123doc de thi hoc sinh gioi toan lop 11 pps (1)

Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu cắt hai trục Ox, Oy tại hai điểm A, B sao cho IAB có diện tích S cho trước với I là điểm cho trước.. Tìm điều kiện để đồ

Trang 1

Tài liệu luyện thi đại học-khảo sát hàm số Võ Thanh Bình:0917.121.304

THUẦN GIÁO KHOA:

1 Đinh nghĩa:

Hàm số f đồng biến trên K  (x1, x2  K, x1 < x2  f(x1) < f(x2)

Hàm số f nghịch biến trên K  (x1, x2  K, x1 < x2  f(x1) > f(x2)

2 Điều kiện cần:

Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I

a) Nếu f đồng biến trên khoảng I thì f(x)  0, x  I

b) Nếu f nghịch biến trên khoảng I thì f(x)  0, x  I

3 Điều kiện đủ:

Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I

a) Nếu f (x)  0, x  I (f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f đồng biến trên I

b) Nếu f (x)  0, x  I (f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f nghịch biến trên I

c) Nếu f(x) = 0, x  I thì f không đổi trên I

Chú ý: Nếu khoảng I được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì f phải liên tục trên đó

Xét chiều biến thiên của hàm số

Để xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước như sau:

– Tìm tập xác định của hàm số

– Tính y Tìm các điểm mà tại đó y = 0 hoặc y không tồn tại (gọi là các điểm tới hạn) – Lập bảng xét dấu y (bảng biến thiên) Từ đó kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

Bài 1 Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

x y

y

x

 

n)

14

x y x

11

Trang 2

Cho hàm số y f x m( , ), m là tham số, có tập xác định D

 Hàm số f đồng biến trên D  y  0, x  D

 Hàm số f nghịch biến trên D  y  0, x  D

Từ đó suy ra điều kiện của m

00

 Nếu  < 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a

 Nếu  = 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a (trừ x =

2

b a

Trang 3

2

' 0' 0,

0'

' 0' 0,

c

ad bc y

S P

Trang 4

Trường hợp 2: Nếu bất phương trình f x ( ) 0  không đưa được về dạng (*) thì đặt tx a Khi đó ta có: y g t( ) 3  at2 2(3a b t)  3a 2 2b c

– Hàm số f nghịch biến trên khoảng (  ; )a  g t( ) 0,   t 0 

a a

S P

Trang 5

' 00

( ) 02' 00

2

' 00

( ) 0( ) 0( ) 0

[ ; ]

( ) 0

' 00

0

a

af S

( ) 02

' 00

( ) 0( ) 0( ) 0

a

af af af

Trang 6

ad bc

d a

c d c

ad bc

d a

Trang 7

5 Tìm điều kiện để hàm số y f x( ) ax3bx2cx d đơn điệu trên khoảng có độ dài bằng k cho trước

 f đơn điệu trên khoảng ( ;x x1 2)  y  0 có 2 nghiệm phân biệt x x1, 2  a 0

 Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m

 Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm

g t( ) adt2 2 (a d e t ad)  2 2ae be dc a) (2) đồng biến trên khoảng (  ; )

ii

S P

iii

S P

Trang 8

a) y 5xcot(x1) b) ycosx x c) ysinxcosx2 2x

Bài 3 Tìm m để các hàm số sau luôn đồng biến trên tập xác định (hoặc từng khoảng xác định) của nó:

Bài 4 Tìm m để hàm số:

a) y x33x2mx m nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1

y  x  m x  m x đồng biến trên một khoảng có độ dài bằng 4

y  m x  m x đồng biến trên khoảng (1; +)

b) y x33(2m1)x2(12m5)x2 đồng biến trên khoảng (2; +)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m 2

2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên tập xác định của nĩ

Bài 2 Cho hàm số yx3 3x2mx 4 (1)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m 0

2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (  ;0)

Bài 3 Cho hàm số y 2x3 3(2m 1)x2 6 (m m 1)x 1 cĩ đồ thị (Cm)

Trang 9

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0

2) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (2;  )

Bài 4 Cho hàm sốyx3 (1 2 )  m x2 (2 m x m)   2

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1

2) Tìm m để hàm đồng biến trên khoảng K  (0;  )

Bài 5 Cho hàm số y 1(m2 1)x3 (m 1)x2 2x 1

3

      (1) (m  1)

