2.11

Tam giác vuông OAA' và hình thang vuông AA1'B'B là những đồ áp lực dư tương ứng với đoạn thẳng OA và AB Muốn vẽ đồ áp lực tuyệt đối, chỉ cần tịnh tiến những cạnh OA', A1'B' theo phương thẳng góc với OA và AB đi một đoạn thẳng po

 , và có được những hình thang OO"A"A và AA1"B"B Còn vẽ đồ phân bố áp suất trên đường cong ta phải biểu diễn bằng đồ thị trị số áp suất tại từng điểm theo phương trình (2.12) rồi nối lại thành đường cong của đồ phân bố

2.6 SỰ CÂN BẰNG CỦA CHẤT LỎNG TRONG BÌNH CHỨA CHUYỂN ĐỘNG

Nghiên cứu sự cân bằng của chất lỏng trong trường hợp các phần tử chất lỏng không có chuyển động tương đối với nhau nhưng có chuyển động đối với quả đất; khi đó cả khối chất lỏng chuyển động như một vật rắn, ta gọi trạng thái này là trạng thái tĩnh tương đối của chất lỏng, nó xuất hiện khi bình chứa chuyển động với một gia tốc không đổi, lực khối tác dụng vào chất lỏng không chỉ có trọng lực mà còn có cả lực quán tính Ta nghiên cứu hai trường hợp tĩnh tương đối của chất lỏng:

1 Khi bình chứa chuyển động thẳng với gia tốc không đổi

2 Khi bình chứa hình trụ tròn quay đều quanh trục thẳng đứng của bình, hệ toạ độ gắn chặt với bình chứa

2.6.1 Sự cân bằng của chất lỏng đựng trong bình chuyển động thẳng với gia tốc không đổi

Trường hợp này thường gặp ở các xe chở dầu, nước Giả thiết bình chứa đang chuyển động thẳng với gia tốc không đổi a Mỗi phần tử chất lỏng chịu tác dụng của hai lực khối: trọng lực G = m.g và lực quán tính R = – m.a, trong đó m là khối lượng của phần tử chất lỏng Với hệ toạ độ như hình 2.12, hình chiếu Fx, Fy, Fz của các lực khối lên các trục là:

Fx = – a; Fy = 0; Fz = – g

Mặt đẳng áp:

Theo (2.8), phương trình vi phân mặt đẳng áp viết thành:

– a.dx – g.dz = 0 Tích phân ta có phương trình mặt đẳng áp:

a.x + g.z = const Mặt đẳng áp như vậy là mặt phẳng nghiêng, ta có một họ các mặt đẳng áp song song lập thành một góc α đối với mặt nằm ngang theo tg  a

Sau khi tích phân, ta được: p = – ρ.a.x – ρ.g.z + C (C là hằng số tích phân)

Tại x = 0, z = H, có p = po (po là áp suất tại mặt thoáng), hằng số tích phân sẽ là:

C = po + ρ.g.H Phương trình xác định áp suất tĩnh tương đối tại điểm viết được dưới dạng:

p = – ρ.a.x – ρ.g.z + po + ρ.g.H Thay trong phương trình này γ = ρ.g và g.h' = a.x, ta được:

p = po + γ.(H – z) – γ.h' Gọi h là độ sâu của điểm N tuỳ ý trong chất lỏng kể từ mặt thoáng nghiêng, ta có:

h = H – (z + h') Cuối cùng ta viết: p = po + γ.h Như vậy trở về công thức cơ bản tính áp suất thuỷ tĩnh, chỉ cần chú ý rằng h là độ sâu kể từ mặt thoáng trong điều kiện cân bằng tương đối

2.6.2 Sự cân bằng của chất lỏng đựng trong bình hình trụ tròn quay đều quanh trục thẳng đứng qua tâm bình

Lực tác dụng lên mỗi phần tử chất lỏng bao gồm: trọng lực G = m.g và lực quán tính li tâm F = m.ω2.r (trong đó ω là gia tốc góc, r là khoảng cách từ vị trí phần tử chất lỏng đang xét đến trục quay) Theo hệ toạ độ như trên hình vẽ (2.13), lấy m = 1, hình chiếu Fx, Fy, Fz của các lực khối lên các trục là:

Fx = ω2.x; Fy = ω2.y; Fz = – g với x, y là hình chiếu của r lên trục x và y

Mặt đẳng áp:

Theo (2.8), có thể viết:

ω2.x.dx + ω2.y.dy – g.dz = 0 Sau khi tích phân ta có:

Đây là phương trình của mặt parabôlôit tròn xoay có trục quay Oz Vậy mặt đẳng áp trong trường hợp này là một họ các mặt parabôlôit (hình 2.13) với các trị số C khác nhau

Trên mặt tự do, khi x = y = 0 tức là r = 0, thì z = zo, hằng số tích phân bằng:

C = – g.zo

Do đó phương trình mặt tự do là:

 

2 2 

r o

1 r g z z2

zr là tung độ của điểm trên mặt tự do, ở cách trục quay là r

Gọi h' = zr – zo thì phương trình mặt tự do thành:

2 2

1 r g.h'2

Hình 2.13

Sự phân bố áp suất:

