Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng AB, các mặt phẳng (SHC), (SHD),(ABCD) đôi một vuông góc.. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật[r]
Trang 1SỞ GD&ĐT NGHỆ AN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2012
TRƯỜNG THPT QUỲNH LƯU 3 Mơn thi : TỐN; Khối A, B, D
Thời gian làm bài 180 phút khơng kể thời gian phát đề
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm ) :
Câu I ( 2,0 điểm )
Cho hàm số y x 3 3x2(m 4)x m m là tham số , (1)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 4.
2 Chứng minh đồ thị (1) luơn cắt trục hồnh tại điểm A cố định với mọi m Tìm m để đồ thị (1) cắt trục hồnh tại ba
điểm A, B, C phân biệt sao cho
1 1 0,
A
k
trong đĩ k k kA, ,B Clần lượt là hệ số gĩc tiếp tuyến của đồ thị (1) tại A, B, C
Câu II ( 2,0 điểm)
1 Giải phương trình
3
2 Giải phương trình x2 x 1 x2 3x1 2 x1.
Câu III (1,0 điểm)
Tính tích phân
1
7 4 2
3 3 1
26
Câu IV (1,0 điểm)
Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình chữ nhật ; tam giác SAB vuơng cân tại S Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng AB, các mặt phẳng (SHC), (SHD),(ABCD) đơi một vuơng gĩc Biết SC a 3, tính thể tích khối chĩp
S.ABCD theo a Tính gĩc hợp bởi hai mặt phẳng (SAD) và (SDC)
Câu V (1,0 điểm)
Cho x,y là các số thực thoả mãn : x2− xy+ y2=1 Tìm giá trị lớn nhất ,nhỏ nhất của biểu thức P= x
4
+ y4+ 1
x2+ y2+ 1
PHẦN RIÊNG ( 3,0 điểm ) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần ( A hoặc B )
A Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD cĩ đường phân giác trong của gĩc ABCđi qua trung
điểm của cạnh AD và cĩ phương trình x y 2 0; đỉnh D nằm trên đường thẳng cĩ phương trình x+y-9=0 Biết
điểm E(-1;2) nằm trong đoạn thẳng AB và đỉnh B cĩ hồnh độ âm Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật.
2 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 đường thẳng 1
:
Chứng minh d2 và d3 chéo nhau Viết phương trình đường thẳng vuơng gĩc với d1,cắt d2 và d3 tại hai điểm A, B sao cho AB 3
Câu VII.a (1,0 điểm)
Tìm số phức z thỏa mãn z 1 z i
và
1
z
z là số thực
B Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elíp
2 2
E
Gọi F F1, 2 là các tiêu điểm của (E) Tìm tọa độ
điểm M trên (E) sao cho bán kính đường trịn nội tiếp tam giác MF F1 2 bằng
2
5 .
2 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P x y: 3 14 0z
Viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với (P) và đi qua hai điểm A(1;3;2), B(-3;1;4) Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A,B và cắt (S)theo một đường trịn cĩ diện tích bé nhất
Câu VII.b (1,0 điểm)
Trang 2Giải hệ phương trình
2
2012 2011
2012
y
ĐÁP ÁN
I
2 đ
1
1điểm
Với m ta có y x x
10 Tập xác định
20 Sự biến thiên
Giới hạn
3
3
x x
x x
Bảng biến thiên
2
x
x
x - 0 2 +
y’ + 0 - 0 +
y
30 Đồ thị
Đồ thị cắt trục hoành tại các điểm (-1;0) và (2;0)
Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0;4)
y’’= 6x-6; y’’= 0 khi x=1 Vậy tâm đối xứng của đồ thị là I(1;2)
4
2
-2
O I
0,25
0,25
0.5
2
1điểm
Phương trình hoành độ giao điểm là
2
1 0
x
Ta thấy đồ thị luôn cắt trục Ox tại điểm A(-1;0) với mọi giá trị của m
Để đồ thị của hàm số cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt thì pt(1) phải có 2 nghiệm phân biệt
khác -1 hay
Gọi
1 2
1 2
1 2
4 , là hai nghiệm của phương trình (1), theo định lý Viet ta có x x
x x
x x m
0,25
Trang 3
1 2
Khi đó x , là hoành độ của B và C, hệ số góc tại A,B,C sẽ là
5
x
m
m
2
0
4 4
4 1
Đối chiếu điều kiện ta có m=-6 hoặc m=-4
m m
m
0,25
0,5
II
2 điểm
1
1điểm
2
ĐK x x k k Z
2
2
2 6
6
cos
x
x
2 , 6
2 2
6
Z
Z
0,25
0,25
0,25
0,25 2
1điểm
2
ĐK x x
1
2
1
Ta thấy là một nghiệm của phươ
2
x
2
2
2
ng trình (1)
3
2
8
Thử lại ta có các nghiệm ;
x
0,25
0,25
0,25
0,25
Trang 41 đ
1 2
1
3
3 3
2
1
26
2
Tính I
d x x x
Tính I
2 3
2
1
26
322. 91
x Vậy I
0,25
0,25
0,25
0,25
IV.
