Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Vì vậy trong thời gian quy định họ đã hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm. Hỏi số sản phẩm được giao của mỗi tổ the[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG
KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2010 - 2011 Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề
Ngày thi: 06 tháng 07 năm 2010 (Đợt 1) Câu 1 (3 điểm) Giải các phương trình sau:
a)
2
4 0
3 x . b) x4 3x2 4 0
1) Rút gọn biểu thức
với a 0 và a 1
Câu 2 (2 điểm)
1) Cho hàm số bậc nhất y ax 1 Xác định hệ số a, biết rằng đồ thị của hàm số cắt
trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1 2
2) Tìm các số nguyên m để hệ phương trình
3
có nghiệm ( ; )x y thỏa mãn điều kiện x2xy 30
Câu 3 (1 điểm) Theo kế hoạch, một xưởng may phải may xong 280 bộ quần áo trong một
thời gian quy định Đến khi thực hiện, mỗi ngày xưởng đã may được nhiều hơn 5 bộ quần
áo so với số bộ quần áo phải may trong một ngày theo kế hoạch Vì thế, xưởng đã hoàn thành kế hoạch trước 1 ngày Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày xưởng phải may xong bao nhiêu bộ quần áo?
Câu 4 (3 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao BE và
CF của tam giác ABC cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại E’ và F’ (E’ khác B
và F’ khác C)
1) Chứng minh tứ giác BCEF là tứ giác nội tiếp
2) Chứng minh EF song song với E’F’
3) Kẻ OI vuông góc với BC (I BC ) Đường thẳng vuông góc với HI tại H cắt đường thẳng AB tại M và cắt đường thẳng AC tại N Chứng minh tam giác IMN cân
Câu 5 (1 điểm)
Cho a, b, c, d là các số dương thỏa mãn a2b2 1 và
c d c d Chứng
minh rằng
2
2 2
c b .
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2Ngày thi: 06 tháng 07 năm 2010 NĂM HỌC 2010 - 2011
Đáp án gồm : 03 trang
I) HƯỚNG DẪN CHUNG.
- Thí sinh làm bài theo cách riêng nhưng đáp ứng được yêu cầu cơ bản vẫn cho đủ điểm
- Việc chi tiết điểm số (nếu có) so với biểu điểm phải được thống nhất trong Hội đồng chấm
- Sau khi cộng điểm toàn bài, điểm lẻ đến 0,25 điểm
II) ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM.
2
4 0
3x 3x (hoặc 2x 12 0 )
2x 12 6
x
0,25
0,25 0,5
Đặt t x t 2, 0 ta được t2 3t 4 0
1, 4
t t
1
t (loại)
2
t x x
0,25 0,25 0,25 0,25
c
Rút gọn
1,00
a
a
N 3 a 3 a 9 a
0,25 0,25
0,5
Ra được phương trình 0a( 2 1) 1
1
2 1
1 2
a
Vậy a 1 2
0,25 0,25 0,25 0,25
Trang 3b Tìm các số nguyên m để nghiệm ( ; )x y thỏa mãn x2 xy 30 1,00
Tìm được y m 1, x 2m 1
x xy m m m
2
2
m
hoặc
5 2
m
Do m nguyên nên m 2
0,25
0,25
0,25 0,25
3 Tính số bộ quần áo may trong một ngày theo kế hoạch 1,00
Gọi số bộ quần áo may trong một ngày theo kế hoạch là x bộ (x
nguyên dương)
Số ngày hoàn thành công việc theo kế hoạch là
280
x
Số bộ quần áo may trong một ngày khi thực hiện là x 5
Số ngày hoàn thành công việc khi thực hiện là
280 5
x
Theo giả thiết ta có phương trình
280 280
1 5
x x 2
280(x 5) 280x x x( 5) x 5x 1400 0
Giải pt ta được x 35, x40 (loại)
Số bộ quần áo may trong một ngày theo kế hoạch là 35 bộ
0,25 0,25 0,25 0,25
4 a Chứng minh tứ giác BCEF là tứ giác nội tiếp 1,00
Hình 2 Hình 1
Vẽ được hình 1
Theo giả thiết BFC 90 ,0 BEC900
BFC BEC
BCEF là tứ giác nội tiếp
0,5 0,25 0,25
BCEF là tứ giác nội tiếp suy ra CBE CFE 0,25
A
N
D
M H
F'
F
E' E
O
B
A
H
C
F' F
E' E
O B
Trang 4 ' '
CBE CF E (cùng chắn cung CE ')
Suy ra CFE CF E ' '
Suy ra EF E F// ' '
0,25 0,25 0,25
TH 1 M thuộc tia BA
H là trực tâm của tam giác ABC suy ra AH BC
CAH CBH (cùng phụ với góc ACB)
BHI BHM ANH NHE
BHM NHE (vì đối đỉnh) BHI ANH
ANH
đồng dạng với
BIH
BI IH
(1)
Tương tự AHM đồng dạng với
CIH
CI IH
(2)
Từ (1) và (2) và BI CI suy ra
Mà HI MN tại H suy ra IMN cân tại I
TH 2 M thuộc tia đối của tia BA.