2) Tìm m để hàm nghịch biến trên khoảng K   ( ;2)

Bài 6 Cho hàm số y 1(m2 1)x3 (m 1)x2 2x 1

3

      (1) (m  1)

2) Tìm m để hàm nghịch biến trên khoảng K  (2;  )

Bài 7 Cho hàm số yx3 3x2mx m (1), (m là tham số)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 3

2) Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên đoạn cĩ độ dài bằng 1

Bài 8 Cho hàm số y  2x3 3mx2 1 (1)

2) Tìm các giá trị của m để hàm số (1) đồng biến trong khoảng ( ;x x1 2) với x2x1 1

Bài 9 Cho hàm số yx4 2mx2 3m 1 (1), (m là tham số)

2) Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (1; 2)

2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (  ;1)

Tìm m để hàm số (2) nghịch biến trên khoảng (1;  )

Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức

Trang 10

Để chứng minh bất đẳng thức ta thực hiện các bước sau:

 Chuyển bất đẳng thức về dạng f(x) > 0 (hoặc <, ,  ) Xét hàm số y = f(x) trên tập xác định do đề bài chỉ định

 Xét dấu f (x) Suy ra hàm số đồng biến hay nghịch biến

 Dựa vào định nghĩa sự đồng biến, nghịch biến để kết luận

Chú ý:

1) Trong trường hợp ta chưa xét được dấu của f (x) thì ta đặt h(x) = f (x) và quay lại tiếp tục xét dấu h (x) … cho đến khi nào xét dấu được thì thôi

2) Nếu bất đẳng thức có hai biến thì ta đưa bất đẳng thức về dạng: f(a) < f(b)

Xét tính đơn điệu của hàm số f(x) trong khoảng (a; b)

Bài 1 Chứng minh các bất đẳng thức sau:

f(x) đồng biến trong khoảng 1 1;

Trang 11

I Khái niệm cực trị của hàm số

Giả sử hàm số f xác định trên tập D (D  R) và x0  D

a) x0 – điểm cực đại của f nếu tồn tại khoảng (a; b)  D và x0  (a; b) sao cho

f(x) < f(x0), với x  (a; b) \ {x0}

Khi đó f(x0) đgl giá trị cực đại (cực đại) của f

b) x0 – điểm cực tiểu của f nếu tồn tại khoảng (a; b)  D và x0  (a; b) sao cho

f(x) > f(x0), với x  (a; b) \ {x0}

Khi đó f(x0) đgl giá trị cực tiểu (cực tiểu) của f

c) Nếu x0 là điểm cực trị của f thì điểm (x0; f(x0)) đgl điểm cực trị của đồ thị hàm số f

II Điều kiện cần để hàm số có cực trị

Nếu hàm số f có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại điểm đó thì f (x0) = 0

Chú ý: Hàm số f chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có

đạo hàm

III Điểu kiện đủ để hàm số có cực trị

1 Định lí 1: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x0 và có đạo hàm trên (a; b)\{x0}

a) Nếu f (x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x0 thì f đạt cực tiểu tại x0

b) Nếu f (x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x0 thì f đạt cực đại tại x0

2 Định lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a; b) chứa điểm x0, f (x0) = 0 và có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0

a) Nếu f (x0) < 0 thì f đạt cực đại tại x0

b) Nếu f (x0) > 0 thì f đạt cực tiểu tại x0

Tìm cực trị của hàm số

Qui tắc 1: Dùng định lí 1

 Tìm f (x)

 Tìm các điểm x i (i = 1, 2, …) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm

 Xét dấu f (x) Nếu f (x) đổi dấu khi x đi qua x i thì hàm số đạt cực trị tại x i

Qui tắc 2: Dùng định lí 2

 Tính f (x)

 Giải phương trình f (x) = 0 tìm các nghiệm x i (i = 1, 2, …)

 Tính f (x) và f (x i ) (i = 1, 2, …)

Nếu f (x i ) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x i

Nếu f (x i ) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x i

Bài 1 Tìm cực trị của các hàm số sau:

PHẦN 2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Trang 12



 c) ye x 4ex

d) yx25x 5 2 lnx e) yx4sin2x f) y xln(1x2)

Tìm điều kiện để hàm số có cực trị

1 Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x 0 thì f (x 0 ) = 0 hoặc tại x 0 không có đạo hàm

2 Để hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x 0 thì f (x) đổi dấu khi x đi qua x 0