1 đ
G F
E H
A
B
D
C S
2
Vì
2
2 Mặt khác,
hay
2
x
x
2
3
2
Gọi G là trung điểm của SE, do SHE cân tại H nên HG SE,
mà
ABCD
HE CD
do đó HG Gọi F là trung điểm của SA HF SA, mà
AD AB SAD
0,25
0,25
0,25
Trang 52 Nhử vaọy goực giửừa hai maởt phaỳng (SAD) vaứ (SCD) laứ goực giửừa HG vaứ HF, ta coự HFG coự HF= ;
2
a
0,25
V
1 ủ
Từ giả thiết suy ra:
1=x2− xy + y2≥2 xy − xy=xy
¿
x + y ¿2− 3 xy ≥− 3 xy
1= ¿
Từ đó ta có − 1
3 ≤ xy ≤1 Măt khác x2− xy+ y2=1 ⇔ x2
+ y2=1+xy nên x4
+y4
=− x2y2+2 xy +1 Đặt t=xy
Vậy bài toán trở thành tìm GTLN,GTNN của
P=f (t)= − t
2
+2 t+2
1
3 ≤ t ≤1
Tính
t +2 ¿2
¿
¿ 0 ⇔
¿
t= √ 6 −2
¿
t=− √ 6 − 2(l)
¿
¿
¿
¿
f ' (t)=0 ⇔ −1+ 6
¿
Do hàm số liên tục trên [ − 1
3 ;1] nên so sánh giá trị của f (
− 1
3 ) , f ( √ 6 − 2) , f (1) cho ra kết quả:
MaxP=f ( √ 6− 2)=6 −2 √ 6 , min P=f (− 1
3 )=
11 15
0,25
0,25
0,25
0,25
VI.a
2 ủ
1
2
5
E' O B
A
C
D M
E
0,25
0,25
Trang 6
0 0
Gọi '( ; ) là điểm đối xứng của E qua phân giác ta có hệ
, '(0;1)
2 0
Gọi B(t; t+2), t < 0,do ABCD là hình chữ nhật và E
E x y
E
nằm trong đoạn AB nên E' nằm trên đoạn
phương trình đường thẳng BE là x=-1, pt của đt BE' là y=1 Gọi A(-1;a),a 2 và D(d;9-d) ta có tọa độ
Từ (1) và (2) ta có a=4 và d=5
hay A(-1;4) và D(5;4) C(5;1)
0,25 0,25
2
1 đ
3
2 2 ' và có vtcp 1;1;2
u
1
, 3 0 nên d và d chéo nhau
Giả sử A(1+t;-1+2t;t) và B(-t';1+t';2+2t') ' 1;2 ' 2; 2 ' 2 là vtcp của ,
u
3 2 0
1
Với t=0 ta có A(1;-1;0); 1; 2; 2 Ptct của :
3 Với t=-1 ta có A(0;-3;-1); 2; 2;1 Ptct của :
t t
t
BA
BA
1 1
0,25
0,25
0,5
VII.a
1 đ
2
1
Vì là số
x x i
z
z
Như vậy có 2 số phức thỏa mãn bài toán là và
x
0,25 0,25 0,25 0,25
Theo chương trình nâng cao
VI.b
2 đ
1
1 đ
2
-2
O
M
Trang 7Ta có F1(-2;0) và F2(2;0); F1F2=4
1
2 Từ (1) và (2) ta có 5 Như vậy có 2 điểm tho
y
0,25 0,25
0,5
2
1đ
Vì mặt cầu (S) đi qua A,B và tiếp xúc với mp(P) mà B nằm trên (P) nên (S) tiếp xúc với (P) tại B, do đó tâm I của mặt cầu nằm trên đường thẳng d đi qua B và vuông góc với (P), d có vtcp là u 1;1; 3
,d có phương trình là
x y z
Mặt khác, tâm I cũng nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB, mặt phẳng này đi qua trung điểm M(-1;2;3) của AB và có vtpt
Như vậy tọa độ của I là nghiệm của hệ
Bán kính của mặt cầu là R=IA= 11 Phương trình của mặt cầu là (x+2)2+(y-2)2+(z-1)2=11
Gọi r là bán kính đường tròn ta có
đường tròn giao tuyến có diện tích nhỏ nhất khi r nhỏ nhất hay ;( ) lớn nhất Mặt khác, IM AB và ;( ) , dấu bằng xẩy ra khi M là hình chiếu của I le
d I Q
d I Q IM
ân mp(Q) hay IM (Q),vậy (Q) qua A và có vtpt là 1;0;2 , pt của (Q) là
IM
0,25
0,25
0,25
0,25
VII.b
1 đ
2 2 2012
2012 3log ( 2 6) 2log ( 2) 1(2)
2 2
y
+) ĐK: x + 2y + 6 > 0 và x + y + 2 > 0
+) Lấy logarit cơ số 2011 và đưa về pt:
2011
1
2011( 2012) ( ) là hàm số đòng biến trên (0;+ )
t
f t
từ đĩ suy ra x2 = y2 x= y hoặc x = - y
+) Với x = y thế vào (2) và đưa về pt:
3log3(x+2)=2log2(x+1)
Đặt 3t=log2(x+1) ta được x=23t-1 do đĩ 3log3(23t+1)=6t 8t+1=9t
Đưa pt về dạng
1
, cm pt này cĩ nghiệm duy nhất t = 1
x = y =7
+) Với x = - y thế vào (2) được pt: log3(y + 6) = 1 y = - 3 x = 3
Vậy hệ cĩ các nghiệm là (7;7); (3;-3)
0,25
0,25
0,25
0,25