CAH CBH (cùng phụ với góc ACB)
900
ANH NHE (góc ngoài )
900
BHI BHM
BHM NHE (vì đối đỉnh)
ANH BHI ANH đồng dạng với
BHI
BI IH
Đến đây làm tương tự như TH 1
* Chú ý Thí sinh chỉ cần làm 1 trong 2
TH đều cho điểm tối đa
0,25 0,25 0,25
0,25
5
Chứng minh rằng
2
2 2
2 2 1
a b và
4 4 1 4 4 ( 2 2 2)
d c d a c c d b cd a b
4 2 4 2 4 4 ( 4 4 2 2 2)
dca d a c b cdb cd a b a b
2 4 2 4 2 2 2 0 ( 2 2 2) 0
0,25
0,25
C F'
E'
E N
M
I H
F B
A
Trang 52 2 0
da cb
2 2
c d Do đó
Vậy
2
2 2
c b
0,25 0,25
TUYỂN SINH VÀO 10 THPT TỈNH NINH BÌNH
Năm học 2009- 2010 Câu 1 (2,5 điểm):
1 Giải phương trình: 4x = 3x + 4
2 Thực hiện phép tính:A 5 12 4 3 48
3 Giải hệ phương trình sau:
1 1
1
x y
3 4
5
x y
Câu 2 (2,0 điểm):
Cho phương trình: 2x2 + (2m – 1)x + m – 1 = 0 (1), trong đó m là tham số.
1 Giải phương trình (1) khi m = 2.
2 Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: 4x12 + 4x22 + 2x1x2 = 1
Câu 3 (1,5 điểm):
Trang 6Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 36 km Khi đi từ B trở về A, người đó tăng vận tốc thêm 3 km/h, vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi là 36 phút Tính vận tốc của người đi xe đạp khi đi từ A đến B
Câu 4 (2,5 điểm):
Cho đường tròn tâm O, bán kính R Đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (O;R) tại A Trên đường thẳng d lấy điểm H sao cho AH < R Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng d, cắt (O;R) tại hai điểm E và B (E nằm giữa H và B)
1 Chứng minh rằng góc ABE bằng góc EAH.
2 Trên dường thẳng d lấy điểm C sao cho H là trung điểm của đoạn AC Đường thẳng
CE cắt AB tại K Chứng minh rằng tứ giác AHEK nội tiếp được đường tròn
3 Xác định vị trí của điểm H trên đường thẳng d sao cho AB = R 3
Câu 5 (1,5 điểm):
1.Cho ba số a,b,c > 0 Chứng minh rằng:
a b abc b c abc c a abc abc
2 Tìm x, y nguyên thoả mãn:x + y + xy + 2 = x2 + y2
GỢI Ý ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT TỈNH NINH BÌNH
NĂM HỌC 2009 - 2010 Câu 1:1 4x = 3x + 4 <=> x = 4
2 A = 5 √12 - 4 √3 + √48 = 10 √3 - 4 √3 + 4 √3 = 10 √3
3 đk : x 0; y 0
Trang 7
¿
1
x −
1
y=1
3
x+
4
y=5
⇔
¿ 4
x −
4
y=4
3
x+
4
y=5
⇔
¿ 7
x=9
1
y=
9
7−1
⇔
¿y =7
2
x=7
9
¿ {
¿
( Thoả mãn điều kiện x 0; y 0
Kl: …
Câu 2: Phương trình: 2x2 + (2m-1)x + m - 1= 0 (1)
1 Thay m = 2 vào phương trình (1) ta có