 Khi đó nếu x 0 là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị y(x 0 ) bằng hai cách:

0

( )( )

Trang 13

 Hoành độ x x1, 2 của các điểm cực trị là các nghiệm của phương trình y  0

 Để viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu, ta có thể sử dụng phương pháp tách đạo hàm

– Phân tích y f x q x ( ) ( ) h x( )

– Suy ra y1h x( ),1 y2 h x( 2)

Do đó phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu là: yh x( )

 Gọi  là góc giữa hai đường thẳng d1:yk x b d1  1, 2:yk x b2  2 thì k k

B Một số dạng câu hỏi thường gặp

Gọi k là hệ số góc của đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu

1 Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu song song (vuông góc) với đường thẳng d y: px q

– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu

– Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu

– Giải điều kiện: kp (hoặc k

– Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu

– Giải điều kiện: k p

kp tan

1





 a (Đặc biệt nếu d  Ox, thì giải điều kiện: k  tana )

3 Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu cắt hai trục Ox, Oy tại

hai điểm A, B sao cho IAB có diện tích S cho trước (với I là điểm cho trước)

– Viết phương trình đường thẳng  đi qua các điểm cực đại, cực tiểu

– Tìm giao điểm A, B của  với các trục Ox, Oy

– Giải điều kiện S  IABS

4 Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho IAB có diện tích S cho trước (với I là điểm cho trước)

– Giải điều kiện S  IABS

5 Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B đối xứng qua đường thẳng d

cho trước

– Gọi I là trung điểm của AB

Trang 14

– Giải điều kiện: d

– Giải điều kiện: d A d( , ) d B d( , )

6 Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B và khoảng cách giữa hai điểm

A, B là lớn nhất (nhỏ nhất)

– Tìm toạ độ các điểm cực trị A, B (có thể dùng phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị)

– Tính AB Dùng phương pháp hàm số để tìm GTLN (GTNN) của AB

7 Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu và hoành độ các điểm cực trị thoả hệ thức cho trước

0 ' 0 0 0

Trang 15

Tìm điều kiện để đồ thị hàm số cĩ các điểm cực trị tạo thành tam giác

- tam giác vuơng (cân)

- tam giác đều

- tam giác cĩ gĩc

- tam giác nội tiếp đường trịn bán kính

- tam giác ngoại tiếp đường trịn bán kính

- tam giác cĩ diện tích

- … làm sao điều kiện đề bài tạo ra biểu thức cĩ chứa các tọa độ cực trị

a) y(m2)x33x2mx5 có cực đại, cực tiểu

b) y  x33(m1)x2(2m23m2)x m m ( 1) có cực đại, cực tiểu

c) yx33mx2(m21)x2 đạt cực đại tại x = 2

Trang 16

d) y mx42(m2)x2m5 có một cực đại 1

 có một giá trị cực đại bằng 0

Bài 3 Tìm m để các hàm số sau không có cực trị:

Bài 4 Tìm a, b, c, d để hàm số:

a) yax3bx2cx d đạt cực tiểu bằng 0 tại x = 0 và đạt cực đại bằng 4

27 tại x =

13b) yax4bx2c có đồ thị đi qua gốc toạ độ O và đạt cực trị bằng –9 tại x = 3

21

đạt cực đại bằng 5 tại x = 1

Bài 5 Tìm m để hàm số :

a) yx32(m1)x2(m24m1)x2(m21) đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 sao cho:

y mx  m x  m x đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 sao cho: x12x21

Bài 6 Tìm m để hàm số :

Trang 17

Bài 7 Tìm m để đồ thị hàm số :

a) y x3mx24 có hai điểm cực trị là A, B và

2

2 900729

 có hai điểm cực trị và khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất

Bài 8 Tìm m để đồ thị hàm số :

a) y2x3mx212x13 có hai điểm cực trị cách đều trục tung

b) yx33mx24m3 có các điểm cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất

c) y x33mx24m3 có các điểm cực đại, cực tiểu ở về một phía đối với đường thẳng (d): 3x2y 8 0

Trang 18

Bài 10 Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số :

a) y2x33(m1)x26(m2)x1 có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng y = –4x + 1

b) y2x33(m1)x26 (1 2 )m  m x có các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị nằm trên đường thẳng y = –4x

c) y x3mx27x3 có đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu vuông góc với đường thẳng y = 3x – 7

d) y x33x2m x m2  có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m 1

2) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1)

