Giao an DS10CB chuong 4

tiÕn tr×nh bµi häc... tiÕn tr×nh bµi häc.[r]

Trang 1

chơng IV: bất đẳng thức và bất phơng trình

Đ1 bất đẳng thức

(2 tiết)

1 Mục tiêu Sau bài này

• Về kiến thức: Học sinh hiểu khái niệm bất đẳng thức và nắm đợc các tính chất của bất đẳng

thức Hiểu bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân của hai số (AMGM: Arithmetic means  Geometric means) Biết đợc một số bất đẳng thức chứa giá trị tuyệt đối thông dụng

• Về kỹ năng: Vận dụng đợc tính chất của bất đẳng thức hoặc dùng phép biến đổi tơng đơng để

chứng minh đợc một số bất đẳng thức đơn giản Biết vận dụng bất đẳng thức AM  GM vào việc chứng minh bất đẳng thức hoặc tìm GTLN, GTNN của một biểu thức đơn giản Chứng minh đ ợc một số bất đẳng thức đơn giản có chứa giá trị tuyệt đối

2 chuẩn bị của giáo viên và học sinh.

Giáo viên: Chuẩn bị các ví dụ về bất đẳng thức mà học sinh đã học ở THCS giúp học sinh dễ

nắm các kiến thức trọng tâm

Học sinh: Ôn tập lại các kiến thức về bất đẳng thức đã đợc học ở THCS.

3 dự kiến phơng pháp dạy học.

Sử dụng phơng pháp vấn đáp gợi mở có phối hợp với phân bậc hoạt động theo các nội dung ghi bảng

4 tiến trình bài học

Tiết PPCT: 27 - Ngày 14/12/2006

Hoạt động 1

a) Hớng đích.

H1: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng

a) 3,25 < 4; b)

1

5 4 4

  

H2: Chọn dấu thích hợp (=, <, >) điền vào ô vuông  để đợc mệnh đề đúng.

a) 2 2 3; b)

4 2

3 3; c) 3 2 2 1 22

2

a 1 0 với số a đã cho.

B) Bài mới.

Hoạt động 2 I- ôn tập bất đẳng thức

1 Khái niệm bất đẳng thức.

Các mệnh đề dạng a<b hoặc a>b đ“ ” “ ” ợc gọi là bất đẳng thức.

Ví dụ 1 Khẳng định nào sau đây đúng với mọi giá trị của x?

a) 2x > 5x; b) 4x > x; c) x3< x + 1; d)3x2 7x2;

Đáp số: c

2 Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tơng đơng.

• Nếu mệnh đề a<b “  c<d đúng thì ta nói bất đẳng thức c<d là ” bất đẳng thức hệ quả của bất

đẳng thức a<b và viết: a<b  c<d.

Ví dụ 2 Ta có a < b và b<c  a<c.

Với c tùy ý, ta có a<b  a+c < b+c

Nếu bất đẳng thức a<b là hệ quả của bất đẳng thức c < d và ng

Ví dụ 3 Chứng minh a<b  ab < 0.

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh

H1: Chứng minh a < b  ab<0?

H2: Chứng minh a b < 0  a<b?

• Gợi ý trả lời H1:

Cộng b vào 2 vế của bất đẳng thức a<b ta đợc bất đẳng thức hệ quả ab<0

Cộng b vào 2 vế của bất đẳng thức ab<0 ta đợc bất đẳng thức hệ quả a<b

Vậy ta có a<b  ab<0

3 Tính chất của bất đẳng thức.

Để chứng minh bất đẳng thức chúng ta có thể vận dụng các tính chất sau:

a) a<b  a+c < b+c

b) Với c>0 ta có: a<b  ac<bc

c) Với c<0 ta có: a<b  ac>bc

Trang 2

a b

a c b d

c d





   







e) Với a>0, c>0 ta có:

a b

ac bd

c d





 





 f) Với n nguyên dơng, ta có:

a b a  b ;0 a b a b

g) Với a>0 ta có: a b  a  b; a b  3a 3b

Ví dụ 4 Trong các số sau số nào nhỏ nhất (với x>3)

H1: Phơng pháp xác định số nhỏ nhất?

H2: So sánh A và D?

H3: So sánh B và C?

H4: So sánh A và C?