2x2 + 3x + 1 = 0
Có ( a - b + c = 2 - 3 + 1 = 0)
=> Phương trình (1) có nghiệm x1 = -1 ; x2 = - 1/2
2 Phương trình (1) có Δ = (2m -1)2 - 8(m -1)
= 4m2 - 12m + 9 = (2m - 3)2 0 với mọi m
=> Phương trình (1) luôn có hai nghiệm x1; x2 với mọi giá trị của m
+ Theo hệ thức Vi ét ta có:
¿
x1+x2=1− 2 m
2
x1x2=m −1
2
¿ {
¿ + Theo điều kiện đề bài: 4x12 + 4x22 + 2x1x2 = 1
<=> 4(x1 + x2)2 - 6 x1x2 = 1
<=> ( 1 - 2m)2 - 3m + 3 = 1
<=> 4m2 - 7m + 3 = 0
+ Có a + b + c = 0 => m1 = 1; m2 = 3/4
Vậy với m = 1 hoặc m = 3/4 thì phương trình (1) có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn: 4x12 + 4x22 + 2x1x2 = 1
Câu 3: Gọi vận tốc của người đi xe đạp khi đi từ A đến B là x (km/h; x > 0)
Thì vận tốc khi người đó đi từ B về A là : x + 3 (km/h)
Trang 8N K
C
B
E O
Thời gian người đó đi từ A đến B là: 36x (h)
Thời gian người đó đi từ B về A là: 36x +3 (h)
Vì thời gian về ít hơn thời gian đi nên ta có phương trình :
36x - 36x +3 = 35
<=> x2 + 3x - 180 = 0
Có Δ = 729 > 0
Giải được: x1 = 12 (thoả mãn điều kiện của ẩn)
x2 = -15 (không thoả mãn điều kiện của ẩn)
Vậy vận tốc của người đó đi từ A đến B là 12 km/h
Câu 4:
1 Chứng minh: ∠ ABE = ∠ EAH
∠ ABE là góc nội tiếp chắn cung AE
∠ EAH là góc tạo bởi tia tiếp tuyến AH và dây cung AE
=> ∠ ABE = ∠ EAH
( Hệ quả góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung)
2 Chứng minh tứ giác AHEK nội tiếp
+ BH vuông góc với AC tại H
=> ∠ BHC = 900
+ H là trung điểm của AC (gt)
+ EH AC tại H (BH AC tại H; E BH)
=> Δ AEC cân tại E
=> ∠ EAH = ∠ ECH( t/c tam giác cân)
+ ∠ ABE = ∠ EAH ( cm câu a)
=> ∠ ABE = ∠ ECH ( = ∠ EAH)
=> ∠ KBE = ∠ KCH
=> Tứ giác KBCH nội tiếp
=> ∠ BKC = ∠ BHC = 900
=> ∠ AKE = 900 (1)( Kề bù với ∠ BKC = 900)
Mà ∠ EHA = 900 (2) ( EH AC tại H)
Từ (1) và (2) => ∠ AKE + ∠ EHA = 1800
=> Tứ giác AHEK nội tiếp
3 Xác định vị trí điểm H trên đường thẳng (d) sao cho AB = R √3
+ Kẻ ON vuông góc với AB tại N
=> N là trung điểm của AB( Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung)
=> AN = R√3
2
Ta có tam giác ONA vuông tại N theo cách dựng điểm N
=> tag ∠ NOA = AN : AO = √3
2
=> ∠ NOA = 600 => ∠ OAN = ∠ ONA - ∠ NOA = 300
+ ∠ OAH = 900 ( AH là tiếp tuyến của (O) tại tiếp điểm A)
=> ∠ BAH = 600
Trang 9+ chứng minh : Δ BAC cân tại B có ∠ BAH = 600 => tam giác ABC đều.