Bài 2 Cho hàm số y x3 (2m 1)x2 (m2 3m 2)x 4 (m là tham số) cĩ đồ thị là (C m)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1

2) Xác định m để (C m) cĩ các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung

Bài 3 Cho hàm số y 1x3 mx2 (2m 1)x 3

3

     (m là tham số) cĩ đồ thị là (C m)

2) Xác định m để (C m) cĩ các điểm cực đại, cực tiểu nằm về cùng một phía đối với trục tung

Bài 4 Cho hàm số yx3 3x2mx 2 (m là tham số) cĩ đồ thị là (C m)

2) Xác định m để (C m) cĩ các điểm cực đại và cực tiểu cách đều đường thẳng yx 1

Bài 5 Cho hàm số yx3 3mx2 4m3 (m là tham số) cĩ đồ thị là (C m)

2) Xác định m để (C m ) cĩ các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x

Bài 6 Cho hàm số y x3 3mx2 3m 1

2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số cĩ điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau

Trang 19

qua đường thẳng d: x 8y 74 0 

Bài 7 Cho hàm số yx3 3x2mx (1)

2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số (1) có các điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng

với nhau qua đường thẳng d: x 2y  5 0

Bài 8 Cho hàm số yx3 3(m 1)x2 9x m  2 (1) có đồ thị là (Cm)

2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau

qua đường thẳng d: y 1x

2



Bài 9 Cho hàm số yx3 3(m 1)x2 9x m , với m là tham số thực

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với m 1

2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x x1, 2 sao cho x1x2  2

Bài 10 Cho hàm số yx3 (1 2 )  m x2 (2 m x m)   2, với m là tham số thực

2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x x1, 2 sao cho x1 x2 1

2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x x1, 2 sao cho x1x2  8

Bài 12 Cho hàm số y 1x3 (m 1)x2 3(m 2)x 1

      , với m là tham số thực

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với m 2

2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x x1, 2 sao cho x1 2x2 1

Bài 13 Cho hàm số y 4x3mx2 3x

2) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x x1, 2 thỏa x1  4x2

Bài 14 Cho hàm số y 1x3 ax2 3ax 4

3

    (1) (a là tham số)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi a = 1

2) Tìm a để hàm số (1) đạt cực trị tại x1,x2 phân biệt và thoả mãn điều kiện:

Bài 15 Cho hàm số y 2x3 9mx2 12m x2  1 (m là tham số)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = –1

2) Tìm các giá trị của m để hàm số có cực đại tại xCĐ, cực tiểu tại xCT thỏa mãn: x2CÑ x CT

Bài 16 Cho hàm số y (m 2)x3 3x2mx 5, m là tham số

2) Tìm các giá trị của m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là

các số dương

Trang 20

Bài 17 Cho hàm số y 1x3 1mx2 (m2 3)x

3 2

2) Tìm các giá trị của m để hàm số (1) có các điểm cực trị x x1, 2 với x1 0,x2  0 và

x12 x22 5

2

 

Bài 18 Cho hàm số yx3 (1 2 )  m x2 (2 m x m)   2 (m là tham số) (1)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 2

2) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hoành

độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1

Bài 19 Cho hàm số y m x3 (m 2)x2 (m 1)x 2

3

      (Cm)

2) Tìm m để hàm số có cực đại tại x1, cực tiểu tại x2 thỏa mãn x1x2 1

Bài 20 Cho hàm số yx3 3x2 2 (1)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)

2) Tìm điểm M thuộc đường thẳng d: y 3x 2sao tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực trị nhỏ nhất

Bài 21 Cho hàm số yx3 3mx2 3(m2 1)x m 3m (1)

2) Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số

đến gốc tọa độ O bằng 2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ

O

Bài 22 Cho hàm số yx3 3x2mx 2 có đồ thị là (Cm)

2) Tìm m để (C m) có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị song

song với đường thẳng d: y  4x 3

Bài 23 Cho hàm số yx3mx2 7x 3 có đồ thị là (Cm)

2) Tìm m để (C m) có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị vuông

góc với đường thẳng d: y 3x 7

Bài 24 Cho hàm số yx3 3x2mx 2 có đồ thị là (Cm)

2) Tìm m để (C m) có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị tạo với đường thẳng d: x 4y  5 0 một góc a  450