So sánh theo từng cặp

Vì x>3 nên A<1, D>1  A<D

• Gợi ý trả lời H3: C<B

• Gợi ý trả lời H4: C<A

Vậy

3

x

 

là số bé nhất trong các số đã cho

• Chú ý Ta còn gặp các mệnh đề dạng a ≤ b hoặc a ≥ b Các mệnh đề dạng này cũng đợc gọi là

các bất đẳng thức Để phân biệt ta gọi chúng là các bất đẳng thức không ngặt còn các bất đẳng thức dạng a<b hoặc a>b gọi là các bất đẳng thức ngặt Các tính chất trên cũng đúng với các bất

đẳng thức không ngặt

Ví dụ 5 Chứng minh rằng:

a b c ab bc ca  .

Đẳng thức xảy ra khi nào?

H1: Phơng pháp chứng minh?

H2: Thực hiện phép chứng minh?

Biến đổi về dạng A2B2 0

Ta có: a2b2c2ab bc ca 

a 2ab b b 2bc c c 2ca a 0

a b b c c a 0

Bất đẳng thức trên luôn đúng, vậy ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra  a = b = c

Ví dụ 6 Cho hàm số f (x) (x 3)(5 x)   với   3 x 5

Xác định x sao cho f(x) đạt gí trị lớn nhất.

H1: Khai triển f(x) thành đa thức?

H2: Biến đổi f(x) thành tổng (hiệu) các bình

phơng? Từ đó tìm GTNN của f(x)?

Ta có Ta có:

2

f (x) (x 3)(5 x)   x 2x 15

f(x)x2 2x 1 16 16    x 1 2 16

Đẳng thức xảy ra  x  1 = 0  x = 1

Vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất khi x = 1 và giá trị lớn nhất đó bằng 16

Hoạt động 3

H

ớng dẫn học bài ở nhà:

• Nắm vững các tính chất của bất đẳng thức

• Em đã biết những cách chứng minh bất đẳng thức nào?

Trang 3

Bài tập về nhà: 1, 2, 3  SGK.

Rút kinh nghiệm và bổ sung:

Tiết PPCT: 28 - Ngày 14/12/2006

A) Bài cũ.

H1: Phát biểu các tính chất của bất đẳng thức?

B) Bài mới.

Hoạt động 4 II– bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (AMGM, Bất đẳng thức côsi)

1 Bất đẳng thức Côsi.

Định lí Với mọi a, b ≥0 ta có

a b ab

2





(1)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b

Chứng minh:

H1: (1) tơng đơng với bất đẳng thức nào?

H2: Vậy đẳng thức xảy ra khi nào?

• Gợi ý trả lời H1: Ta có

(1) a b 2 ab 0    a b 0

đúng a, b ≥0

• Gợi ý trả lời H2: Khi a  b  a b .

2 Các hệ quả.

Hệ quả 1 Tổng của một số dơng với nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng 2.

1

a 2, a 0 a

    Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh

H1: áp dụng bất đẳng thức AMGM ta có • Gợi ý trả lời H1: Ta có

Trang 4

điều gì?

H2: Đẳng thức xảy ra khi nào?

a 2 a 2

• Gợi ý trả lời H2: Đẳng thức xảy ra khi và chỉ

khi

1

a

  

(Vì a>0)

H1: Theo bất đẳng thức Côsi thì xy≤?

Ta có

x y S xy

2 2



, do đó

xy

4





Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y

ý nghĩa hình học:

Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất.

Hệ quả 3 Nếu x, y cùng dơng và có tích không đổi thì tổng x+y nhỏ nhất khi và chỉ khi x = y.

Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhất

Ví dụ 1 Cho a, b là các số thực dơng Chứng minh:

a b

   

Khi nào đẳng thức xảy ra?

H1: Sử dụng bất đẳng thức Côsi, chứng minh

bất đẳng thức?

H2: Khi nào đẳng thức xảy ra?

Vì a>0 và b>0 nên

1 1

0, 0

a  b .

áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:

a b 2 ab

1 1 2

a b ab

  





 



 Nhân vế với vế của hai bất đẳng thức cùng chiều trên ta có đpcm

• Gợi ý trả lời H2: Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ta có:

a b





 

      

 Hoạt động 5 III Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

H1: Nhắc lại định nghĩa giá trị tuyệt đối của

một số thực?

H2: Tính giá trị tuyệt đối của các số thực sau:

3,7; 0;

1 3



A

A nếu A 0 -A nếu A<0









1 1 3,7 3,7; 0 0;

3 3

Từ định nghĩa giá trị tuyệt đối, ta có các tính chất:

1) x 0, x x, x x

, x 2) Với a>0 ta có: a) x   a a x a 

Trang 5

b) x  a x a

hoặc x a . 3) a  b  a b a  b

Ví dụ 2 Cho x[2; 0] Chứng minh rằng x a 1

H1: x[2; 0]  x+1?