=> AH = AC/2 = AC/2 = R√3
2
=> H là giao điểm của (A; R√3
2 ) và đường thẳng (d)
Chú ý : Bài toán có hai nghiệm hình:
Câu 5:
1 Với a > 0; b > 0; c > 0
Chứng minh rằng: 1
a3+b3+abc+
1
b3+c3+ abc+
1
c3+a3+ abc≤
1 abc
HD: ta có a3 + b3 + abc = (a+b)(a2 + b2 - ab) + abc (a+b)(2ab - ab)+ abc
( vì (a-b)2 0 với mọi a, b => a2 + b2 2ab)
=> a3 + b3 + abc ab(a+b) + abc = ab( a+b+c)
Vì a, b, c > 0 => 1
a3+b3+abc≤
1 (a+b+c)ab (1) Tương tự ta có: 1
b3+c3+abc≤
1 (a+b+c)bc (2) 1
c3+a3+abc≤
1 (a+b+c)ca (3)
Từ (1) ; (2); (3)
=> 1
a3
+b3 +abc+
1
b3 +c3 + abc+
1
c3 +a3 + abc≤
a+b+c
abc (a+b+c )=
1 abc
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
2 Tìm x, y nguyên thoả mãn: x + y + xy + 2 = x2 + y2 (*)
<=> x2 - x(y + 1) + y2 - y - 2 = 0 (**)
Vì x, y là nghiệm của phương trình (*)
=> Phương trình (**) luôn có nghiệm theo x
=> Δ = (y+1)2 - 4 (y2 - y - 2) 0
=> -3y2 + 6y + 9 0<=> - y2 + 2y + 3 0<=> (- y2 - y) + 3(y + 1) 0
<=> (y + 1)(3 - y) 0
Giải được -1 y 3 vì y nguyên => y {-1; 0; 1; 2; 3}
+ Với y = -1 => (*) <=> x2 = 0 => x = 0
+ với y = 0 => (*) <=> x2 - x - 2 = 0
có nghiệm x1 = -1; x2 = 2 thoả mãn x Z
+ với y = 1 => (*) <=> x2 - 2x - 2 = 0 có Δ' = 3 không chính phương
+với y = 2 => x2 - 3x = 0 => x = 0 hoặc x = 3 thoả mãn x Z
+ với y = 3 => (x-2)2 = 0 => x = 2 thoả mãn x Z
Vậy nghiệm nguyên của phương trình là: (x,y)
{(− 1; 0);(0 ;− 1);(2;0);(0 ; 2); (3 ; 2);(2; 3)}
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
QUẢNG NAM NĂM HỌC 2009-2010
Môn thi TOÁN ( chung cho tất cả các thí sinh) Thời gian 120 phút (không kể thời gian giao đề)ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 10Bài 1 (2.0 điểm )
1 Tìm x để mỗi biểu thức sau có nghĩa
1 1
x
2 Trục căn thức ở mẫu
a)
3
1
3 1
3 Giải hệ phương trình :
1 0 3
x
x y
Bài 2 (3.0 điểm )
Cho hàm số y = x2 và y = x + 2
a) Vẽ đồ thị của các hàm số này trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy
b) Tìm tọa độ các giao điểm A,B của đồ thị hai hàm số trên bằng phép tính
c) Tính diện tích tam giác OAB
Bài 3 (1.0 điểm )
Cho phương trình x2 – 2mx + m 2 – m + 3 có hai nghiệm x1 ; x 2 (với m là tham
số ) Tìm biểu thức x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 4 (4.0 điểm )
Cho đường tròn tâm (O) ,đường kính AC Vẽ dây BD vuông góc với AC tại K ( K nằm giữa A và O).Lấy điểm E trên cung nhỏ CD ( E không trùng C và D), AE cắt BD tại H
a) Chứng minh rằng tam giác CBD cân và tứ giác CEHK nội tiếp
b) Chứng minh rằng AD2 = AH AE
c) Cho BD = 24 cm , BC =20cm Tính chu vi của hình tròn (O)
d) Cho góc BCD bằng α Trên mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A , vẽ tam giác MBC cân tại M Tính góc MBC theo α để M thuộc đường tròn (O)
Hướng dẫn:
Bài 1 (2.0 điểm )
1 Tìm x để mỗi biểu thức sau có nghĩa
2 Trục căn thức ở mẫu
Trang 11a)
3 3 2 3 2
2
2 2 2 b)
1 3 1
3 1 2
3 1 3 1 3 1
3 Giải hệ phương trình :
Bài 2 (3.0 điểm )
Cho hàm số y = x2 và y = x + 2
a) Vẽ đồ thị của các hàm số này trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy
Lập bảng :
b) Tìm toạ độ giao điểm A,B :
Gọi tọa độ các giao điểm A( x1 ; y1 ) , B( x2 ; y2 ) của hàm số y = x2 có đồ thị (P)
và y = x + 2 có đồ thị (d)
Viết phương trình hoành độ điểm chung của (P) và (d)
x2 = x + 2 x2 – x – 2 = 0