Bài 25 Cho hàm số yx3 3x2 2 (C)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2) Tìm m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của (C) tiếp xúc với đường tròn (S) có

phương trình (x m )2 (y m  1)2  5

Bài 26 Cho hàm số yx3 3mx 2 (C m)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m 1

2) Tìm m để đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu củaC mcắt đường tròn tâm I (1;1), bán

Trang 21

Tài liệu luyện thi đại học-khảo sát hàm số Võ Thanh Bình:0917.121.304 kính bằng 1 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích IAB đạt giá trị lớn nhất

Bài 27 Cho hàm số yx3 6mx2 9x 2m (1), với m là tham số thực

2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị sao cho khoảng cách từ gốc toạ độ O đến

đường thẳng đi qua hai điểm cực trị bằng 4

5

Bài 28 Cho hàm số yx3 3x2 (m 6)x m  2 (1), với m là tham số thực

2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị sao cho khoảng cách từ điểm A(1; 4) đến đường thẳng đi qua hai điểm cực trị bằng 12

265

Bài 29 Cho hàm số yx3 3x2mx 1 (1), với m là tham số thực

2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị sao cho khoảng cách từ điểm I 1 11;

2 4

 

 

  đến đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là lớn nhất

Bài 30 Cho hàm số yx3 3(m 1)x2 3 (m m 2)x m 3 3m2 (C m)

2) Chứng minh rằng với mọi m, đồ thị (Cm) luôn có 2 điểm cực trị và khoảng cách giữa 2

điểm cực trị là không đổi

Bài 31 Cho hàm số y 2x2 3(m 1)x2 6mx m 3

2) Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho AB 2

Bài 32 Cho hàm số yx3 3mx2 3(m2 1)x m 3 4m 1 (1)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m  1

2) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho OAB vuông tại O

Bài 33 Cho hàm số y 2x2 3(m 1)x2 6mx m 3 (1)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m 1

2) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho tam giác ABC vuông tại

C, với C(4;0)

Bài 34 Cho hàm số yx3 3x2m (1)

2) Xác định m để đồ thị của hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho  AOB 120 0

Bài 35 Cho hàm số yx3 3x2m2m 1 (1)

2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực đại, cực tiểu là A và B sao cho diện tích tam

giác ABC bằng 7, với điểm C(–2; 4 )

Bài 36 Cho hàm số yx3 3(m 1)x2 12mx 3m 4 (C)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số m = 0

2) Tìm m để hàm số có hai cực trị là A và B sao cho hai điểm này cùng với điểm C 1; 9

Trang 22

Bài 37 Cho hàm số y f x( )  2x3 3(m 3)x2 11 3  m (C m)

2) Tìm m để (C m) có hai điểm cực trị M M1, 2 sao cho các điểmM M1, 2và B(0; –1) thẳng hàng

2) Tìm m để các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị (1) nằm về 2 phía (phía trong và phía

ngoài) của đường tròn có phương trình (C): x2y2 4x  3 0

Bài 40 Cho hàm số yx3 3mx2 3(m2 1)x m 3 (Cm)

2) Chứng minh rằng (Cm) luôn có điểm cực đại và điểm cực tiểu lần lượt chạy trên mỗi đường thẳng cố định

Bài 41 Cho hàm số y 1x3 mx2 x m 1 (C m)

3

2) Tìm m để đồ thị (Cm) có 2 điểm cực trị và khoảng cách giữa 2 điểm cực trị là nhỏ nhất

Bài 42 Cho hàm số yx3 3x2mx 2 (1)

2) Tìm m để hàm số (1) có 2 cực trị và đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số

tạo với hai trục toạ độ một tam giác cân

Trang 23

Bài 48 Cho hàm số yx4 2(m2m 1)x2m 1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2) Tìm m để đồ thị (C) có khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu ngắn nhất

Bài 49 Cho hàm số y 1x4 mx2 3

   (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m 3

2) Xác định m để đồ thị của hàm số (1) có cực tiểu mà không có cực đại

Bài 50 Cho hàm số y x4 2mx2 4 (C m)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m 2

2) Tìm các giá trị của m để tất cả các điểm cực trị của (C m) đều nằm trên các trục toạ độ

Bài 51 Cho hàm số yx4 (3m 1)x2 3 (với m là tham số)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m  1

2) Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác cân sao cho độ dài cạnh đáy bằng 2

