Đề thi HSG cấp tỉnh môn Toán

Hãy tính diện tích của tam giác ABC.. ĐỀ CHÍNH THỨC.[r]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH LONG AN MÔN THI: TOÁN

THỜI GIAN : 150 phút ( Không kể thời gian phát đề )

Bài 1: (4 điểm)

1) Rút gọn biểu thức A=



2) Cho hai số x y, là hai số khác 0 và thỏa mãn: x y 1 Hãy tìm giá trị lớn nhất của P với 3 3

1 P



Bài 2: (5 điểm)

1) Cho phương trình ẩn x: x2 mx   1 0

Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x x1, 2 thỏa:

2

   

   

   

2) Giải phương trình:

2 2

10

    

Bài 3: (5 điểm)

1) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R)(AB<AC), các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H (DBC, EAC, FAB) Chứng minh rằng:

a) OC DE

b)

AB + AC + BC AH.AD + BH.BE + CH.CF =

2 2) Cho tam giác ABC có góc BAC là góc tù; H là trực tâm của tam giác ABC Gọi

K, F, E lần là chân đường vuông góc hạ từ A, B, C đến BC, AC và AB.

Chứng minh:

AK AE AF

HK BE CF =1

Bài 4: (3 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A có BC5 2cm; cho r  1 cm là bán kính

đường tròn nội tiếp tam giác ABC Hãy tính diện tích của tam giác ABC.

Bài 5: (3 điểm)

1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = 5x2 + 2y2 + 4xy – 2x + 4y + 2019.

2) Tìm số có hai chữ số mà bình phương của nó bằng lập phương của tổng các chữ

số của nó.

-HẾT -Họ và tên thí sinh……… Số báo danh……….

ĐỀ CHÍNH THỨC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH LONG AN MÔN THI: TOÁN

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ CHÍNH THỨC

Bài 1 Nội dung Điểm 1

(4đ) 1) (2đ)

A=



Ta có:

2

1

Tương tự:

2

1

  

  

………

6

8 3 3

A 

………

0,25đ

0,25đ 0,5đ

0,5đ 0,5đ

2) (2đ)

P= 3 3

1

x y xy với x y 1

Ta có: B= x3y3xyx y x   2y2 xyxy

………

Mà: x y 1 B x 2y2 x21 x2 2x2 2x1

…………

B x   x 

            

B

1

2 khi x =

1

2  P có GTLN là 2 khi x = y =

1

2……….

0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ

2

(5đ) 1) (3đ)

2 4

m

  

2

     

………

4 4 2 2

1 2 1 2

2

2

   

 

   

   

………

1 1 2 1 2 2 1 2 0

………

0,5 đ

0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ

ĐỀ CHÍNH THỨC

x1 x22 2x x1 2 2 4x x1 22 0

………

2 2

2 2

2 2(loại)

m m

  

 

  

2

m

m





       

0,5 đ 0,5 đ

0,5 đ

2)(2đ) 2

2

10

    

Điều kiện x 0 Đặt

2 2

2

2 2

2

48

3

x t

x

………

3t 8 10t 3t 10t 8 0

        t 2 và

4 3

t 

………

* t 2 x2 6x12 0  x 3 21………

*

2

4

3

t  x  x   x

KL: S  3 21;6; 2 

………

0,5 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ

3(5đ) 1)(3đ)

a) Kẻ Cx là tiếp tuyến của (O) tại C

Tứ giác AEDB là tứ giác nội tiếp vì AEBADB900…………

(cùng bù BDE) (cùng chắn BC)

EDC BAE

EDC BCx Cx ED BCx BAE







Mà: OC  Cx  OC  ED………

0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ

b)DBH∽EBC . .

BH BE DB BC

BC BE

Tương tự: DHC∽FBC  CH CF CD CB.  .

BH BE CH CF BD BC CD CB BC BD CD BC

2

BH BE CH CF BC

(1) và (2)

AB + AC + BC AH.AD + BH.BE + CH.CF =

0,25 đ 0,25 đ 0,5đ

0,5 đ 0,5 đ

2)(2đ)

Ta có: SHBC  SABC  SAHC SAHB

………

AK BC AE HC AF BH

HK BC BE HC CF BH

………

1

AK AE AF

HK BE CF

……….………

0,5 đ

0,5 đ

0,5 đ

0,5 đ

Ta có

OMA ONA MAN







   MANO là hình vuông

OM MA AN NO r

;

BM BP CN CP (Tính chất tiếp tuyến cắt nhau)………

S ABC S AOBS AOCS BOC

ABC

S  OM AB ON AC OP BC

………

1

2

ABC

S  r AM MB AN NC BC   

………

1

2

ABC

S  r r PB r CP BC   

………

1

2

ABC

S  r r BC r r BC

………

0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ

0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5đ 0,25đ

5(3đ) 1)1,5đ M = 5x2 + 2y2 + 4xy – 2x + 4y + 2019

M=4x2 + 4xy + y2 + y2 + 4y + 4 + x2 –2x + 1 + 2014

2x y  y2  x1 2014 2014

MinM=2014

1 2

x y





 





0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 2) 1,5đ Số cần tìm có dạng ab(a b N,  ;1 a 9; 0 b 9)………

ab  a b

………

Thử lại: ab=27 thì a+b = 9 (nhận)

0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ

0,25 đ 0,25 đ

Hết