H2: Kết luận về x 1

?

x 2;0  2 x 1      1 x 1 1

• Gợi ý trả lời H2: Suy ra x 1 1  Hoạt động 6

H

• Bất đẳng thức AMGM (Bất đẳng thức côsi)?

• Các tính chất bất đẳng thức của giá trị tuyệt đối?

Bài tập về nhà: 4, 5, 6- SGK

Đ2 bất phơng trình và hệ bất phơng trình một ẩn (3 tiết) 1 Mục tiêu Sau bài này • Về kiến thức: Học sinh biết khái niệm bất phơng trình, nghiệm của bất phơng trình, hệ bất ph-ơng trình, nghiệm của hệ bất phph-ơng trình Biết khái niệm hai bất phph-ơng trình tph-ơng đph-ơng, các phép biến đổi tơng đơng các bất phơng trình • Về kỹ năng: Nêu đợc điều kiện xác định của bất phơng trình Nhận biết đợc hai bất phơng trình tơng đơng trong các trờng hợp đơn giản Vận dụng đợc các phép biến đổi tơng đơng để đa một bất phơng trình đã cho về dạng đơn giản hơn

2 chuẩn bị của giáo viên và học sinh Giáo viên: Chuẩn bị các ví dụ về bất phơng trình mà học sinh đã học ở THCS giúp học sinh dễ nắm các kiến thức trọng tâm Học sinh: Ôn tập lại các kiến thức về bất phơng trình đã đợc học ở THCS 3 dự kiến phơng pháp dạy học. Sử dụng phơng pháp vấn đáp gợi mở có phối hợp với phân bậc hoạt động theo các nội dung ghi bảng 4 tiến trình bài học Tiết PPCT: 31 - Ngày 08/01/2007 Hoạt động 1 A) Hớng đích H1: Lấy một vài thí dụ về bất phơng trình? Nghiệm? B) Bài mới. Hoạt động 2 I- khái niệm bất phơng trình một ẩn 1 Bất phơng trình một ẩn. Bất phơng trình ẩn x là mệnh đề chứa biến dạng: f(x) < g(x) (f(x) ≤ g(x)) (1) trong đó f(x) và g(x) là những biểu thức của x.

Ta gọi f(x) và g(x) lần lợt là vế trái và vế phải của bất phơng trình (1) Số thực x 0 sao cho f(x 0 )<g(x 0 ) (f(x 0 )≤g(x 0 )) là mệnh đề đúng đợc gọi là một nghiệm của bất phơng trình (1).

nghiệm.

• Chú ý Bất phơng trình (1) cũng có thể đợc viết: g(x)>f(x) (hoặc g(x) ≥ f(x)).

Ví dụ 1 Cho bất phơng trình 2x +1 ≤ 5

a) Trong các số 2; 3; 3,5;  số nào là nghiệm, số nào không là nghiệm của bất phơng trình trên?

b) Giải bất phơng trình đó và biểu diễn tập nghiệm của nó trên trục số

H1: 2 có là nghiệm của bất phơng trình

không? Vì sao? • Gợi ý trả lời H1:Thay giá trị x =2 vào bất phơng trình ta có:

2.(2)+1=3<5

Vậy 2 là một nghiệm của bất phơng trình đã

Trang 6

H2: Tơng tự, kiểm tra các giá trị còn lại? cho• Gợi ý trả lời H2:

Tơng tự, ta có: 3; 3,5;  không phải là nghiệm của bất phơng trình

2 Điều kiện của một bất phơng trình.

Tơng tự nh đối với phơng trình, ta gọi các điều kiện của ẩn số x để f(x) và g(x) có nghĩa là điều

Ví dụ 2 Tìm điều kiện của các phơng trình sau:

a)

H1: Phơng pháp xác định số nhỏ nhất?

H2: So sánh A và D?

H3: So sánh B và C?

H4: So sánh A và C?

So sánh theo từng cặp

Vì x>3 nên A<1, D>1  A<D

• Gợi ý trả lời H3: C<B

• Gợi ý trả lời H4: C<A

Vậy

3

x

 

là số bé nhất trong các số đã cho

• Chú ý Ta còn gặp các mệnh đề dạng a ≤ b hoặc a ≥ b Các mệnh đề dạng này cũng đợc gọi là

các bất đẳng thức Để phân biệt ta gọi chúng là các bất đẳng thức không ngặt còn các bất đẳng thức dạng a<b hoặc a>b gọi là các bất đẳng thức ngặt Các tính chất trên cũng đúng với các bất

đẳng thức không ngặt

Ví dụ 5 Chứng minh rằng: a2b2c2ab bc ca  .

