de thi hoc sinh gioi truong lop 11

[r]

Trường THPT Quỳ Hợp I

Đề thi học sinh giỏi lớp 11 năm học 2012-2013

Mụn: Toỏn - Khối: 11 Thời gian: 150 phỳt

Bài 1(2,0 điểm).:

Bài 2 (2,0 điểm).

1 Cho dóy số  u n biết: 2 3

n

u      

Tớnh limu n

2 Cho dóy số  u n xỏc định bởi : 1 1  

1

n n

n

u



Tớnh tổng: S2012  u1 u2 u3  u2012

Bài 3(3 điểm)

1) Giải phơng trình:

2tan cot tan

sin 2

x

2) Tìm m để phơng trình sau có nghiệm ( ; )

8 4

x  

4(sin4xcos ) 4(sin4x  6 xcos ) sin 46x  2 x m

Bài 4 (2 điểm) : Giải bất phơng trình: x2  4x 3 2x2  3x  1 x 1

Bài 5(1 điểm) : Một điểm S nằm ngoài (ABC ) sao cho tứ diện SABC

đều , gọi I, K là trung điểm của các cạnh AC và SB , Trên đờng thẳng

AS và CK ta chọn các điểm P,Q sao cho PQ// BI

Tính độ dài PQ biết cạnh của tứ diện có độ dài bằng 1

==========Hết==========

Trường THPT Quỳ Hợp I

Đáp Án Đề thi học sinh giỏi lớp 11 năm học 2012-2013

Bài 1

Bài 2 Bài 2 (2,0 điểm).

 Cho dãy số  u n biết: 2 3

n

u      

Tính limu n

 Cho dãy số  u n xác định bởi : 1 1  

1

n n

n

u



Tính tổng: S2012 u1 u2 u3  u2012

Bài giải

Bài 2: (2,0 điểm)

1. 1 32 53 2 1 1 2 1 3 52 73 2 11 2

Lấy (2) trừ (1) vế theo vế ta được

u            n

u          

2 Cú

u   u     u   u    u    

n

u



Do đú

1 1 1

, 1, 2,

n

n n



2 2 2013 2014

S u u u  u      

3) Giải phơng trình:

2tan cot tan

sin 2

x

4) Tìm m để phơng trình sau có nghiệm

( ; )

8 4

x  

4(sin xcos ) 4(sinx  xcos ) sin 4x  x m

B i già ải

+) Điều kiện

+) Tìm đợc tanx = 1 hoặc tanx = 0

+) GiảI đúng và loại nghiệm đúng ĐS: x 4 k





+) Đa PT về dạng: 2cos 42 x cos 4x2m1 (1)

+) Đặt t = cos4x với

( ; )

8 4

x  

 t(-1; 0)

+) Xét f(t) = 2t2 + t trên (-1; 0) có bảng biến thiên

Và PT (1) có nghiệm khi đờng thẳng y = 2m +1 (song song hoặc trùng 0x )cắt f(t) trên (-1; 0)

+) ĐS:

1 ( ;1) 2

m 

Bài 4

Giải bất phơng trình: x2  4x 3 2x2 3x  3 x 1

B i già ải

+) Điều kiện:

2 2

3

1

1 2

x

x x

x

x x

x



 









+) Với x=1 BPT hiển nhiên đúng suy ra x=1 là nghiệm

+) Với x 3 suy ra BPT  (x 3)(x 1) (x 1)(2x 1)  x 1

chỉ ra vô nghiệm

+) Với

1 2

x 

suy ra BPT

Chỉ ra nghiệm

1 2

x 

+) Kết luận: BPT có nghiệm

1 1 2

x x







 



Bài 5 Một điểm S nằm ngoài (ABC ) sao cho tứ diện SABC đều , gọi I, K

là trung điểm của các cạnh AC và SB , Trên đờng thẳng AS và CK

ta chọn các điểm P,Q sao cho PQ// BI

Tính độ dài PQ biết cạnh của tứ diện có độ dài bằng 1

Ta có PQ là giao tuyến của hai mặt phẳng : Mặt phẳng chứa CK và song song với BI và mặt phẳng chứa SA và song song với BI

Trong mặt phẳng (SBI) kẻ KE / / BI, CE cắt SA ở P

Qua A kẻ A F // BI (F thuộc BC) , CK cắt S F tại Q

Vậy PQ // BI

Ta có I, E là các trung điểm của AC và SI

1 3

SP SA

Mà

PQ SP

PQ AF

AF SA   Ta có AF 2BI  3 Vậy

3 3

PQ 