3 lần độ dài cạnh bên

Bài 52 Cho hàm số y f x( ) x4 2(m 2)x2m2 5m 5 (C m)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số khi m = 1

2) Tìm các giá trị của m để đồ thị (C m) của hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1 tam giác vuông cân

Bài 53 Cho hàm số yx4 2(m 2)x2m2 5m 5  C m

2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và điểm cực tiểu lập thành một tam giác đều

Bài 54 Cho hàm số yx4 2mx2 2m m 4 có đồ thị (Cm)

2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành một tam giác có diện tích S 4

Bài 55 Cho hàm số yx4 2mx2m2m có đồ thị (Cm)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = –2

2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành một tam giác có một góc bằng 1200

Bài 56 Cho hàm số yx4 2mx2m 1 có đồ thị (Cm)

2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1

Bài 57 Cho hàm số yx4 2mx2 2 (Cm)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m 1

2) Tìm các giá trị của m để (Cm) có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có đường tròn ngoại

tiếp đi qua điểm D 3 9;

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m 0

2) Tìm m để đồ thị (Cm) có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích lớn nhất

Trang 24

Bài 59 Cho hàm số y 1x4 (3m 1)x2 2(m 1)

4

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m 0

2) Tìm m để đồ thị (Cm) cĩ 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác cĩ trọng tâm là gốc toạ độ

max ( ) ( ), min ( ) ( )

a b f x  f a a b f x  f b

Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách lập bảng biến thiên

Cách 1: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng

 Tính f (x)

 Xét dấu f (x) và lập bảng biến thiên

 Dựa vào bảng biến thiên để kết luận

Cách 2: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn [a; b]

11

1( 0)

Bài 2 Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:

PHẦN 3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

Trang 25

11

x x y

x y

Điểm U x 0; (f x0) đgl điểm uốn của đồ thị hàm số y = f(x) nếu tồn tại một khoảng (a; b)

chứa điểm x0 sao cho trên một trong hai khoảng (a; x0) và (x0; b) tiếp tuyến của đồ thị tại điểm U nằm phía trên đồ thị còn trên khoảng kia tiếp tuyến nằm phía dưới đồ thị

Bài 3 Tìm m để đồ thị của các hàm số sau có 3 điểm uốn:

PHẦN 4 ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ

Trang 26

11

y x

x y x

1

y x





2 2

31

y x



Bài 5 Tìm m, n để đồ thị của các hàm số:

a) yx42x36x2mx2m1 có hai điểm uốn thẳng hàng với điểm A(1; –2)

y  x mx n có điểm uốn ở trên Ox

  là hàm số phân thức hữu tỷ

 Nếu Q(x) = 0 có nghiệm x0 thì đồ thị có tiệm cận đứng xx0

 Nếu bậc(P(x))  bậc(Q(x)) thì đồ thị có tiệm cận ngang

 Nếu bậc(P(x)) = bậc(Q(x)) + 1 thì đồ thị có tiệm cận xiên

b) Để xác định các hệ số a, b trong phương trình của tiệm cận xiên, ta có thể áp dụng các

công thức sau:

PHẦN 5 ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ

Trang 27

x





d)

x y

1

y x

11

y x

41

y x

2

x y

Trang 28

 





1 Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

 Tìm tập xác định của hàm số

 Xét sự biến thiên của hàm số:

+ Tính y

+ Tìm các điểm tại đó đạo hàm y bằng 0 hoặc không xác định

+ Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có)

+ Lập bảng biến thiên ghi rõ dấu của đạo hàm, chiều biến thiên, cực trị của hàm số

 Vẽ đồ thị của hàm số:

+ Tìm điểm uốn của đồ thị (đối với hàm số bậc ba và hàm số trùng phương)

– Tính y

– Tìm các điểm tại đó y = 0 và xét dấu y

+ Vẽ các đường tiệm cận (nếu có) của đồ thị

+ Xác định một số điểm đặc biệt của đồ thị như giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ (trong trường hợp đồ thị không cắt các trục toạ độ hoặc việc tìm toạ độ giao điểm phức tạp thì có thể bỏ qua) Có thể tìm thêm một số điểm thuộc đồ thị để có thể vẽ chính xác hơn + Nhận xét về đồ thị: Chỉ ra trục đối xứng, tâm đối xứng (nếu có) của đồ thị