Đẳng thức xảy ra khi nào?

H1: Phơng pháp chứng minh?

H2: Thực hiện phép chứng minh?

Biến đổi về dạng A2B2 0

Ta có: a2b2c2ab bc ca 

a 2ab b b 2bc c c 2ca a 0

a b b c c a 0

Bất đẳng thức trên luôn đúng, vậy ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra  a = b = c

Ví dụ 6 Cho hàm số f (x) (x 3)(5 x)   với   3 x 5

Xác định x sao cho f(x) đạt gí trị lớn nhất.

H1: Khai triển f(x) thành đa thức?

H2: Biến đổi f(x) thành tổng (hiệu) các bình

phơng? Từ đó tìm GTNN của f(x)?

Ta có Ta có:

2

f (x) (x 3)(5 x)   x 2x 15

f(x)x2 2x 1 16 16    x 1 2 16

Đẳng thức xảy ra  x  1 = 0  x = 1

Vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất khi x = 1 và giá trị lớn nhất đó bằng 16

Hoạt động 3

H

• Nắm vững các tính chất của bất đẳng thức

• Em đã biết những cách chứng minh bất đẳng thức nào?

Bài tập về nhà: 1, 2, 3  SGK

Trang 7

Tiết PPCT: 32 - Ngày 08/01/2007

A) Bài cũ.

H1: Phát biểu các tính chất của bất đẳng thức?

B) Bài mới.

Hoạt động 4

Bất đẳng thức côsi)

1 Bất đẳng thức Côsi.

Định lí Với mọi a, b ≥0 ta có

a b ab

2





(1)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b

Chứng minh:

H1: (1) tơng đơng với bất đẳng thức nào?

H2: Vậy đẳng thức xảy ra khi nào?

(1) a b 2 ab 0    a b 0

đúng a, b ≥0

• Gợi ý trả lời H2: Khi a  b  a b .

2 Các hệ quả.

Hệ quả 1 Tổng của một số dơng với nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng 2.

1

a 2, a 0 a

    Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh

H1: áp dụng bất đẳng thức AMGM ta có

điều gì?

a 2 a 2

• Gợi ý trả lời H2: Đẳng thức xảy ra khi và chỉ

khi

1

a

  

(Vì a>0)

khi x = y.

H1: Theo bất đẳng thức Côsi thì xy≤?

Ta có

x y S xy

2 2



, do đó

xy

4





Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y

Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất.

Hệ quả 3 Nếu x, y cùng dơng và có tích không đổi thì tổng x+y nhỏ nhất khi và chỉ khi x = y.

Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhất

Ví dụ 1 Cho a, b là các số thực dơng Chứng minh:

a b

   

Khi nào đẳng thức xảy ra?

H1: Sử dụng bất đẳng thức Côsi, chứng minh

bất đẳng thức?

Vì a>0 và b>0 nên

1 1

0, 0

a  b .

áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:

Trang 8

H2: Khi nào đẳng thức xảy ra?

a b 2 ab

1 1 2

a b ab

  





 



 Nhân vế với vế của hai bất đẳng thức cùng chiều trên ta có đpcm

• Gợi ý trả lời H2: Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ta có:

a b





 

      

 Hoạt động 5 III Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

H1: Nhắc lại định nghĩa giá trị tuyệt đối của

một số thực?

H2: Tính giá trị tuyệt đối của các số thực sau:

3,7; 0;

1 3  • Gợi ý trả lời H1: A A nếu A 0 -A nếu A<0     • Gợi ý trả lời H2: 1 1 3,7 3,7; 0 0; 3 3     Từ định nghĩa giá trị tuyệt đối, ta có các tính chất: 1) x 0, x x, x x , x 2) Với a>0 ta có: a) x   a a x a  b) x  a x a hoặc x a . 3) a  b  a b a  b Ví dụ 2 Cho x[2; 0] Chứng minh rằng x a 1 Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh H1: x[2; 0]  x+1? H2: Kết luận về x 1 ? • Gợi ý trả lời H1:   x 2;0  2 x 1      1 x 1 1 • Gợi ý trả lời H2: Suy ra x 1 1  Hoạt động 6 H ớng dẫn học bài ở nhà: • Bất đẳng thức AMGM (Bất đẳng thức côsi)? • Các tính chất bất đẳng thức của giá trị tuyệt đối? Bài tập về nhà: 4, 5, 6- SGK Rút kinh nghiệm và bổ sung:

Định dạng
Số trang	8
Dung lượng	411,19 KB