( a = 1 , b = – 1 , c = – 2 ) có a – b + c = 1 – ( – 1 ) – 2 = 0
x
; 2
2 2 1
c x a
thay x1 = -1 y1 = x2 = (-1)2 = 1;
x2 = 2 y2 = 4
Vậy tọa độ giao điểm là A( - 1 ; 1) , B( 2 ; 4 )
c) Tính diện tích tam giác OAB
Cách 1 : SOAB = SCBH - SOAC =
1
2(OC.BH - OC.AK)= =
1
2(8 - 2)= 3đvdt Cách 2 : Ctỏ đường thẳng OA và đường thẳng AB vuông góc
OA AK2OK2 1212 2 ; BC = BH2 CH2 4242 4 2;
AB = BC – AC = BC – OA = 3 2
(ΔOAC cân do AK là đường cao đồng thời trung tuyến OA=AC)
O
y
x A
B
C
Trang 12SOAB =
1
2OA.AB =
1 3 2 2 3
2 đvdt Hoặc dùng công thức để tính AB = (x B x A)2(y B y A)2 ;OA= (x A x O)2(y A y O)2
Bài 3 (1.0 điểm ).Tìm biểu thức x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất
Cho phương trình x2 – 2mx + m 2 – m + 3
( a = 1 ; b = - 2m => b’ = - m ; c = m2 - m + 3 )
Δ’ = = m2 - 1 ( m2 - m + 3 ) = m2 - m2 + m - 3 = m – 3 ,do pt có hai nghiệm x1 ; x 2
(với m là tham số ) Δ’ ≥ 0 m ≥ 3 Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:
x1 + x2 = 2m
x1 x2= m2 - m + 3
x12 + x22 = ( x1 + x2)2 – 2x1x2 = (2m)2 - 2(m2 - m + 3 )=2(m2 + m - 3 )
=2(m2 + 2m
1
2 +
1
4-
1
4 -
12
4 ) =2[(m +
1
2)2 -
13
4 ]=2(m +
1
2)2 -
13 2
Do điều kiện m ≥ 3 m +
1
2 ≥ 3+
1
2=
7 2
(m +
1
2)2 ≥
49
4 2(m +
1
2)2 ≥
49
2 2(m +
1
2)2 -
13
2 ≥
49
2 -
13
2 = 18 Vậy GTNN của x12 + x22 là 18 khi m = 3
Bài 4 (4.0 điểm )
a) Chứng minh rằng tam giác CBD cân và tứ giác CEHK nội tiếp
* Tam giác CBD cân
AC BD tại K BK=KD=BD:2(đường kính vuông góc dây cung)
ΔCBD có đường cao CK vừa là đường trung tuyến nên ΔCBD cân tại C
* Tứ giác CEHK nội tiếp
AEC HEC 180 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ; KHC 180· 0(gt)
HEC HKC 90 90 180 (tổng hai góc đối) tứ giác CEHK nội tiếp
b) Chứng minh rằng AD2 = AH AE
Xét ΔADH và ΔAED có :
¶
A chung ; AC BD tại K , AC cắt cung BD tại A suy ra A là điểm chính giữa cung BAD , hay: AB = AD ADB AED· · (chắn hai cung bằng nhau)
Vậy ΔADH = ΔAED (g-g)
2
.
c) Cho BD = 24 cm , BC =20cm Tính chu vi của hình tròn (O)
BK=KD=BD:2 = 24:2 = 12 (cm) ( cm câu a ) ; BC =20cm
Trang 13ΔBKC vuông tại A có : KC = BC2 BK2 202122 400 144 256=16(cm)
ABC 90 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
ΔABC vuông tại K có : BC2 =KC.AC 400 =16.AC AC = 25 R= 12,5(cm)
C = 2пR = 2п.12,5 = 25п (=25.3,14 = 78.5) (cm)
d)Tính góc MBC theo α để M thuộc đường tròn (O)
ΔMBC cân tại M có MB = MC suy ra M cách đều hai đầu đoạn thẳng BC M d là
đường trung trực BC ,(OB=OC nên O d ),vì M(O) nên giả sử d cắt (O) tại M (M thuộc cung nhỏ BC )và M’(thuộc cung lớn BC )
* Trong trường hợp M thuộc cung nhỏ BC ; M và D nằm khác phía BC hay AC
do ΔBCD cân tại C nên
2
BDC DBC (180 DCB 2 90
Tứ giác MBDC nội tiếp thì
BDC BMC 180 BMC 180 BDC 180 90 180 90 90
* Trong trường hợp M’ thuộc cung lớn BC
ΔMBC cân tại M có MM’ là đường trung trực nên MM’ là phân giác góc BMC
· · 0 ) : 2 45 0
BMM ' BMC (90
sđ
BM ' )
2
(90
(góc nội tiếp và cung bị chắn)
sđBD» 2BCD 2· (góc nội tiếp và cung bị chắn)
+ Xét BD BM '» ¼
suy ra tồn tại hai điểm là M thuộc cung nhỏ BC (đã tính ở trên )và M’ thuộc cung lớn BC
Tứ giác BDM’C nội tiếp thì
2
BDC BM'C 90
(cùng chắn cung BC nhỏ) + Xét BD BM '» ¼
3
thì M’≡ D không thỏa mãn điều kiện đề bài nên không có M’ ( chỉ có điểm M thỏa mãn đề bài)
B
M
C
E D
M’
K H
B”
D”