Theo (2.7), có thể viết:

dp = ρ.(ω2.x.dx + ω2.y.dy – g.dz) Sau khi tích phân ta có:

 , chính bằng mô men tĩnh của diện tích ω đối với trục Oy

Gọi zc là tung độ của trọng tâm C của diện tích đó, như đã biết trong cơ học lý thuyết, có thể viết:

Soy = zc.ω

Gọi hc là độ sâu của C thì:

Chú ý: biểu thức (po + γ.hc) là áp suất tuyệt đối tại trọng tâm C của diện tích phẳng

Như vậy: Áp lực thủy tĩnh của chất lỏng tác dụng lên diện tích phẳng, ngập trong chất lỏng bằng tích số của áp suất tuyệt đối tại trọng tâm diện tích phẳng đó với diện tích ấy

Nếu po = pa, áp lực dư tác dụng lên diện tích phẳng nói trên bằng:

Trong thực tiễn kĩ thuật, nhiều khi mặt phẳng cần xét chịu áp lực thủy tĩnh về một phía, còn phía kia của mặt phẳng lại chịu áp lực của không khí, trong trường hợp đó mặt phẳng chỉ chịu tác dụng của áp lực dư mà thôi vì áp lực không khí truyền từ mặt thoáng đến mặt phẳng đã cân bằng với áp lực không khí tác dụng vào phía khô của mặt phẳng Vì vậy trong những trường hợp tương tự chỉ cần tính áp lực dư theo (2.22)

Áp lực dư thủy tĩnh tác dụng lên đáy phẳng của bình chứa là trường hợp riêng của áp lực thủy tĩnh tác dụng lên mặt phẳng Nếu diện tích đáy ω và độ sâu h của đáy giữ không đổi thì áp lực chất lỏng lên đáy thành phẳng P = γ.h.ω không phụ thuộc vào hình dạng bình chứa

2.7.2 Vị trí tâm áp lực

Điểm đặt của áp lực gọi là tâm áp lực (tùy theo áp lực là áp lực tuyệt đối hay áp lực dư mà tâm

áp lực gọi là tâm áp lực tuyệt đối hay tâm áp lực dư)

Ta gọi D(z, y) là tâm áp lực dư (hình 2.14); cần xác định các toạ độ zD và yD của điểm D

Như đã biết trong cơ học, có thể biểu thị mômen quán tính của diện tích đối với trục Oy (Iy) bằng mômen quán tính của diện tích ấy đối với trục O'y' song song với Oy và đi qua trọng tâm C của diện tích (Io) như sau:

Iy = Io + 2

C

.z

 Thay trị số Iy vào (2.25) ta có:

Ta xét trường hợp tổng quát, khi thành phẳng hình chữ nhật đặt nghiêng với mặt nằm ngang một góc α, có đáy rộng b, chiều cao h; đáy trên hình chữ nhật đặt ở độ sâu h1, đáy dưới đặt ở độ sâu h2(hình 2.15), áp suất tại mặt tự do bằng áp suất không khí po = pa

 

Vậy công thức (2.28), trở thành:

Ta có thể nói rằng: Áp lực dư P tác dụng lên hình chữ nhật bằng tích số diện tích đồ áp lực với

bề dài đáy và trọng lượng riêng của chất lỏng

Đường tác dụng của P tất nhiên đi qua trọng tâm thể tích tạo bởi đồ áp lực và hình chữ nhật chịu lực Trên hình (2.15) lực đi qua trọng tâm của đồ áp lực, vì hình chiếu trọng tâm của thể tích nói trên lên đồ áp lực trùng với hình chiếu của tâm đồ áp lực

Nếu cạnh trên hình chữ nhật đặt tại mặt tự do (hình 2.16a) thì h1 = 0; đồ áp lực thành hình tam giác vuông góc có cạnh không bằng nhau và có diện tích 1 2

.h.h2

21.h2

Ví dụ 2.5: Tính áp lực nước lên cánh cống chữ nhật có h = 3 m, b = 2 m, độ sâu nước ở thượng

2 x 312

 , trong đó B, B', a lần lượt là đáy lớn, đáy bé và

chiều cao hình thang Vậy trọng tâm hình thang ở trường hợp đang xét cách mặt nước tự do là:

Nói chung nếu thành cong có hình dạng bất kì, thì những áp lực nguyên tố không hợp lại thành một áp lực tổng hợp duy nhất

Trong một số trường hợp riêng, như mặt cong là mặt cầu, mặt trụ tròn xoay có đường sinh đặt nằm ngang hoặc thẳng đứng, những áp lực nguyên tố đều đồng quy hoặc đều song song, do đó có một áp lực tổng hợp duy nhất

Ta chỉ nghiên cứu một trường hợp thường gặp là áp lực chất lỏng tác dụng lên thành cong hình trụ tròn có đường sinh đặt nằm ngang