2 Hàm số bậc ba yax3bx2cx d a ( 0):

 Tập xác định D = R

 Đồ thị luôn có một điểm uốn và nhận điểm uốn làm tâm đối xứng

 Các dạng đồ thị:

Trang 29

y’ = 0 có nghiệm kép

 Đồ thị luôn nhận trục tung làm trục đối xứng

4 Hàm số nhất biến y ax b (c 0,ad bc 0)

Trang 30

5 Hàm số hữu tỷ

  và một tiệm cận xiên Giao điểm của hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị hàm số

y = 0 có 2 nghiệm phân biệt

y = 0 vô nghiệm

Bài 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:

Trang 31

a) yx42x2 1 b) yx44x2 1 c)

4

2 53

x

y  x d) y(x1) (2 x1)2 e) y x42x2 2 f) y 2x44x2 8

Bài 3 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:





34

x y

x





d) 1 2

1 2

x y

x



2 21

y x



2 3 32

1 SỰ TƯƠNG GIAO CỦA CÁC ĐỒ THỊ

Cho hai đồ thị (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x) Để tìm hoành độ giao điểm của (C1) và (C2) ta giải phương trình: f(x) = g(x) (*) (gọi là phương trình hoành độ giao điểm)

Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của hai đồ thị

Dạng 1: Sự tương giao của đồ thị hàm số bậc 3: y f x( ) ax3bx2cx d a (  0)

A Kiến thức cơ bản

 Cho hai đồ thị (C1): y f x( ) và (C2): yg x( ) Để tìm hồnh độ giao điểm của (C1) và (C2)

ta giải phương trình: f x( ) g x( ) (*) (gọi là phương trình hồnh độ giao điểm)

Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của hai đồ thị

 Số giao điểm của đồ thị (C) của hàm số bậc ba: y f x( ) ax3bx2cx d với trục hồnh bằng số nghiệm của phương trình ax3bx2cx d  0 (1)

1 Tìm đièu kiện để đồ thị (C) và trục hồnh cĩ 1 điểm chung duy nhất

 Phương trình (1) cĩ 1 nghiệm duy nhất

PHẦN 7 MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN

ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ

Trang 32

2 Tìm đièu kiện để đồ thị (C) và trục hoành có 2 điểm chung phân biệt



  Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt

4 Tìm đièu kiện để đồ thị (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương

0, 0 (0) 0 ( 0)

 Phương trình (1) có 3 nghiệm dương phân biệt

5 Tìm đièu kiện để đồ thị (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm

0, 0 (0) 0 ( 0)

Trang 33

6 Tìm đièu kiện để đồ thị (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ tạo thành một cấp số cộng

2 3 vào (1) để suy ra điều kiện cần tìm

Chú ý: Đây chỉ là điều kiện cần nên phải thử lại kết quả tìm được

7 Tìm đièu kiện để đồ thị (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ tạo thành một cấp số nhân

2   vào (1) để suy ra điều kiện cần tìm

Chú ý: Đây chỉ là điều kiện cần nên phải thử lại kết quả tìm được

Dạng 2: Sự tương giao của đồ thị hàm số trùng phương: y f x( ) ax4bx2c a(  0)

Trang 34

 (1) vơ nghiệm 

vô nghiệm có nghiệm kép âm có nghiệm âm

(2) (2) (2) 2







 (1) cĩ 1 nghiệm  có nghiệm kép bằng

có nghiệm bằng nghiệm còn lại âm





 (1) cĩ 2 nghiệm  có nghiệm kép dương

có nghiệm dương và nghiệm âm

(2)





 (1) cĩ 3 nghiệm  (2)có nghiệm bằng1 0,nghiệm còn lại dương

 (1) cĩ 4 nghiệm  (2)có2nghiệm dương phân biệt

1 Tìm điều kiện để đồ thị (C) cắt trục hồnh tại k điểm phân biệt

Dựa vào các trường hợp nêu trên

2 Tìm điều kiện để đồ thị (C) cắt trục hồnh tại 4 điểm phân biệt cĩ hồnh độ lập thành một cấp số cộng

 ax4bx2 c 0 (1) cĩ 4 nghiệm phân biệt

 at2bt c  0 (tx2) (2) cĩ 2 nghiệm dương phân biệt t t1 2, (giả sử t1t2)

– Khi đĩ các nghiệm của (1) là:  t2;  t1; t1; t2

t t a

x y x

Định dạng
Số trang	68
Dung lượng	1,41 MB