Ta có một mặt trụ ABA'B' đường sinh nằm ngang có độ dài và cung AB là một cung tròn Để đơn giản việc tính toán ta đặt hệ toạ độ sao cho trục nằm ngang, thí dụ trục Oy song song với đường sinh, mặt tọa độ nằm ngang trùng với mặt tự do (hình 2.18) Áp suất trên mặt tự do bằng áp suất không khí: po = pa Ta sẽ xác định thành phần Px và Pz của P (còn Py = 0), rồi tìm ra P theo:

Ox, và d  z d cos dP, z , là hình chiếu của diện tích dω lên mặt tọa độ nằm ngang tức là lên mặt

tự do

Thành phần nằm ngang Px của áp lực P xác định bởi:

trong đó: ωx - hình chiếu của diện tích ABA'B' lên mặt zOy và

hc - độ sâu trọng tâm của ωx

Thành phần Px này còn có thể tính ra dễ dàng bằng đồ áp lực, theo công thức (2.29):

trong đó: Ωz - diện tích hình ABba

Vậy thành phần Pz chính là trọng lượng G của hình lăng trụ L nói trên

Đường tác dụng của thành phần Pz đi qua trọng tâm của hình lăng trụ L, hình lăng trụ L gọi là

vật áp lực Vậy thành phần thẳng đứng Pz bằng trọng lượng của vật áp lực

Những công thức cho ta tìm ba thành phần Px, Py, Pz của áp lực P lên thành cong là:

x c x

y c y z

Ta nghiên cứu thêm về vật áp lực và phương của Pz

Vật áp lực là thể tích giới hạn bởi thành cong mà ta xét, bốn mặt bên thẳng đứng, tì lên các mép của thành cong và kéo dài đến khi mặt cắt tự do hoặc phần kéo dài của mặt tự do của chất lỏng Trọng lượng của vật áp lực biểu thị thành phần thẳng đứng Pz của áp lực P Trong trường hợp mặt cong là

mặt trụ có đường sinh nằm ngang, vật áp lực thường biểu thị bởi mặt cắt thẳng đứng của thể tích nói trên và là diện tích giới hạn bởi đường cong chịu lực, hai đường thẳng đứng đi qua hai đầu của đường cong và gặp mặt tự do hoặc phần kéo dài của mặt tự do (ví dụ mặt cắt ABab trên hình 2.19)

Sau đây là ba trường hợp vật áp lực:

1 Vật áp lực có chất lỏng ở ngay trên mặt cong (hình 2.21a,b): có thể chất lỏng chiếm toàn thể vật áp lực (hình 2.21a) hoặc chỉ có thể chiếm một phần của vật áp lực (hình 2.21b), trong cả hai trường hợp này Pz đều hướng xuống dưới Ta quy ước khi Pz hướng xuống dưới, vật áp lực mang dấu (+)

Hình 2.21

2 Vật áp lực không có chất lỏng ở ngay trên mặt cong (hình 2.21c,d): có thể chất lỏng hoàn toàn không có trong vật áp lực (hình 2.21c) hoặc có thể chỉ chiếm một phần vật áp lực (hình 2.21d), trong trường hợp này Pz đều hướng lên trên ta quy ước khi Pz hướng lên trên, vật áp lực mang dấu (–)

Hình 2.22

3 Mặt cong có hình dạng hơi phức tạp, làm cho vật áp lực có hình dạng phức tạp: ví dụ mặt cong ACDB (hình 2.22) Theo định nghĩa về vật áp lực nói trên, diện tích Ω của mặt thẳng đứng của vật

áp lực gồm hai bộ phận: Ω1 và Ω2, Ω1 là diện tích của hình BDE và Ω2 là diện tích của hình ACEb

Để xác định hướng và các phần Pz1 ứng với Ω1 và Pz2 ứng với Ω2, ta có thể phân toàn bộ đường cong phức tạp thành nhiều đoạn đơn giản nói trên Thí dụ đoạn cong BDE phân thành hai đoạn BD và DE; vật áp lực ứng với BD là hình BDdb và theo như quy ước nói trên mang dấu (+), còn vật áp lực ứng với DE là hình DEbd mang dấu (–); tổng số đại số của hai diện tích BDdb và DEbd cho ta diện tích BDE với dấu (+) Ta cũng chia đường cong ECA thành hai đoạn EC và CA rồi cũng tìm vật áp lực ứng với từng đoạn, kèm theo dấu tương ứng, sau cùng cộng đại số những diện tích của vật áp lực thì tìm được diện tích ACEb với dấu (–)

Nguyên tắc dùng vật áp lực nói trên để tìm phương hướng cho thành phần Pz áp dụng cho những trường hợp mà áp suất dư tác dụng vào mặt cong lớn hơn số 0: Pdư > 0, tức là không có vấn đề áp suất chân không (Pdư < 0)

Ví dụ 2.6: Tìm tổng áp lực nước tác dụng lên một cửa cống AB dài l = 3 m, có diện tích bằng

1/4 diện tích mặt bên của hình trụ tròn bán kính r = 1 m (hình 2.23) Độ sâu nước h = 1 m

.r4

Tổng áp lực tính theo:

x y

P P P  14.715 23.103 = 27.391 N ( ≈ 2.790 kG) Đường tác dụng của tổng áp lực P đi qua tâm O lập với đường nằm ngang một góc α mà:

z x

PtgP